1. ���� �������������� ������ Gauss- Bonnet ������ ������������������ ���������������������������������� �������������������������� ������������ ������������������
- Subjects
General Relativity and Quantum Cosmology ,High Energy Physics::Theory ,Mathematics::K-Theory and Homology ,������������������������ ���������� ,���������������� Whitney ,Whitney Sum ,Vector Bundle ,Mathematics::Differential Geometry ,Chern- Gauss- Bonnet theorem ,Computer Science::Computational Geometry ,�������������� Chern- Gauss- Bonnet - Abstract
������ ������ ���� ������ ������������ ������������������ ������ �������������� �������������������� ���������� ���� ������������ ���� �������������� ������ Gauss-Bonnet ������ ������ �������� ������: ������ �� ���������� ������ �������������������������������� �������������� ������������������ �������� �������������������� �������� , �� �� ���������������������� ������ Gauss ���������� ������ ��(��) �� ���������������������������� ������ Euler ����������, �������� . �� ������������ ������ �������������������� ���������� ������ �������������� ������ ���������������������� ������ Gauss �� ������ ��, ������ �������� ������������ ������������������, ���� ���� ���������������������������� ������ Euler ��(��) ������ �� ������ ���������� ������ ���������� �������������������� �������������������� (������������ ������ �������������� ������ ���������������������������� ������ ������������������ �������� ������������ ����������) ������ ������ �������� ������ �� ���������� ���������������������� ������ �� ������ ������������������ ������ ���� ������ ������������������������ �� �� �������� �������� �������� �������� ������ ������ ������������������ ������. ������ ������ �������� ������������, ������ ���������������� ������������������ ������������������ �� ������������ ������ ������������������������ �������������������������� ���������������� ������������������ ������ �������������� ������ ���������������� ������ ������ ��������������������. ������������, ���������������� ���� ���������� ������ ������ ���������������������� (��������) ������������������������ ���������� ������ �������������������� ���������������� ������ ������������ �������������� ����� ������ �������������� ������ ���������������������� ���������� . ��������, ������ ������ ���� ������������ ������������������ ������ �������������������� �������� ������������������ ������ ���������� �������� ������ 20���� ���������� �������� ������ ���� �������������� ������ Gauss-Bonnet ���������������� ���� �������������������� �������� ��������������������������. �� ���������� ������������������ ������ ������������ ������ ������ Hopf [��] ������ ���������������������������� ������ ���������������������� ���������� . �������������������� �� �������������� ������ Allendoerfer ������ Weil [AlW] ������ �������������������������� Riemann ������������������������ ����� ������������������������ ������������, ������ ������ ���������������� ���������������������������������� �������������������������� Riemann, ���������� ������ �������������� ������ ���������� �������� ������������������������ �������������������� ��������, ���� �������������� ���������������������� ������ ������ S.S. Chern [Che]. ������������ ������ ���������������� ���������������� ���������� �� �������������������� ������ �������������������������� ������ S.S. Chern. ������ ���������� ����������������, ������ ���������� ��������������������, �������������������������� ������ �������������� �������������� ������ ���� ������������ ������������������������ ������ ������������������������ ������ ���� ������������ ������ ���������� ��������������������������. ������ �������������� ���������������� ���������������������������� ���� ���������������� ������ ������������������������ ������ ���� ������������ ������ �������������������������� ������������, �������� ���� ���������������� ������ Whitney ���� �� ������������������ ����������, ������ ������������ ���� �������������� ������ ����������������, ������ ������������ ���������������� ������ ������������������������ ������ ������ ������������ Euler. ���� ���������� ���������������� ���������������������� ������������������������ �������� ���������������� ������ ������������������������ �������������������� Gauss- Bonnet �� �������� ������������ ����������������, ���� �������������� ������ Chern - Gauss- Bonnet., One of the most beautiful theorems in the theory of surfaces is the Gauss-Bonnet Theorem. This theorem states that if �� is an oriented, closed surface of the Euclidean space , �� is the Gauss curvature of M and ��(��) is its Euler characteristic, then . The importance of this theorem is that it relates the Gauss curvature K of M, which has local character, with the Euler characteristic ��(��) of M, which is a global topological invariant, namely it stays invariant under continuous deformations of M. More specifically the total curvature of M does not depend on the way that M is curved within but it depends only on its topology. On the other hand the notion of a smooth manifold has been introduced in the contemporary differential geometry as a generalization of the notions of curve and surface. Generally speaking, we may say that a smooth manifold is a geometric object that locally resembles a small piece of the Euclidean space . One of the basic questions that concerned geometers in the first half of 20 century was the possibility of generalizing the Gauss-Bonnet Theorem in the framework of smooth manifolds. The first generalization was given by Hopf [��] for the hypersurfaces of Euclidan space followed by the work of Allendoerfer and Weil [AlW] for Riemannian manifolds embedded in Euclidean space. For the general case of closed, oriented Riemannian manifolds without ambient space, the Theorem was proved by S.S. Chern [Che]. The aim of this master thesis is the presentation of the result of S.S. Chern. In the first introductory chapter we present the basic definitions and results concerning the theory of smooth manifolds that we use in the text. The second chapter deals with the basic notions of the theory of vector bundles, such as the Whitney sum, the induced bundle and mainly the notions of the connection, the connection form, the curvature form and the Euler form. The last chapter is devoted to the proof of the generalized Gauss-Bonnet Theorem, or as it is called the Chern-Gauss-Bonnet Theorem.
- Published
- 2013
- Full Text
- View/download PDF