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Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik 112, 86-86 (2022)., Published by GDM, [Berlin]

This thesis contains the results of seven research papers on various types of harmonic and locally harmonic Maaß forms. To this end, this thesis is divided into two parts. The first part deals with harmonic Maaß forms and variants thereof, while the second part is devoted to constructions of new locally harmonic Maaß forms. The introductory chapter is divided into three parts. The first part provides an overall introduction to holomorphic and nonholomorphic modular forms, and summarizes some previous results in the theory of both classes of forms. The second part collects and presents the main results of this thesis, while the content of the third part is a brief discussion of some results from the second half of this thesis. The subsequent chapters contain the aforementioned research papers with minor edits to improve the overall exposition.

Digitale Übungsaufgaben werden mehr und mehr als ergänzendes Angebot in Anfängervorlesungen der Fachstudiengangs Mathematik etabliert. Ungeklärt ist zurzeit noch, welche didaktischen Anforderungen digitale Aufgaben erfüllen müssen und in welchen Szenarien sie am besten eingesetzt werden sollten. Dazu wird in dieser Dissertation für Aufgaben des Themenfeldes Lineare Gleichungssysteme in einem ersten Schritt geklärt, wie Studierende papierbasierte Aufgaben bearbeiten, die das Thema der linearen Gleichungssysteme unmittelbar zum Inhalt haben. Für diese Aufgaben wurde eine „theoretically enhanced student-expert-solutions“ (TESES) nach Biehler et al. (2015) erstellt und das Konstrukt der TESES für die vorliegenden Aufgaben erweitert. So konnten studentischen Klausurbearbeitungen mithilfe der TESES kategorisiert und anschließend Bearbeitungs- und Fehlermuster herausgearbeitet werden. Im Anschluss wurden in einer Videostudie studentische Aufgabenbearbeitungen mit ähnlichen Aufgabentypen analysiert, die in verschiedenen Settings sowohl als gewohnte, papierbasierte aber auch als digitale Aufgabe präsentiert wurden. Dabei wurde die Nutzung analoger und digitaler Medien und Hilfsmittel quantitativ miterfasst. So konnten Unterschiede für Aufgaben identischer mathematischer Handlungsaufforderung und den Aufgabenmodalitäten papierbasiert versus digital festgehalten werden., Digital exercises are being established more and more as a supplement to beginners’ lectures in Mathematics. It is currently unclear to which didactic requirements digital tasks have to come up and for which scenarios they should be used best. For this purpose, this dissertation clarifies in a first step how students work on paper-based tasks that directly relate to the topic of linear systems of equations. For these tasks “theoretically enhanced student-expert-solutions” (TESES) according to Biehler et al. (2015) are generated and additionally the TESES-concept is expanded for the present tasks. Thus, students’ processes of exams-exercises could be categorized with the help of TESES and task-processes and error patterns could be worked out. Subsequently, in a video study, students task-processes were analyzed with similar task types, which were presented in different settings as familiar paper-based tasks as well as digital tasks. The use of analog and digital media and tools was also recorded quantitatively. In this way, differences for tasks with identical mathematical prompts and different task modalities (paper-based versus digital) could be recorded.

This dissertation presents four studies published in peer-reviewed journals focusing on improving the development of mathematical factual knowledge of students with learning difficulties. Mastering fluency building with basic math facts is considered a strong predictor to achieve sufficient or above mathematical competencies. Struggling with this development can already lead to students’ demotivation, frustration and avoiding further engagement. Therefore, all papers were conducted with the aim to provide access to methods that help overcome this hurdle with different motivational support for those struggling students and into a deeper engagement of mathematical competency acquisition. One study focused on the impact of enhancing students’ motivation by implementing a combined multicomponent motivational system (MMS). The second study used a specially designed combination of the previously examined motivational methods that math racetracks enhanced. After this examination, again an extension was made by a combination of the previous examined methods with peer tutoring. All three papers were evaluated regarding their effectivity concerning the development of math fact fluency. The final paper evaluated the effectiveness of a response card intervention on the participation of low-performers during their math class. For the purpose of the research, single-case designs were applied and the studies were conducted in elementary and secondary grades in regular and special schools. This alone led to participants with very heterogeneous conditions and further research will be necessary to underline these studies’ findings. Still, all four papers’ results indicated that all interventions concerning motivation, racetracks and response cards are highly effective and therefore could provide students and teachers alike with an opportunity to enrich the classroom through a significant increase of students’ performance and engagement into mastering mathematical basic facts fluency. Providing teachers with effective, easy-to-implement methods in their classroom independent of special needs or not as well as of grade is an aim any research should try to meet more often, and which, in this case, can be considered successfully achieved.

This paper shall be understood as an interdisciplinary attempt to combine mathematics, especially the field of Operations Research, with the dramatic theory and media science. The present document is a resumption and further stage of development of the model, published in a research paper with the german title: Das Drama in Analogie zu einem dynamischen Programm. Entwicklung eines Metamodells zur Strukturierung szenischer Handlung. (Doi: 10.18725/OPARU-2410, VTS-71501), deutschen Nationalbibliothek idn: 1016388918 unter http://d-nb.info/1016388918 in 12/16/2009 on the Open Access Repository (former VTS) of the University of Ulm. It makes the attempt to use the model, presented in this former paper to try to test the usability of the bellman model, exactly the bellman equation adapted to a specialized scorevalue-model, also described in this paper. The intention is to get an optimized storyline in screenplay- especially tv- and web-series development. It should help people involved in these kind of colaborative work, especially ”showrunner” and ”storyliner” to get their work better organized and make the right decisions about structure and content. This paper shows the development of these extension of the primary model and the basic work with it (shown by a simple example)., Diese Abhandlung versteht sich als interdisziplinär und schlägt eine Brücke zwischen dem mathematischen Feld des Operations Research und den Theater- Film- und Kommunikationswissenschaften. Die vorliegende Abhandlung ist die Wiederaufnahme und Fortführung der Arbeit, die unter obigem Titel (siehe Abstract in Englisch) am 16.12.2019 auf dem Open Access Repositorium der Universiät Ulm (damals VTS) veröffentlicht wurde. Es ist die Weiterentwicklung des Ansatzes, eine Dramenstruktur in Analogie zu einem dynamischen Programm zu betrachten und dabei den Versuch zu unternehmen, eine Optimierungsstrategie hinsichtlich der Beurteilung einer dramatischen Struktur, basierend auf einem, der Bellman'schen Wertiteration unterliegenden Kennzahlenmodell zu entwickeln. Damit soll es möglich sein, so komplexe Strukturen wie TV- und Web-Serien besser hinsichtlich ihres Aufbaus in einem kollaborativen Ansatz zu beurteilen und so Beteiligte wie ”Showrunner” und ”Storyliner” in diesem kreativen Entwicklungsprozess zu unterstützen. Die vorliegende Abhandlung beschreibt die theoretische Herleitung und die Verwendung dieses Ansatzes (exemplarisch an einem einfachen Beispiel).

Für das Hansekolloquium zur Hochschuldidaktik der Mathematik gab es 2021 in Bochum gleich zwei Schwerpunkte, die aber durchaus miteinander verbunden sind: "Kompetenzorientiertes digitales Prüfen" sowie "Herausforderungen und Unterstützung von Studienanfängerinnen vor und nach Corona". Auch wenn in der Formulierung "während Corona" nicht vorkommt, gab es einige Beiträge, die sich explizit dieser Zeit gewidmet haben, insbesondere hat die Durchführung digitaler Prüfungen während der Corona-Pandemie viele Hochschulen vor große Herausforderungen gestellt. Mit dem Blick nach vorn sind gerade die bewährten Konzepte, die auch die Kompetenzorientierung mitberücksichtigen, von besonderem Interesse. Insgesamt wurden mit den beiden Schwerpunkten vielfältige aktuelle Fragen aus den vergangenen, besonders herausfordernden Semestern aufgegriffen. Der vorliegende Band umfasst 21 Beiträge, darunter einen Hauptbeitrag von Stefanie Rach, Stefan Ufer und Daniel Sommerhoff. Die adressierten Themen zeigen eine große Vielfalt, beispielsweise: •Mathematisches Argumentieren, Begründen und Beweisen von Studierenden sowie damit verbundene Schwierigkeiten und Lösungsansätze. •Anregungen für Sprechanlässe und Berücksichtigung des diskursiven Charakters im Mathematikstudium vor dem Hintergrund einer sprachsensiblen Hochschullehre. •Vor- und Brückenkurse als Vorbereitung auf ein mathematikhaltiges Studium, aber auch Unterstützungsangebote in der Studieneingangsphase, etwa in Form eines Orientierungsstudiums. •Möglichkeiten zur Gestaltung aktivierender Mathematikvideos sowie Potenziale von Mathematiklernvideos aus der Sicht von Studierenden. •Digitale Lernangebote zur Förderung der geometrischen Begriffsbildung oder zum Einsatz in Stochastik-Lehrveranstaltungen. •Elektronische Prüfungen etwa mit Blick auf die Effizienz der Prüfungsdurchführung, den didaktischen Mehrwert sowie die Individualisierung des Prüfungsprozesses. •Entwicklung affektiver Merkmale, wie Interesse, Selbstwirksamkeitserwartung oder Motivation, Hauptvortrag Rach, Stefanie; Ufer, Stefan; Sommerhoff, Daniel: Mathematics Online Assessment: Do future mathematics students find assessmentbased feedback useful? ..... 3 Sektionsvorträge de Wiljes, Jan-Hendrik; Kristoffersen, Mira; Scharlach, Christine: Das Mathematische Propädeutikum − Eine studiumsbegleitende Brücke zwischen Schule und Hochschule ..... 15 Gallaun, Dennis; Kruse, Karsten; Seifert, Christian: Elektronische Prüfungen in Mathematik – Ein Beispiel ..... 31 Geisler, Sebastian; Rolka, Katrin: "Simpel, kompakt und einfach zu verstehen" – Potenziale von Mathematik-Lernvideos aus Studierendensicht ..... 43 Giebermann, Klaus: Digitale Paper & Pencil-Aufgaben ..... 55 Göller, Robin; Gildehaus, Lara; Liebendörfer, Michael; Besser, Michael: Erfassung und Vergleich (mathematischer) Eingangsvoraussetzungen angehender Studierender verschiedener mathematikhaltiger Studiengänge ..... 66 Kaiser, Julia T.: Anregen von Sprechanlässen im Mathematikstudium mit Fokus auf die Studieneingangsphase ..... 81 Kempen, Leander; Liebendörfer, Michael: Zu digital - zu viel - zu schwer? Qualitative Einsichten in das Erleben und Handeln von Erstsemester-Studierenden der Mathematik während der Corona-Pandemie ..... 91 Kirsten, Katharina; Greefrath, Gilbert: Vorkurs in Zeiten von Corona: Zur Entwicklung affektiver Merkmale in Präsenz und Distanz ..... 107 Krapf, Regula: Wie können Mathematikvideos aktivierend gestaltet werden? ..... 123 Lache, Jonas: Digitale Lehr- und Lernmaterialien für Stochastik-Veranstaltungen an Hochschulen ..... 138 Lorenzen, Hinrich; Schmitz, Michael: Das Frame-Konzept – ein neuer Ansatz zur Problematik des Beweisverstehens ..... 152 Lutz, Tim: becover – „Begriffe im Context vernetzt“. Eine Plattform zur Recherche mathematikdidaktischer Begriffe in Skripten ..... 168 Otten, Sonja; Derboven, Wibke; Kruse, Karsten: Mathematik im Orientierungsstudium ..... 176 Pulham, Susan; Frei, Sebastian; Kneip, Frank; Amico, Gianluca: Virtuelles Lernteamcoaching – Förderung von Future Skills und sozialer Eingebundenheit im Rahmen eines mathematischen Moduls ..... 189 Scharlach, Christine; Bücking, Ulrike: MatheProfIL – ein Integriertes Lernkonzept für eine Mathematikvorlesung im Grundschullehramt ..... 203 Schilson, Benedikt; Giebermann, Klaus: Autorentool für digitale Aufgaben ..... 215 Scholl, Theresa: Geometrische Begriffsbildung philosophierend fördern: Ein digitales Lernangebot ..... 223 Specht, Birte Julia; Danzer, Carolin Lena; Roskam, Marieke: Studierende argumentieren zu multiplikativen Strukturen – Zerlegen, Konstruieren und Umsortieren ..... 240 Spratte, Verena: (Warum) lesen Studierende Beweise? ..... 256 Utsch, Nina: Vorstellungen von Lehramtsstudierenden zur Konvergenz von Folgen und Teilfolgen ..... 274

Ausgehend von den grundlegenden Erhaltungssätzen für Fluide, der Kontinuitätsgleichung, der Impulsgleichung und der Energiegleichung, untersuchen wir Vereinfachungen für die Modellie- rung von stationären Gasflüssen in Gasnetzen. Anschließend betrachten wir ein auf diesen Ap- proximationen beruhendes Verfahren zur Bestimmung von zulässigen Flüssen und Drücken im Rahmen physikalischer, technischer und vertraglicher Restriktionen. Betrachtet man ein Gas- netz, welches aus Rohren (Kanten) und Punkten (Knoten) besteht, gelten analog zu Strom- und Wassernetzen auch beim stationären Gasfluss die Kirchhoffschen Gesetze. Das erste Ge- setz besagt, dass die Summe der aus einem Knoten herausfließenden Volumenströme identisch zur Summe der hineinfließenden Volumenströme sein muss. Ist der Knoten weder eine Senke (Ausspeisepunkt) noch eine Quelle (Einspeisepunkt) handelt es sich hierbei lediglich um die Volumenströme, welche über inzidente Kanten fließen. Ist der Knoten eine Senke, so kann über ihn Gas aus dem Netz ausgespeist werden. Ist der Knoten eine Quelle, so kann Gas in das Netz eingespeist werden. Diese zusätzlichen Volumenströme müssen für die Einhaltung des ersten Kirchhoffschen Gesetzes berücksichtigt werden. Das zweite Gesetz beschreibt den Druckabfall des Gases in Kreisen. Es sagt aus, dass sich die Druckveränderung beim Durchlaufen eines Kreises zu Null addiert. Der Druckabfall resultiert aus der Reibung, die der Gasstrom an den Innenwänden der Rohre erfährt. Im stationären Fall ergibt sich zunächst aus Vereinfachungen der Erhaltungssätze ein nicht- lineares Gleichungssystem mit Druckvariablen für Knoten und Flussvariablen für Kanten des Netzes. Aus diesem System lassen sich anschließend bei Fixierung des Druckes an einem Knoten sämtliche Druckvariablen und gewisse Flussvariablen eliminieren, sodass ein System mit gleich vielen Variablen wie Gleichungen verbleibt. Diese Anzahl entspricht der Zahl der Fundamental- kreise im Netz, d. h., der minimalen Anzahl kreisschließender Kanten. Aus dem resultierenden System von Gleichungen leiten wir mit Hilfe koerziver Operatoren Existenz- und Eindeutig- keitsaussagen für Lösungen her. Mit dem Ziel reale Gasnetze auf die Existenz zulässiger, stationärer Gasflüsse zu untersuchen und solche zu ermitteln, betrachten wir weitere Kantentypen. Ein Gasnetz besteht nicht nur aus Rohren, sondern zusätzlich aus Verdichterstationen, Reglern, Schiebern, Widerständen und Kurzschlüssen. Diese Elemente erfordern nicht nur die Hinzunahme neuer Nebenbedingungen, sondern auch die Einführung von Binärvariablen. Letztere modellieren, ob eine Verdichtersta- tion, ein Regler oder ein Schieber geöffnet oder geschlossen sein soll. Unser Modell für den Druckverlust in Rohren, ebenso wie die Modellierungen von Verdichterstationen und Wider- ständen beinhaltet nichtlineare Komponenten. Um trotz der Binärentscheidungen ein nicht- lineares Modell nutzen zu können, welches den Druckabfall im Rohr sehr gut approximiert, nutzen wir Heuristiken zur Fixierung der Binärentscheidungen. Sind diese fixiert, erhalten wir ein nichtlineares, nichtkonvexes Modell mit Druckvariablen an allen Knoten, welche inzident zu einer Verdichterstation, einem Regler oder einem Widerstand sind sowie einer Druckvariable für den Wurzelknoten. Zusätzlich gibt es pro Fundamentalkreis eine Flussvariable für die kreisschließende Kante. Die Entwicklung dieses Verfahrens zur Feststellung, ob ein zulässiger stationärer Gasfluss in ei- nem gegebenen Netz existiert, ist motiviert durch die Forschungskooperation Netzoptimierung (Forne). Mitglieder dieser Kooperation sind zwei Forschungsinstitute und mehrere mathema- tische Arbeitsgruppen an deutschen Universitäten1 . Initiator der Forschungskooperation ist der Bereich Netzplanung und -Steuerung der OGE [46] (Open Grid Europe GmbH) in Essen. Dieses Unternehmen besitzt und steuert als Erdgastransporteur das größte Ferngasleitungs- netz in Deutschland. Innerhalb der Forschungskooperation gibt es grundlegende Aufgaben, an denen alle gemeinsam arbeiten und spezielle Teilaufgaben, welche von einzelnen Kooperati- onspartnern vertieft bearbeitet werden. So wird zum Beispiel am Zuse-Zentrum an Modellen zur Netzausbauplanung geforscht. Die Arbeitsgruppe von Werner Römisch entwickelt in Zu- sammenarbeit mit der Gruppe von Rene Henrion Prognose- und Reduktionsverfahren für das Ausspeiseverhalten der Gaskunden. Dank des Initiators OGE werden uns reale Netzdaten zur Verfügung gestellt. Die Ergebnisse der Forschungskooperation wurden in [21] zusammengefasst und zur Veröffentlichung akzeptiert. Des Weiteren wurde eine Veröffentlichung mit dem Titel „Validation of Nominations in Gas Network Optimization: Models, Methods, and Solutions“ [48] bei Optimization Methods and Software eingereicht und publiziert. Ein Buch mit dem Titel „Evaluating Gas Network Capacities“ [32] stellt detailliert die Methoden und Modelle dar und wird bei SIAM2 erscheinen . Wir nennen die Vorgabe von zu transportierenden Gasflüssen an Quellen und Senken eine „Nominierung“. Eine grundlegende Frage für die Forschungskooperation ist, ob zu einer ge- gebenen Nominierung ein zulässiger stationärer Gasfluss auf dem zu Grunde liegenden Netz gefunden werden kann. Um diese Frage beantworten zu können, muss ein Problem gelöst wer- den, welches sowohl Binärentscheidungen als auch nichtlineare Nebenbedingungen in großer Zahl enthält. Die Zustandsgleichung realer Gase, die verwendeten approximierten Lösungen der Kontinuitäts- und der Impulsgleichung, welche den Druckabfall in Rohren bestimmen, sowie Bedingungen für Verdichterstationen und Widerstände sind nichtlinear. Für unseren Ko- operationspartner OGE sind alle Eigenschaften wie Gastemperatur, Gasbeschaffenheit und Fließgeschwindigkeit, welche weitere nichtlineare Bedingungen erzeugen, von Bedeutung. In der Forschungskooperation wird daher ein mehrstufiger Ansatz verfolgt. Es gibt ein detaillier- tes nichtlineares Modell, welches bei fixierten Binärentscheidungen und guten Startwerten alle Eigenschaften im Gasfluss unter Verwendung diskretisierter Differentialgleichungen berücksich- tigt. Dieses Modell wird an der Leibniz Universität entwickelt ([57, 58]). In der vorliegenden Arbeit wird ein Verfahren beschrieben und untersucht, welches Startwerte und vielversprechen- de Binärentscheidungen für dieses detaillierte Modell liefern kann. Dabei verwenden wir ein Dekompositionsverfahren, bei dem spezielle Teilgebiete des Netzes separat berechnet und aus dem Originalnetz geschnitten werden. Dadurch verringert sich die Dimension des verbleibenden Netzes, sodass Nominierungen auf großen Gasnetzen erfolgreicher berechnet werden können. Die Beantwortung obiger Frage, ob zu einer gegebenen Nominierung ein zulässiger stationärer Gasfluss auf dem zu Grunde liegenden Netz gefunden werden kann, ist grundlegend für weitere Aufgaben innerhalb der Forschungskooperation. Sie wird als Teilaufgabe sehr oft gestellt, wes- halb die schnelle Beantwortung der Frage ein weiteres Ziel des in dieser Arbeit vorgestellten Verfahrens ist. Motiviert durch die Kooperation befassen wir uns in dieser Dissertationsschrift sowohl mit der Entwicklung mathematisch korrekter, reduzierter Modelle als auch mit deren Anwendung auf reale Gasnetze. Diese führen durch ihre Größe in der Regel zu hochdimensionalen Proble- men, welche zum aktuellen Entwicklungsstand von keinem Standardlöser erfolgreich behandelt werden können. Im Vergleich zu den in dieser Dissertationsschrift vorgelegten Ergebnissen sind aus der ver- öffentlichten mathematischen, wie ingenieurwissenschaftlichen Fachliteratur keine Resultate zu Strukturen und Algorithmik für Gasnetze vergleichbarer Größe, Vielfalt und Komplexität bekannt. Based on the fundamental conservation laws for fluids, namely the continuity equation, the momentum equation and the energy equation, in this dissertation, we research simplifications for modelling stationary gas flow in gas networks. Thereafter, we use these approximations to develop a procedure that determines whether flows and pressures are feasible within physical, technical and contractual restrictions. Regarding a gas network consisting of pipes (edges) and points (nodes), Kirchhoff‘s laws analogically hold for stationary gas flow as they do for electricity and water networks. The first law ensures that the sum of flows going out of a node equals the sum of flows going into the node. If the node neither is an exit nor an entry, we’re dealing with a sum of flows simply streaming over incident edges. If the node is an exit, it is possible to let gas stream out of the network. If the node is an entry, it is possible to let gas stream into the network. These additional flows must be taken into consideration when Kirchhoff‘s first law is observed. The second law describes the pressure loss of the gas flow within cycles. It declares that the pressure changes on the edges of the cycle must sum up to zero. The pressure loss results from the friction between the gas and the inside walls of the pipe. In the stationary case, from simplifications of the conservation laws, initially there results a nonlinear equation system with pressure variables for nodes and with flow variables for edges of the network. By fixing the pressure on one node, it is possible to eliminate all pressure variables and certain flow variables to attain a system with as many variables as equations. This number of variables/equations coincides with the number of fundamental cycles within the network, meaning the minimum number of edges closing a cycle. We provide existence and uniqueness of solutions on the remaining equation system with the help of coercive operators. Aiming at analysing real world gas networks for the existence of feasible, stationary gas flows we have to take into consideration more types of edges. A gas network does not only consist of pipes, but also of compressor stations, control valves, valves, resistors and shortcuts. These elements do not only require the use of special constraints, but also the use of binary variables. These variables model if a compressor station, a control valve or a valve is closed or opened. Our model for the pressure loss in pipes includes nonlinearities as do the modelling of compressor stations and resistors. In order to be able to use a nonlinear model that approximates the pressure loss well in spite of binary decisions, we apply a heuristic for the fixation of those binary decisions. After the fixation, a nonlinear non-convex model remains with pressure variables on all nodes that are incident to a compressor station, a control valve or a resistor and one pressure variable for the root node. Additionally, there exists a flow variable for each fundamental cycle. The development of a procedure to determine whether a feasible stationary gas flow exists for a given network is motivated by the cooperation “Forschungskooperation Netzoptimierung” (Forne). This cooperation consists of members of two research institutes and some mathemat- ical work groups at German universities3 . The initiator of the cooperation is the division “Netzplanung und -Steuerung” from OGE [46] (Open Grid Europe GmbH) situated in Essen, Germany. The company owns the biggest long- distance gas network within Germany. There are basic problems which all members of the cooperation try to solve jointly. Furthermore, there are special sub tasks only some members of the cooperation are occupied more deeply with. For instance, the sub task “network ex- tension” is tackled by the working group from Zuse-Zentrum. The team of Werner Römisch in collaboration with the working group of Rene Henrion develops techniques for forecasting the characteristics of the use of exit flows. Thanks to the initiator OGE, data of real world gas networks is provided to us. The results of the cooperation have been summarised in [21] and accepted for publication. In addition to that, a paper titled “Validation of Nominations in Gas Network Optimization:Models, Methods, and Solutions” [48] is accepted and published by Optimization Methods and Software. Furthermore, the book “Evaluating Gas Network Ca- pacities” containing detailed explanations of methods and models will be launched by SIAM4 . We name the specification for gas flows to be transported from entries to exits a “nomination”. An elementary question for the cooperation is whether a feasible stationary gas flow can be found for a given nomination on a real world gas network. In order to answer this question, a problem with binary decisions and many nonlinear constraints has to be solved. The state equation for real gas, the approximated solutions for the continuity and the momentum equa- tion as well as constraints for compressor stations and resistors are nonlinear. Our partner OGE is interested in the quality of the gas. This includes the temperature, the composition and the current velocity and induces further nonlinear constraints. Therefore, the cooperation uses a multistage approach. There is a detailed nonlinear model which is able to consider all qualities within gas flow by using discretised differential equations when fixed binary decisions and good initial values are given. This model is developed at Leibniz Universität ([57, 58]). The aim of this dissertation is the development and research of a procedure that is able to produce initial values and fixed binary decisions for the detailed model. We apply a decompo- sition method to separately compute special regions of the network and remove them from the original network. Thereby, the dimension of the remaining network is reduced and nominations can even be solved on big gas networks. The answer to the above question if it is possible to find a feasible stationary gas flow for a given nomination on a real world gas network is basic for further questions. It is asked very frequently as a sub task and, therefore, it is important to provide the answers quickly. Accordingly, this is an additional intention of the presented procedure in this paper. Motivated by the cooperation, this paper focuses on both the development of mathematically correct and reduced models and on applying them to real world gas networks. Due to their size, these mostly lead to high dimensional problems which can not be solved in total by any state-of-the-art-solver. There are no results known in printed mathematical or engineering specialist literature with structures and algorithms for gas networks of contrastable size, complexity and diversity in comparison with the outcomes of this dissertation.

Gegenstand dieser Arbeit ist die wie folgt lautende Chern-Vermutung über Hyperflächen in Sphären: Jede in der (n+1)-dimensionalen Sphäre S^n+1 minimal immersierte geschlossene Hyperfläche M mit konstanter Skalarkrümmung ist isoparametrisch. Bislang konnte sie noch nicht bewiesen werden, es existieren allerdings Teilresultate insbesondere für niedrige Dimensionen und unter Hinzunahme weiterer Voraussetzungen an die Hauptkrümmungen und verschiedene symmetrische Krümmungsfunktionen von M. Ziel der Arbeit ist es, neue Erkenntnisse in Richtung eines Beweises der Vermutung zu gewinnen. Dazu wird eine Reihe neuer Resultate bewiesen sowohl in Bezug auf die Chern-Vermutung als auch verwandte Fragestellungen für Untermannigfaltigkeiten höherer Kodimension. The subject of this paper ist the Chern conjecture on hypersurfaces in spheres, which is as follows: Every hypersurface M that is minimally immersed in the (n+1)-dimensional sphere S^n+1 and has constant scalar curvature is isoparametric. So far there has been no proof for this conjecture, however there are partial results in particular for low dimensions and given additional assumptions for the principal curvatures and various symmetric curvature functions on M. The aim of this paper ist to gain new insights towards a proof of the conjecture. A number of new results are given, both relating to the Chern conjecture and related problems for submanifolds of higher codimension.

Die vorliegende Arbeit entstand aus einem einfachen Mechanik-Problem, das auf eine trigonometrische Gleichung führte. Wir vergleichen am Beispiel dieses Problems verschiedene numerische Verfahren miteinander. Das Hauptziel dieser Arbeit ist nicht die Lösung der Gleichung – sie kann sogar exakt ermittelt werden –, sondern eine Darstellung am konkreten Beispiel, wie man numerische Lösungen gewinnen kann. Insbesondere soll die Bedeutung von Bildern für die numerischen Verfahren betont werden. Schließlich werden einige praktische Aspekte diskutiert, die nur selten konkret in der Literatur beschrieben werden. Beispielsweise bewirkt die schlechte Konditionierung des Problems, dass das Bisektionsverfahren keine eindeutige Lösung im Rahmen der Rechengenauigkeit besitzt. This paper is motivated by a mechanics problem and its trigonometric equation. Based on this problem we compare several numerical solution techniques. The paper’s purpose is not simply the solution of an equation – there is even an exact solution – but a detailed presentation of an example how to obtain a numerical solution. In particular, the presentation stresses the importance of pictures in supporting numerical methods. Moreover the paper discusses some practical aspects that rarely appear in the literature. The bisection method, for instance, fails to produce a unique solution with respect to a given computational accuracy.

Domain decomposition methods are successful and highly parallel scalable iterative solution methods for discretized partial differential equations. Nevertheless, for many classes of problems, for example, elliptic partial differential equations with arbitrary coefficient distributions, adaptive coarse spaces are necessary to obtain robustness or, in other words, to guarantee a reliable and fast convergence. Adaptive coarse spaces are usually computed by solving many localized eigenvalue problems related to edges or faces of the domain decomposition. This results in a computationally expensive setup of the domain decomposition preconditioner or system operator. In this paper, we suggest to directly learn the adaptive constraints using a deep feedforward neural network and thus completely skip the computationally most expensive part of the setup, i.e., the solution of local eigenvalue problems. We consider a specific adaptive FETI-DP (Finite Tearing and Interconnecting - Dual Primal) approach and concentrate on stationary diffusion problems in two dimensions with arbitrary coefficient functions with large jumps. As an input for the neural network, we use an image representation of the coefficient function which resolves the structure of the coefficient distribution but is not necessarily identical to the discretization of the partial differential equation. Therefore, our approach is independent of the finite element mesh and can, in principle, be easily extended to other adaptive coarse spaces, problems, and domain decomposition methods. We show the robustness of our method for different problems and the generalization property of our trained neural networks by considering different coefficient distributions not contained in the training set. We also combine the learned constraints with computationally cheap frugal constraints to further improve our approach.

Duisburg, Essen, Univ., Diss., 2007 The present paper deals with development aspects of acquiring arithmetic skills from babyhood to school-age. It aims at pointing out remedial and supportive measures oriented towards the development of mathematical competency in the primary school age. The core of this paper is the presentation of a theoretically substantiated model of the development of the acquisition of arithmetic skills and, in connection with that, the underlying theoretical reasoning for the diagnostic and remedial concept "Kalkulie" (Gerlach et al. 2007). Additionally, theory-based conclusions for development-oriented diagnostic procedures and remedial measures in case of poorly developed learning abilities are drawn. Thema der vorliegenden Arbeit sind Entwicklungsaspekte des Rechnenlernens vom Säuglings- bis zum Schulalter mit dem Ziel, entwicklungsorientierte Fördermöglichkeiten mathematischer Kompetenzen im Grundschulalter aufzuzeigen. Kern der Arbeit ist die Darstellung eines theoretisch begründeten Entwicklungsmodells des Rechnenlernens sowie verbunden damit die Begründung des Diagnose- und Förderkonzeptes Kalkulie (Gerlach et al. 2007). Daneben werden theoretisch begründete Schlussfolgerungen für eine entwicklungsorientierte Diagnostik und Förderung bei beeinträchtigtem Fertigkeitserwerb gezogen. Im ersten Teil werden genetisch vorbereitete kognitive Schemata sowie Entwicklungsaspekte und -verläufe ab dem Säuglingsalter in einem Entwicklungsmodell systematisiert. Daraus werden Nadelöhre der mathematischen Kompetenzentwicklung abgeleitet. Für ein umfassendes Verständnis der erforderlichen Lernprozesse wird darüber hinaus dargestellt, wie Wissen erworben, mit Bedeutung versehen, vernetzt und wie die Wissensnutzung und organisation durch Selbstregulation und Strategieeinsatz beeinflusst werden kann. Zur Bestimmung relevanter Bedingungen bei Schulbeginn werden auch didaktisch-methodische Möglichkeiten erörtert sowie das Vorwissen von Schulanfängern und die Charakteristik beeinträchtigten Mathematiklernens diskutiert. Auf dieser Grundlage wird im zweiten Teil die Notwendigkeit einer förderorientierten, bereichsspezifischen Diagnostik herausgestellt. Dabei werden unspezifische von mathematikspezifischen Leistungsfaktoren abgegrenzt, ausgewählte Tests für Vor- und Grundschulalter vorgestellt sowie grundsätzliche Anforderungen an die Aufgabenkonstruktion förderdiagnostischer Verfahren formuliert. In diesem Zusammenhang werden die Bedeutung individueller Vorstellungen und die Analyse spezifischer Aufgabenanforderungen für diagnostische Auswertungen betont. Im letzten Teil wird das auf der Grundlage des Entwicklungsmodells konzipierte Diagnose- und Förderkonzept Kalkulie vorgestellt. Dabei wird u.a. diskutiert, wie bereichsspezifische Vorläuferfähigkeiten aufgebaut und insbesondere zählendes Rechnen durch die Vermittlung stabiler Bedeutungen, weiterführender Strategien und die Fähigkeit zu bewertender Reflexion abgebaut werden können. Mit der vorliegenden Arbeit soll ein Beitrag zu Aufbereitung und Systematisierung von Sachwissen zu mathematischen Entwicklungskomponenten und zusammenhängen, zum Erkennen bereichsspezifischen Vorwissens, zum Verstehen individueller Bedeutungskonstruktionen und zum Aufbau tragfähiger Vorstellungen, Prozeduren und Strategien geleistet werden.

The purpose of this paper is to supply a summary of library subroutines and functions for parallel MIMD computers. The subroutines have been developed and continously extended at the University of Chemnitz since the end of the eighties. In detail, they are concerned with vector operations, inter-processor communication and simple graphic output to workstations. One of the most valuable features is the machine-independence of the communication subroutines proposed in this paper for a hypercube topology of the parallel processors (excepting a kernel of only two primitive system-dependend operations). They were implemented and tested for different hardware and operating systems including PARIX for transputers and PowerPC, nCube, PVM, MPI. The vector subroutines are optimized by the use of C language and unrolled loops (BLAS1-like). Hardware-optimized BLAS1 routines may be integrated. The paper includes hints for programmers how to use the libraries with both Fortran and C programs.

The paper at hand presents a slender body theory for the dynamics of a curved inertial viscous Newtonian ber. Neglecting surface tension and temperature dependence, the ber ow is modeled as a three-dimensional free boundary value problem via instationary incompressible Navier-Stokes equations. From regular asymptotic expansions in powers of the slenderness parameter leading-order balance laws for mass (cross-section) and momentum are derived that combine the unrestricted motion of the ber center-line with the inner viscous transport. The physically reasonable form of the one-dimensional ber model results thereby from the introduction of the intrinsic velocity that characterizes the convective terms. The paper at hand presents a slender body theory for the dynamics of a curved inertial viscous Newtonian ber. Neglecting surface tension and temperature dependence, the ber ow is modeled as a three-dimensional free boundary value problem via instationary incompressible Navier-Stokes equations. From regular asymptotic expansions in powers of the slenderness parameter leading-order balance laws for mass (cross-section) and momentum are derived that combine the unrestricted motion of the ber center-line with the inner viscous transport. The physically reasonable form of the one-dimensional ber model results thereby from the introduction of the intrinsic velocity that characterizes the convective terms.

CIS working paper, 20 (2006)

Reliable methods for the analysis of tolerance-affected analog circuits are of great importance in nowadays microelectronics. It is impossible to produce circuits with exactly those parameter specifications proposed in the design process. Such component tolerances will always lead to small variations of a circuit’s properties, which may result in unexpected behaviour. If lower and upper bounds to parameter variations can be read off the manufacturing process, interval arithmetic naturally enters the circuit analysis area. This paper focuses on the frequency-response analysis of linear analog circuits, typically consisting of current and voltage sources as well as resistors, capacitances, inductances, and several variants of controlled sources. These kind of circuits are still widely used in analog circuit design as equivalent circuit diagrams for representing in certain application tasks Interval methods have been applied to analog circuits before. But yet this was restricted to circuit equations only, with no interdependencies between the matrix elements. But there also exist formulations of analog circuit equations containing dependent terms. Hence, for an efficient application of interval methods, it is crucial to regard possible dependencies in circuit equations. Part and parcel of this strategy is the handling of fill-in patterns for those parameters related to uncertain components. These patterns are used in linear circuit analysis for efficient equation setup. Such systems can efficiently be solved by successive application of the Sherman-Morrison formula. The approach can also be extended to complex-valued systems from frequency domain analysis of more general linear circuits. Complex values result here from a Laplace transform of frequency-dependent components like capacitances and inductances. In order to apply interval techniques, a real representation of the linear system of equations can be used for separate treatment of real and imaginary part of the variables. In this representation each parameter corresponds to the superposition of two fill-in patterns. Crude bounds – obtained by treating both patterns independently – can be improved by consideration of the correlations to tighter enclosures of the solution. The techniques described above have been implemented as an extension to the toolbox Analog Insydes, an add-on package to the computer algebra system Mathematica for modeling, analysis, and design of analog circuits. Reliable methods for the analysis of tolerance-affected analog circuits are of great importance in nowadays microelectronics. It is impossible to produce circuits with exactly those parameter specifications proposed in the design process. Such component tolerances will always lead to small variations of a circuit’s properties, which may result in unexpected behaviour. If lower and upper bounds to parameter variations can be read off the manufacturing process, interval arithmetic naturally enters the circuit analysis area. This paper focuses on the frequency-response analysis of linear analog circuits, typically consisting of current and voltage sources as well as resistors, capacitances, inductances, and several variants of controlled sources. These kind of circuits are still widely used in analog circuit design as equivalent circuit diagrams for representing in certain application tasks Interval methods have been applied to analog circuits before. But yet this was restricted to circuit equations only, with no interdependencies between the matrix elements. But there also exist formulations of analog circuit equations containing dependent terms. Hence, for an efficient application of interval methods, it is crucial to regard possible dependencies in circuit equations. Part and parcel of this strategy is the handling of fill-in patterns for those parameters related to uncertain components. These patterns are used in linear circuit analysis for efficient equation setup. Such systems can efficiently be solved by successive application of the Sherman-Morrison formula. The approach can also be extended to complex-valued systems from frequency domain analysis of more general linear circuits. Complex values result here from a Laplace transform of frequency-dependent components like capacitances and inductances. In order to apply interval techniques, a real representation of the linear system of equations can be used for separate treatment of real and imaginary part of the variables. In this representation each parameter corresponds to the superposition of two fill-in patterns. Crude bounds – obtained by treating both patterns independently – can be improved by consideration of the correlations to tighter enclosures of the solution. The techniques described above have been implemented as an extension to the toolbox Analog Insydes, an add-on package to the computer algebra system Mathematica for modeling, analysis, and design of analog circuits.

Monolithic fluid-structure interaction (FSI) of blood flow with arterial walls is considered, making use of sophisticated nonlinear wall models. These incorporate the effects of almost incompressibility as well as of the anisotropy caused by embedded collagen fibers. In the literature, relatively simple structural models such as Neo-Hooke are often considered for FSI with arterial walls. Such models lack, both, anisotropy and incompressibility. In this paper, numerical simulations of idealized heart beats in a curved benchmark geometry, using simple and sophisticated arterial wall models, are compared: we consider three different almost incompressible, anisotropic arterial wall models as a reference and, for comparison, a simple, isotropic Neo-Hooke model using four different parameter sets. The simulations show significant quantitative and qualitative differences in the stresses and displacements as well as the lumen cross sections. For the Neo-Hooke models, a significantly larger amplitude in the in- and outflow areas during the heart beat is observed, presumably due to the lack of fiber stiffening. For completeness, we also consider a linear elastic wall using 16 different parameter sets. However, using our benchmark setup, we were not successful in achieving good agreement with our nonlinear reference calculation.

In dieser Arbeit wird mathematisches Papierfalten und speziell 1-fach-Origami im universitären Kontext untersucht. Die Arbeit besteht aus drei Teilen. Der erste Teil ist im Wesentlichen der Sachanalyse des 1-fach-Origami gewidmet. Im ersten Kapitel gehen wir auf die geschichtliche Einordnung des 1-fach-Origami, betrachten axiomatische Grundlagen und diskutieren, wie das Axiomatisieren von 1-fach-Origami zum Verständnis des Axiomenbegriffs beitragen könnte. Im zweiten Kapitel schildern wir das Design der zugehörigen explorativen Studie, beschreiben unsere Forschungsziele und -fragen. Im dritten Kapitel wird 1-fach-Origami mathematisiert, definiert und eingehend untersucht. Der zweite Teil beschäftigt sich mit den von uns gestalteten und durchgeführten Kursen »Axiomatisieren lernen mit Papierfalten«. Im vierten Kapitel beschreiben wir die Lehrmethodik und die Gestaltung der Kurse, das fünfte Kapitel enthält ein Exzerpt der Kurse. Im dritten Teil werden die zugehörigen Tests beschrieben. Im sechsten Kapitel erläutern wir das Design der Tests sowie die Testmethodik. Im siebten Kapitel findet die Auswertung ebendieser Tests statt., In this manuscript, mathematical paper folding and specifically 1-fold origami is studied in a university context. The thesis consists of three parts. The first part is mainly devoted to the factual analysis of 1-fold origami. In the first chapter, we elaborate on the historical development of 1-fold origami, consider axiomatic foundations, and discuss how axiomatizing 1-fold origami could contribute to the understanding of the concept of an axiom. In the second chapter, we describe the design of the related exploratory study, describe our research objectives and questions. In the third chapter, 1-fold origami is mathematized, defined, and explored in depth. The second part focuses on the courses with the title "Learning how to axiomatize through paperfolding" which we designed and conducted. In the fourth chapter we describe the teaching methodology and the design of the courses, and the fifth chapter contains an excerpt of the courses. In the third part we describe the associated tests. In the sixth chapter we explain the design of the tests as well as the testing methodology. In the seventh chapter, the evaluation of these tests is carried out.

Ausgangspunkt dieser Arbeit war eine Publikation von D. Braess [Bra01], in der die Approximationsgüte der Funktionen $$ \frac{1}{((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2)^s}, \qquad x_0^2 + y_0^2 \ge 1, \quad s \in (0,\infty),$$ auf der Einheitskreisscheibe $x^2+y^2 \le 1$ durch reelle Polynome untersucht wurde. Braess's Ergebnisse und insbesondere die von ihm angesprochenen offenen Probleme waren von besonderem Interesse, da sie Anlaß zu der Vermutung gaben, dass die klassische Theorie der ``Maximalen Konvergenz'' in Sinne von Walsh auf (zunächst) die oben erwähnten reell analytischen Funktionen erweitert werden kann. (Die Theorie der Maximalen Konvergenz bringt die Approximationsgüte einer Funktion auf einer kompakten Menge durch Polynome mit der Analyzität dieser Funktion in Verbindung.) \\ Hauptgegenstand der Arbeit ist die Erweiterung des klassischen ``Maximalen Konvergenz''--Konzeptes auf reell analytische Funktionen in höheren Dimensionen. Es werden verschiedene maximale Konvergenzsätze sowohl in einer als auch in mehreren Veränderlichen bewiesen. \\ Die Arbeit gliedert sich in drei Hauptteile. \\[2mm] Im ersten Teil wird der theoretische Hintergrund der ``Maximalen Konvergenz'' mit dem Problemkreis von Braess in Zusammenhang gebracht. Es wird gezeigt, dass für betrags-quadratisch holomorphe Funktionen folgender Satz gilt: \\ { \bf {Satz 1}}: Es sei $g$ eine holomorphe Funktion auf der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe $\overline{\mathbb{D}}:=\{ z \in \mathbb{C} : |z| \le 1\}$ und $F(x,y):= |g(x+iy)|^2$, $x,y \in \mathbb{R}$. Dann gilt: $$ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{E_n ( \overline{\mathbb{D}},F)} = \frac{1}{\rho}$$ genau dann, wenn $g$ auf $ \{ z \in \mathbb{C} : |z| < \rho \}$ holomorph ist, aber auf keiner echt gr\"o\3eren Kreisscheibe, wobei $$ E_n ( \overline{\mathbb{D}},F)= \inf \{ ||F -P_n||_{\overline{\mathbb{D}}}, \, P_n: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \mbox{ Polynom vom Grad } \le n \}.$$ Dieser Satz beinhaltet nicht nur die Ergebnisse von Braess [Bra01], sondern erweitert ihn, und beantwortet die von Braess aufgeworfenen Fragen vollständig. Zudem zeigt der Satz die genaue Analogie des klassischen ``Maximalen Konvergenz''--Konzeptes für die Funktionenklasse der betrag--quadratisch holomorphen Funktionen im $\mathbb{R}^2$. \\[2mm] In der Literatur gibt es viele Verallgemeinerungen des ``Maximalen Konvergenz''--Begriffes für mehrere komplexe Veränderlichen. Im Hinblick auf die vorliegende Arbeit sind besonders die Artikel [Sic62] und [Sic81] zu erwähnen. Diese bereits bekannten Ergebnisse werden im zweiten Teil der Arbeit herangezogen, um den ``Maximalen Konvergenz''--Begriff auf mehrere reelle Veränderlichen zu erweitern. Man beachte, dass der entscheidende Unterschied hier in der polynomialen Approximationsklasse liegt. \\[2mm] Der dritte Teil befaßt sich mit der Verallgemeinerung des Satzes 1 in mehreren Veränderlichen. Eng verbunden mit diesem Problemkreis ist die Charakterisierung einer gewissen Extremalfunktion. Diese Funktion wird zur Bestimmung des Analyzitätsbereichs der zu approximierenden Funktion benötigt. Mittels geeigneter Darstellung der Extremalfunktion und Charakterisierung des Analyzitätsbereichs gelingt es schließlich, den folgenden Hauptsatz der vorliegenden Arbeit zu beweisen:\\ { \bf { Satz 2}}: Es seien $g,h$ holomorphe Funktionen auf der abgeschlossenen Einheitskugel $\overline{\mathbb{D}}_N:=\{ z \in \mathbb{C}^N : |z| \le 1\}$ und $F(x,y):= g(x+iy) \overline{h(x+iy)}$, $x,y \in \mathbb{R}^N$. Dann gilt: $$ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{E_n ( \overline{\mathbb{D}}_N,F)} = \frac{1}{\rho}$$ genau dann, wenn $g,h$ auf ${\mathbb{D}}_{N,\rho}:= \{ z \in \mathbb{C}^N : |z| < \rho \}$ holomorph sind, und mindestens eine der zwei Funktionen $g,h$ auf keinem echt gr\"o\3eren Ball als $\mathbb{D}_{N,\rho}$ holomorph fortsetzbar ist. Hierbei bezeichnet $$ E_n ( \overline{\mathbb{D}}_N,F)= \inf \{ ||F -P_n||_{\overline{\mathbb{D}}_N}, \, P_n: \mathbb{R}^{2N} \to \mathbb{C} \mbox{ Polynom vom Grad } \le n \}.$$ $[$Bra01$]$ Braess, D., {\it Note on the Approximation of Powers of the Distance in Two-Dimensional Domains}, Constructive Approximation (2001), {\bf 17} No. 1, 147-151. \\ $[$Sic62$]$ Siciak, J., {\it On some extremal functions and their applications in the theory of analytic functions of several complex variables}, Trans. Amer. Math. Soc. (1962), {\bf 105}, 322--357. \\ $[$Sic81$]$ Siciak, J., {\it Extremal plurisubharmonic functions in $\mathbb{C}^N$}, Ann. Pol. Math. (1981), {\bf 39}, 175--211., The starting point for this work was a paper published by D. Braess [Bra01] in the year 2001. There the author studied the approximation behaviour of the functions $$ \frac{1}{((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2)^s}, \qquad x_0^2 + y_0^2 \ge 1, \quad s \in (0,\infty),$$ by real valued polynomials on the closed unit disk $x^2+y^2 \le 1$. Braess's results and in particular his questions posed in [Bra01] were of interest as they give rise to ask if the classical theory of ``Maximal Convergence'' introduced by Walsh may be extended to a certain class of real analytic functions, which includes the functions mentioned above. ( The theory of maximal convergence connects the approximation behaviour of a function by polynomials on a compact set with the analyticty of this function.)\\ The main subject of this paper is the extension of the classical ``Maximal Conver\-gence''--concept to real analytic functions in higher dimensions. Several maximal convergence theorems in one as well as in higher dimensions will be proved. The work is divded into three main parts. \\[2mm] The first part links the theoretical background of the ``Maximal Convergence''--concept to Braess's approximation topic. The following theorem will be proved for holomorphic functions of squared modulus type:\\ { \bf {Theorem 1}}: Let $g$ be a holomorphic function on the closed unit disk $\overline{\mathbb{D}}:=\{ z \in \mathbb{C} : |z| \le 1\}$ and let $F(x,y):= |g(x+iy)|^2$, $x,y \in \mathbb{R}$. Then $$ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{E_n ( \overline{\mathbb{D}},F)} = \frac{1}{\rho}$$ if and only if $g$ is holomorphic on $ \{ z \in \mathbb{C} : |z| < \rho \}$, but on no larger disk containing $\overline{\mathbb{D}} $, where $$ E_n ( \overline{\mathbb{D}},F)= \inf \{ ||F -P_n||_{\overline{\mathbb{D}}}, \, P_n: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \mbox{ polynomial of degree } \le n \}.$$ This theorem doesn't only generalize Braess's results [Bra01], but also solves Braess's open problems. Furthermore, it shows the extension of the classical ``Maximal convergence''--concept to the class of functions of squared modulus type in $\mathbb{R}^2$ . \\[2mm] In the literature there are several generalizations of the ``Maximal Convergence''--term to several complex variables. In view of this work we like to point out the articles [Sic62], [Sic81] and [SZ01]. These known results are used to extend the ``Maximal Convergence''--concept to several real variables. Notice, the decisive difference is the approximation class.\\[2mm] The third part handles the generalization of Theorem 1 to higher dimensions. In this context the characterization of a certain extremal function plays an important rule. This function is used to determine the domain $G$ on which the approximating function can be continued analytically. A special description of $G$ and an explicit representation of the extremal function are the nub to prove the main theorem of this thesis:\\ { \bf { Theorem 2}}: Let $g,h$ be holomorphic functions on the closed unit ball $\overline{\mathbb{D}}_N:=\{ z \in \mathbb{C}^N : |z| \le 1\}$ and let $F(x,y):= g(x+iy) \overline{h(x+iy)}$, $x,y \in \mathbb{R}^N$. Then $$ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{E_n ( \overline{\mathbb{D}}_N,F)} = \frac{1}{\rho}$$ if and only if $g,h$ are holomorphic on ${\mathbb{D}}_{N,\rho}:= \{ z \in \mathbb{C}^N : |z| < \rho \}$ and at least one of them has no holomorphic extension to any larger domain containing $\overline{\mathbb{D}}_N$, where $$ E_n ( \overline{\mathbb{D}}_N,F)= \inf \{ ||F -P_n||_{\overline{\mathbb{D}}_N} , \, P_n: \mathbb{R}^{2N} \to \mathbb{C} \mbox{ polynomial of degree } \le n \}.$$ $[$Bra01$]$ Braess, D., {\it Note on the Approximation of Powers of the Distance in Two-Dimensional Domains}, Constructive Approximation (2001), {\bf 17} No. 1, 147-151. \\ $[$Sic62$]$ Siciak, J., {\it On some extremal functions and their applications in the theory of analytic functions of several complex variables}, Trans. Amer. Math. Soc. (1962), {\bf 105}, 322--357. \\ $[$Sic81$]$ Siciak, J., {\it Extremal plurisubharmonic functions in $\mathbb{C}^N$}, Ann. Pol. Math. (1981), {\bf 39}, 175--211.\\ $[$SZ01$]$ Skiba, N., Zaharjuta, V. P., {\it Bernstein-Walsh theorems for harmonic functions in $\mathbb{R}^n$}, Isr. Math. Conf. Proc. (2001), {\bf 15}, 357-382.

Die Arbeit beschreibt eine umfassende Konzeption zur Behandlung von algorithmischer Graphentheorie im Unterricht unter Verwendung objektorientierter Datenstrukturen. Der Arbeit beigefügt ist eine CD,die eine Klassenbibliothek sowie eine Reihe von Programmen (Programmsystem Knotengraph mit Quelltexten) der Programmiersprache Delphi als auch Beispielgraphen enthält,mit deren Hilfe als didaktisch-methodische Werkzeuge entsprechende Unterrichtsreihen gestaltet werden können. Dieses Programmsystem zur Entwicklung und Demonstration von Algorithmen der Graphentheorie lässt sich unter drei verschiedenen didaktisch-methodischen Konzeptionen im Unterricht verwenden. Die Konzeption EWK ist ein Unterrichtswerkzeug,mit dessen Hilfe man sich bei der Programmierung von Graphenalgorithmen ausschließlich auf die wesentlichen mathematisch algorithmisch interessanten Aspekte konzentrieren kann,ohne sich in Einzelheiten der zeichnerischen Darstellung von Graphen verlieren zu müssen,aber trotzdem den Verlauf der Algorithmen grafisch komfortabel verfolgen kann.Die Konzeption CAKdient dazu die grundsätzliche Struktur eines objektorientierten Graphentyps auf der Grundlage von Objektlisten zu erarbeiten und gleichzeitig das objektorientierte Programmieren zu erlernen.Die dritte Konzeption DWK gestattet das selbstständige Entdecken der Prinzipien von (in der Updateversion über 50) Graphenalgorithmen durch Schüler anhand des Demo-oder Einzelschrittmodus des Programms Knotengraphs, so dass eine Beschreibung des Ablaufs durch die Schüler selber erstellt werden kann.Außerdem können mathematische Zusammenhänge in Graphen und Sätze der Graphentheorie selbstständig erkannt werden.Der Quelltext dient zugleich als Vorlage für zu entwickelnde Algorithmen der Konzeption EWK. Die Arbeit erörtert zunächst ausführlich didaktisch den Einsatz algorithmischer Graphentheorie im Unterricht sowie die Verwendung von objektorientierten Datenstrukturen und zeigt dann,wie die drei genannten Konzeptionen im Unterricht konkret methodisch eingesetzt werden können.Daran schließt sich eine ausführliche Beschreibung von Unterrichtsskizzen (mit problemorientiertem Einstiegsproblem,Verbalalgorithmus als auch kommentiertem Quelltext sowie Beispielgraphen) zu Themen der algorithmischen Graphentheorie sowie Problemen des Operations Research an.Im Anhang befindet sich u.a. eine Darstellung der für diese Arbeit neu entwickelten Objekt-Graphen-Datenstruktur. Ziel der Arbeit ist es,das Thema algorithmische Graphentheorie für den Schulunterricht didaktisch aufzubereiten und unter Bereitstellung von methodischen Werkzeugen verfügbar zu machen. The thesis presents a comprehensive approach as to how the algorithmic graph theory might be taught in schools using object-orientated data structures. Enclosed with the paper is a CD containing a object class library and a series of programmes ("Knotengraph" programme system including the source code) written in the Delphi programming language as well as some specimen graphs, which can be used by way of didactic-methodical tools to prepare appropriate material for lessons.There are three different didactic-methodical concepts for employing this programme system for developing and demonstrating algorithms used in the graph theory in the classroom. The EWK concept is a teaching tool with the help of which it is possible to programme graph algorithms while concentrating exclusively on the essential aspects that are interesting from the point of view of mathematical algorithms without becoming too deeply involved in a detailed graphical depiction of the graphs but which are nevertheless perfectly adequate for following visually the course of the algorithms.The CAKconcept serves to draw up the basic structure of an object-orientated type of graph based on lists of objects while simultaneously acquiring one's own object-orientated programming skills.The third concept,DWK, allows the pupils to discover the principles of (more than 50 in the updated version) graph algorithms autonomously using the demo or step-by-step mode of the Knotengraph programme system, thus enabling them to formulate a description of the process by themselves.They are also able to recognise mathematical relations expressed by the graphs and statements of the graph theory unaided.At the same time, the source code serves as a template for the algorithms to be developed along the lines of the EWK concept. To begin with, the paper presents a detailed didactic discussion on the introduction of the algorithmic graph theory in the classroom including the use of object-orientated data structures,followed by a description of methods for employing the three aforementioned concepts in actual lessons.Finally, it provides a detailed description of possible classroom scenarios (featuring initial comprehension problems,verbal algorithms and explanatory notes on the source code plus examples of graphs) covering topics connected with the algorithmic graph theory and problems of operations research.The appendix contains a brief outline of the object-graph data structure which was newly developed for this paper. It is the object of this thesis to draw up a suitable didactic model of the algorithmic graph theory for teaching the topic in schools and to make it available along with appropriate methodical tools. Datei d070202.pdf = Text der Dissertation Datei d070202a.zip = CD-Beilage I - die Programme Datei d070202a.pdf = CD-Beilage II - Quelltexte zu den Programmen, Lösungen, Beschreibungen Datei container.zip = komprimierte Zusammenstellung aller Dateien

The second paper of this series presents two robust entropy stable shock-capturing methods for discontinuous Galerkin spectral element(DGSEM)discretizations of the compressible magneto-hydrodynamics (MHD) equations. Specifically, we use the resistive GLM-MHD equations, which include a divergence cleaning mechanism that is based on a generalized Lagrange multiplier (GLM). For the continuous entropy analysis to hold, and due to the divergence-free constraint on the magnetic field, the GLM-MHD system requires the use of non-conservative terms, which need special treatment. Hennemann et al. ["A provably entropy stable subcell shock capturing approach for high order split form DG for the compressible Euler equations". JCP, 2020] recently presented an entropy stable shock-capturing strategy for DGSEM discretizations of the Euler equations that blends the DGSEM scheme with a subcell first-order finite volume (FV) method. Our first contribution is the extension of the method of Hennemann et al. to systems with non-conservative terms, such as the GLM-MHD equations. In our approach, the advective and non-conservative terms of the equations are discretized with a hybrid FV/DGSEM scheme, whereas the visco-resistive terms are discretized only with the high-order DGSEM method. We prove that the extended method is entropy stable on three-dimensional unstructured curvilinear meshes. Our second contribution is the derivation and analysis of a second entropy stable shock-capturing method that provides enhanced resolution by using a subcell reconstruction procedure that is carefully built to ensure entropy stability. We provide a numerical verification of the properties of the hybrid FV/DGSEM schemes on curvilinear meshes and show their robustness and accuracy with common benchmark cases, such as the Orszag-Tang vortex and the GEM (Geospace Environmental Modeling) reconnection challenge. Finally, we simulate a space physics application: the interaction of Jupiter's magnetic field with the plasma torus generated by the moon Io.

The purpose of this paper is to supply a summary of library subroutines and functions for parallel MIMD computers. The subroutines have been developed at the University of Chemnitz during a period of the last five years. In detail, they are concerned with vector operations, inter-processor communication and simple graphic output to workstations. One of the most valuable features is the machine-independence of the communication subroutines proposed in this paper for a hypercube topology of the parallel processors (excepting a kernel of only two primitive system-dependend operations). They were implemented and tested for different hardware and operating systems including transputer, nCube, KSR, PVM. The vector subroutines are optimized by the use of C language and enrolled loops (BLAS1-like). The paper includes hints for using the libraries with both Fortran and C programs.

The paper deals with tau-extrapolation - a modification of the multigrid method, which leads to solutions with an improved con- vergence order. The number of numerical operations depends linearly on the problem size and is not much higher than for a multigrid method without this modification. The paper starts with a short mathematical foundation of the tau-extrapolation. Then follows a careful tuning of some multigrid components necessary for a successful application of tau-extrapolation. The next part of the paper presents numerical illustrations to the theoretical investigations for one- dimensional test problems. Finally some experience with the use of tau-extrapolation for the Navier-Stokes equations is given.

The World Wide Web (WWW) has experienced great growth as a value-added service of the internet during the last years. Itis used by many companies as a medium for marketingpurposes. Electronical marketing allows many possibilities: These areillustrated in the following paper. It also differs greatly in comparison to marketing in the traditional media.Pharma-marketing has many special aspects which are particular to this branch. In comparison to other industrial branchesthere are many legal aspects which influence marketing andmarket-strutures in the field of medicine. The target groups ofphara-marketing are heterogeneous.It is aim of this paper to discuss the overlapping of both marketing areas. To what extent the possibilities of electronicalmarketing are of signifigance for pharma companies will be discussed. The realization of pharma-marketing in World WideWeb will also be introduced. Further, potential changes in the structures of sales and communication of the pharma market, asa possible result of marketing in the World Wide Web will be discussed.

Im vorliegenden Paper wird eine Studie dargestellt, in der das kollaborative Informationssucherverhalten (Collaborative Information Seeking, kurz: CIS) zwischen Generationen untersucht wurde. In Teams von zwei Personen sollten die Suchgruppen eine Reise planen und dafür im Internet nach Reiseinformation recherchieren. Anhand der Forschungsfrage: „Wie wird die kollaborative Informationssuche zwischen unterschiedlichen Generationen durchgeführt?“ fand eine qualitative Studie statt, in welcher die Organisation und das generelle Vorgehen bei der Suche beobachtet wurden. Im Fokus standen dabei das Rollenverhalten der Beteiligten und die Frage danach, ob eine Person eine leitende Position während der Suche einnimmt. Die Suche und Zusammenarbeit wurden zu diesem Zweck mittels Videos aufgenommen und nachfolgend analysiert. Im Anschluss partizipierten die Testpersonen in leitfadengestützten Gruppeninterviews. Die Ergebnisse deuten in allen Teams auf einen ähnlichen Ablauf der gemeinsamen Suche hin. Eine Leitungsfunktion war nur bedingt zu beobachten, wobei die Testpersonen jedoch spezifische Rollen während der Suche eingenommen haben., Session 4: Information Retrieval

This volume contains the papers presented at the International Conference on Theory and Practice: An Interface or A Great Divide? and held from August 4-9, 2019 at Maynooth University, Kildare, Ireland. The Conference was organized by The Mathematics Education for the Future Project – an international educational project founded in 1986 and dedicated to innovation in mathematics, statistics, science and computer education world-wide.

Mit Urteil vom 3. Juli 2008 erteilte das Bundesverfassungsgericht dem Bundestag den Gesetzgebungsauftrag, die als grundgesetzwidrig erkannten negativen Stimmgewichte aus dem Bundeswahlgesetz zu entfernen. Der Aufsatz entwickelt eine neue Reparaturoption, die direktmandatsorientierte Proporzanpassung. Das Verfahren ist frei von den verfassungswidrigen negativen Stimmgewichten und erscheint als direkte Fortschreibung des alten Wahlsystems. Es ist eine mit der Personenwahl verbundene Verhältniswahl und es bewahrt das Zweistimmen-System. Es garantiert jedem Wahlkreissieger das Direktmandat und es gewährleistet einheitliche Erfolgswertgleichheit der Zweitstimmen im gesamten Wahlgebiet. In its decision of 3 July 2008 the German Federal Constitutional Court called upon the Bundestag to amend the Federal Election Act (Bundeswahlgesetz) in order to dispose of negative voting weights. The paper presents a novel repair option, the direct-seat oriented proportional fit. The procedure is devoid of negative voting weights and appears as a straightforward adaptation of the old electoral system. It is a proportional representation method combined with the election of persons and it retains the two-ballot system. It guarantees each plurality winner in a constituency a direct seat and it preserves equal success values of list votes (Zweitstimmen) throughout the whole electoral region.

Every holomorphic self-map of a complex torus corresponds to a translation of a unique endomorphism whose number of fixed-points equals the one of the original function. In this dissertation one asks for the asymptotic behaviour of the number of fixed-points, i.e., one studies how the number of fixed-points behaves when an endomorphism is iterated. Using the Holomorphic Lefschetz Fixed-Point Formula, three possible and in fact occurring types of the fixed-point behaviour on two-dimensional complex tori are determined. The endomorphism algebras of simple abelian varieties of arbitrary dimension are entirely classified. In terms of the concrete structure of an endomorphism on a simple abelian variety of arbitrary dimension and by use of a second version of the Holomorphic Lefschetz Fixed-Point Formula, criteria are developed in this thesis to determine the exact behaviour of the number of fixed-points for the iterated endomorphism. The eigenvalues of the endomorphisms are important for these results. Further, they also determine the spectral radius of the action on the cohomology groups induced by the endomorphism which defines the entropy of the endomorphism. Therefore, criteria are given in this paper to decide whether the entropy of an endomorphism is zero or positive. Afterwards, the questions about the asymptotic behaviour of the number of fixed-points are answered for endomorphisms and automorphisms on K3 surfaces and Kummer varieties., Jede holomorphe Selbstabbildung auf einem komplexen Torus entspricht der Translation eines eindeutigen Endomorphismus, der dieselbe Fixpunktanzahl wie die Ausgangsfunktion hat. In dieser Dissertation wird nach dem asymptotischen Verhalten der Fixpunktanzahl gefragt, d.h., es wird das Verhalten der Fixpunktanzahl untersucht, wenn ein Endomorphismus iteriert wird. Mithilfe der Holomorphen Lefschetz-Fixpunktformel werden die drei möglichen und tatsächlich auftretenden Typen des Fixpunktverhaltens auf zwei-dimensionalen komplexen Tori bestimmt. Die Endomorphismenalgebren einfacher abelscher Varietäten beliebiger Dimension sind vollständig klassifiziert. In Abhängigkeit der konkreten Gestalt eines Endomorphismus einer einfachen abelschen Varietät beliebiger Dimension werden in dieser Arbeit mithilfe einer zweiten Version der Holomorphen Lefschetz-Fixpunktformel Kriterien entwickelt, durch die auf das genaue Verhalten der Fixpunktanzahl unter Iteration geschlossen werden kann. Für diese Resultate sind die Eigenwerte der Endomorphismen von besonderer Bedeutung. Da diese zudem den Spektralradius der vom Endomorphismus induzierten Wirkung auf den Kohomologiegruppen bestimmen, wodurch die Entropie des Endomorphismus definiert ist, werden weiter Kriterien angegeben, durch die entschieden werden kann, ob die Entropie eines Endomorphismus Null oder positiv ist. Die Fragen zum asymptotischen Verhalten der Fixpunktanzahl werden anschließend auch für Endomorphismen und Automorphismen von K3-Flächen und Kummer-Varietäten beantwortet.

Um konzeptuelles Wissen aufzubauen, können digitale Werkzeuge einen entscheidenden Beitrag leisten. Hierbei ist auch in den Blick zu nehmen, dass durch den Einsatz solcher Werkzeuge neue Aspekte verstärkt in den Fokus rücken, die in einem technologiefreien Unterricht weniger prominent sind. Hierzu zählt zum Beispiel der Aspekt der Achsenskalierung. Im Beitrag wird anhand linearer Funktionen exemplarisch aufgezeigt, wie das Thema „Achsenskalierung“ in einem technologiegestützen Unterricht adäquat berücksichtigt werden kann. Hierzu wird eine Lernumgebung vorgestellt, welche tragfähige Vorstellungen in diesem Bereich enwtickelt und so die Arbeit mit digitalen Werkzeugen integrativ unterstützt., Technology can foster students’ conceptual knowledge when learning mathematics. However it is important to be aware that new aspects and misconceptions may have to be taken care of. In this paper we focus on the problem of a poor understand of the concept of coordinate systems when working with functions. We construct a structured learning environment that promotes a thorough understanding and conceptual understanding of the concept of scale with the support of technology.

Trotz der nachweislichen Popularität des Entdeckenden Lernens in der deutschsprachigen Mathematikdidaktik finden sich aktuell keine kritischen Beiträge, die dazu beitragen könnten, dieses grundlegende Unterrichtskonzept zu hinterfragen und auszuschärfen. In diesem Diskussionsbeitrag werden zunächst die Theorie und einige Umsetzungsbeispiele des Entdeckenden Lernens herausgearbeitet, um aufzuzeigen, dass das Entdeckende Lernen einem vagen Sammelbegriff gleicht, unter dem oft fragwürdige Unterrichtsumgebungen legitimiert werden. Anschließend werden an Hand erkenntnistheoretischer, lerntheoretischer, didaktischer und soziokultureller Betrachtungen Probleme des Entdeckenden Lernens im Mathematikunterricht und Möglichkeiten ihrer Überwindung thematisiert. Dabei zeigt sich, dass die Konzeption des Entdeckenden Lernens hinter dem aktuellen mathematikdidaktischen Erkenntnisstand zurückfällt und Lehrer sowie Schüler mit unmöglichen Forderungen konfrontiert, dass lerntheoretische Vorteile des Entdeckenden Lernens oft nicht nachweisbar sind, dass die Idee des Entdeckens auf einem problematischen platonistischen Verständnis von Erkenntnis beruht und dass Entdeckendes Lernen bildungsferne Schüler zu benachteiligen droht. Abschließend werden Forschungsdesiderata abgeleitet, deren Bearbeitung dazu beitragen könnte, die aufgezeigten Problemfelder zu überwinden. Despite the attested popularity of discovery learning in germanophone research on mathematics education, we contemporarily lack critical contributions which may contribute to questioning and sharpening this fundamental teaching concept. Here, in this discussion paper the theory and some implementations of discovery learning are being discussed in order to show that discovery learning constitutes a vague umbrella term, with which often questionable learning environments are being legitimised. Afterwards, it is outlined which objections from the perspectives of epistemology, learning theory, didactics and social theory may be brought forward against discovery learning in mathematics education, and how these objections may be overcome. Thereby it becomes obvious that the conception of discovery learning falls behind the current level of knowledge in mathematics education research and confronts teachers as well as students with impossible demands; that learning benefits of discovery learning often cannot be substantiated; that the idea of discovery rests on a problematic platonic understanding of insight; and that discovery learning threatens to disadvantage educationally alienated students. As a last point, research desiderata, whose study may contribute to the negotiation of the described obstacles, are deduced.

The paper is located on the border between physics, mathematics and philosophy (ontology). The latter is required to embed the dualistic by nature mathematics into a monistic metatheory. It is shown, that a consequent philosophical monism and an approach which starts from the origin of the universe imposes significant constraints on a physical Theory-of-Everything. This may be helpful for finding such a theory. A philosophical system that is monistic and at the same time structured clear enough to be compatible with mathematical thinking is the Hegelian dialectic logic. With the aid of this logic the necessary existence of a causal chain embedded in the general, unconditional and timeless being is proved constructively. In the causal chain our entire reality is coded. It is termed by Hegel as determinate being in contrast to being. The chain has a beginning, representing the birth of the universe (big bang) and the beginning of time. It is isomorphic to the natural numbers. The half-ring structure of the natural numbers induces a secondary causal network. Thus the ontological approach results in a special version of the theory or causal sets. The causal network is topologically homeo-morphic to an infinite dimensional Minkowski cone. Each prime number corresponds to a dimension. Hypothetical small 'bumps” of 4D spacetime (Brane) in the direction of the extra dimensions of the Minkowski manifold mean topological defects, which can be interpreted as curvature of spacetime. This means a bridge to the general theory of relativity. On the other hand, the bumps may be interpreted as objects with which one can handle similar to the strings in string theory. Die Arbeit bewegt sich im Grenzgebiet zwischen Physik, Mathematik und Philosophie (Ontologie). Letztere wird benötigt, um die vom Wesen her dualistische Mathematik in eine monistische Metatheorie einzubetten. Es wird gezeigt, dass ein konsequenter philosophischer Monismus und ein Denken vom Ursprung des Universums her einer physikalischen Theorie-von-Allem erhebliche Randbedingungen auferlegen. Für das Auffinden einer solchen Theorie kann das hilfreich sein. Ein philosophisches System, dass monistisch ist und zugleich klar genug strukturiert um mit der mathematischen Denkweise kompatibel zu sein ist die Hegelsche dialektische Logik. Unter Zuhilfenahme dieser Logik wird die notwendige Existenz einer in das allgemeine, unbedingte und zeitlose Sein eingebetteten, aber vom Chaos dieses Seins unbeeinflussten kausalen Kette konstruktiv bewiesen. In dieser kausalen Kette ist unsere gesamte Realität codiert, von Hegel als Dasein im Gegensatz zum Sein bezeichnet. Die Kette hat einen Anfang, der den Anfang des Universums und den Anfang der Zeit darstellt. Sie ist isomorph zu den natürlichen Zahlen. Deren Halbring-Struktur induziert ein sekundäres kausales Netzwerk. Somit ist das Ergebnis der ontologischen Herangehensweise eine spezielle Version der Theorie der kausalen Mengen. Das Netzwerk ist topologisch homöomorph ist zu einem unendlich dimensionalen Minkowski-Kegel. Jeder Primzahl entspricht eine Dimension. Hypothetische kleine „Ausbeulungen“ oder „Bumps“ der 4D-Raumzeit (Brane) in Richtung der Extradimensionen der Minkowski-Mannigfaltigkeit bedeuten topologische Baufehler, die sich als Krümmung der Raumzeit interpretieren lassen und eine Brücke zur allgemeinen Relativi-tätstheorie darstellen. Auf der anderen Seite lassen sich die Ausbeulungen der Brane als Objekte deuten, mit denen man ähnlich umgehen kann wie mit den Strings der Stringtheorie.

In recent papers, Wied and his coauthors have introduced change-point procedures to detect and estimate structural breaks in the correlation between time series. To prove the asymptotic distribution of the test statistic and stopping time as well as the change-point estimation rate, they use an extended functional Delta method and assume nearly constant expectations and variances of the time series. In this thesis, we allow asymptotically infinitely many structural breaks in the means and variances of the time series. For this setting, we present test statistics and stopping times which are used to determine whether or not the correlation between two time series is and stays constant, respectively. Additionally, we consider estimates for change-points in the correlations. The employed nonparametric statistics depend on the means and variances. These (nuisance) parameters are replaced by estimates in the course of this thesis. We avoid assuming a fixed form of these estimates but rather we use "blackbox" estimates, i.e. we derive results under assumptions that these estimates fulfill. These results are supplement with examples. This thesis is organized in seven sections. In Section 1, we motivate the issue and present the mathematical model. In Section 2, we consider a posteriori and sequential testing procedures, and investigate convergence rates for change-point estimation, always assuming that the means and the variances of the time series are known. In the following sections, the assumptions of known means and variances are relaxed. In Section 3, we present the assumptions for the mean and variance estimates that we will use for the mean in Section 4, for the variance in Section 5, and for both parameters in Section 6. Finally, in Section 7, a simulation study illustrates the finite sample behaviors of some testing procedures and estimates.

Eine wichtige Fragestellung in den Wirtschaftswissenschaften ist die Bewertung von Zahlungsströmen mit dem Barwert. Sind diese Zahlungsströme mit Risiken behaftet, so kann der Barwert als Zufallsvariable interpretiert werden. In der vorliegenden Arbeit wird der risikobehaftete Zahlungsstrom als bewertete inhomogene Markov-Kette modelliert. Als Hauptergebnis wird eine Formel für die charakteristische Funktion bzw. die momentenerzeugende Funktion der Zufallsvariablen „Barwert“ hergeleitet. Damit ist die Verteilung der Zufallsvariablen eindeutig festgelegt. In konkreten Fallbeispielen wird gezeigt, wie man mit einer EDV-technischen Umsetzung der Formel den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung der Zufallsvariablen „Barwert“ ermitteln kann. An important question in economics and business is to evaluate cash flows by the present value. If the cash flows are not safe the present value can be interpreted as a random variable. In this paper, the unsafe cash flow will be modelled by a priced inhomogeneous Markov-Chain. The main result is a formula for the characteristic function resp. the moments generating function of the random variable “present value”. The characteristic function determinates unambiguously the distribution of the random variable. In specific case examples will be shown how to calculate the expected value, the variance and the standard deviation of the random variable “present value” by an IT-technical implementation of the formula.

Im Jahr 2006, in einem Papier in Compositio Titel "Bounds auf kanonische Green-Funktionen" J. Jorgenson und J. Kramer, haben optimale Schranken für den hyperbolischen und kanonischen Green-Funktionen auf einem kompakten hyperbolischen Riemannschen Fläche definiert abgeleitet. Diese Schätzungen wurden im Hinblick auf abgeleitete Invarianten aus hyperbolischen Geometrie der Riemannschen Fläche. Als Anwendung abgeleitet sie Schranken für die kanonische Green-Funktionen durch Abdeckungen und für Familien von Modulkurven. In dieser Arbeit erweitern wir ihre Methoden nichtkompakten hyperbolischen Riemann Oberflächen und leiten ähnliche Schranken für den hyperbolischen und kanonischen Green-Funktionen auf einem nichtkompakten hyperbolischen Riemannschen Fläche definiert. In 2006, in a paper in Compositio titled "Bounds on canonical Green''s functions", J. Jorgenson and J. Kramer have derived optimal bounds for the hyperbolic and canonical Green''s functions defined on a compact hyperbolic Riemann surface. These estimates were derived in terms of invariants coming from hyperbolic geometry of the Riemann surface. As an application, they deduced bounds for the canonical Green''s functions through covers and for families of modular curves. In this thesis, we extend their methods to noncompact hyperbolic Riemann surfaces and derive similar bounds for the hyperbolic and canonical Green''s functions defined on a noncompact hyperbolic Riemann surface.

Traditional models in multistage stochastic programming are directed to minimizing the expected value of random optimal costs arising in a multistage, non-anticipative decision process under uncertainty. Motivated by risk aversion, we consider minimization of the probability that the random optimal costs exceed some preselected threshold value. For the two-stage case, we analyse structural properties and propose algorithms both for models with integer decisions and for those without. Extension of the modeling to the multistage situation concludes the paper.

Impulsgraphen, sowie Kazhdan-Lusztig-Polynome, liegen an der Schnittstelle von algebraischer Kombinatorik, Darstellungstheorie und geometrischer Darstellungstheorie. Während die Kombinatorik der Kazhdan-Lusztig Theorie schon seit dem grundlegenden Artikel von Kazhdan und Lusztig (1979), das diese Polynome definiert, untersucht wurde, wurden Impulsgraphen noch nicht als kombinatorische Objekte betrachtet. Das Ziel dieser Arbeit ist, zuerst eine axiomatische Theorie über Impulsgraphen und Garben auf ihnen zu entwickeln und anschließend diese auf die Untersuchung einer fundamentalen Klasse von Impulsgraphen, nämlich die -regulären und parabolischen- Bruhat-Impulsgraphen, anzuwenden. Sie sind mit jeder symmetrisierbaren Kac-Moody Algebra verbunden und die zugehörigen Braden-MacPherson Garben beschreiben die projektiven unzerlegbaren Objekten der - regulären oder singulären- Kategorie O. Dies ist für uns der wichtigste Grund, zusammen mit ihrem inneren kombinatorischen Interesse, Bruhat-Impulsgraphen zu untersuchen. Im ersten Kapitel definieren und beschreiben wir die Kategorie der k-Impulsgraphen auf einem Gitter. Zentraler Punkt dieses Teils ist die Definition des Begriffs von Morphismus. Das zweite Kapitel ist über die Kategorie der Garben auf einem k-Impulsgraph. Wir definieren die Pullback und Push-Forward Funktoren und wir beweisen, dass sie gute Eigenschaften haben. Wie in der klassischen Garbentheorie ist der Pullback links-adjungiert zum Push-Forward. Außerdem zeigen wir, dass der Pullback eines Isomorphismus die wichtigste Klasse von Garben auf einem k-Impulsgraph, genauer die unzerlegbaren Braden-MacPherson Garben, erhält. Dieses Ergebnis wird ein grundlegendes Instrument im Kapitel 5 werden. Im folgenden Kapitel betrachten wir die Familie von Bruhat k-Impulsgraphen, die mit einer symmetrisierbaren Kac-Moody-Algebra verbunden sind. Das interessanteste Ergebnis des ersten Teils dieses Kapitels ist die Realisierung von parabolischen Bruhat-Impulsgraphen als Quotienten - im Sinne von Kapitel 1 - des regulären Bruhat-Impulsgraph. Im zweiten Teil des Kapitels untersuchen wir den affinen Fall. Insbesondere bekommen wir eine explizite Beschreibung von gewissen endlichen Intervallen des Bruhat-Impulsgraphs die zur affine Grassmannschen assoziiert sind. In Kapitel 4 verallgemeinern wir eine Kategorifizierung von Fiebig der Hecke-Algebra auf den parabolischen Fall. Der grundlegende Schritt ist die Definition eines involutiven Automorphismus der Strukturalgebra des parabolischen Bruhat-Impulsgraphen. In den letzten zwei Kapiteln kategorifizieren wir gewisse Eigenschaften der Kazhdan--Lusztig-Polynome durch Garben auf Impulsgraphen. Insbesondere werden die Ergebnisse aus Kapitel 5 über die Kombinatorik und Eigenschaften der unzerlegbaren Braden-MacPherson Garbe sowie die Aussagen aus Kapitel 1 über den Pullback Funktor angewendet. Der Beweis des Hauptergebnisses des Kapitels 6 ist ziemlich aufwendig und benutzt neben Ergebnissen von Fiebig die bis dahin entwickelten Techniken aus den vorherigen Kapiteln. Moment graphs, as well as Kazhdan-Lusztig polynomials, straddle the intersection of algebraic combinatorics, representation theory and geometric representation theory. While the combinatorial core of the Kazhdan-Lusztig theory has been investigated for thirty years, after the seminal paper of Kazhdan-Lusztig (1979) where these polynomials were defined, moment graphs have not yet been studied as combinatorial objects. The aim of this thesis is first to develop an axiomatic theory of moment graphs and sheaves on them and then to apply it to the study of a fundamental class of moment graphs: the -regular and parabolic- Bruhat (moment) graphs. They are attached to any symmetrisable Kac-Moody algebra and the associated indecomposable Braden-MacPherson sheaves describe the indecomposable projective objects in the corresponding deformed -regular or singular- category O. This is for us the most important reason to consider Bruhat graphs, together with their intrinsic combinatorial interest. In the first chapter, we define and describe the category of k-moment graphs on a lattice. The fundamental point of this part is the definition of the notion of morphism. The second chapter is about the category of sheaves on a k-moment graphs. We give the definition of the pullback and push-forward functors and we prove that they have nice properties. In particular, as in classical sheaf theory, the pullback ist left adjoint to the push-forward. Moreover, we show that the pullback of an isomorphism preserves the most important class of sheaves on a k-moment graph: the indecomposable Braden-MacPherson sheaves. This result will be a fundamental tool in Chapter 5. In the following chapter we study the family of Bruhat (k-moment) graphs associated to a simmetrisable Kac-Moody algebra. The most interesting result of the first part of this chapter is the realisation of parabolic Bruhat graphs as quotients - in the sense of Chapter 1- of the regular one. The second part of the chapter is devoted to the study of the affine case. In particular, we describe certain finite intervals of the Bruhat graph corresponding to the Affine Grassmannian in a very precise way. In Chapter 4 we generalise to the parabolic setting a categorification, due to Fiebig, of the Hecke algebra. The fundamental step is the definition of an involutive automorphism of the structure algebra of parabolic moment Bruhat graphs.

We motivate our studying on simulating thin film deposition processes that can be done by sputtering processes. In the last years, the research in producing high temperature films by depositing of low pressure processes have increased. Due to standard applications in deposing TiN and TiC, that are immense, recently also deposition with new material classes known as MAX-phases became be more and more important. The MAX-phase are nanolayered terniar metal-carbides or -nitrids, where M is a transition metal, A is an A-group element (e.g. Al, Ga, In, Si, etc.) and X is C (carbon) or N (nitrid). We present a particle tracking model for low temperature and low pressure plasma. Several collision models are presented for projectile and target collisions in order to compute the mean free path and the differential cross section (angular distribution of scattered projectiles) of the scattering process. The detailed description of collision models is of highest importance in Monte Carlo Simulations of high power pulsed magnetron sputtering and DC sputtering. We derive an equation for the mean free path for arbitrary interactions (cross sections) that include the relative velocity between the particles. We apply our results to two major interaction models: hard sphere interaction and Screened Coulomb interaction. Both types of interaction separates DC sputtering from HPPMS. Further investigations presented in this paper involve modifications of the scattering angle probability distribution due to initially moving background targets. In order to tackle this modification, an appropriate Monte-Carlo-Markov-Chain approach is proposed.

This paper shall be understood as an interdisciplinary attempt to combine mathematics, especially the field of Operations Research, with the dramatic theory and media science. The approach is to draw an analogy between a storyline and a dynamic program, described by Richard Bellman with all the needful restriction to draw the comparison. The intention of this approach is to obtain schemata, to describe and to control the process of script development in the dramatic arts.

This is a didactical paper, concerning sums of powers, Bernoulli-numbers and the Euler-sum-fomula. The appendix includes a Perl-program for calculating Bernoulli-numbers and the explicit values of the first 80 Bernoulli-numbers.

In this paper we consider the hypo-ellipticity of differential forms on a closed manifold.The main results show that there are some topological obstruct for the existence of the differential forms with hypoellipticity.

This paper presents the theoretical background of a phenomenological biphasic material approach at large strains based on the theory of porous media as well as its numerical realization within the context of an adaptive mixed finite element formulation. The study is aimed at the simulation of coupled multiphysics problems with special focus on biomechanics. As the materials of interest can be considered as a mixture of two immiscible components (solid and fluid phases), they can be modeled as saturated porous media. For the numerical treatment of according problems within a finite element approach, weak formulations of the balance equations of momentum and volume of the mixture are developed. Within this context, a generalized Lagrangean approach is preferred assuming the initial configuration of the solid phase as reference configuration of the mixture. The transient problem results in weak formulations with respect to the displacement and pore pressure fields as well as their time derivatives. Therefore special linearization techniques are applied, and after spatial discretization a global system for the incremental solution of the initial boundary value problem within the framework of a stable mixed U/p-c finite element approach is defined. The global system is solved using an iterative solver with hierarchical preconditioning. Adaptive mesh evolution is controlled by a residual a posteriori error estimator. The accuracy and the efficiency of the numerical algorithms are demonstrated on a typical example.

Der Beitrag analysiert die Beziehung zwischen der epistemologischen Struktur mathematischen Wissens und dem Lernen von Mathematik im alltäglichen Unterricht. Im ersten Abschnitt wird thesenartig eine erkenntnistheoretische Perspektive auf die Schulmathematik entwickelt, mit deren Hilfe im zweiten Abschnitt eine transkribierte Unterrichtsepisode analysiert wird. Ein wichtiges Ergebnis ist, dass der Lehrer gemäß seines "fertigen" mathematischen Wissens den Unterrichtsablauf linear und deduktiv zu organisieren versucht; demgegenüber zeigt sich in den Äußerungen der noch "unwissenden" Schüler, dass der Erwerb neuen mathematischen Wissens essentiell die Reflektion begrifflicher Beziehungen erfordert und sich nicht in der Aneignung automatisierter Regeln erschöpfen kann. The paper analyzes the relation between the epistemological structure of mathematical knowledge and the learning of mathematics in everyday teaching. In the first part an epistemological perspective towards school mathematics is developed for supporting the analysis of a transcribed teaching episode in the second part. An important result of this analysis shows that the teacher tries to organize according to his "ready made" mathematical knowledge a linear and deductive course of teaching; on the other hand, the remarks made by the still "unlearned" students indicate that the appropriation of new mathematical knowledge essentially requires the reflection of conceptual relations and cannot simply be reduced to the use of automatized rules.

This paper discusses the possibility to use and apply the ideas of theWave BasedMethod, which has been developed especially for the steady–state acoustic areas, i.e. to solve the Helmholtz type boundary value problems in a bounded domain, in non–acoustics areas such as steady–state temperature propagation, calculation of the velocity potential function of a liquid flux, calculation of the light irradience in a liver tissue/tumor, etc.

Wir stellen ein ausformuliertes Unterrichtsvorhaben zum Thema Kegel und höhere algebraische Kurven vor, das eine bei lehrer-online einsehbare Unterrichtseinheit vertieft und erweitert. Ausgehend von einer Reihe realer Papierkegel unterschiedlicher Öffnungswinkel werden die Schüler auf den nicht-linearen Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Kegels und seinem Öffnungswinkel geführt. Dieser Aspekt taucht in der algebraischen Herleitung der entsprechenden Formel wieder auf. In einer Kurvendiskussion zeigen sich bereits interessante Ergebnisse. Durch Spiegelung das Graphen der Volumenfunktion an den Koordinatenachsen entsteht eine Kurve, die im Weiteren zur Tschirnhaus-Kubik führt. Über die Kegelschnitte kommt der Schüler von der Parabel zurück zu seinem Ausgangskörper – dem Kegel. We present an out written concept for mathematical instruction lessons concerning cones and higher algebraic curves, deepening and broadening a unit drafted at lehrer-online. Starting with a row of real paper cones with different opening angles, the students are led to the non linear relation between the volume of the cone and its opening angle. This aspect again shows up in the algebraic deduction of the corresponding formula. By curve sketching the first interesting aspects can be seen. From reflection of the graph corresponding to the volume function at the coordinate axis a curve evolves, which leads to the Tschirnhaus-cubic further on. By the conic section the students arrives back at the starting solid – the cone.

Mit der vorliegenden Arbeit wurde ein Konzept zur differenzierten Beurteilung und Rückmeldung mathematischer Kompetenzen entwickelt und exemplarisch erprobt. Damit liegt ein Beurteilungskonzept vor, dass fachdidaktischen Anforderungen an einen kompetenzorientierten Mathematikunterricht genügt aber auch alltagstauglich ist. Es erlaubt dem Lehrer seinen Schülern ihre Stärken und Schwächen bei der Bearbeitung mathematischer Aufgaben differenziert und konkret aufzuzeigen und Hinweise zum selbständigen Lernen zu geben. Die Differenzierung in die vier Kompetenzbereiche darstellend-interpretativ, heuristisch-experimentell, formal-operativ und kritisch-argumentativ spiegelt fachdidaktische Zielsetzungen an den Mathematikunterricht wider. Das mathematische Grundwissen bildet als Grundlage der Ausprägung von Kompetenzen die fünfte Beurteilungskomponente. Für den spezifischen Zweck der differenzierten Beurteilung wurde ein Aufgabenanalyseinstrument entwickelt. Dieses vereint Kriterien an Aufgaben zum Leisten, allgemeine Kriterien der Aufgabenqualität und Kriterien verbunden mit der Anregung vielseitiger mathematischer Kompetenzen. Darüber hinaus werden kompetenzspezifische Anforderungen beschrieben. Die Beurteilung der bei der Aufgabenbearbeitung dargelegten Kompetenzen erfolgt durch kompetenz- und aufgabenspezifische Beurteilungskriterien. Individuelle Rückmeldungsbögen enthalten für die erfassten Kompetenzen kriterienorientierte Beurteilungen und lernfördernde Hinweise. Bei der exemplarischen Erprobung des Konzeptes in drei mathematisch profilierten Klassen zeigten sich unterschiedliche Leistungsverteilungen für die einzelnen Kompetenzbereiche. Es wurden zum einen Stärken und Schwächen der Schüler deutlich. Zum anderen zeigten aufgabenabhängige Unterschiede innerhalb der Kompetenzbereiche, dass die Kompetenzdarlegungen von der Art der Aufgabe oder vom speziellen angesprochenen Inhalt abhängen. In einer weiteren Untersuchung wurden die mit einer Aufgabe intendierten Aktivitäten den tatsächlich ausgeführten gegenübergestellt. Aus der Umsetzung verschiedener Aufgaben wurden Hinweise zur Aufgabengestaltung für die differenzierte Beurteilung im Mathematikunterricht abgeleitet. With the presented paper a concept of differentiated assessment and feedback of mathematical competencies was developed and exemplary tested. It allows the teacher to show his students in a differentiated and task-bounded way their strong and weak points connected with recommendations for independent learning. The differentiation in descriptive, heuristic, formal and argumentative competencies reflects didactically goals for mathematical lessons. Any development and demonstration of competencies is only possible if the necessary knowledge is available. For this reason the mathematical knowledge is another important element of competence-orientated assessment. To choose and construct tasks for the differentiated assessment an analysis instrument was developed. It includes criterions on tasks for testing, general criterions on task quality and the claim to stimulate various mathematical activities. In addition the analysis instrument describes properties of competence specific claims. For a transparent and objective assessment of ambitious competencies like arguing or problem solving competence and task specific criterions of assessment were prepared. Individual feedback-sheets include for the competencies related to the task a quantitative criterion-orientated assessment, verbal interpretations and learning-supporting recommendations. The concept was exemplary tested in three mathematical profiled classes. Differentiated performance distributions were observed for the different areas of competencies. Strong and weak points of the student could be shown in nearly constant levels, but also task-depending variations. The clearly task-depending variations within an area of competencies indicates that the shown competencies are depending on the kind of the task or on there special mathematical topic. This speaks for a concrete task-related feedback. In a further investigation the potential of the task to induce activities was confronted with the activities really carried out by the students. From the realization of different tasks recommendations to design tasks for the differentiated assessment of mathematical competencies were deduced.

The objective of the present paper is to analyse the concept of quasi-stationarity, which is motivated from bio-chemistry, and to investigate it from a matematical perspective. In Chapter 1 the concept of quasi-stationarity is presented in the context of chemical reactions. Examples, particularly the Michaelis-Menten-reaction, are given. We then give a first overview of relevant approaches to analyse given differential equation systems for chemical reactions. Chapter 2 presents approaches via singular perturbation theory, particularly Tikhonov's theorem. Given a differential equation system of particular form, which depends on a small parameter, then Tikhonov's theorem provides (asymptotically) a reduction to smaller dimension. Fenichel's theorem deepens this result in a broader context. The application of these theories to chemical systems is not without problems as these systems generally do not appear in the specific form required. Moreover the small parameter should be motivated from chemical consideration. Next, we present an iterative method due to Fraser and Roussel who approximate an invariant manifold for a reduction of the differential equation. Their original system is in standard form for application of singular perturbation theory. Chapter 2 concludes with the methods of Heinrich and Schauer (resp. Stiefenhofer) for reacting systems split up into slow and fast reactions. They perform a transformation of the differential equation to obtain the reduction via Tikhonov. None of the methods presented above is particularly appropriate for a systematic analysis of quasi-stationarity. In Chapter 3 the chemical notion of quasi-stationarity is combined with the concept of near-invariance. We obtain a method which, starting from a biochemically motivated assumption, provides locally necessary conditions on the parameters for quasi-steady state behaviour. These conditions can be determined by using the near-invariance of a certain set. In addition "small parameters" can be detected. Moreover various approaches to reduction are presented which are motivated by quasi-stationarity. The iterative method of Chapter 2 is discussed again, now from the perspective of near-invariance. In Chapter 4 we analyse the long-term behaviour of solutions. For chemical reactions we frequently find a dynamical equilibrium in the limit. Mathematically this equilibrium is reflected by a stationary point in the differential equation system. It will be shown that the long-term behaviour in an asymptotically stable stationary point is determined by the linear part alone. In examples we analyse whether the long-term behaviour is consistent with the nearly-invariant set discussed in Chapter 3. Finally in Chapter 5 we discuss how the theory of Tikhonov and Fenichel can be applied to chemical reaction systems with a quasi-steady state assumption. Identifying a small parameter is essential, and this can be done via nearly-invariant sets as discussed in Chapter 3. Then we show how a transformation should be designed to obtain from a given system a system in standard form of singular perturbation theory. Conditions for applicability of Tikhonov and Fenichel can be tested and, if applicable, a reduced system can be identified. The motivation for this approach goes back to Heinrich and Schauer as outlined in Chapter 2. However, the formulation here is more general and the range of applications is larger, particularly by including quasi-steady state behaviour. With this approach the local statements from Chapter 3 are becoming global statements. We illustrate this systematic approach by considering several examples.

Über das Fünfzehner-Schiebepuzzle, das nun wahrlich mehr als ein Kinderspiel ist und viel mit handfester Mathematik zu tun hat, berichtet der Beitrag von Günter Törner., The puzzle is a popular topic for books on recreational mathematics, most of which use it as an example to illustrate the consequences of even and odd permutations. Most references to the 15-puzzle explain the impossibility of obtaining odd permutations, and many state the classical result that every even permutation is indeed possible, however complete proofs are rare. Indeed, the famous mathematicians Herstein and Kaplansky wrote in 1978 that no really easy proof seems to be known. Archer’s (1999) paper set out to rectify that deficiency. Central to this is the algebraic result that the group An with n = 15 is generated by the consecutive 3-cycles which has to be justified by suitable placements in the puzzle. We adopted Archer‘s idea, modified his enumeration and implemented a cyclic numbering of the cells where the beginning and the end of the path is the blank cell. Using this method we are able to prove the classical result rather quickly. Further, we generalize the structure of the puzzle and make clear how the result can be extended to suitable polygonal graphs., UNIKATE: Berichte aus Forschung und Lehre, no. 33Mathematik: eine lebendige Wissenschaft, p. 42

Der Wunsch nach Optimierung spielt in vielen Lebensbereichen eine wichtige Rolle. Moderne mathematische Verfahren können helfen, auch komplizierte industrielle Prozesse zu optimieren., Optimization of processes described by differential equations is very important for industrial applications. Moreover, physical restrictions on the process leads to additional pointwise inequality constraints. The first part of this article is devoted to historical aspects. The famous problem of Dido from Karthago 2000 years ago was the first optimization problem for a function. Calculus of variation was founded 1696 by the work of Johann Bernoulli and others. However, the theory of optimization with differential equations is very young: The first paper of Boltyanskij, Gamkrelidze und Pontryagin was published in 1956. In the beginning, the theory of optimal controls was mainly devoted to systems of ordinary differential equations with applications in robotics or aeronautics. Meanwhile, optimization with differential equations is very important in a lot of different fields, for instance medicine, nanotechnology, or new materials. Discretization of the differential equations leads to large nonlinear optimization problems. The DFGpriority programme 1253 “Optimization with partial differential equations“ specifies the average number of optimization variables in such an optimization problem by 107 unknowns. Clearly, the solving of such huge problems is mathematically challenging. Whole classes of methods like genetic algorithms or gradient methods cannot be used for such problems. Highly specified active set strategies and interior point methods are suitable tools to attack discretized optimal control problems. Very important for the practical realization are discretization aspects. The ultimative goal is to solve such optimal control problems with a given accuracy at low costs. In the last years different strategies are developed to solve optimal control problems with a discretization of moderate size and high accuracy. Since optimal controls have usually kinks and other singularities, completely new strategies have to be developed., UNIKATE: Berichte aus Forschung und Lehre, no. 33Mathematik: eine lebendige Wissenschaft, p. 22

In der Frühphase der literarischen Bewegung der Romantik hat der Dichter Friedrich von Hardenberg (Novalis) in den Jahren 1798/99 Aphorismen über die Mathematik zu Papier gebracht. Diese waren als Teil einer „romantischen Enzyklopädie“ gedacht. Novalis’ Gedanken können nur adäquat verstanden werden, wenn man sie im Kontext der damaligen Mathematik betrachtet. Novalis hat seine mathematischen Kenntnisse aus Büchern bezogen, deren Autoren einer damals in Deutschland einflussreichen Gruppe von Mathematikern angehörten, die heute weitgehend vergessen sind. Der Beitrag stellt einige Aphorismen des Novalis vor und interpretiert sie exemplarisch. Dabei stellt sich heraus, dass sich Novalis’ Ideen als kulturelle Indikatoren eines tiefgehenden Epochenwandels in der Mathematik des 19. Jahrhunderts deuten lassen., The poet Friedrich von Hardenberg (Novalis) wrote aphorisms about mathematics during the early period of the Romantic Movement in literature, in the years 1798/99. He intended to include them in a ‘romantic encyclopedia’. In order to understand Novalis’ ideas adequately, they have to be considered in the context of the mathematics of the time. Novalis obtained his mathematical knowledge from the work of a group of mathematicians who are almost entirely forgotten today. The paper presents and interprets some of Novalis’ aphorisms. Research shows that his ideas can be considered as cultural indicators of a fundamental change of view in 19th Century mathematics., UNIKATE: Berichte aus Forschung und Lehre, no. 33Mathematik: eine lebendige Wissenschaft, p. 30

Dieser Übersichtsartikel gibt Auskunft über schwarze Löcher in der Allgemeinen Relativitätstheorie und diskutiert ihre Eigenschaften aus mathematischer Sicht. Zu den behandelten Themen gehören Eindeutigkeitssätze für schwarze Löcher, quantenmechanische Effekte, die Thermodynamik schwarzer Löcher, kosmische Zensur, der Gravitationskollaps sowie die Existenz und Stabilität von Lösungen der relevanten Gleichungen., This short overview paper concerns the properties of black holes and the general theory of relativity, mainly taking a mathematical viewpoint. Among other topics we briefly discuss uniqueness theorems for black holes, quantum effects, black hole thermodynamics, cosmic censorship, gravitational collapse, and the existence and stability of solutions in general., UNIKATE: Berichte aus Forschung und Lehre, no. 33Mathematik: eine lebendige Wissenschaft, p. 108

Im Zentrum dieser Arbeit steht die Operation der Gruppe Gamma:=SL_n(Z[1/m]) auf dem symmetrischen Raum M:=SL_n(R)/SO(n). Allgemeiner betrachten wir die Operation rho:Gamma->Isom(M) einer S-arithmetischen algebraischen Gruppe durch Isometrien auf dem zugehörigen symmetrischen Raum M. Die symmetrischen Räume sind Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nichtpositiver Krümmung und daher insbesondere CAT(0)-Räume. R. Bieri und R. Geoghegan haben für die Operation rho:G->Isom(M) einer abstrakten Gruppe G auf einem CAT(0)-Raum M die geometrischen Invarianten Sigma^k(rho) als Teilmenge des Randes von M eingeführt (vgl. [Robert Bieri and Ross Geoghegan, Connectivity properties of group actions on non-positively curved spaces, vol. 161, Memoirs of the AMS, no. 765, American Mathematical Society, 2003]). Die Fokusierung, die durch die geometrischen Invarianten erreicht wird, hat sich in vielen Fällen bewährt, in denen eine Operation durch Translationen auf dem euklidischen Raum zur Verfügung steht. Über die Invarianten von anderen CAT(0)-Operationen ist noch wenig bekannt. In der vorliegenden Arbeit berechnen wir nun die geometrischen Invarianten Sigma^k(rho) für die oben erwähnte Operation rho der S-arithmetischen Gruppe Gamma auf dem zugehörigen symmetrischen Raum M. Wir erhalten für die Gruppe SL_n(Z[1/m]) die folgende Invariante: Sigma^k(rho) ist der ganze Rand von M, falls k kleiner als s(n-1) ist; Sigma^k(rho) ist die Menge aller Randpunkte e von M, die nicht im Rand eines rational definierten flachen Unterraum von M liegen, falls k größer oder gleich s(n-1) ist. Hierbei ist s die Anzahl der verschiedenen Primteiler von m. Die obigen Resultate sind eine Verallgemeinerung derer in [Robert Bieri and Ross Geoghegan, Controlled Connectivity of SL_2(Z[1/m]), Geometriae Dedicata 99 (2003), 137--166]. Der Beweis, den wir geben, besteht aus einer Vereinfachung des Beweises von Bieri und Geoghegan, die dann auf die allgemeinere Situation angepasst werden konnte. Ein interessanter Aspekt ergibt sich, wenn wir für eine Operation rho auf M die Zahlen k betrachten, für die gilt: (*) Sigma^k(rho) ist der ganze Rand von M. Operiert die Gruppe Gamma mit diskreten Bahnen, dann ist (*) äquivalent zur Eigenschaft, daß die Punktstabilisatoren Gamma_a, für a aus M, vom Typ F_k sind. Die Eigenschaft (*) ist auch von Interesse für S-arithmetische Untergruppen einer linearen algebraischen Gruppe über einem Funktionenkörper. Wir zeigen, daß es hier eine naheliegende Operation rho' auf einem Bruhat-Tits Gebäude M' gibt, so daß Gamma' ein Punktstabilisator und damit die Eigenschaft (*) mit der Eigenschaft "Gamma' ist vom Typ F_k" zusammenfällt. Im Zahlkörperfall sind die Verhältnisse ganz anders. Unsere S-arithmetischen Gruppen operieren auf dem symmetrischen Raum M nicht mit diskreten Bahnen und sind durchwegs vom Typ F_k für alle k. Dagegen erlaubt unser Hauptresultat die Bestimmung der Zahlen k mit der Eigenschaft (*) und zeigt eine interessante Abhängigkeit von s=|S| und dem Rang r der algebraischen Gruppen (rho erfüllt (*) kIsom(M) of an S-arithmetic algebraic group Gamma by isometries on the respective symmetric space M. Symmetric spaces are non positively curved Riemannian manifolds. In particular, they are CAT(0)spaces. In [Robert Bieri and Ross Geoghegan, Connectivity properties of group actions on non-positively curved spaces, vol. 161, Memoirs of the AMS, no. 765, American Mathematical Society, 2003] the geometric invariants Sigma^k(rho) are introduced. These are subsets of the boundary of M associated to the action rho:G->Isom(M) of an abstract group G on a CAT(0) space M. Focusing on the geometric invariants has proved very useful, particularly in examples, where the group acts by translations on some euklidian space M. But the invariants of other CAT(0) actions are still relatively unknown. In the present paper we study the action of an S-arithmetic group on its symmetric space, as mentioned above. With s for the total number of different prime divisors of some non zero integer m, we get the following result on the group SL_n(Z[1/m]): If k=s(n-1) holds, then Sigma^k(rho) is the set of all boundary points, which are not in the boundary of any rationally defined flat subspace of M. This is a generalisation of [R. Bieri and R. Geoghegan, Controlled connectivity of SL_2(Z[1/m]), Geometriae Dedicata 99 (2003), 137--166]. The results are proved by a simplification of their proof, which could be adapted to this more general setup. Given some integer k, it is interesting to observe the following property of a group action rho: (*) Sigma^k(rho) is the whole boundary of M. If the action of Gamma on M has discrete orbits, then we have (*) equivalent to the property "Gamma_x is of type F_k", for the stabilizer Gamma_x of some point x of M. This property is also intersting in the following case: Let Gamma' be an S-arithmetic subgroup of a linear algebraic group over a number field. We show that there is an obvious action rho' of Gamma' on some Bruhat-Tits building M', with Gamma' the stabilizer of some point of M'. Thus, here (*) is equivalent to "Gamma' is of type F_k". In the number field case, we have a totally different situtauion. There the S-arithmetic groups do not have discrete orbits in the symmetric space M and they are of type F_k for all k. Nevertheless we can apply our main result to this situation to determine for which k the property (*) holds. We observe again an interesting dependence on s=|S| and the rank of the group r (namely (*) holds k