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In der vorliegenden Dissertation wird eine Beschreibung der Phasendynamik irregulärer Oszillationen und deren Wechselwirkungen vorgestellt. Hierbei werden chaotische und stochastische Oszillationen autonomer dissipativer Systeme betrachtet. Für eine Phasenbeschreibung stochastischer Oszillationen müssen zum einen unterschiedliche Werte der Phase zueinander in Beziehung gesetzt werden, um ihre Dynamik unabhängig von der gewählten Parametrisierung der Oszillation beschreiben zu können. Zum anderen müssen für stochastische und chaotische Oszillationen diejenigen Systemzustände identifiziert werden, die sich in der gleichen Phase befinden. Im Rahmen dieser Dissertation werden die Werte der Phase über eine gemittelte Phasengeschwindigkeitsfunktion miteinander in Beziehung gesetzt. Für stochastische Oszillationen sind jedoch verschiedene Definitionen der mittleren Geschwindigkeit möglich. Um die Unterschiede der Geschwindigkeitsdefinitionen besser zu verstehen, werden auf ihrer Basis effektive deterministische Modelle der Oszillationen konstruiert. Hierbei zeigt sich, dass die Modelle unterschiedliche Oszillationseigenschaften, wie z. B. die mittlere Frequenz oder die invariante Wahrscheinlichkeitsverteilung, nachahmen. Je nach Anwendung stellt die effektive Phasengeschwindigkeitsfunktion eines speziellen Modells eine zweckmäßige Phasenbeziehung her. Wie anhand einfacher Beispiele erklärt wird, kann so die Theorie der effektiven Phasendynamik auch kontinuierlich und pulsartig wechselwirkende stochastische Oszillationen beschreiben. Weiterhin wird ein Kriterium für die invariante Identifikation von Zuständen gleicher Phase irregulärer Oszillationen zu sogenannten generalisierten Isophasen beschrieben: Die Zustände einer solchen Isophase sollen in ihrer dynamischen Entwicklung ununterscheidbar werden. Für stochastische Oszillationen wird dieses Kriterium in einem mittleren Sinne interpretiert. Wie anhand von Beispielen demonstriert wird, lassen sich so verschiedene Typen stochastischer Oszillationen in einheitlicher Weise auf eine stochastische Phasendynamik reduzieren. Mit Hilfe eines numerischen Algorithmus zur Schätzung der Isophasen aus Daten wird die Anwendbarkeit der Theorie anhand eines Signals regelmäßiger Atmung gezeigt. Weiterhin zeigt sich, dass das Kriterium der Phasenidentifikation für chaotische Oszillationen nur approximativ erfüllt werden kann. Anhand des Rössleroszillators wird der tiefgreifende Zusammenhang zwischen approximativen Isophasen, chaotischer Phasendiffusion und instabilen periodischen Orbits dargelegt. Gemeinsam ermöglichen die Theorien der effektiven Phasendynamik und der generalisierten Isophasen eine umfassende und einheitliche Phasenbeschreibung irregulärer Oszillationen. Many natural systems embedded in a complex surrounding show irregular oscillatory dynamics. The oscillations can be parameterized by a phase variable in order to obtain a simplified theoretical description of the dynamics. Importantly, a phase description can be easily extended to describe the interactions of the system with its surrounding. It is desirable to define an invariant phase that is independent of the observable or the arbitrary parameterization, in order to make, for example, the phase characteristics obtained from different experiments comparable. In this thesis, we present an invariant phase description of irregular oscillations and their interactions with the surrounding. The description is applicable to stochastic and chaotic irregular oscillations of autonomous dissipative systems. For this it is necessary to interrelate different phase values in order to allow for a parameterization-independent phase definition. On the other hand, a criterion is needed, that invariantly identifies the system states that are in the same phase. To allow for a parameterization-independent definition of phase, we interrelate different phase values by the phase velocity. However, the treatment of stochastic oscillations is complicated by the fact that different definitions of average velocity are possible. For a better understanding of their differences, we analyse effective deterministic phase models of the oscillations based upon the different velocity definitions. Dependent on the application, a certain effective velocity is suitable for a parameterization-independent phase description. In this way, continuous as well pulse-like interactions of stochastic oscillations can be described, as it is demonstrated with simple examples. On the other hand, an invariant criterion of identification is proposed that generalizes the concept of standard (Winfree) isophases. System states of the same phase are identified to belong to the same generalized isophase using the following invariant criterion: All states of an isophase shall become indistinguishable in the course of time. The criterion is interpreted in an average sense for stochastic oscillations. It allows for a unified treatment of different types of stochastic oscillations. Using a numerical estimation algorithm of isophases, the applicability of the theory is demonstrated by a signal of regular human respiration. For chaotic oscillations, generalized isophases can only be obtained up to a certain approximation. The intimate relationship between these approximate isophase, chaotic phase diffusion, and unstable periodic orbits is explained with the example of the chaotic \roes oscillator. Together, the concept of generalized isophases and the effective phase theory allow for a unified, and invariant phase description of stochastic and chaotic irregular oscillations.

Time and frequency domain analysis of 24h-holter-monitoring are standard methods to assess cardiac sympathetic and parasympathetic activity in man. Power-spectral values of 24h-holter-monitoring show a large standard deviation up to 100% of the mean values in control groups, which reduces reliability and the predictive value of this method. The analysis of circle maps are a new method for analyzing respiratory sinus arrhythmia based on phase dynamics. Differences in circle maps are quantified by the Kullback information gain, a statistical measure used in information theory. The more two circle maps differ, the more new information is gained, decreased Kullback information gain showing decreased difference between circle maps. We supposed patients after AV-node-modification (AVNM) to present a lower autonomic innervation level in 24h-holter-monitoring and Kullback information gain. 18 young (25 ± 4 years, 10m, 8f) and 14 old (58 ± 10 years, 7m, 7f) healthy probands underwent 24h-holter-monitoring and a paced breathing protocol. 16 consecutive patients (47 ± 19 years, 4m, 12f) underwent 24h-holter-monitoring and the same paced breathing protocol before and after AVNM. In H, ultra-low (ULF), very-low (VLF), low (LF) and high frequncy (HF) bands as well as LF/HF ratio were analyzed. Circle maps were obtained and differences in cardiac phase-dynamics were analyzed with the Kullback information. Power-spectra of frequency bands are decreased in older probands compared to young probands of the control group. A decrease of power-spectra initially after AVNM and normalisation within 3 month can be observed in patients before and after AVNM. There is no difference between intraindividual Kullback information of patient- and control group. Autonomic innervation is decreased in older probands compared to young probands of the control group. Frequency-domain parameters of 24h-holter-monitoring, but not Kullback information gain are altered by AVNM. Circle maps assessed at a paced breathing protocol can differenciate between alterations in autonomic tone and transient modulation of the sympatho/vagal balance. Conventional frequency domain analysis showing a large range of SD is not as precise as circle maps and Kullback information gain.

Ziel dieser Arbeit ist die Überwindung einer Differenz, die zwischen der Theorie der Phase bzw. der Phasendynamik und ihrer Anwendung in der Zeitreihenanalyse besteht: Während die theoretische Phase eindeutig bestimmt und invariant unter Koordinatentransformationen bzw. gegenüber der jeweils gewählten Observable ist, führen die Standardmethoden zur Abschätzung der Phase aus gegebenen Zeitreihen zu Resultaten, die einerseits von den gewählten Observablen abhängen und so andererseits das jeweilige System keineswegs in eindeutiger und invarianter Weise beschreiben. Um diese Differenz deutlich zu machen, wird die terminologische Unterscheidung von Phase und Protophase eingeführt: Der Terminus Phase wird nur für Variablen verwendet, die dem theoretischen Konzept der Phase entsprechen und daher das jeweilige System in invarianter Weise charakterisieren, während die observablen-abhängigen Abschätzungen der Phase aus Zeitreihen als Protophasen bezeichnet werden. Der zentrale Gegenstand dieser Arbeit ist die Entwicklung einer deterministischen Transformation, die von jeder Protophase eines selbsterhaltenden Oszillators zur eindeutig bestimmten Phase führt. Dies ermöglicht dann die invariante Beschreibung gekoppelter Oszillatoren und ihrer Wechselwirkung. Die Anwendung der Transformation bzw. ihr Effekt wird sowohl an numerischen Beispielen demonstriert - insbesondere wird die Phasentransformation in einem Beispiel auf den Fall von drei gekoppelten Oszillatoren erweitert - als auch an multivariaten Messungen des EKGs, des Pulses und der Atmung, aus denen Phasenmodelle der kardiorespiratorischen Wechselwirkung rekonstruiert werden. Abschließend wird die Phasentransformation für autonome Oszillatoren auf den Fall einer nicht vernachlässigbaren Amplitudenabhängigkeit der Protophase erweitert, was beispielsweise die numerischen Bestimmung der Isochronen des chaotischen Rössler Systems ermöglicht. The aim of this work is to bridge the gap between the theoretical description of the phase dynamics of coupled oscillators and the application of the theory to model reconstruction from time series analysis. In the theory, the phase of a self-sustained oscillator is defined in an unambiguous way, whereas the standard techniques used to estimate phases from given time series provide observabledependent results, so that generally these estimates deviate from the true phase. To stress this crucial issue, we term the observable-dependent phase-like variables as protophases. The main goal of this work is to develop a deterministic transformation from arbitrary protophases to the true, unique phase of the selfsustained oscillator. This approach allows us to obtain an invariant description of coupled oscillators and of their interaction. The application of the transformation and its efficiency are illustrated by means of numerical examples, as well as by the reconstruction of phase models of the cardiorespiratory interaction from multivariate time series of ECG, pulse and respiration. Next, the transformation from protophases to phases is extended for the case of three coupled oscillators. Finally, we go beyond the phase approximation and extend the phase transformation for autonomous oscillators to the case when the amplitude dynamics cannot be neglected. This technique for example allows us to compute numerically the isochrones of the chaotic Roessler system.