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We classify general systems of polynomial equations with a single solution, or, equivalently, collections of lattice polytopes of minimal positive mixed volume. As a byproduct, this classification provides an algorithm to evaluate the single solution of such a system., Comment: 16 pages, 3 figures

International audience; Un {\bf quasi-interpolant spline} (abréviation QI) est un opérateur d'approximation obtenu comme combinaison linéaire de fonctions à support borné (B-splines) : $$ Qf=\sum_{\alpha\in A} \mu_\alpha(f) B_\alpha $$ Le coefficient $\mu_\alpha(f)$ de la B-spline $B_\alpha$ est une forme linéaire agissant sur la fonction $f$ à approcher {\bf dans un voisinage du support de} $B_\alpha$. Le grand avantage de cette approche est que le calcul d'un QI est direct et {\bf ne nécessite pas la résolution d'un système d'équations}, contrairement à ce qui se passe pour un interpolant. C'est particulièrement intéressant en dimension 2 ou 3, où le nombre de B-splines peut être relativement grand. Dans cet article, je décris {\bf quelques exemples de QIs} de différents types sur des espaces de splines à une ou deux variables. Puis je présente {\bf quelques applications en approximation et en analyse numérique}.

International audience; A new approach named the “Variational Theory of Complex Rays” is introduced for computing the vibrations of elastic structures weakly damped in the medium frequency range. Emphasis has been placed here on the most fundamental aspects. The effective quantities (elastic energy, vibration intensity…) are evaluated after computing a small system of equations which does not derive from a finite element dicretization of the structure. Numerical examples related to plates show the interest and the possibilities of the VTRC.; Une nouvelle approche, appelée ‘Théorie Variationnelle des Rayons Complexes’, est développée pour calculer les vibrations de structures élastiques faiblement amorties dans le domaine des moyennes fréquences. Les grandeurs effectives (énergie de déformation, intensité vibratoire…) sont évaluées suite à la résolution d'un système d'équations de faible dimension qui, de près comme de loin, n'est pas issu d'une discrétisation ‘éléments finis’ fine de la structure. L'accent est mis, à travers un certain nombre d'exemples, sur l'intérêt et les possibilités de cette nouvelle approche.

In the first part a system of equations for an inductive charged relativistic fluid with finite conductivity is written in a space time with given metric, taking into account thermodynamic phenomena. Speeds of propagation of various types of waves are determined under a restrictive hypothesis concerning the heat currentq: thatq depends only on the thermodynamical quantities and the gradient of one function of these quantities.