Search

Traballo Fin de Grao en Matemáticas. Curso 2021-2022 Na primeira década do século XX comezan os primeiros estudos sobre o grao topolóxico, unha ferramenta de utilidade na topoloxía alxébrica e na análise funcional non linear. No presente traballo, desenvolvemos unha pormenorizada introdución á teoría do grao. Partindo de espazos de dimensión finita, definimos o grao de Brouwer para funcións continuamente diferenciables e, posteriormente, para funcións continuas. Presentamos as propiedades máis importantes do grao, que nos permiten, entre outras aplicacións, garantir a existencia de solución dunha ecuación dada. Partindo do grao, probamos teoremas clásicos como o de punto fixo de Brouwer ou o da bóla peluda. En espazos de dimensión infinita, os resultados relativos ó grao de Brouwer non son certos, en xeral. Por este motivo, cómpre redefinir o grao, coa limitación de facelo para unha clase máis restritiva de funcións, as perturbacións compactas da identidade. Construímos, partindo do grao de Brouwer, o grao de Leray-Schauder. Destacamos algunhas das propiedades máis interesantes e xeneralizamos os teoremas de punto fixo para espazos de dimensión infinita. Existen aplicacións da teoría do grao en moitos eidos das matemáticas. Facendo uso do Teorema de punto fixo de Schauder e das propiedades do grao, probamos a existencia de solución local dun problema de valor inicial e a conexidade do seu espazo de solucións In the first decade of the twentieth century began the first studies on the topological degree, a useful tool in algebraic topology and in nonlinear functional analysis. In the present project, we have developed a detailed introduction to the degree theory. Starting from finite dimensional spaces, we define the Brouwer degree for continuously diferentiable functions and subsequently for continuous functions. We present the most important properties of the degree, which allow us, among other applications, to ensure existence of solution of a given equation. Based on the degree, we prove several classic theorems such us the Brouwer fixed point or the one of the hairy ball. In infinite dimensional spaces, the results relating to the Brouwer degree are not true, in general. Therefore it is necessary to redefine the degree, with the limitation of doing so for a more restrictive class of functions, the compact perturbations of the identity. Using the Brouwer degree, we build the Leray-Schauder degree. We highlight some of the most interesting properties and we generalize the xed point theorems for in nite dimensional spaces. Degree theory can be applied in many mathematical elds. We prove, using the Schauder xed point theorem and the degree properties, the existence of local solutions of an initial value problem and the connection of its solution set