Search

A symplectic Lie group is a Lie group endowed with a left invariant symplectic form. These groups are naturally endowed with an affine structure associted to a symplectic form. In this thesis, on the one hand, we determine the $4$ and $6$-dimentional connected and simply connected symplectic Lie groups and on the other hand we study an infinity familly of symplectic groups in which the symplectic form is "invariantly" exact. In all these cases we are interesting to the existence of the Lagrangian subgroups and sometimes transversal Lagrangian subgroups to underline left invariant symplectic affines structures.The structure of these groups is studied using the momentum map; Un groupe de Lie est dit symplectique s'il est muni d'une forme symplectique invariante à gauche . Ces groupes sont naturellement munis d'une structure affine associée à la forme symplectique. \\Dans cette thèse d'une part nous déterminons les groupes de Lie symplectiques connexes et simplement connexes de dimension $4$ et $6$ et d'autre part nous étudions une famille infinie de groupes symplectiques dans lesquels la forme symplectique est "invariantement" exacte.Dans tous ces cas nous nous intéressons à l'existence de sous-groupes lagrangiens et parfois des sous-groupes lagrangiens transverses pour mettre en évidence des structures symplectiques affines invariantes à gauche.La structure de ces groupes est étudiée à l'aide de l'application moment.

This work consists of the concrete realization of two theoretic algorithms coming from recent publications. The first part deals with the implementation of the reduction of a Goresky-Kottwitz-MacPherson graph. This graph is a combinatorial analogue of a compact connected symplectic manifold with a hamiltonian action of a compact torus. The second part is devoted to the implementation of the computation of two coefficients involved in the action of a complex semi-simple Lie group on a finite-dimensional vector space: the multiplicity of a weight in a finite-dimensional irreducible representation (Kostka number) and the coefficients of decomposition of the tensor product of two finite-dimensional irreducible representations (Littlewood-Richardson coefficients)., Ce travail concerne la réalisation concrète en calcul formel d'algorithmes abstraits issus de publications récentes. Il comporte deux parties distinctes mais cependant issues du m(ê)me monde : l'action d'un groupe de Lie, sur une variété ou un espace vectoriel. La première partie traite de l'implémentation de la réduction d'un graphe de Goresky-Kottwitz-MacPherson. Ce graphe est l'analogue combinatoire d'une variété symplectique compacte connexe soumise à une action hamiltonienne d'un tore compact. La seconde partie est consacrée à l'implémentation du calcul de deux coefficients intervenant lors de l'action d'un groupe de Lie semi-simple complexe sur un espace vectoriel de dimension finie : la multiplicité d'un poids dans une représentation irréductible de dimension finie (nombre de Kostka) et les coefficients de décomposition du produit tensoriel de deux représentations irréductibles de dimension finie (coefficients de Littlewood-Richardson).