Search

Στα πλαίσια της παρούσας διπλωματικής εργασίας, θα ασχοληθούμε με την ευρεία κλάση μαρκοβιανών αλυσίδων συνεχούς χρόνου, τις μαρκοβιανές αλυσίδες άλματος. Συγκεκριμένα, στο κεφάλαιο της εισαγωγής παραθέτουμε κάποια χαρακτηριστικά παραδείγματα στοχαστικών διαδικασιών ενώ στο δεύτερο κεφάλαιο δίνουμε τόσο τον ορισμό όσο και κάποιες από τις βασικότερες ιδιότητες των μαρκοβιανών αλυσίδων διακριτού και συνεχούς χρόνου. Η κύρια διαφορά μεταξύ αυτών των δύο ευρέων κλάσεων στοχαστικών διαδικασιών έγκειται στο κατά πόσο οι μεταβάσεις του συστήματος λαμβάνουν χώρα σε διακριτά ή συνεχή χρονικά διαστήματα. Στη συνέχεια, θα επικεντρωθούμε στο κομμάτι των μαρκοβιανών αλυσίδων άλματος, κατά τις οποίες όλες οι μεταβάσεις λαμβάνουν χώρα σε συνεχή χρόνο. Παράλληλα, ορίζουμε τις διαδικασίες αυτές με δύο μεθόδους, βασιζόμενοι στην πρώτη περίπτωση στους χρόνους αναμονής της μαρκοβιανής διαδικασίας και στη δεύτερη στον πίνακα γεννήτορα Q, μελετώντας βασικά χαρακτηριστικά όπως είναι οι πιθανογεννήτριες συναρτήσεις, η κύρια συνάρτηση (master equation) της μαρκοβιανής αλυσίδας άλματος, η επαναληπτικότητα των καταστάσεων κ.α. συνοδευόμενες από αντιπροσωπευτικά παραδείγματα που διευκολύνουν την αποσαφήνιση αυτών των εννοιών. Τέλος, παρουσιάζουμε μια εφαρμογή των μαρκοβιανών αλυσίδων άλματος στη βιοχημεία, όπου εξετάζουμε τη μεταβολή του πληθυσμού τριών βιοχημικών ουσιών όταν αυτές αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, ενώ παραθέτουμε αναλυτικό αλγόριθμο υπολογισμού της αντίστοιχης μαρκοβιανής διαδικασίας. Ο κώδικας που χρησιμοποιήθηκε στα πλαίσια της εφαρμογής, καθώς και τα αντίστοιχα διαγράμματα, κατασκευάστηκαν με τη βοήθεια του λογισμικού R., In the context of this dissertation, we will deal with the broad class of continuous Markov chains, the Markov jump chains. Specifically, in the introductory chapter we present some typical examples of stochastic processes and in the second chapter we refer to the definition and some of the basic properties of the Markov chains of discrete and continuous time. The main difference between these two broad classes of stochastic processes is whether the system’s transitions occur at discrete or continuous intervals. Next, we will focus on the category of the Markov jump chains, in which all the transitions take place in continuous time. At the same time, we define these processes with two methods, based in the first case on the waiting times of the Markov process and in the second on the generator table Q, studying basic characteristics such as the probabilistic functions, the main function (master equation) of the Markov jump chain, the repetition of situations etc. accompanied by representative examples that facilitate the clarification of these concepts. Finally, we present an application of the Markov jump chains in biochemistry, where we examine the change in the population of three biochemical substances when they interact with each other, while we present a detailed algorithm for calculating the corresponding Markov process. The code used in the application, as well as the corresponding diagrams, were constructed with the help of R software.

This thesis discusses about option pricing with jump-diffusion models as well as their parameters effect on option prices through implied volatility figures. After introducing, the reasons about using these models, it discusses two more widely used jump-diffusion models. As amplification, it considers a stochastic volatility model which it compares with them, including their advantages and limitations.