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This thesis is a contribution to the fine tubular structures detection problem in a 2-D or 3-D image. We are specifically interested in the case of angiographic images. The vessels are surrounded by noise and then the question is to segment precisely the blood network. The theoretical framework of our work is the calculus of variations and we focus on the Mumford-Shah energy. Initially, this model is adapted to the detection of volumetric structures extended in all directions of the image. The aim of this study is to build an energy that favors sets which are extended in one direction, which is the case of fine tubes. We then introduce a new unknown, a Riemannian metric, which captures the geometric structure at each point of the image and we give a new formulation of the Mumford-Shah energy adapted to this metric. The complete analysis of this model is done: we prove that the associated minimizing problem is well posed and we introduce an approximation by gamma-convergence more suitable for digital implementation. Finally, we propose numerical experimentations adapted to this approximation.; Cette thèse est une contribution au problème de détection de fines structures tubulaires dans une image 2-D ou 3-D. Nous avons plus précisément en vue le cas des images angiographiques. Celles-ci étant bruitées, les vaisseaux ne se détachent pas nettement du reste de l’image, la question est donc de segmenter avec précision le réseau sanguin. Le cadre théorique de notre travail est le calcul des variations et nous nous focalisons sur plusieurs énergies de type Mumford-Shah. Initialement, ce modèle est adapté à la détection de structures volumiques étendues dans toutes les directions de l’image. Le but de ce travail est donc de construire une énergie qui favorise les ensembles qui ne sont étendus que dans une seule direction, ce qui est le cas de fins tubes. Nous introduisons alors une nouvelle inconnue, une métrique Riemannienne, qui a pour but de détecter la structure géométrique de l’image en chaque point et nous reformulons l’énergie initiale de Mumford-Shah avec cette nouvelle métrique. Nous faisons l’analyse complète de ce modèle pour démontrer que la minimisation de l’énergie est un problème bien posé et nous en proposons une approximation par gamma-convergence plus adaptée à une l’implémentation numérique. Enfin, nous proposons une méthode de minimisation basée sur cette approximation.

This thesis is a contribution to the fine tubular structures detection problem in a 2-D or 3-D image. We arespecifically interested in the case of angiographic images. The vessels are surrounded by noise and thenthe question is to segment precisely the blood network. The theoretical framework of our work is thecalculus of variations and we focus on the Mumford-Shah energy. Initially, this model is adapted to thedetection of volumetric structures extended in all directions of the image. The aim of this study is to buildan energy that favors sets which are extended in one direction, which is the case of fine tubes. Then, weintroduce a new unknown, a Riemannian metric, which captures the geometric structure at each point ofthe image and we give a new formulation of the Mumford-Shah energy adapted to this metric. Thecomplete analysis of this model is done: we prove that the associated problem of minimization is wellposed and we introduce an approximation by gamma-convergence more suitable for numerics. Eventually,we propose numerical experimentations adapted to this approximation.; Cette thèse est une contribution au problème de détection de fines structures tubulaires dans une image2-D ou 3-D. Nous avons plus précisément en vue le cas des images angiographiques. Celles-ci étant bruitées, les vaisseaux ne se détachent pas nettement du reste de l’image, la question est donc de segmenter avec précision le réseau sanguin. Le cadre théorique de ce travail est le calcul des variations eten particulier l'énergie de Mumford-Shah. Cependant, ce modèle n'est adapté qu'à la détection de structures volumiques étendues dans toutes les directions de l’image. Le but de ce travail est donc deconstruire une énergie qui favorise les ensembles qui ne sont étendus que dans une seule direction, cequi est le cas de fins tubes. Pour cela, une nouvelle inconnue est introduite, une métrique Riemannienne,qui a pour but la détection de la structure géométrique de l’image. Une nouvelle formulation de l’énergie de Mumford-Shah est donnée avec cette nouvelle métrique. La preuve de l'existence d'une solution au problème de la minimisation de l’énergie est apportée. De plus, une approximation par gamma-convergence est démontrée, ce qui permet ensuite de proposer et de mettre en oeuvre une implémentation numérique.

This thesis is a contribution to the fine tubular structures detection problem in a 2-D or 3-D image. We are specifically interested in the case of angiographic images. The vessels are surrounded by noise and then the question is to segment precisely the blood network. The theoretical framework of our work is the calculus of variations and we focus on the Mumford-Shah energy. Initially, this model is adapted to the detection of volumetric structures extended in all directions of the image. The aim of this study is to build an energy that favors sets which are extended in one direction, which is the case of fine tubes. We then introduce a new unknown, a Riemannian metric, which captures the geometric structure at each point of the image and we give a new formulation of the Mumford-Shah energy adapted to this metric. The complete analysis of this model is done: we prove that the associated minimizing problem is well posed and we introduce an approximation by gamma-convergence more suitable for digital implementation. Finally, we propose numerical experimentations adapted to this approximation., Cette thèse est une contribution au problème de détection de fines structures tubulaires dans une image 2-D ou 3-D. Nous avons plus précisément en vue le cas des images angiographiques. Celles-ci étant bruitées, les vaisseaux ne se détachent pas nettement du reste de l’image, la question est donc de segmenter avec précision le réseau sanguin. Le cadre théorique de notre travail est le calcul des variations et nous nous focalisons sur plusieurs énergies de type Mumford-Shah. Initialement, ce modèle est adapté à la détection de structures volumiques étendues dans toutes les directions de l’image. Le but de ce travail est donc de construire une énergie qui favorise les ensembles qui ne sont étendus que dans une seule direction, ce qui est le cas de fins tubes. Nous introduisons alors une nouvelle inconnue, une métrique Riemannienne, qui a pour but de détecter la structure géométrique de l’image en chaque point et nous reformulons l’énergie initiale de Mumford-Shah avec cette nouvelle métrique. Nous faisons l’analyse complète de ce modèle pour démontrer que la minimisation de l’énergie est un problème bien posé et nous en proposons une approximation par gamma-convergence plus adaptée à une l’implémentation numérique. Enfin, nous proposons une méthode de minimisation basée sur cette approximation.