Search

The purpose of this book is to briefly present the ‘Method of Isogeometric Analysis’ which is an extension of the well-known Finite Element Method mainly with the extensive use of NURBS. Since 2008, i.e. three years after the first appearance of the method, many European research projects have been implemented and some of them have resulted in open software which today constitutes material for the practice of students at the Master's level, internationally. Also, in recent years the concept of isogeometric analysis is slowly being adopted by specialized and/or general-purpose commercial software. Due to the nature of the subject of Isogeometric Analysis, both sufficient knowledge of CAD (computer-aided design) and knowledge of the Finite Element Method (FEM) are required. Thus, the first five chapters of the book are dedicated to basic concepts of CAD theory and especially to the theory of describing curves, surface areas (patches) and the Cartesian product (tensor product) for the description of surfaces and structured volumes (blocks). Without detailed mathematical proofs, special effort has been made to provide in each chapter the necessary knowledge for the practical application of Isogeometric Analysis, and not CAD per se. In Chapter 6, computer codes are listed for programming the procedures mentioned in chapters 1 to 5. In chapters 7-12, an extensive application of the Isogeometric Method is made in the solution of partial differential equations of all kinds, while in chapter 13, a historical overview covers the beginnings up to the modern trends of the Isogeometric Method. Starting from one-dimensional problems, the primary concepts of the robustness matrix and the mass matrix are introduced. Second-order differential equations are covered, which concern both field problems (Heat transmission, sound propagation-Acoustics) and Static and Elastodynamic Analysis of Structures. Also, fourth-order equations are covered, which relate to the bending of beams and plates as well as thin shells., Το παρόν σύγγραμμα έχει σκοπό να παρουσιάσει συνοπτικά τη ‘Μέθοδο της Ισογεωμετρικής Ανάλυσης’ η οποία αποτελεί επέκταση της γνωστής μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων κυρίως με την εκτενή χρήση των NURBS. Από το 2008, δηλαδή τρία χρόνια μετά την πρώτη εμφάνιση της μεθόδου, έχουν υλοποιηθεί πολλά Ευρωπαϊκά ερευνητικά προγράμματα και μερικά από αυτά έχουν καταλήξει σε ανοικτά λογισμικά τα οποία σήμερα αποτελούν υλικό για την άσκηση φοιτητών σε επίπεδο Masters, διεθνώς. Επίσης, τα τελευταία χρόνια η ιδέα της ισογεωμετρικής ανάλυσης σιγά-σιγά υιοθετείται από εξειδικευμένα ή/και γενικής χρήσης εμπορικά λογισμικά. Λόγω της φύσεως του αντικειμένου της Ισογεωμετρικής Μεθόδου, απαιτείται τόσο επαρκής γνώση του CAD (computer-aided-design) όσο και γνώση της Μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων (FEM: finite element method). Έτσι, τα πρώτα πέντε κεφάλαια του βιβλίου αφιερώνονται σε βασικές έννοιες της θεωρίας του CAD και ιδιαίτερα στη θεωρία περιγραφής καμπυλών, επιφανειακών χωρίων και του καρτεσιανού γινομένου για την περιγραφή επιφανειών και δομημένων όγκων. Χωρίς λεπτομερείς μαθηματικές αποδείξεις, κατεβλήθη ιδιαίτερη προσπάθεια ώστε σε κάθε κεφάλαιο να παρέχεται η απολύτως απαραίτητη γνώση με σκοπό την πρακτική εφαρμογή της Ισογεωμετρικής Ανάλυσης, και όχι το CAD αυτό καθ’ εαυτό. Στο Κεφάλαιο 6 παρατίθενται κώδικες Η/Υ για τον προγραμματισμό των διαδικασιών οι οποίες αναφέρθηκαν στα κεφάλαια 1 μέχρι και 5. Στα κεφάλαια 7-12 γίνεται εκτενής εφαρμογή της Ισογεωμετρικής Μεθόδου στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων μερικών παραγώγων πάσης φύσεως, ενώ στο κεφάλαιο 13 παρατίθεται μια ιστορική επισκόπηση η οποία καλύπτει τις απαρχές μέχρι και τις σύγχρονες τάσεις της Ισογεωμετρικής Μεθόδου. Αρχίζοντας από προβλήματα μιας διάστασης, εισάγονται οι πρωταρχικές έννοιες του μητρώου στιβαρότητας και του μητρώου μάζας. Καλύπτονται διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξεως οι οποίες αφορούν τόσο σε προβλήματα πεδίου (μετάδοση Θερμότητας, διάδοση ήχου-Ακουστική) όσο και στη Στατική και Ελαστοδυναμική Ανάλυση Κατασκευών. Επίσης, καλύπτονται και εξισώσεις τέταρτης τάξεως, οι οποίες αφορούν σε κάμψη δοκών και πλακών καθώς και λεπτών κελυφών.

101 σ., Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο--Μεταπτυχιακή Εργασία. Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.) “Μαθηματική Προτυποποίηση σε Σύγχρονες Τεχνολογίες στην Οικονομία”, Η παρούσα εργασία έχει ως στόχο να εξετάσει το θέμα της ισογεωμετρικής ανάλυσης.Η ισογεωμετρική ανάλυση είναι μια πρόσφατη υπολογιστική προσέγγιση που προσφέρει την δυνατότητα της "ενσωμάτωσης" της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων με εργαλεία που προσφέρει το CAD(σχεδιασμός υποβοηθούμενος από υπολογιστή) Το κεφάλαιο 1 ξεκινάει με τον ορισμό των συναρτήσεων Β-spline, απο τις οποίες κατασκευάζονται οι συναρτήσεις NURBS.Παρουσιάζεται μια αναλυτική περιγραφή των γεωμετρικών ιδοτήτων τους μαζί με κάποια παραδείγματα. Στην συνέχεια ορίζουμε τις συναρτήσεις ΝURBS και εξηγούμε την σύνδεση τους με τις Β-spline.Τέλος παρουσίαζονται οι κλασικές στρατηγικές εκλέπτυνσης η h και p , ενώ εξηγείται και η καινούργια k εκλέπτυνση. Στο κεφάλαιο 2 εξετάζεται η χρήση του CAD σε πλαίσια ανάλυσης.Ξεκινάει με την μελέτη ενός κλασικού προβλήματος συνοριακών τιμών Poisson, το οποίο και λύνεται με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων του Galerkin .Ακολούθως παρουσιάζεται η ισοπαραμετρική προσέγγιση για να διαλευκανθούν οι ομοιότητες και οι διαφορές ανάμεσα στα κλασικά πεπερασμένα στοιχεία, όπως τα πολυώνυμα, με τα πεπερασμένα στοιχεία που βασίζονται σε συναρτήσεις NURBS.Τέλος, παρουσιάζονται εκτημήτριες σφάλματος κατά την h στρατηγική εκλέπτυνσης. Το τελευταίο κεφάλαιο, εξηγεί τις δομές δεδομένων του GeoPDEs , ένα περιβάλλον συμβατό με MATLAB που αναπτύχθηκε στο Πανεπιστήμιο της Πάβια και το πολυτεχνείο του Μιλάνο, για να δοκιμαστεί η ισογεωμετρική προσέγγιση στην επίλυση ελλειπτικών προβλημάτων 2 διαστάσεων .Τα αποτελέσματα εξετάζουν κυρίως τις στρατηγικές εκλέπτυνσης ., This thesis aims to examine the subject of Isogeometric analysis . Isogeometric analysis (IGA for short) is a recently developed computational approach that offers the possibility of integrating finite element analysis (FEA) into conventional NURBS(Non Rational uniform Basic Splines) based CAD design tools. Chapter 1 starts with the definition of B-Splines , from which NURBS are built. An analytic description of their geometrical properties along with some examples are given . Next , we give the definition of NURBS and explain their relation with B-Splines. Finally , classic h and p refinement strategies are presented as well as the new k refinement is explained . Chapter 2 explains how CAD can be used within an analysis framework. It starts by imposing a classic Poisson boundary value problem , which is then solved using the Galerkin finite element method . The isoparametric approach is then presented in order to clearly highlight the differences and similarities between classic finite elements, such as piecewise polynomials, and NURBS based finite elements. Finally we present error estimates during h refinement. The final chapter, Chapter 3, explains the data structures of GEOpdes , a MATLAB compatible environment developed at IMATI, Università di Pavia and Politecnico di Milano, for testing the isogeometric approach in the context of NURBS-based finite element analysis. Some numerical examples on 2D elliptical problems are presented in order to obtain results mainly concerning refinement strategies., Αλέξης Ε. Παπαγιαννόπουλος