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Stiff relaxation problems appear in numerous physical and biological systems, most notably in kinetic models with collisions. The solutions of such problems present two dynamics which are intertwined: a relaxation of characteristic time epsilon, and a slow part of interactions or transport. Since the 1980s, efficient and stable methods have been developed to solve these problems numerically, however one issue remains: the accuracy of the method degrades when the time-step is of size epsilon. In this work, we present a method to overcome this limit. Our approach consists in performing asymptotic developments with relation to epsilon to construct an *non-stiff* asymptotic model and its error. We then consider this asymptotic behavior and the error separately -- this is a micro-macro decomposition. This new problem may be solved and the solution of the original problem recovered, all with an accuracy independent of epsilon. As our asymptotic developments use results from averaging, a chapter of this work is dedicated to averaging results. Specifically, we present original proofs of known results, using recent frameworks which make algebraic reasonings straightforward. A brief discussion surrounding possible extensions of our results is conducted at the end of the manuscript., Les problèmes à relaxation rapide apparaissent dans de nombreux systèmes physiques ou biologiques, notamment dans le cadre de modèles cinétiques avec collisions. Leur comportement mélange une dynamique de relaxation de temps caractéristique epsilon et une partie lente d'interactions (généralement non-linéaire) ou de transport. Malgré le développement depuis les années 1980 de méthodes de résolution adaptées peu coûteuses (i.e. stables et essentiellement explicites), un problème demeure: la précision des méthodes est dégradée lorsque le pas de discrétisation est d'ordre epsilon. Dans ce manuscrit, on présente une méthode pour dépasser cette limite. L'approche mise en œuvre consiste à effectuer des développements asymptotiques par rapport au paramètre epsilon de sorte à pouvoir séparer le modèle asymptotique et son erreur; on parle alors d'un problème micro-macro. Ce nouveau problème peut être résolu numériquement et on reconstruit la solution du problème d'origine avec une précision indépendante du paramètre epsilon. Nos développements asymptotiques font appel à des résultats récents de moyennisation, si bien qu'un chapitre de ce manuscrit est dédié à l'exposition de preuves originales de certains résultats de moyennisation connus. On discute en outre d'extensions possibles de nos résultats.

In the first part of this thesis, we present, discuss and comment some results from works on existence of solutions and extremal solutions for some differential and integral equations.The second part is devoted to the presentation and the justification of the averaging method for ordinary differential equations, fuzzy differential equations and ordinary differential inclusions, with less restrictive assumptions.; Dans la première partie de cette thèse, nous présentons, discutons et commentons certains résultats de la littérature sur l’existence de solutions et de solutions extrémales de certaines équations différentielles et équation intégrales.La deuxième partie est consacrée à la présentation, puis la justification de la technique de moyennisation dans le cadre des équations différentielles ordinaires, les équations différentielles floues et les inclusions différentielles ordinaires, basée sur des hypothèses moins restrictives que celles de la littérature.

This thesis focus on stochastic algorithms in high dimension as well as their application in robust statistics. In what follows, the expression high dimension may be used when the the size of the studied sample is large or when the variables we consider take values in high dimensional spaces (not necessarily finite). In order to analyze these kind of data, it can be interesting to consider algorithms which are fast, which do not need to store all the data, and which allow to update easily the estimates. In large sample of high dimensional data, outliers detection is often complicated. Nevertheless, these outliers, even if they are not many, can strongly disturb simple indicators like the mean and the covariance. We will focus on robust estimates, which are not too much sensitive to outliers.In a first part, we are interested in the recursive estimation of the geometric median, which is a robust indicator of location which can so be preferred to the mean when a part of the studied data is contaminated. For this purpose, we introduce a Robbins-Monro algorithm as well as its averaged version, before building non asymptotic confidence balls for these estimates, and exhibiting their $L^{p}$ and almost sure rates of convergence.In a second part, we focus on the estimation of the Median Covariation Matrix (MCM), which is a robust dispersion indicator linked to the geometric median. Furthermore, if the studied variable has a symmetric law, this indicator has the same eigenvectors as the covariance matrix. This last property represent a real interest to study the MCM, especially for Robust Principal Component Analysis. We so introduce a recursive algorithm which enables us to estimate simultaneously the geometric median, the MCM, and its $q$ main eigenvectors. We give, in a first time, the strong consistency of the estimators of the MCM, before exhibiting their rates of convergence in quadratic mean.In a third part, in the light of the work on the estimates of the median and of the Median Covariation Matrix, we exhibit the almost sure and $L^{p}$ rates of convergence of averaged stochastic gradient algorithms in Hilbert spaces, with less restrictive assumptions than in the literature. Then, two applications in robust statistics are given: estimation of the geometric quantiles and application in robust logistic regression.In the last part, we aim to fit a sphere on a noisy points cloud spread around a complete or truncated sphere. More precisely, we consider a random variable with a truncated spherical distribution, and we want to estimate its center as well as its radius. In this aim, we introduce a projected stochastic gradient algorithm and its averaged version. We establish the strong consistency of these estimators as well as their rates of convergence in quadratic mean. Finally, the asymptotic normality of the averaged algorithm is given.; Cette thèse porte sur l'étude d'algorithmes stochastiques en grande dimension ainsi qu'à leur application en statistique robuste. Dans la suite, l'expression grande dimension pourra aussi bien signifier que la taille des échantillons étudiés est grande ou encore que les variables considérées sont à valeurs dans des espaces de grande dimension (pas nécessairement finie). Afin d'analyser ce type de données, il peut être avantageux de considérer des algorithmes qui soient rapides, qui ne nécessitent pas de stocker toutes les données, et qui permettent de mettre à jour facilement les estimations. Dans de grandes masses de données en grande dimension, la détection automatique de points atypiques est souvent délicate. Cependant, ces points, même s'ils sont peu nombreux, peuvent fortement perturber des indicateurs simples tels que la moyenne ou la covariance. On va se concentrer sur des estimateurs robustes, qui ne sont pas trop sensibles aux données atypiques. Dans une première partie, on s'intéresse à l'estimation récursive de la médiane géométrique, un indicateur de position robuste, et qui peut donc être préférée à la moyenne lorsqu'une partie des données étudiées est contaminée. Pour cela, on introduit un algorithme de Robbins-Monro ainsi que sa version moyennée, avant de construire des boules de confiance non asymptotiques et d'exhiber leurs vitesses de convergence $L^{p}$ et presque sûre.La deuxième partie traite de l'estimation de la "Median Covariation Matrix" (MCM), qui est un indicateur de dispersion robuste lié à la médiane, et qui, si la variable étudiée suit une loi symétrique, a les mêmes sous-espaces propres que la matrice de variance-covariance. Ces dernières propriétés rendent l'étude de la MCM particulièrement intéressante pour l'Analyse en Composantes Principales Robuste. On va donc introduire un algorithme itératif qui permet d'estimer simultanément la médiane géométrique et la MCM ainsi que les $q$ principaux vecteurs propres de cette dernière. On donne, dans un premier temps, la forte consistance des estimateurs de la MCM avant d'exhiber les vitesses de convergence en moyenne quadratique.Dans une troisième partie, en s'inspirant du travail effectué sur les estimateurs de la médiane et de la "Median Covariation Matrix", on exhibe les vitesses de convergence presque sûre et $L^{p}$ des algorithmes de gradient stochastiques et de leur version moyennée dans des espaces de Hilbert, avec des hypothèses moins restrictives que celles présentes dans la littérature. On présente alors deux applications en statistique robuste: estimation de quantiles géométriques et régression logistique robuste.Dans la dernière partie, on cherche à ajuster une sphère sur un nuage de points répartis autour d'une sphère complète où tronquée. Plus précisément, on considère une variable aléatoire ayant une distribution sphérique tronquée, et on cherche à estimer son centre ainsi que son rayon. Pour ce faire, on introduit un algorithme de gradient stochastique projeté et son moyenné. Sous des hypothèses raisonnables, on établit leurs vitesses de convergence en moyenne quadratique ainsi que la normalité asymptotique de l'algorithme moyenné.

In the first part of this thesis, we present, discuss and comment some results from works on existence of solutions and extremal solutions for some differential and integral equations.The second part is devoted to the presentation and the justification of the averaging method for ordinary differential equations, fuzzy differential equations and ordinary differential inclusions, with less restrictive assumptions., Dans la première partie de cette thèse, nous présentons, discutons et commentons certains résultats de la littérature sur l’existence de solutions et de solutions extrémales de certaines équations différentielles et équation intégrales.La deuxième partie est consacrée à la présentation, puis la justification de la technique de moyennisation dans le cadre des équations différentielles ordinaires, les équations différentielles floues et les inclusions différentielles ordinaires, basée sur des hypothèses moins restrictives que celles de la littérature.

This thesis focus on stochastic algorithms in high dimension as well as their application in robust statistics. In what follows, the expression high dimension may be used when the the size of the studied sample is large or when the variables we consider take values in high dimensional spaces (not necessarily finite). In order to analyze these kind of data, it can be interesting to consider algorithms which are fast, which do not need to store all the data, and which allow to update easily the estimates. In large sample of high dimensional data, outliers detection is often complicated. Nevertheless, these outliers, even if they are not many, can strongly disturb simple indicators like the mean and the covariance. We will focus on robust estimates, which are not too much sensitive to outliers.In a first part, we are interested in the recursive estimation of the geometric median, which is a robust indicator of location which can so be preferred to the mean when a part of the studied data is contaminated. For this purpose, we introduce a Robbins-Monro algorithm as well as its averaged version, before building non asymptotic confidence balls for these estimates, and exhibiting their L^p and almost sure rates of convergence.In a second part, we focus on the estimation of the Median Covariation Matrix (MCM), which is a robust dispersion indicator linked to the geometric median. Furthermore, if the studied variable has a symmetric law, this indicator has the same eigenvectors as the covariance matrix. This last property represent a real interest to study the MCM, especially for Robust Principal Component Analysis. We so introduce a recursive algorithm which enables us to estimate simultaneously the geometric median, the MCM, and its q main eigenvectors. We give, in a first time, the strong consistency of the estimators of the MCM, before exhibiting their rates of convergence in quadratic mean.In a third part, in the light of the work on the estimates of the median and of the Median Covariation Matrix, we exhibit the almost sure and L^p rates of convergence of averaged stochastic gradient algorithms in Hilbert spaces, with less restrictive assumptions than in the literature. Then, two applications in robust statistics are given: estimation of the geometric quantiles and application in robust logistic regression.In the last part, we aim to fit a sphere on a noisy points cloud spread around a complete or truncated sphere. More precisely, we consider a random variable with a truncated spherical distribution, and we want to estimate its center as well as its radius. In this aim, we introduce a projected stochastic gradient algorithm and its averaged version. We establish the strong consistency of these estimators as well as their rates of convergence in quadratic mean. Finally, the asymptotic normality of the averaged algorithm is given., Cette thèse porte sur l'étude d'algorithmes stochastiques en grande dimension ainsi qu'à leur application en statistique robuste. Dans la suite, l'expression grande dimension pourra aussi bien signifier que la taille des échantillons étudiés est grande ou encore que les variables considérées sont à valeurs dans des espaces de grande dimension (pas nécessairement finie). Afin d'analyser ce type de données, il peut être avantageux de considérer des algorithmes qui soient rapides, qui ne nécessitent pas de stocker toutes les données, et qui permettent de mettre à jour facilement les estimations. Dans de grandes masses de données en grande dimension, la détection automatique de points atypiques est souvent délicate. Cependant, ces points, même s'ils sont peu nombreux, peuvent fortement perturber des indicateurs simples tels que la moyenne ou la covariance. On va se concentrer sur des estimateurs robustes, qui ne sont pas trop sensibles aux données atypiques. Dans une première partie, on s'intéresse à l'estimation récursive de la médiane géométrique, un indicateur de position robuste, et qui peut donc être préférée à la moyenne lorsqu'une partie des données étudiées est contaminée. Pour cela, on introduit un algorithme de Robbins-Monro ainsi que sa version moyennée, avant de construire des boules de confiance non asymptotiques et d'exhiber leurs vitesses de convergence L^p et presque sûre.La deuxième partie traite de l'estimation de la "Median Covariation Matrix" (MCM), qui est un indicateur de dispersion robuste lié à la médiane, et qui, si la variable étudiée suit une loi symétrique, a les mêmes sous-espaces propres que la matrice de variance-covariance. Ces dernières propriétés rendent l'étude de la MCM particulièrement intéressante pour l'Analyse en Composantes Principales Robuste. On va donc introduire un algorithme itératif qui permet d'estimer simultanément la médiane géométrique et la MCM ainsi que les q principaux vecteurs propres de cette dernière. On donne, dans un premier temps, la forte consistance des estimateurs de la MCM avant d'exhiber les vitesses de convergence en moyenne quadratique.Dans une troisième partie, en s'inspirant du travail effectué sur les estimateurs de la médiane et de la "Median Covariation Matrix", on exhibe les vitesses de convergence presque sûre et L^p des algorithmes de gradient stochastiques et de leur version moyennée dans des espaces de Hilbert, avec des hypothèses moins restrictives que celles présentes dans la littérature. On présente alors deux applications en statistique robuste: estimation de quantiles géométriques et régression logistique robuste.Dans la dernière partie, on cherche à ajuster une sphère sur un nuage de points répartis autour d'une sphère complète où tronquée. Plus précisément, on considère une variable aléatoire ayant une distribution sphérique tronquée, et on cherche à estimer son centre ainsi que son rayon. Pour ce faire, on introduit un algorithme de gradient stochastique projeté et son moyenné. Sous des hypothèses raisonnables, on établit leurs vitesses de convergence en moyenne quadratique ainsi que la normalité asymptotique de l'algorithme moyenné.

This thesis presents some original work in the field of high order averaging procedure. In particular, we are interested in stroboscopic and quasi-stroboscopic averaging procedure in abstract Banach or Hilbert spaces. This procedures is applied to concrete examples: some highly oscillatory evolution equations. More precisely, we first show a theorem of stroboscopic averaging in a Banach space where we obtain exponential error estimates. This theorem is then applied on two semi-linear and highly oscillatory wave equations. We also put in evidence that the {\it Stroboscopic Averaging Method} works fine with a semi-linear wave equation with Dirichlet conditions. Finally, the averaging procedure puts in evidence, numerically, an interesting dynamics regarding the semi-linear wave equation with Dirichlet conditions. In a second part, we present a quasi-stroboscopic averaging theorem in a Hilbert space with exponential error estimates. This theorem is applied on a semi-linear Schrödinger equation. This equation has first, to be project in a finite dimensional space in order to fit in the hypotheses of the theorem. We then write a quasi-stroboscopic averaging theorem for a semi-linear Schrödinger equation with polynomial error estimates., Cette thèse présente des travaux originaux dans le domaine des méthodes de moyennisation d'ordre élevé. On s'intéresse notamment à des procédures de moyennisation dite stroboscopique ou quasi-stroboscopique dans des espaces de Banach ou de Hilbert. Ces procédures sont ensuite appliquées à des exemples concrets: des équations d'évolutions hautement oscillantes. Plus précisément, on montre dans un premier temps un résultat de moyennisation stroboscopique dans un espace de Banach où l'on obtient des estimations d'erreurs exponentielles. Ce théorème est ensuite appliqué sur deux équations des ondes semi-linéaire hautement oscillantes. On montre également que la Stroboscopic Averaging Method s'applique à une équation des ondes semi-linéaire avec conditions de Dirichlet. On trouve enfin numériquement, une dynamique intéressante de l'équation des ondes semi-linéaire mise en lumière par la procédure de moyennisation. Dans un second temps, on présente un théorème de moyennisation quasi-stroboscopique dans un espace de Hilbert quelconque avec des estimations d'erreurs exponentielles. Ce théorème est alors appliqué de façon indirecte à une équation de Schrödinger semi-linéaire oscillante. Cette équation est d'abord projeté dans un espace de dimension finie pour qu'on puisse lui appliquer le théorème de moyennisation quasi-stroboscopique. On écrit alors un résultat de moyennisation quasi-stroboscopique pour l'équation de Schrödinger semi-linéaire avec des estimations d'erreur polynomiales.

2 pages.; When a Duffing oscillator with one degree of freedom is submitted to an external harmonic force whose frequency is much higher than that of the oscillator, it is possible, under certain conditions, that the motion of the oscillator, once launched, is maintained at a stable energy level. This may occur when the force exerts its action only when the oscillator is close to its center position.; Lorsqu'un oscillateur à un degré de liberté de type Duffing est soumis à une force extérieure harmonique de fréquence très supérieure à celle de l'oscillateur, il peut arriver, dans certaines conditions, que le mouvement de l'oscillateur, une fois lancé, se maintienne à un niveau stable d'énergie. Ce phénomène peut se produire lorsque la force n'exerce son action que lorsque l'oscillateur est voisin de la position centrale.

The macroscopic and gigascopic scale description of forest fires allows physical modelings of the propagation which can predict the fire evolution with a better accuracy than usually developed empirical Rothermel-like models. However, those models need fitting for their parameters which cannot be measured directly as the models equations are related to the equivalent media at the considered scale and not related to the air and the vegetal material. The equivalent media properties are related to the inner media properties, but the inner media properties knowledge does not allow directly the equivalent media properties knowledge. This work is then aiming on the vegetal medium reconstruction using fractal geometry. Geometrical parameters measurement methods used in forestry sciences are applied for the vegetal modeling validation. Numerical studies are finally done on the reconstructed structures to fit the relevant macroscopic scale parameters. Those studies also allow us to validate or invalidate the assumptions which have been done for the equivalent medium equation development. Those parameters are: the equivalent medium viscosity, the convective heat transfer coefficient and the extinction coefficient; La description aux échelles macroscopiques et gigascopiques des feux de forêts permet l'établissement de modèles physiques aptes à représenter l'évolution d'un feu avec une meilleure précision que les modèles empiriques de type Rothermel développés jusqu'alors. Cependant ces modèles nécessitent l'ajustement de paramètres dont la mesure directe est impossible, car les équations associées à ces modèles ne sont pas relatives à l'air et à la matière végétale mais aux milieux équivalents à la végétation pour l'échelle considérée. Les propriétés des milieux équivalents sont alors liées aux propriétés des milieux les constituant, mais la connaissance des propriétés des milieux constitutifs ne permet pas de connaître directement les propriétés du milieu équivalent. Ce travail consistera tout d'abord en la reconstruction du milieu végétal à l'aide d'outils issus de la géométrie fractale. Des méthodes de mesures de paramètres géométriques venant de la foresterie ont ensuite été utilisées pour valider nos modèles de végétation. Enfin, des expériences numériques ont été menées sur nos structures reconstruites afin d'identifier les paramètres macroscopiques qui nous intéressent. Ces expériences permettent également de valider ou non les hypothèses effectuées lors de l'établissement des équations du milieu équivalent. Les paramètres ajustés sont la viscosité du milieu équivalent, le coefficient d'échange convectif et le coefficient d'extinction

The macroscopic and gigascopic scale description of forest fires allows physical modelings of the propagation which can predict the fire evolution with a better accuracy than usually developed empirical Rothermel-like models. However, those models need fitting for their parameters which cannot be measured directly as the models equations are related to the equivalent media at the considered scale and not related to the air and the vegetal material. The equivalent media properties are related to the inner media properties, but the inner media properties knowledge does not allow directly the equivalent media properties knowledge. This work is then aiming on the vegetal medium reconstruction using fractal geometry. Geometrical parameters measurement methods used in forestry sciences are applied for the vegetal modeling validation. Numerical studies are finally done on the reconstructed structures to fit the relevant macroscopic scale parameters. Those studies also allow us to validate or invalidate the assumptions which have been done for the equivalent medium equation development. Those parameters are: the equivalent medium viscosity, the convective heat transfer coefficient and the extinction coefficient, La description aux échelles macroscopiques et gigascopiques des feux de forêts permet l'établissement de modèles physiques aptes à représenter l'évolution d'un feu avec une meilleure précision que les modèles empiriques de type Rothermel développés jusqu'alors. Cependant ces modèles nécessitent l'ajustement de paramètres dont la mesure directe est impossible, car les équations associées à ces modèles ne sont pas relatives à l'air et à la matière végétale mais aux milieux équivalents à la végétation pour l'échelle considérée. Les propriétés des milieux équivalents sont alors liées aux propriétés des milieux les constituant, mais la connaissance des propriétés des milieux constitutifs ne permet pas de connaître directement les propriétés du milieu équivalent. Ce travail consistera tout d'abord en la reconstruction du milieu végétal à l'aide d'outils issus de la géométrie fractale. Des méthodes de mesures de paramètres géométriques venant de la foresterie ont ensuite été utilisées pour valider nos modèles de végétation. Enfin, des expériences numériques ont été menées sur nos structures reconstruites afin d'identifier les paramètres macroscopiques qui nous intéressent. Ces expériences permettent également de valider ou non les hypothèses effectuées lors de l'établissement des équations du milieu équivalent. Les paramètres ajustés sont la viscosité du milieu équivalent, le coefficient d'échange convectif et le coefficient d'extinction

The optimal control of orbital transfers is considered (problem proposed by the French Space Agency). The model is the controlled Kepler equation where the command law is the thrust of a spacecraft in orbit around the Earth. The contributions are twofold and deal with minimum time as well as with averaging of the energy minimization problem. The action of the control may be seen as the perturbation of an integrable system. Averaging then provides an approximation of this perturbation which turns to remain integrable. The exponential mapping defined by the extremal flow of the control problem is a fundamental object in this study. This mapping carries information about existence of solution, and local or global optimality of extremals. The obtained results comprise the evidence of Pi-singularities and conjugate points in minimum time, the flatness of the metric associated with energy minimum transfers towards circular orbits by averaging (optimal trajectories are straight lines), and the characterization of the cut locus of the averaged thanks to a comparison with the restriction of the flat metric to an ellipsoid of revolution.; Le problème considéré est celui du contrôle optimal des transferts orbitaux (problème proposé par le Centre National d'Études Spatiales). Le modèle retenu est l'équation de Kepler contrôlée, la loi de commande étant la poussée d'un engin spatial en orbite autour de la Terre. Les contributions concernent d'une part le temps minimal, d'autre part la moyennation du problème de la minimisation de l'energie. L'action du contrôle peut être considérée comme la perturbation d'un système intégrable, perturbation dont la moyennation fournit une approximation dont on vérifie qu'elle est encore intégrable. Un objet fondamental dans l'étude est l'application exponentielle définie par le flot extrémal du problème de contrôle. Ses propriétés renseignent sur l'existence de solution, ainsi que sur l'optimalité locale ou globale des extrémales du problème. Parmi les résultats obtenus, on peut citer la mise en évidence de l'existence de Pi-singularités et de points conjugués en temps minimal, la platitude de la métrique associée par la moyennation au transfert à énergie minimale vers les orbites circulaires (les trajectoires optimales sont des droites), ainsi que la caractérisation du lieu de coupure du moyenné par comparaison avec la restriction de la métrique plate à un ellipso\"\i de de révolution.

We deal with a problem from celestial mechanics, namely the minimum-time orbit transfer towards a geostationary orbit. More precisely, we are concerned with the particular case of single-input transfer. Using esults and methods from previous studies, the optimal single-input transfer is computed and we observe excellent results given the additional constraints on the thrust direction in this case. Since the optimal control is discontinuous, we introduce two smooth approximations. First, we consider a Riemannian approximation relying on the averaged minimum-energy transfer without constraint on the control : the analysis of the underlying metric shows that, in suitable coordinates, optimal trajectories towards circular orbits are straight lines. Then we connect the single-input transfer to constrained and yet smooth double-input transfers and we apply smooth second-order optimality conditions to these approximations : this process validates the efficiency of the single-shooting method on the single-input transfer.; Nous présentons ici l'étude d'un problème de mécanique spatiale, le transfert en temps minimal vers une orbite géostationnaire. Plus précisément, nous nous intéressons à un cas particulier : le transfert mono-entrée. Reprenant les méthodes et les résultats des études précédentes, le transfert mono-entrée optimal est calculé et montre des performances excellentes compte tenu des contraintes supplémentaires introduites sur la direction de la poussée. Le contrôle optimal étant discontinu, nous introduisons deux approximations lisses. Nous considérons tout d'abord une approximation Riemanienne avec la moyennation du transfert en minimum d'énergie avec relaxation de la contrainte sur le contrôle : l'étude de la métrique Riemannienne associée montre que, dans des coordonnées adaptées, les trajectoires optimales sont des droites. Nous relions ensuite le transfert mono-entrée à des transferts bi-entrée contraints mais lisses et utilisons les conditions lisses du deuxième ordre sur ces approximations : cette procédure nous permet notamment de valider l'efficacité de la méthode de tir simple sur le transfert mono-entrée.

This thesis deals with retarded functional differential equations. Its aim is to extend the technique of stroboscopy initially elaborated in the context of ordinary differential equations, then to present an approach which is new in the justification of the method of averaging based on aforementioned technique. First, we propose an adapted formulation of the original technique of stroboscopy which we apply to show results of averaging for equations which can be written in the so-called normal form. Secondly, we start by the extension of the proposed technique of stroboscopy, in a natural way, to retarded functional differential equations. Finally, we use it to extend the averaging results to fast oscillating equations. The averaging results obtained in this thesis generalize those of the existing literature.; Cette thèse concerne les équations différentielles fonctionnelles à retard. Son objectif est d'étendre la technique de stroboscopie initialement élaborée dans le cadre des équations différentielles ordinaires, puis de présenter une approche nouvelle dans la justification de la méthode de moyennisation basée sur ladite technique. Dans un premier temps, nous proposons une formulation adaptée de la technique de stroboscopie originale que nous appliquons pour montrer des résultats de moyennisation pour des équations qui se ramènent à la forme dite normale. Dans un second temps, nous commençons par étendre aux cas des équations différentielles fonctionnelles à retard, et de manière naturelle, la technique de stroboscopie proposée. Nous l'utilisons ensuite pour étendre les résultats de moyennisation aux équations rapidement oscillantes. Les résultats sur la moyennisation obtenus dans cette thèse généralisent ceux de la littérature existante.

On considère un problème de contrôle optimal, déterministe dont la dynamique dépend de phénomènes "rapides", modélisés sous la forme d'un temps rapide t/epsilon , epsilon petit. On étudie le cas particulier ou le temps rapide intervient de manière périodique dans la dynamique. On étudie le problème moyenne dans les cas périodique et non périodique.; No summary

On considère un problème de contrôle optimal, déterministe dont la dynamique dépend de phénomènes "rapides", modélisés sous la forme d'un temps rapide t/epsilon , epsilon petit. On étudie le cas particulier ou le temps rapide intervient de manière périodique dans la dynamique. On étudie le problème moyenne dans les cas périodique et non périodique.; No summary