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Während meiner Promotionszeit an der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel hielt Salvatore Siciliano einen anregenden Vortrag im Oberseminar „Algebrentheorie“ zu Cartan-Teilalgebren in Lie-Algebren assoziiert zu assoziativen Algebren. Dieser Vortrag war für mich der Anreiz, mich näher mit maximal nilpotenten Teilstrukturen der assoziierten Lie-Algebra zu beschäftigen. In dem vorliegenden Buch werden wir Sicilianos Theorie zu Cartan-Teilalgebren aufarbeiten und auf verschiedene spezielle assoziative Algebrenklassen ausdehnen. Zusätzlich werden wir eine zweite maximal nilpotente Teilstruktur, nämlich das Nilradikal, in der assoziierten Lie-Algebra analysieren und beschreiben. Bei den Analysen steht der Gedanke im Vordergrund, diese ausgezeichneten Teilstrukturen der Lie-Algebra mithilfe der assoziativen Struktur der Ausgangsalgebra zu identifizieren. Dies wird in diesem Werk erfolgreich umgesetzt. Zahlreiche Beispiele (u.a. ausgehend von Gruppenalgebren und von Solomon-(Tits-)-Algebren) illustrieren dem_der Leser_in die Ergebnisse. Diese_r kann wiederum in den zahlreichen 348 Übungsaufgaben das Gelernte selbst anwenden.

In Band II dieser Serie führen wir die Theorie maximal nilpotenter Teilstrukturen für auflösbare assoziative Algebren fort. Dabei dehnen wir die Thematik auch auf ihre Einheitengruppe aus. Thorsten Bauer zeigt in seiner Dissertation, dass die Carter-Untergruppen genau die Einheitengruppen der Cartan-Teilalgebren sind. Diesen Zusammenhang beweisen wir auch für die Fitting-Untergruppe und dem Nilradikal. Wir konstruieren sämtliche maximal nilpotente Lie-Teilalgebren und beschreiben sie durch Mehrfach-Zentralisatoren. Sie zeigen ausgeprägte Attraktor- und Repeller-Eigenschaften auf. Ihre Isomorphien-Zahl ist endlich und durch Bell-Zahlen nach oben abschätzbar. Cartan-Teilalgebren und das Nilradikal erweisen sich als extremal. Die maximal nilpotenten Untergruppe stehen in 1:1-Korrespondenz durch Einheitengruppen- und K-Erzeugnis-Bildung zu den maximal nilpotenten Lie-Teilalgebren. Zwei korrespondierende Partner haben nach den Satz von Du dieselbe Nilpotenzklasse. Mit Hilfe der Korrespondenz können wir die Ergebnisse auf die maximal nilpotenten Untergruppen übertragen. Auch hier erweisen sich die Carter-Untergruppen und die Fitting-Untergruppe als extremal. Die vier extremalen Teilstruktur kennzeichnen wir schliesslich mit den Fischer-Untergruppen, den Fischer-Teilalgebren, den nilpotenten Injektoren und Projektoren. Zahlreiche Beispiele und Übungsaufgaben illustrieren die Ergebnisse. In Band III werden wir die Ergebnisse auf verschiedene auflösbare Algebren wie Gruppenalgebren und Solomon-(Tits)-Algebren anwenden.

Das vorliegende Buch beschäftigt sich mit der Struktur der Solomon-Tits-Algebren der symmetrischen Gruppen motiviert durch Forschungsergebnisse von Manfred Schocker zur Modulstruktur dieser Algebren. Mit Struktur sind hier gleichsam drei Strukturen gemeint: die assoziative, die der zugehörigen Einheitengruppe und die der assoziierten Lie-Algebra. Im Laufe des Buches wird verdeutlicht, dass diese Strukturen in Beziehung stehen und deren Analyse in dem allgemeineren Rahmen von assoziativen Algebren mit selbstzentralem Radikalkomplement durchgeführt werden kann. Konkret werden u. a. folgende Thematiken analysiert: Dimensionsformeln, Zusammenhang zu Duo-Algebren, Selbstzentralität der Radikalkomplemente, Cartan-Teilalgebren, Sylow-Untergruppen, Hall-Untergruppen, Carter-Untergruppen, Stagnation von Zentralreihen, auflösbare Stufen und Nilpotenzklassen, Nilradikal und Fittinguntergruppe, halbeinfache und einfache Teilstrukturen, Antiautomorphismen sowie irreduzible Charakterwerte.