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We study different norms on the group of contactomorphisms of a contact manifold. For every integers n greater than 0, using generating function techniques, we characterise some geodesics of the group of compactly supported contactomorphisms of R2n x S^1 endowed with its standard contact structure. We compute explicitely the norm of a big family of contactomorphisms of the unitary cotangent of the torus using a theorem of intersections between exact Lagrangians with the 0-section inside the cotangent. Finally we study the characteristic distribution on hypersurfaces lying inside the contactification of an exact symplectic manifold. It allows us to define a new set of values for open domains of the contact manifold considered. This set of values contains contact invariants and generalise the notion of the spectrum of an open domain in an exact symplectic manifold., Nous étudions différentes normes sur le groupe des contactomorphismes d’une variété de contact. Pour tout entier n plus grand que 1, grâce à la technique des fonctions génératrices, nous caractérisons certaines géodésiques du groupe des contactomorphismes à support compact de R^2n x S^1 que l’on munit de sa structure de contact standard. Nous calculons explicitement la norme d’une grande famille de contactomorphismes du cotangent unitaire du tore en utilisant un théorème d’intersections de lagrangiennes exactes du cotangent avec la section nulle. Enfin nous étudions la distribution caractéristique des hypersurfaces contenues dans la contactisation d’une variété symplectique exacte. Cela nous permet de définir un ensemble de valeurs pour les ouverts de la variété de contact considérée. Cet ensemble de valeurs contient des invariants de contact et généralise la notion du spectre d’un ouvert d’une variété symplectique exacte.

We study the Weinstein conjecture for some high dimensional contact manifolds. This conjecture asserts that every Reeb vector field on a closed oriented manifold has a closed orbit, and was proved by Taubes for every three manifold. We show that this statement holds for contact manifolds supported by an open book decomposition, when the page is obtained from a Weinstein domain by attaching a Weinstein handle along a loose, Legendrian, homologically trivial sphere.Attaching such a handle performs a contact surgery on the boundary of the domain, which leads to the creation of a small Reeb orbit for some particular contact form. In a first part, we study the properties of a family of holomorphic planes asymptotic to this orbit.In a second part, we show that the open book decomposition gives rise to a foliation of the symplectisation by holomorphic hypersurfaces, with respect to a suitable stable Hamiltonian structure. The latter can be perturbed into a contact structure supported by the open book decomposition. It allows us to describe a family of holomorphic planes near a given page, thus showing that these planes break along a contractible Reeb orbit.; Cette thèse étudie la conjecture de Weinstein dans le cas de certaines variétés de contact de dimension supérieure ou égale à 5. Cette conjecture, qui affirme que tout champ de Reeb sur une variété close orientée possède une trajectoire périodique, a été démontrée par Taubes pour toute variété de dimension 3. Dans ce texte, on en présente une preuve pour les variétés de contact portées par un livre ouvert dont la page est obtenue, à partir d'un certain domaine de Weinstein, en attachant une anse le long d'une sphère legendrienne lâche et homologiquement triviale.Dans une première partie, on examine la situation dans la page. L'attachement d'une anse correspond à effectuer une chirurgie de contact sur le bord, ce qui provoque l'apparition d'une petite orbite de Reeb pour une forme de contact particulière. On s'intéresse alors aux propriétés d'une famille de plans holomorphes asymptotes à cette orbite.Dans une deuxième partie, on prouve que les pages du livre ouvert se relèvent en un feuilletage de la symplectisation par des hyperplans holomorphes, relativement à une structure hamiltonienne stable adaptée. On montre ensuite que cette dernière se déforme en une structure de contact portée par le livre ouvert. Cela permet d'obtenir une description des plans holomorphes au voisinage d'une page donnée, puis de montrer que ces plans se brisent le long d'une orbite de Reeb contractile.

We study the properties of classical and advanced invariants for transverse knots in three-dimensional contact manifolds. In a given isotopy class, we can construct infinitely many different Legendrian knots. Colin, Giroux and Honda have proved however that, in the standard contact three-dimensional sphere, if we fix the Turston-Bennequin-invariant and the knot isotopy class, the Legendrian knots are finite. We investigate a transverse version of this result.In a first part, we show that the transverse finiteness conjecture can be reduced by push-off to the study of the finiteness of Legendrian knots which can't be destabilized.In a second part, we prove that all the Legendrian knot classes in a knot isotopy class can be obtained from a finite set of Legendrien knots with Lutz modifications on a finite number of torus. Then we explain how this generation result can be used to build a bypass in specific simple cases.In the last part, we study the cylindrical contact homology of a transverse knot by putting it in the binding of an open book decomposition with pseudo-Anosov monodromy. Then we prove that in case where the fractional Dehn twist coefficient is large enough, this contact homology has exponential growth.; Le sujet de cette thèse est l'étude et le calcul d'invariants classiques et avancés pour les nœuds transverses dans les variétés de contact de dimension trois. Dans une classe d'isotopie lisse de nœuds, on peut construire une infinité de classes d'isotopie legendrienne de nœuds différentes. Colin, Giroux et Honda ont cependant montré que dans la sphère de contact standard de dimension trois, si on fixe la classe d'isotopie lisse et l'invariant de Thurston-Bennequin, ces classes d'isotopie legendrienne sont alors en nombre fini. On étudie dans cette thèse l'équivalent transverse de ce résultat.Dans un premier temps, on montre que la conjecture de finitude transverse se ramène à la finitude des nœuds legendriens non déstabilisables par l'utilisation de translations legendriennes/transverses.Dans un deuxième temps, on démontre que dans une classe d'isotopie lisse de nœuds, on peut obtenir toutes les classes d'isotopies legendriennes de nœuds non déstabilisables, à partir d'un nombre fini d'entre eux et de modifications de Lutz sur un nombre fini de tores. Dans des cas modèles, on fait le lien entre modification de Lutz et présence de rocade.Dans une dernière partie, on étudie l'homologie de contact cylindrique d'un nœud transverse que l'on aura placé dans la reliure d'un livre ouvert avec une monodromie pseudo-Anosov. On prouve alors que pour un coefficient de twist de Dehn fractionnaire suffisamment grand, le taux de croissance de cette homologie est exponentiel.

We study contact geometry, and focus on the study of periodic orbits of the Reeb vector field. It is a conjecture of Colin and Honda that for universally tight contact structures on hyperbolic manifolds, the number of Reeb periodic orbits grows exponentially with respect to the period, and they speculate further that the growth rate of contact homology is polynomial on non-hyperbolic manifolds. Along the lines of the conjecture, for manifolds with a hyperbolic component that fibers on the circle, we prove that there are infinitely many non-isomorphic contact structures for which the number of periodic orbits of any non degenerate Reeb vector field grows exponentially. Our result hinges on the exponential growth of contact homology which we derive as well. We also compute contact homology in some non hyperbolic cases that exhibit polynomial growth, namely those of universally tight contact structures non transverse to the fibers on a circle bundle. Finally we study consequences on Reeb periodic orbits of a bypass attachment, an elementary change of the contact structure consisting in attachment of half an overtwisted disc along a Legendrian arc. We describe new periodic orbits in terms of Reeb chords of the attachment arc, we compute contact homology of a product neighborhood of convex surfaces after a bypass attachment and we compute contact homology for some contact structures on solid tori.; Le sujet de cette thèse est la géométrie de contact, en particulier l'étude des orbites périodiques du champ de Reeb. Colin et Honda ont conjecturé que sur une variété hyperbolique munie d'une structure de contact universellement tendue, le nombre d'orbites périodiques de Reeb croit exponentiellement avec la période. Dans les cas non hyperboliques, ils prédisent un comportement polynomial de l'homologie de contact. On montre dans ce texte qu'une variété possédant une composante hyperbolique qui fibre sur le cercle porte une infinité de structures de contact non isomorphes pour lesquelles le nombre d'orbites périodiques de tout champ de Reeb non dégénéré croit exponentiellement avec la période. Ce résultat s'obtient grâce à un résultat de croissance de l'homologie de contact. De plus, on calcule l'homologie de contact et sa croissance dans un cas non hyperbolique : celui des structures universellement tendues non transversales aux fibres sur un fibré en cercles. Enfin, on étudie l'effet d'un recollement de rocade sur les orbites périodiques de Reeb. Cette opération décrit une modification élémentaire de la structure de contact. Elle consiste en l'attachement d'un demi-disque vrillé le long d'un arc legendrien contenu dans le bord de la variété. On montre que les orbites de Reeb créées s'expriment comme mots en les cordes de Reeb de l'arc d'attachement. On calcule l'homologie de contact d'un voisinage produit d'une surface convexe après recollement de rocade ainsi que de certaines structures sur le tore plein.

Brake squeal is an everyday problem, so it has been widely studied, mostly in vibration parlance studying modes, noise energy and frequencies. We propose to study the phenomenon from its origin — i.e. the contact — in a tribological approach that combines contact geometry, third body aspect and squealing initiation: thus, a temporal analysis was necessary. Experimental and numerical approaches have been used to identify influential parameters and they give similar results: a really strong correlation exists between the disk geometry and the squeal initiation.Copyright © 2005 by ASME