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The continued development of non invasive methods of mapping the electri-cal activity of the heart is motivated by the general hope that they may be clinically useful in the diagnosis and treatment of cardiac rhythm disorders, responsible for 80% of the 350,000 sudden cardiac arrest deaths that occur each year in Europe [LZ06]. Non-invasive electrocardiographic imaging (ECGI) provides real-time panoramic images of epicardial electrical activity from potential measurements on the surface of the torso. Though several methods have been developped for ECGI, recent validation studies have demonstrated that current implementations are inaccurate in reconstructing electrical activity in the presence of conduction anomalies and in structurally heterogeneous hearts. ECGI is known to produce artificial lines of block in healthy tissue, raising doubts about the ability of these methods to detect the presence of regions of true conduction slowly in structurally abnormal hearts.The objective of this thesis is to develop a new method in order to improve ECGI and its ability to detect regions of slow conduction in the presence of structural abnormalities.First, we presented a new method for solving the inverse problem of electro-cardiography. The idea of the method is to combine the solutions obtained with classical formulations in order to select the most accurate method in each area and at each time step, based on their residuals of the torso surface. This new approach, named the Patchwork Method (PM), is evaluated, along with other classical inverse methods, using simulated and experimental data. The stability and robustness of this new approach are also tested by adding Gaussian measurement noise to the torso surface potentials.Secondly, we focused on the detection of areas with damaged cardiac tissue. The different ECGI methods were evaluated based on the caracteristics of bipolar signals associated with structural abnormalities : amplitude, QRS duration and fragmentation. Being unable to detect the damaged areas using these features, we have developed a new method to detect slow conduction areas using the activation time gradient. Subsequently, we evaluated the ability of the standard ECGI methods, as well as the Patchwork method, to locate slow conduction areas and reduce the frequency of artificial lines of block.The main contribution of this thesis is the development of a new ECGI ap-proach to reconstruct electrical information on the surface of the heart. The Patchwork method has demonstrated a higher level of accuracy in recons-tructing activation maps and locating breakthrough sites than standard ECGI methods. This method is an effective tool to help overcome some of the limi-tations of conventional numerical methods in structurally abnormal hearts, showing its ability to detect regions of slow conduction using the activation time gradient. Importantly, these improvements include a reduction in the frequency of artificial lines of block. This has important clinical implications as it may help reduce false diagnosis of conduction disorders., Le développement continu des méthodes non invasives de cartographie de l’activité électrique du cœur est motivé par l’espoir général qu’elles puissent être cliniquement utiles dans le diagnostic et le traitement des troubles du rythme cardiaque, responsables de 80 % des 350 000 décès par arrêt cardiaque soudain qui surviennent chaque année en Europe [LZ06]. L’imagerie électrocardiographique non invasive (ECGI) fournit des images panoramiques en temps réel de l’activité électrique épicardique à partir de mesures de poten-tiel à la surface du torse. Bien que plusieurs méthodes aient été développées pour l’ECGI, des études de validation récentes ont démontré que les implémentations actuelles sont imprécises dans la reconstruction de l’activité électrique en présence d’anomalies de conduction et dans les cœurs structurellement hétérogènes. L’ECGI est connue pour produire des lignes de bloc artificielles dans les tissus sains, ce qui fait douter de la capacité de ces méthodes à détecter la présence de régions de véritable conduction lente dans les cœurs structurellement anormaux.L’objectif de cette thèse est de développer une nouvelle méthode afin d’améliorer l’ECGI et sa capacité à détecter les régions de conduction lente en présence d’anomalies structurelles.Tout d’abord, nous avons présenté une nouvelle méthode pour résoudre le problème inverse de l’électrocardiographie. L’idée de la méthode est de combiner les solutions obtenues avec les formulations classiques afin de sélectionner la méthode la plus précise dans chaque zone et à chaque pas de temps, en fonction de leurs résidus de la surface du torse. Cette nouvelle approche, appelée la méthode Patchwork (PM), est évaluée, avec d’autres méthodes inverses classiques, à l’aide des données simulées et expérimentales. La stabilité et la robustesse de cette nouvelle approche sont également testées en ajoutant un bruit de mesure Gaussien aux potentiels de la surface du torse.Deuxièmement, nous nous sommes concentrés sur la détection de zones pré-sentant des tissus cardiaques endommagés. Les différentes méthodes d’ECGI ont été évaluées sur la base des caractéristiques des signaux bipolaires associés aux anomalies structurelles : amplitude, durée du QRS et fragmentation. N’étant pas en mesure de détecter les zones endommagées à l’aide de ces caractéristiques, nous avons développé une nouvelle méthode pour détecter les zones de conduction lente en utilisant le gradient de temps d’activation. Par la suite, nous avons évalué la capacité des méthodes ECGI standard, ainsi que de la méthode Patchwork, à localiser les zones de conduction lente et à réduire la fréquence des lignes de bloc artificielles.La principale contribution de cette thèse est le développement d’une nouvelle approche ECGI pour reconstruire les informations électriques à la surface du cœur. La méthode Patchwork a démontré un niveau de précision plus élevé dans la reconstruction des cartes d’activation et la localisation des sites de percée que les méthodes ECGI standard. Cette méthode est un outil efficace pour aider à surmonter certaines des limites des méthodes numériques conventionnelles dans les cœurs structurellement anormaux, montrant sa capacité à détecter les régions de conduction lente en utilisant le gradient de temps d’activation. Il est important de noter que ces améliorations incluent une réduction de la fréquence des lignes de bloc artificielles. Cela a des implications cliniques importantes car cela peut contribuer à réduire les faux diagnostics de troubles de la conduction.

Localization and reconstruction of defects in waveguides are crucial in the nondestructive evaluation of structures like pipelines, optics fibers, nuclear power plant conduits, or even ship hulls. This thesis aims to understand waves propagation in waveguides from a mathematical point of view to design new efficient methods to detect and reconstruct potential waveguides defects. To reproduce the existing experimental setups, we use multi-frequency data with frequencies sometimes close to resonant ones. Far from the resonant frequencies, we prove that the defects reconstruction is equivalent to a Fourier inversion from partial data, and we provide a stable reconstruction method working for small defects. On the other hand, mathematical equations are not well-posed near resonant frequencies, but waves seem very sensitive to potential defects. Drawing a parallel with quantum mechanics, we provide an asymptotic approximation of these waves as Airy functions when the width of the waveguide slowly varies. Using these approximations, we develop a precise method based on the shape of Airy functions to reconstruct width defects in waveguides., La détection et la reconstruction de défauts dans les guides d’ondes sont un enjeu contemporain important pour contrôler l’état de structures diverses allant des oléoducs aux fibres optiques, en passant par les conduits de centrales nucléaires ou les coques de navires. Cette thèse a pour but de mieux comprendre d’un point de vue mathématique la propagation des ondes en guide d’onde, pour pouvoir ensuite proposer des méthodes efficaces pour détecter et reconstruire avec précision d’éventuels défauts. Pour modéliser au mieux les dispositifs expérimentaux disponibles, on choisit ici d’utiliser des ondes se propageant à des fréquences variables et parfois voisines des fréquences de résonances. Si les fréquences sont éloignées des résonances, on montre que la reconstruction de défaut s’apparente à de l’inversion de Fourier avec données partielles, ce qui permet de reconstruire de manière stable la plupart des petits défauts présents dans les guides d’ondes. Si la fréquence est proche des résonances, les équations mathématiques sont très mal posées mais les ondes sont particulièrement sensibles aux défauts présents dans le guide. Des parallèles avec des travaux de physique quantique permettent une approximation asymptotique formelle de ces ondes sous forme de fonctions d’Airy lorsque le guide varie lentement. Grâce à ces approximations, on propose une méthode précise se basant sur le profil des fonctions d’Airy pour reconstruire entièrement les défauts de hauteur du guide.

In the context of model validation, the model updating methods consist in calibrating the input parameters of the numerical model in order to reduce the distance between the experimental outputs and the numerical outputs. In stochastic numerical model, the parameters and hyperparameters (mean values, standard deviations, ...) are calibrated using experimental data collected on a family of structures nominally identical. In these methods, the number of parameters to be identified is often very large, and the updating of these parameters generally requires the solving of a non-convex probabilistic inverse problem in high dimension. This high dimension prohibits the direct exploration of the entire space of input parameters, and makes the global optimization methods and approaches proposed in this field, very expensive and difficult to be applied. Recently, in the context of deterministic model updating, a new method has been proposed to address the problem of the high dimension in model updating. This method enable to identify separately the input parameters by replacing the original inverse problem to be solved into a sequence of small dimension inverse problems (ideally of dimension one). More precisely, it constructs, for each input parameter, a new output so that this new output is only sensitive to this parameter and insensitive to the other parameters.Until now, this approach has been only validated on simple deterministic dynamical structures. Therefore, the work of this thesis focuses on the objective of extending this new method, in order to make it applicable on the complex industrial structures. In the first part, three methodologies are proposed to improve the efficiency of the new method in the deterministic field. The first methodology consists of introducing noise into the model to be updated or varying the value of the regularization term of the new method. The second methodology is based on the principle of constructing for each input parameter, several new outputs instead of a single one. The third methodology consists in decomposing the output of the model to be updated into groups of components. In addition, an extension for the new method is presented in this part, to make it applicable for cases where the input parameters are not fully separable. In the second part, the new method is extended on the probabilistic context, to take into account and identify separately the uncertainties of system-parameters and modelling errors. Finally an extension of the Bayesian model updating is proposed by combining it with the separation method developped in this thesis, Dans le cadre de la validation des modèles numériques, les méthodes de recalage consistent à calibrer les paramètres d'entrée du modèle numérique afin de réduire la distance entre ses réponses calculées et les réponses expérimentales. Lorsque le modèle numérique est probabiliste, les paramètres et hyperparamètres (moyennes, écarts-types,…) sont recalés en utilisant des données expérimentales recueillies sur une famille de structures nominalement identiques. Dans ces méthodes, le nombre de paramètres à identifier est souvent très important, conduisant à la résolution d'un problème inverse probabiliste non convexe en grande dimension. Cette grande dimension interdit l'exploration directe de tout le domaine des paramètres d'entrée, et rend les méthodes d'optimisation globale et les approches proposées dans ce cadre, très coûteuses et difficiles à appliquer. Récemment, dans le contexte du recalage des modèles déterministes, une nouvelle méthode a été proposée pour pallier la difficulté liée à la grande dimension de l'espace des paramètres d'entrée. Cette méthode permet d’identifier séparément les paramètres d’entrée en remplaçant le problème inverse à résoudre par une série de problèmes inverses de petite dimension. Plus précisément, elle construit, pour chaque paramètre d'entrée, une nouvelle sortie de sorte que cette dernière soit uniquement sensible à ce paramètre et insensible aux autres paramètres d'entrée. Jusqu'à présent, cette approche a été seulement validée pour le recalage des structures dynamiques déterministes très simples. Ainsi, les travaux de cette thèse se focalisent sur l’objectif d’étendre cette nouvelle méthode, afin de la rendre utilisable sur des structures plus complexes. Dans la première partie, trois méthodologies sont proposées pour améliorer l’efficacité de la nouvelle méthode dans un cadre déterministe. La première méthodologie consiste à introduire du bruit dans le modèle à recaler ou de faire varier la valeur de terme de régularisation de la nouvelle méthode. La deuxième méthodologie consiste à construire pour chaque paramètre d’entrée, plusieurs nouvelles sorties au lieu d’une seule sortie. La troisième méthodologie consiste à décomposer les réponses numériques du modèle à recaler en des sous-groupes de composantes. En outre, une extension est proposée pour rendre cette dernière méthode applicable sur les cas où les paramètres d’entrée ne sont pas totalement séparables. Dans la deuxième partie, la nouvelle méthode est étendue au cadre probabiliste, pour prendre en compte et identifier de manière séparée les incertitudes de paramètres du système et celles liées aux erreurs de modélisation. Enfin dans la dernière partie, nous combinons la méthode proposée dans les parties précédentes et la méthode de recalage Bayésien

This thesis deals with sparse inverse problems when the observed data can be considered as a linear combination of a small number of elements called « atoms » (e.g., pulses, shifted instrumental response or sinusoids). These problems are encountered in various domains, ranging from ultrasonic non-destructive testing to spectroscopy and spectral analysis. In the Bayesian framework, these problems can be addressed by considering a priori models on the parameters of interest that take into account the sparsity explicitly via the introduction of binary variables (e.g., Bernoulli-Gaussian model). The estimation of the parameters is done by computing the posterior mean estimator from samples generated by Markov chain Monte Carlo (MCMC) methods. The major advantage of MCMC methods in the Bayesian framework, compared to deterministic optimization approaches, is the possibility of integrating without much difficulty the estimation of the hyper-parameters of the model (e.g., the variance of the observation noise) as well as considering semi-blind or blind settings, i.e., cases where the atoms are partially or totally unknown. However, MCMC methods are generally computationally expensive and need to be handled carefully to ensure their convergence. An efficient sampling approaches based on the Partially Collapsed Gibbs Sampler (PCGS) have been developed for the Bernoulli-Gaussian model. However, it cannot be used with other sparse enforcing priors, such as priors with long-tailed distributions (e.g., Bernoulli-Laplace) which are preferable to the Gaussian because they induce less regularization; or with distributions supported in a bonded interval (e.g., Bernoulli-Exponential) in order to guarantee a non-negativity constraint. As a result one is restricted to the computationally expensive classical MCMC methods. The objective of this thesis is to reconcile PCGS sampling with models that explicitly take into account sparsity other than the Bernoulli-Gaussian model. The main contribution is the introduction and study of a new prior model called « Bernoulli Mixture of Gaussians » (BMG). The latter, based on continuous Gaussian mixtures improves the convergence properties of MCMC methods thanks to an efficient numerical implementation of PCGS algorithms. On the other hand, the model is presented in a general framework, allowing to take into account, in a systematic way, a rich family of probability distributions. More precisely, the BMG relies on the LSMG (Location and Scale Mixture of Gaussians) family, which we have studied and characterized. The second major contribution consists in extending the field of application of the BMG model to probability distributions supported on a bounded interval. Thus, we have proposed a new approach to approximate probability distributions called « asymptotically Exact Location-Scale Approximations » (ELSA) for which we have shown good behavior, both in theory and in practice and empirically validate its efficiency compared to state-of-the-art approaches. Finally, the efficiency of the BMG model, its PCGS sampler and ELSA approximations is studied and validated in the context of sparse inverse problems on an example of spike train deconvolution.; Cette thèse aborde la résolution des problèmes inverses parcimonieux quand les données observées peuvent être considérées comme une combinaison linéaire d'un faible nombre d'éléments dits « atomes » (e.g., impulsions, réponse instrumentale décalée ou sinusoïdes). Ces problèmes sont rencontrés dans différents domaines d'application, allant du contrôle non destructif ultrasonore, à la spectroscopie et l'analyse spectrale. Dans le contexte bayésien, ces problèmes peuvent être abordés en considérant des modèles a priori sur les paramètres d'intérêts, prenant en compte la parcimonie de façon explicite via l'introduction de variables binaires (e.g., modèle Bernoulli-Gaussien). L'estimation des paramètres se fait ensuite en calculant un estimateur de type espérance a posteriori à partir d'échantillons générés par des méthodes Monte-Carlo par chaînes de Markov (MCMC). L'avantage majeur des méthodes MCMC dans le contexte bayésien, par rapport aux approches d'optimisation déterministes, est la possibilité d'intégrer sans grande difficulté l'estimation des hyper-paramètres du modèle (e.g., la variance du bruit d'observation) ainsi que de se placer dans un cadre semi-aveugle ou aveugle, c'est-à-dire des cas où les atomes sont partiellement ou totalement inconnus. Cependant, ces méthodes MCMC sont généralement très coûteuses en temps de calcul et nécessitent d'être manipulées avec soin afin de garantir leur convergence. Des approches d'échantillonnage efficace s'appuyant sur le Partially Collapsed Gibbs Sampler (PCGS) ont été développées dans le cas du modèle Bernoulli-Gaussien. Cependant, elles ne peuvent pas être utilisées dès que l'on souhaite considérer d'autres a priori parcimonieux, avec des lois à longues queues (e.g., Bernoulli-Laplace) qui sont préférables à la Gaussienne car elles induisent une moindre régularisation ; ou avec des lois à support réduit (e.g., Bernoulli-Exponentiel) afin de garantir une contrainte de non-négativité. On est alors restreint à l'utilisation des méthodes MCMC classiques coûteuses en temps de calcul. L'objectif de cette thèse est de réconcilier l'échantillonnage PCGS avec des modèles prenant en compte la parcimonie de façon explicite autres que le modèle Bernoulli-Gaussien. La principale contribution est l'introduction et l'étude d'un nouveau modèle a priori dit « Bernoulli Mélange de Gaussiennes » (BMG). Ce dernier repose sur les lois de mélange continu de Gaussiennes et permet l'amélioration des propriétés de convergence des méthodes MCMC grâce à une implémentation numérique efficace d'algorithmes PCGS. D'autre part, le modèle est présenté dans un cadre général, permettant de prendre en compte, de manière systématique, de nombreuses lois de probabilité. Pour ces travaux, nous avons exploité des lois de probabilité de la famille LSMG (Location and Scale Mixture of Gaussians), peu étudiée dans la littérature, que nous avons caractérisées plus précisément. Une deuxième contribution majeure consiste à étendre le champ d'application du modèle BMG aux lois de probabilité à support réduit. Ainsi, nous avons proposé une nouvelle approche d'approximation de lois de probabilité dénommée « asymptotically Exact Location-Scale Approximations » (ELSA) pour laquelle nous avons montré le bon comportement, à la fois en théorie et en pratique et avons montré empiriquement son efficacité par rapport aux approches de l'état de l'art. Enfin, l'efficacité du nouveau modèle BMG, de son échantillonneur PCGS et des approximations ELSA est étudiée et validée dans le cadre des problèmes inverses parcimonieux sur un exemple de déconvolution de train d'impulsions.

Ce mémoire résume mon activité pédagogique et scientifique en vue de l’obtention de l’habilitation à diriger des recherches.

The main objective of this thesis is to propose alternative solutions to classical electrodynamic loudspeakers used in the automobile industry being compliant with spatial sound rendering. The idea is to make indoor garnishments equipped with actuators (electrodynamic or piezoelectric) vibrating and radiating sound by focusing bending waves inside them. Firstly, three wave focusing methods have been formalized in a common framework and adapted to audio applications. A parametric study was conducted to compare them using dedicated key performance indexes. It turns out that the most efficient method in this context is the inversion of the spatio-temporal propagation operator which requires a prior experimental learning of the structure dynamics. An experimental validation of the focusing abilities of this method has been achieved on a car door. Learning through a numerical twin instead of time-consuming experimental data has also been validated. Then temperature variations between -10°C and 60°C existing car have been considered. The dynamic properties of the host structure (made of polypropylene in general) indeed vary widely in this temperature range. A temperature compensation strategy based on digital twins feeding neural networks has therefore been implemented. In addition, noise and vibrations due to the engine and the road can impact bending wave focusing. A closed loop strategy is therefore used to guarantee the performance of the focusing algorithm while eliminating those disturbances., L’objectif de cette thèse est de proposer et de valider des solutions alternatives aux haut-parleurs électrodynamiques classiquement utilisés dans l’automobile qui soient compatibles avec le rendu sonore spatialisé. L’idée directrice est de faire directement vibrer et rayonner des garnitures intérieures équipées d’actionneurs (électrodynamiques ou piézoélectriques) en y focalisant des ondes de flexion. Trois méthodes de focalisation de la littérature ont ainsi été formalisés dans un cadre commun et adaptées aux applications audio. Une étude paramétrique a été menée pour les comparer numériquement et expérimentalement à l’aide d’indicateurs de performances dédiés. La méthode de focalisation la plus efficace est l’inversion spatio-temporelle de l’opérateur de propagation. Elle nécessite un apprentissage préalable de la dynamique de la structure expérimentalement couteux. Une validation expérimentale des capacités de focalisation de cette méthode a été effectuée sur une portière de voiture. L’apprentissage par le biais d’un jumeau numérique au lieu de données expérimentales a de plus été validé. Les variations de température entre 10°C et 60°C existantes dans un habitacle de voiture ont ensuite été considérées. Les propriétés dynamiques de la structure hôte (constituée de polypropylène en général) varient en effet largement dans cette plage de température. Une stratégie de compensation de la température basée sur un jumeau numérique entrainant un réseau de neurones a été mise en place et validée numériquement. De plus, les bruits et vibrations dus au moteur et à la route perturbent également la focalisation. Une commande en boucle fermée a été mise en place afin de garantir les performances de l’algorithme de focalisation tout en éliminant ces perturbations.

Inverse problems is a fast growing area in applied mathematics which has gained a great attention in the last decades due to its ubiquity in several fields of sciences and technology. Yet, most often, inverse problems result in mathematical equation which are unstable. That is, the solutions do not continuously depend on the data. As a matter of fact, very little perturbations on the data might cause arbitrary large errors on the solutions. Therefore, given that the noise is generally unavoidable in the data, direct attempts to solve the problem fail and one needs to apply a regularization method in order to recover stable approximates of the unknown solutions. In this respect, several regularization techniques have been developed in the literature. Globally, all these regularization methods can be split into two classes: A class of methods which attempt to reconstruct the unknown solutions and a class of methods which try to recover smooth versions of the unknown solutions. The aim of this thesis is to contribute to the promotion of the second class of regularization method via the study and application of the variational formulation of mollification. In this work, we show that the variational approach can be extended to the regularization of ill-posed problems involving non-compact operators. In this respect, we study and successfully apply the method to a problem coming from statistics namely the nonparametric instrumental regression. An additional contribution of this thesis is the design and study of a novel regularization method suitable for linear exponentially ill-posed problems. A numerical comparison of the new method to classical regularization methods such as Tikhonov, spectral cut-off, asymptotic regularization and conjugate gradient is carried out on three test problems from literature. The practical aspect of selection of the regularization parameter without knowledge of the noise level is also considered. Apart from the study and application of regularization methods, this thesis also focuses on the application of a very popular parameter selection rule known as the Morozov principle. Using Lagrange duality, we provide a simple and rapid algorithm for the computation of the regularization parameter corresponding to this rule for Tikhonov-like regularization methods. A relevance of this study is that it highlights a poorly known regularization method which yet has a great potential and is able to provide comparatively better approximate solutions compared to well-known classical regularization techniques. Another benefit of this thesis is the design of a new regularization method which, we believe, is promising in the regularization of exponentially ill-posed problems, especially for inverse heat conduction problems.; Les problèmes inverses constituent un domaine en pleine expansion en mathématiques appliquées qui a suscité une grande attention au cours des dernières décennies en raison de son omniprésence dans plusieurs domaines des sciences et technologies. Le plus souvent, les problèmes inverses donnent lieu à des équations mathématiques instables. Autrement dit, les solutions ne dépendent pas continument des données. En effet, de très petites perturbations sur les données peuvent causer des erreurs arbitrairement grandes sur les solutions. Étant donné que le bruit est généralement inévitable, inverser l'équation mal-posée échoue à résoudre le problème. Il est alors nécessaire d'appliquer une méthode de régularisation afin de récupérer des approximations stables des solutions. À cet égard, plusieurs techniques de régularisation ont été développées dans la littérature. Globalement, ces méthodes de régularisation peuvent être divisées en deux classes : Une classe de méthodes qui tentent de reconstruire les solutions inconnues initiales et une classe de méthodes qui tentent de reconstruire des versions lisses des solutions inconnues. L'objectif de cette thèse est de contribuer à la promotion de la deuxième classe de méthode de régularisation à travers l'étude et l'application de la formulation variationnelle de la mollification. Dans ce manuscrit, nous montrons que l'approche variationnelle de la mollification peut être étendue à la régularisation de problèmes mal-posés impliquant des opérateurs non compacts. À cet égard, nous étudions et appliquons avec succès la méthode à la régression instrumentale non-paramétrique. Une contribution supplémentaire de cette thèse est la conception et l'étude d'une nouvelle méthode de régularisation adaptée aux problèmes linéaires exponentiellement mal-posés. Une comparaison numérique de cette nouvelle méthode aux méthodes classiques de régularisation telles que Tikhonov, la spectral cut-off, la régularisation asymptotique et la méthode des gradients conjugués est effectuée sur trois problèmes test tirés de la littérature. L'aspect pratique de la sélection du paramètre de régularisation avec un niveau de bruit inconnu est également considéré. Outre l'étude et l'application des méthodes de régularisation, cette thèse traite également de l'application d'une règle de sélection de paramètres de régularisation très populaire connue sous le nom du principe de Morozov. En utilisant la dualité de Lagrange, nous fournissons un algorithme simple et rapide pour le calcul du paramètre de régularisation correspondant à cette règle pour les méthodes de régularisation du type Tikhonov. L'intérêt de cette étude est qu'elle met en avant une méthode de régularisation mal connue qui pourtant a un grand potentiel et est capable de fournir des solutions approchées comparativement meilleures que certaines techniques de régularisation classiques bien connues. Un autre apport de cette thèse est la conception d'une nouvelle méthode de régularisation qui, selon nous, est prometteuse dans la régularisation de problèmes exponentiellement mal-posés, en particulier pour les problèmes inverses de conduction thermique.

Inverse problems is a fast growing area in applied mathematics which has gained a great attention in the last decades due to its ubiquity in several fields of sciences and technology. Yet, most often, inverse problems result in mathematical equation which are unstable. That is, the solutions do not continuously depend on the data. As a matter of fact, very little perturbations on the data might cause arbitrary large errors on the solutions. Therefore, given that the noise is generally unavoidable in the data, direct attempts to solve the problem fail and one needs to apply a regularization method in order to recover stable approximates of the unknown solutions. In this respect, several regularization techniques have been developed in the literature. Globally, all these regularization methods can be split into two classes: A class of methods which attempt to reconstruct the unknown solutions and a class of methods which try to recover smooth versions of the unknown solutions. The aim of this thesis is to contribute to the promotion of the second class of regularization method via the study and application of the variational formulation of mollification. In this work, we show that the variational approach can be extended to the regularization of ill-posed problems involving non-compact operators. In this respect, we study and successfully apply the method to a problem coming from statistics namely the nonparametric instrumental regression. An additional contribution of this thesis is the design and study of a novel regularization method suitable for linear exponentially ill-posed problems. A numerical comparison of the new method to classical regularization methods such as Tikhonov, spectral cut-off, asymptotic regularization and conjugate gradient is carried out on three test problems from literature. The practical aspect of selection of the regularization parameter without knowledge of the noise level is also considered. Apart from the study and application of regularization methods, this thesis also focuses on the application of a very popular parameter selection rule known as the Morozov principle. Using Lagrange duality, we provide a simple and rapid algorithm for the computation of the regularization parameter corresponding to this rule for Tikhonov-like regularization methods. A relevance of this study is that it highlights a poorly known regularization method which yet has a great potential and is able to provide comparatively better approximate solutions compared to well-known classical regularization techniques. Another benefit of this thesis is the design of a new regularization method which, we believe, is promising in the regularization of exponentially ill-posed problems, especially for inverse heat conduction problems.; Les problèmes inverses constituent un domaine en pleine expansion en mathématiques appliquées qui a suscité une grande attention au cours des dernières décennies en raison de son omniprésence dans plusieurs domaines des sciences et technologies. Le plus souvent, les problèmes inverses donnent lieu à des équations mathématiques instables. Autrement dit, les solutions ne dépendent pas continument des données. En effet, de très petites perturbations sur les données peuvent causer des erreurs arbitrairement grandes sur les solutions. Étant donné que le bruit est généralement inévitable, inverser l'équation mal-posée échoue à résoudre le problème. Il est alors nécessaire d'appliquer une méthode de régularisation afin de récupérer des approximations stables des solutions. À cet égard, plusieurs techniques de régularisation ont été développées dans la littérature. Globalement, ces méthodes de régularisation peuvent être divisées en deux classes : Une classe de méthodes qui tentent de reconstruire les solutions inconnues initiales et une classe de méthodes qui tentent de reconstruire des versions lisses des solutions inconnues. L'objectif de cette thèse est de contribuer à la promotion de la deuxième classe de méthode de régularisation à travers l'étude et l'application de la formulation variationnelle de la mollification. Dans ce manuscrit, nous montrons que l'approche variationnelle de la mollification peut être étendue à la régularisation de problèmes mal-posés impliquant des opérateurs non compacts. À cet égard, nous étudions et appliquons avec succès la méthode à la régression instrumentale non-paramétrique. Une contribution supplémentaire de cette thèse est la conception et l'étude d'une nouvelle méthode de régularisation adaptée aux problèmes linéaires exponentiellement mal-posés. Une comparaison numérique de cette nouvelle méthode aux méthodes classiques de régularisation telles que Tikhonov, la spectral cut-off, la régularisation asymptotique et la méthode des gradients conjugués est effectuée sur trois problèmes test tirés de la littérature. L'aspect pratique de la sélection du paramètre de régularisation avec un niveau de bruit inconnu est également considéré. Outre l'étude et l'application des méthodes de régularisation, cette thèse traite également de l'application d'une règle de sélection de paramètres de régularisation très populaire connue sous le nom du principe de Morozov. En utilisant la dualité de Lagrange, nous fournissons un algorithme simple et rapide pour le calcul du paramètre de régularisation correspondant à cette règle pour les méthodes de régularisation du type Tikhonov. L'intérêt de cette étude est qu'elle met en avant une méthode de régularisation mal connue qui pourtant a un grand potentiel et est capable de fournir des solutions approchées comparativement meilleures que certaines techniques de régularisation classiques bien connues. Un autre apport de cette thèse est la conception d'une nouvelle méthode de régularisation qui, selon nous, est prometteuse dans la régularisation de problèmes exponentiellement mal-posés, en particulier pour les problèmes inverses de conduction thermique.

Early detection of retinal pathologies in humans requires non-invasive in vivo imaging of retinal tissue at the cellular level. Yet, observation of the retina from the outside suffers from the poor optical quality of the eye, the ocular movements, light scattering by tissues, and low signal-to-noise ratio due to eye safety constraints. Adaptive optics (AO), which compensates in real time for optical aberrations introduced by the eye, makes it possible to increase the spatial resolution of in vivo images. Nevertheless, the contrast of in vivo retinal images corrected by AO is degraded by a dominant diffuse background and their ultimate resolution remains limited by the numerical aperture set by the eye pupil. Structured illumination microscopy (SIM), a well-proven super-resolution microscopy technique, resolves these limitations and allows us to obtain images that are contrasted (by optical sectioning) and super-resolved, i.e. with a resolution better than the diffraction limit. However, its application to in vivo retinal imaging has never been achieved.The goal of this thesis is to design, implement and operate an ophthalmoscope by structured illumination in order to obtain contrasted and super-resolved retinal images. First, I developed a Bayesian SIM reconstruction method taking into account the specificities of retinal imaging, namely eye movements, the three-dimensional nature of the retina and the diffusion induced by the eye. This method, initially validated on microscopy data, has been characterized on simulated data with the aim of optimizing its parameters and quantifying its performance. Then, in order to validate experimentally the proposed method on retina in vivo, I developed, in a co-design approach, an AO-assisted flood-illumination ophthalmoscope, which is able to project structured illumination patterns onto the retina. Following the same approach, I adapted the reconstruction method and produced SIM reconstructed images of the living retina, which represents the world’s first demonstration of in vivo high resolution structured illumination retinal imaging. The resulting images highlight a substantial contrast and resolution enhancement compared to conventional wide-field images.; La détection précoce des pathologies rétiniennes chez l’Homme réclame des moyens d’imagerie in vivo non invasifs du tissu rétinien, à l’échelle de la cellule. Or, l’observation de la rétine depuis l’extérieur souffre de la mauvaise qualité optique de l’œil, des mouvements oculaires, de la diffusion de la lumière par les tissus, et du mauvais rapport signal-à-bruit dû aux contraintes de sécurité oculaire. L’optique adaptative (OA), qui compense en temps réel les aberrations optiques introduites par l’œil, permet d’augmenter la résolution spatiale des images in vivo. Néanmoins, le contraste des images rétiniennes in vivo corrigées par OA est dégradé par un fond diffus dominant et leur résolution ultime reste limitée par l’ouverture de la pupille de l’œil. L’imagerie par illumination structurée, une technique de super-résolution éprouvée en microscopie, permet de résoudre ces limitations et d’obtenir des images contrastées (par sectionnement optique) et super-résolues, c’est-à-dire avec une résolution meilleure que la limite de diffraction. Son application à l’imagerie rétinienne in vivo n’a cependant jamais été réalisée.L’enjeu de cette thèse est de concevoir, de mettre en œuvre et d’exploiter un ophtalmoscope par illumination structurée afin d’obtenir des images rétiniennes contrastées et super-résolues. J’ai d’abord développé une méthode bayésienne de reconstruction par illumination structurée prenant en compte les spécificités de l’imagerie rétinienne, à savoir les mouvements oculaires, le caractère tridimensionnel de la rétine et la diffusion induite par l’œil. Cette méthode, validée dans un premier temps sur des données de microscopie, a été caractérisée par simulations dans le but d’en optimiser les paramètres et de quantifier ses performances. Ensuite, pour valider expérimentalement la méthode proposée sur rétine in vivo, j’ai développé dans une approche de co-conception un ophtalmoscope plein champ assisté par OA capable de projeter de l’illumination structurée dans la rétine. Dans cette même approche, j’ai adapté la méthode de reconstruction et j’ai réalisé des images rétiniennes reconstruites par illumination structurée, ce qui constitue la première démonstration mondiale de l'imagerie rétinienne in vivo à haute résolution par illumination structurée. Les images ainsi obtenues présentent un gain notable en contraste et en résolution par rapport aux images plein champ conventionnelles.

A hyperspectral (HS) image of a scene corresponds to a cube of data with two spatial and one spectral dimension : it can be seen as a large number of images of the scene in different spectral bands or as a set of spectra at each spatial position. A central problem with hyperspectral imaging is related to the three-dimensional nature of the data that must be acquired with 2D sensors. Some complex optical devices are able to image the entire cube in a single acquisition (socalled " snapshot " imagers), but the most conventional approach is to scan, spatially, spectrally or alternatively, the entire cube. More recently, devices performing acquisitions of incomplete projections of the HS cube have been proposed, combined with reconstruction methods to obtain the HS cube from a small amount of data (much less data than a scan of the whole cube). However, the associated algorithms generally require long computation times. In this context, this thesis proposes HS images reconstruction methods for a re-configurable hyperspectral imager. This instrument is composed of two symmetrical 4f lines (assembly of two lenses and a diffraction grating) separated by a matrix of micro-mirrors (Digital Micromirror Device, DMD) placed in the symmetry plane. The DMD plays a role of programmable spatio-spectral filter and its configurations allow acquisitions of different projections of the cube. Note that the panchromatic image of the scene is easily acquired, with the same sampling as the HS data, by setting all the mirrors in reflection mode. The aim is to reconstruct the HS cube with a low number of acquisitions for random configurations of the DMD and with a limited computation cost. We propose two reconstruction methods that take into account the characteristics of the imager and exploit the panchromatic image. In particular, we have assumed that the HS image consists of spatially homogeneous areas with similar spectra and that these homogeneous areas and the contours between these areas can be detected in the panchromatic image. The first method defines the solution as the minimizer of a quadratic data fidelity term penalized by a Tikhonov regularization term, i.e. a quadratic penalization of gradients in the three directions. This spatial gradient penalization favors the presence of homogeneous areas over the entire HS cube and tends to smooth the image contours. To address this, we proposed to detect the spatial contours of the HS image from the panchromatic image and to relx the penalization of the spatial gradients on these contours. This leads to a quadratic regularization edge-preserving reconstruction method. To compute the solution of the corresponding normal equation, we paid particular attention to the implementation of a conjugated gradient algorithm in two ways. On the one hand, we have exploited the properties of the instrumental device to efficiently implement the computation of the direct and adjoint models at low computational cost. On the other hand, we took advantage of the configurable aspect of the device to reduce the condition number of the normal matrix and accelerate the convergence of the algorithm. To do so, we proposed to exploit so-called orthogonal configurations of the DMD. The second method [...]; Une image hyperspectrale (HS) d'une scène correspond à un cube de données avec deux dimensions spatiales et une dimension spectrale : elle peut être vue comme un grand nombre d'images de la scène dans différentes bandes spectrales ou comme un ensemble de spectres à chaque position spatiale. Un problème central de l'imagerie hyperspectrale est lié à la nature tridimensionnelle des données qui doivent être acquises avec des capteurs 2D. Bien que certains dispositifs optiques complexes ont cherché à imager l'ensemble du cube en une seule acquisition (imageurs dits "snapshot"), l'approche la plus classique consiste à effectuer un balayage, spatial, spectral ou autre de l'ensemble du cube. Plus récemment, des dispositifs effectuant des acquisitions de projections incomplètes du cube HS ont été proposés, associés à des méthodes de reconstruction pour obtenir le cube HS à partir d'un faible nombre de données (beaucoup moins de données que donnerait un balayage du cube). Les algorithmes associés à ces méthodes nécessitent des temps de calcul généralement longs. Cette thèse se place dans ce cadre et vise à proposer des méthodes de reconstruction d'images HS pour un dispositif pilotable. Cet instrument est composé de deux lignes 4f (assemblage de deux lentilles et d'un réseau de diffraction) symétriques et séparées par une matrice de micro-miroirs (DMD pour Digital Micromirror Device) placée dans le plan de symétrie. L'ensemble agit comme un filtre spatio-spectral programmable. La configuration du DMD permet de faire l'acquisition de différentes projections du cube. Notons que l'image panchromatique de la scène est acquise simplement et avec le même échantillonnage que les données HS en positionnant tous les miroirs en réflexion. L'objectif est de reconstruire le cube HS avec un faible nombre d'acquisitions pour des configurations aléatoires du DMD et avec un coût de calcul limité. Nous proposons deux méthodes de reconstruction qui prennent en compte les caractéristiques de l'imageur et exploitent la connaissance de l'image panchromatique. En particulier, nous nous sommes appuyés sur l'hypothèse que l'image HS est constituée de zones spatiales homogènes ayant des spectres similaires et que ces zones homogènes et les contours entre ces zones peuvent être détectés sur l'image panchromatique. La première méthode définit la solution comme minimisant un terme quadratique de fidélité aux données pénalisé par un terme de régularisation de type Tikhonov, soit une pénalisation quadratique des gradients dans les trois directions spatiales et spectrale. Cette pénalisation des gradients spatiaux favorisant la présence de zones homogènes sur l'ensemble du cube HS, elle a tendance à lisser les contours de l'image. Pour remédier à cela, nous avons proposé de détecter les contours spatiaux de l'image HS à partir de l'image panchromatique et de ne pas pénaliser les gradients spatiaux de part et d'autre de ces contours. On aboutit ainsi à une méthode de reconstruction par régularisation quadratique permettant de préserver les contours de l'image HS. Pour calculer la solution de l'équation normale correspondant à ce problème, nous avons porté une attention particulière à l'implémentation d'un algorithme de type gradients conjugués et ceci de deux manières. D'une part, nous avons exploité les propriétés du dispositif instrumental pour implémenter de façon efficace le calcul du modèle direct et adjoint à faible coût de calcul. D'autre part, nous avons profité de l'aspect configurable du dispositif pour réduire le conditionnement de la matrice normale et accélérer la convergence de l'algorithme. Pour ce faire, nous avons proposé d'exploiter des configurations dites orthogonales du DMD. Pour la deuxième méthode, [...]

A hyperspectral (HS) image of a scene corresponds to a cube of data with two spatial and one spectral dimension : it can be seen as a large number of images of the scene in different spectral bands or as a set of spectra at each spatial position. A central problem with hyperspectral imaging is related to the three-dimensional nature of the data that must be acquired with 2D sensors. Some complex optical devices are able to image the entire cube in a single acquisition (socalled " snapshot " imagers), but the most conventional approach is to scan, spatially, spectrally or alternatively, the entire cube. More recently, devices performing acquisitions of incomplete projections of the HS cube have been proposed, combined with reconstruction methods to obtain the HS cube from a small amount of data (much less data than a scan of the whole cube). However, the associated algorithms generally require long computation times. In this context, this thesis proposes HS images reconstruction methods for a re-configurable hyperspectral imager. This instrument is composed of two symmetrical 4f lines (assembly of two lenses and a diffraction grating) separated by a matrix of micro-mirrors (Digital Micromirror Device, DMD) placed in the symmetry plane. The DMD plays a role of programmable spatio-spectral filter and its configurations allow acquisitions of different projections of the cube. Note that the panchromatic image of the scene is easily acquired, with the same sampling as the HS data, by setting all the mirrors in reflection mode. The aim is to reconstruct the HS cube with a low number of acquisitions for random configurations of the DMD and with a limited computation cost. We propose two reconstruction methods that take into account the characteristics of the imager and exploit the panchromatic image. In particular, we have assumed that the HS image consists of spatially homogeneous areas with similar spectra and that these homogeneous areas and the contours between these areas can be detected in the panchromatic image. The first method defines the solution as the minimizer of a quadratic data fidelity term penalized by a Tikhonov regularization term, i.e. a quadratic penalization of gradients in the three directions. This spatial gradient penalization favors the presence of homogeneous areas over the entire HS cube and tends to smooth the image contours. To address this, we proposed to detect the spatial contours of the HS image from the panchromatic image and to relx the penalization of the spatial gradients on these contours. This leads to a quadratic regularization edge-preserving reconstruction method. To compute the solution of the corresponding normal equation, we paid particular attention to the implementation of a conjugated gradient algorithm in two ways. On the one hand, we have exploited the properties of the instrumental device to efficiently implement the computation of the direct and adjoint models at low computational cost. On the other hand, we took advantage of the configurable aspect of the device to reduce the condition number of the normal matrix and accelerate the convergence of the algorithm. To do so, we proposed to exploit so-called orthogonal configurations of the DMD. The second method [...]; Une image hyperspectrale (HS) d'une scène correspond à un cube de données avec deux dimensions spatiales et une dimension spectrale : elle peut être vue comme un grand nombre d'images de la scène dans différentes bandes spectrales ou comme un ensemble de spectres à chaque position spatiale. Un problème central de l'imagerie hyperspectrale est lié à la nature tridimensionnelle des données qui doivent être acquises avec des capteurs 2D. Bien que certains dispositifs optiques complexes ont cherché à imager l'ensemble du cube en une seule acquisition (imageurs dits "snapshot"), l'approche la plus classique consiste à effectuer un balayage, spatial, spectral ou autre de l'ensemble du cube. Plus récemment, des dispositifs effectuant des acquisitions de projections incomplètes du cube HS ont été proposés, associés à des méthodes de reconstruction pour obtenir le cube HS à partir d'un faible nombre de données (beaucoup moins de données que donnerait un balayage du cube). Les algorithmes associés à ces méthodes nécessitent des temps de calcul généralement longs. Cette thèse se place dans ce cadre et vise à proposer des méthodes de reconstruction d'images HS pour un dispositif pilotable. Cet instrument est composé de deux lignes 4f (assemblage de deux lentilles et d'un réseau de diffraction) symétriques et séparées par une matrice de micro-miroirs (DMD pour Digital Micromirror Device) placée dans le plan de symétrie. L'ensemble agit comme un filtre spatio-spectral programmable. La configuration du DMD permet de faire l'acquisition de différentes projections du cube. Notons que l'image panchromatique de la scène est acquise simplement et avec le même échantillonnage que les données HS en positionnant tous les miroirs en réflexion. L'objectif est de reconstruire le cube HS avec un faible nombre d'acquisitions pour des configurations aléatoires du DMD et avec un coût de calcul limité. Nous proposons deux méthodes de reconstruction qui prennent en compte les caractéristiques de l'imageur et exploitent la connaissance de l'image panchromatique. En particulier, nous nous sommes appuyés sur l'hypothèse que l'image HS est constituée de zones spatiales homogènes ayant des spectres similaires et que ces zones homogènes et les contours entre ces zones peuvent être détectés sur l'image panchromatique. La première méthode définit la solution comme minimisant un terme quadratique de fidélité aux données pénalisé par un terme de régularisation de type Tikhonov, soit une pénalisation quadratique des gradients dans les trois directions spatiales et spectrale. Cette pénalisation des gradients spatiaux favorisant la présence de zones homogènes sur l'ensemble du cube HS, elle a tendance à lisser les contours de l'image. Pour remédier à cela, nous avons proposé de détecter les contours spatiaux de l'image HS à partir de l'image panchromatique et de ne pas pénaliser les gradients spatiaux de part et d'autre de ces contours. On aboutit ainsi à une méthode de reconstruction par régularisation quadratique permettant de préserver les contours de l'image HS. Pour calculer la solution de l'équation normale correspondant à ce problème, nous avons porté une attention particulière à l'implémentation d'un algorithme de type gradients conjugués et ceci de deux manières. D'une part, nous avons exploité les propriétés du dispositif instrumental pour implémenter de façon efficace le calcul du modèle direct et adjoint à faible coût de calcul. D'autre part, nous avons profité de l'aspect configurable du dispositif pour réduire le conditionnement de la matrice normale et accélérer la convergence de l'algorithme. Pour ce faire, nous avons proposé d'exploiter des configurations dites orthogonales du DMD. Pour la deuxième méthode, [...]

Echography relies on the transmission of ultrasound signals through biological tissues, and the processing of backscattered echoes. The rise of ultrafast ultrasound imaging gave access to physiological events faster than 10 000 frames per second. It allowed therefore the development of high-end techniques such as organs elasticity imaging or sensitive quantification of blood flows. During its propagation through complex or heterogeneous media, the acoustic wavefront may still suffer strong distorsions; hindering both the image quality and the ensuing quantitative assessments. Correcting such aberrations is the ultimate goal of the research work conducted during this PhD. By studying statistical properties of interferences between scatterers, a matrix formalism has been developed to optimise the angular coherence of backscattered echoes. Importantly, we succeeded for the first time, in correcting images and quantifying locally the speed of sound at ultrafast frame rates. Sound speed was proven to be a unique biomarker in the example of hepatic steatosis, and possibly separation of brain white and black matter. The phase correction method will be an interesting contribution to motion correction in the case of 3D tomography and vascular imaging, offering thus new horizons to ultrasound imaging., L’imagerie échographique repose sur la transmission de signaux ultrasonores à travers les tissus biologiques et l’analyse des échos rétro-diffusés. Donnant accès à des phénomènes physiologiques au-delà de 10 000 images par seconde, l’échographie ultrarapide a permis le développement de techniques inédites telles que l’imagerie de l’élasticité des organes ou la quantification ultrasensible des flux sanguins. Le front d’onde acoustique, lors de sa propagation à travers des milieux complexes ou hétérogènes peut toutefois subir de fortes déformations ; affectant tant la qualité de l’image, que les informations quantitatives sur le milieu. Corriger de telles aberrations est l’enjeu majeur des travaux de recherche effectués au cours de cette thèse. En étudiant les propriétés statistiques des interférences entre les diffuseurs, un formalisme mathématique a été développé pour optimiser la cohérence angulaire des signaux rétro-diffusés. Ainsi parvient- on, pour la première fois en temps réel, à corriger les images et quantifier localement la vitesse du son. Cette dernière constitue un bio-marqueur inédit dans les exemples de la stéatose hépatique, et possiblement de la séparation des substances blanche et grise du cerveau. La méthode de correction de phase proposée va également être un apport intéressant aux corrections de mouvement dans le cas de la tomographie 3D et de l’imagerie vasculaire, offrant de nouvelles perspectives à l’imagerie ultrasonore.

Dans de nombreux problèmes inverses rencontrés en traitement du signal et de l'image, le manque d'information contenue dans les données peut être compensé par la prise en compte d'une contrainte de parcimonie sur la solution recherchée. L'hypothèse de parcimonie suppose que l'objet d'intérêt peut s'exprimer, de manière exacte ou approchée, comme la combinaison linéaire d'un petit nombre d'éléments choisis dans un dictionnaire adapté.Je présenterai différentes contributions apportées dans la construction de modèles parcimonieux. Dans plusieurs contextes applicatifs, nous cherchons à raffiner les représentations classiques reliant les données aux grandeurs d'intérêt à estimer, afin de les rendre plus fidèles à la réalité des processus observés. Cet enrichissement de modèle, s'il permet d'améliorer la qualité des solutions obtenues, s'opère au détriment d'une augmentation de la complexité calculatoire. Nous proposons donc des solutions algorithmiques dédiées, relevant essentiellement de l'optimisation mathématique.Un premier volet envisage la restauration de données d'imagerie hyperspectrale en astronomie, où l'observation de champs profonds depuis le sol s'effectue dans des conditions très dégradées. Le débruitage et la déconvolution sont abordés sous une hypothèse de parcimonie des spectres recherchés dans un dictionnaire de formes élémentaires. Des algorithmes d'optimisation capables de gérer la grande dimension des données sont proposés, reposant essentiellement sur l'optimisation de critères pénalisés par la norme l_1, par une approche de type descente par coordonnée.Une deuxième application concerne la déconvolution parcimonieuse pour le contrôle non destructif par ultrasons. Nous construisons, d'une part, un modèle "à haute résolution", permettant de suréchantillonner la séquence parcimonieuse recherchée par rapport aux données, pour lequel nous adaptons les algorithmes classiques de déconvolution. D'autre part, nous proposons de raffiner le modèle convolutif standard en intégrant des phénomènes de propagation acoustique, débouchant sur un modèle non invariant par translation. Ces travaux sont ensuite étendus à l'imagerie ultrasonore, par la construction de modèles de données adaptés et l'optimisation de critères favorisant la parcimonie.Nous abordons enfin des travaux plus génériques menés sur l'optimisation globale de critères parcimonieux impliquant la "norme" l_0 (le nombre de coefficients non nuls dans la décomposition recherchée). Alors que l'essentiel des travaux en estimation parcimonieuse privilégie des formulations sous-optimales adaptées aux problèmes de grande taille, nous nous intéressons à la recherche de solutions exactes des problèmes l_0 au moyen d'algorithmes branch-and-bound. De tels modèles parcimonieux, s'ils s'avèrent plus coûteux en temps de calcul, peuvent fournir de meilleures solutions et restent de complexité abordable sur des problèmes de taille modérée. Des applications sont proposées pour la déconvolution de signaux monodimensionnels et pour le démélange spectral.La présentation de quelques pistes de recherche à court et moyen terme conclura cet exposé.

A Riemannian manifold is said to be rigid if the length of periodic geodesics (in the case of a closed manifold) or scattered geodesics (in the case of an open manifold) allows to recover the full geometry of the manifold. This notion naturally arises in imaging devices such as X-ray tomography. Thanks to a analytic framework introduced by Guillarmou and based on microlocal analysis (and more precisely on the analytic study of hyperbolic flows of Faure-Sjostrand and Dyatlov-Zworski), we show that the marked length spectrum, that is the lengths of the periodic geodesics marked by homotopy, of a closed Anosov manifold or of an Anosov manifold with hyperbolic cusps locally determines its metric. In the case of an open manifold with hyperbolic trapped set, we show that the length of the scattered geodesics marked by homotopy locally determines the metric. Eventually, in the case of an asymptotically hyperbolic surface, we show that a suitable notion of renormalized distance between pair of points on the boundary at infinity allows to globally reconstruct the geometry of the surface.; Une variété riemannienne est dite rigide lorsque la longueur des géodésiques périodiques (cas des variétés fermées) ou des géodésiques diffusées (cas des variétés ouvertes) permet de reconstruire globalement la géométrie de la variété. Cette notion trouve naturellement son origine dans des dispositifs d’imagerie numérique tels que la tomographie par rayons X. Grâce une approche résolument analytique initiée par Guillarmou et fondée sur de l’analyse microlocale (plus particulièrement sur certaines techniques récentes dues à Faure-Sjostrand et Dyatlov-Zworski permettant une étude analytique fine des flots Anosov), nous montrons que le spectre marqué des longueurs, c’est-à-dire la donnée des longueurs des géodésiques périodiques marquées par l’homotopie, d’une variété fermée Anosov ou Anosov à pointes hyperboliques détermine localement la métrique de la variété. Dans le cas d’une variété ouverte avec ensemble capté hyperbolique, nous montrons que la distance marquée au bord, c’est-à-dire la donnée de la longueur des géodésiques diffusées marquées par l’homotopie, détermine localement la métrique. Enfin, dans le cas d’une surface asymptotiquement hyperbolique, nous montrons qu’une notion de distance renormalisée entre paire de points au bord à l’infini permet de reconstruire globalement la géométrie de la surface.

A Riemannian manifold is said to be rigid if the length of periodic geodesics (in the case of a closed manifold) or scattered geodesics (in the case of an open manifold) allows to recover the full geometry of the manifold. This notion naturally arises in imaging devices such as X-ray tomography. Thanks to a analytic framework introduced by Guillarmou and based on microlocal analysis (and more precisely on the analytic study of hyperbolic flows of Faure-Sjostrand and Dyatlov-Zworski), we show that the marked length spectrum, that is the lengths of the periodic geodesics marked by homotopy, of a closed Anosov manifold or of an Anosov manifold with hyperbolic cusps locally determines its metric. In the case of an open manifold with hyperbolic trapped set, we show that the length of the scattered geodesics marked by homotopy locally determines the metric. Eventually, in the case of an asymptotically hyperbolic surface, we show that a suitable notion of renormalized distance between pair of points on the boundary at infinity allows to globally reconstruct the geometry of the surface.; Une variété riemannienne est dite rigide lorsque la longueur des géodésiques périodiques (cas des variétés fermées) ou des géodésiques diffusées (cas des variétés ouvertes) permet de reconstruire globalement la géométrie de la variété. Cette notion trouve naturellement son origine dans des dispositifs d’imagerie numérique tels que la tomographie par rayons X. Grâce une approche résolument analytique initiée par Guillarmou et fondée sur de l’analyse microlocale (plus particulièrement sur certaines techniques récentes dues à Faure-Sjostrand et Dyatlov-Zworski permettant une étude analytique fine des flots Anosov), nous montrons que le spectre marqué des longueurs, c’est-à-dire la donnée des longueurs des géodésiques périodiques marquées par l’homotopie, d’une variété fermée Anosov ou Anosov à pointes hyperboliques détermine localement la métrique de la variété. Dans le cas d’une variété ouverte avec ensemble capté hyperbolique, nous montrons que la distance marquée au bord, c’est-à-dire la donnée de la longueur des géodésiques diffusées marquées par l’homotopie, détermine localement la métrique. Enfin, dans le cas d’une surface asymptotiquement hyperbolique, nous montrons qu’une notion de distance renormalisée entre paire de points au bord à l’infini permet de reconstruire globalement la géométrie de la surface.

Ce mémoire d'habilitation à diriger des recherches fournit une vue d'ensemble sur mes travaux, depuis mon recrutement en tant que Maître de Conférences en Acoustique au Conservatoire National des Arts et Métiers, en 2009. Les différents axes de recherches sur lesquels je me suis concentré depuis cette date ont pour fil conducteur l'utilisation de méthodes temporelles multicanales, pour le traitement des données associées aux réseaux de transducteurs. J'ai développé ces méthodes pour les appliquer à la résolution de problèmes inverses en environnement industriel, à l'élastographie du corps humain pour le diagnostic médical, à la localisation de snipers et de drones, ou encore pour proposer des stratégies d'apprentissage profond appliquées à la localisation de sources sonores, et à la reconnaissance de parole ou de sons environnementaux. Pour chacune de ces applications, je fournis dans ce document une description des méthodes proposées, ainsi qu'une synthèse des résultats les plus importants obtenus. La cohérence et les liens entre les différents projets sont mises en exergue, et les chapitres sont systématiquement illustrés de résultats numériques et expérimentaux. Le développement de dispositifs miniaturisés pour la synthèse de champs sonores et la captation est également mise en avant, puisque c'est l'une des caractéristiques de mes travaux de recherche ces dernières années.En fin de document, je propose également six propositions concrètes de recherches pour les années à venir, permettant ainsi d'exposer ma vision à court et moyen-terme des développements qui pourraient être réalisés sur la base de mes travaux.

Ce mémoire d'habilitation à diriger des recherches fournit une vue d'ensemble sur mes travaux, depuis mon recrutement en tant que Maître de Conférences en Acoustique au Conservatoire National des Arts et Métiers, en 2009. Les différents axes de recherches sur lesquels je me suis concentré depuis cette date ont pour fil conducteur l'utilisation de méthodes temporelles multicanales, pour le traitement des données associées aux réseaux de transducteurs. J'ai développé ces méthodes pour les appliquer à la résolution de problèmes inverses en environnement industriel, à l'élastographie du corps humain pour le diagnostic médical, à la localisation de snipers et de drones, ou encore pour proposer des stratégies d'apprentissage profond appliquées à la localisation de sources sonores, et à la reconnaissance de parole ou de sons environnementaux. Pour chacune de ces applications, je fournis dans ce document une description des méthodes proposées, ainsi qu'une synthèse des résultats les plus importants obtenus. La cohérence et les liens entre les différents projets sont mises en exergue, et les chapitres sont systématiquement illustrés de résultats numériques et expérimentaux. Le développement de dispositifs miniaturisés pour la synthèse de champs sonores et la captation est également mise en avant, puisque c'est l'une des caractéristiques de mes travaux de recherche ces dernières années.En fin de document, je propose également six propositions concrètes de recherches pour les années à venir, permettant ainsi d'exposer ma vision à court et moyen-terme des développements qui pourraient être réalisés sur la base de mes travaux.

Spectral tomodensitometry is a new emerging x-ray imaging modality. If the dual-energy principle was already known for quite some time, new developments on photon-counting detectors now allowing acquiring more energy bins than before. This modality allows reducing some artifacts presents in x-ray imaging, such as beam hardening, but mostly to decompose the data into the chemical composition of the imaged tissue. It also enables the use of new markers (i.e. gold) with an energic discontinuity. The use of these markers also allows to locate and quantify them in the patient, granting great potential for medical imaging. Decomposition in the projection domain followed by a tomographic reconstruction is a classical processing for those spectral data. However, decomposition methods in the projection domain are unstable for a high number of energy bins. Classical calibration technic is numerically unstable for more than two energy bins. This thesis aims to developed new material decomposition methods in the projections domains. After expressing the spectral forward model, the decomposition problem is expressed and dealt as a non-linear inverse problem. It will be solved by minimizing a cost function composed by a term characterizing the fidelity of the decomposition regarding the data and an a priori of the decomposed material maps. We will firstly present an adaptation of the cost function that takes into account the Poissonian noise on the data. This formulation allows having better decomposed maps for a high level of noise than classical formulation. Then, two constrained algorithms will be presented. The first one, a projected Gauss-Newton algorithm, that enforces positivity on the decomposed maps, allows having better decomposed maps than an unconstrained algorithm. To improve the first algorithm, another one was developed that also used an egality constrain. The equality allows having images with fewer artifacts than before. These methods are tested on a numerical phantom of a mouse and thorax. To speed up the decomposition process, an automatic choice of parameters is presented, which allow faster decomposition while keeping good maps. Finally, the methods are tested on experimental data that are coming from a spectral scanner prototype., La tomodensitométrie spectrale est une modalité d’imagerie par rayons X émergente. Si le principe de la double énergie est plus ancien, des développements récents sur des détecteurs à comptage de photons permettent d’acquérir des données résolues en énergie sur plusieurs plages. Cette modalité permet de réduire un certain nombre d’artéfacts classiques dont ceux liés au durcissement de spectre, mais surtout de remonter à la composition chimique des tissus. Les données spectrales permettent également d’utiliser de nouveaux agents de contraste (comme l’or par exemple) qui présentent des discontinuités énergétiques. La possibilité d’utiliser d’autres marqueurs et de quantifier leurs présences dans le patient donne à cette modalité un fort potentiel dans le domaine de l’imagerie médicale. Une approche classique pour le traitement des données spectrales est d’effectuer une décomposition en base de matériaux préalables à la reconstruction tomographique. Cependant, les méthodes de décomposition dans le domaine des projections avec un grand nombre de plages d’énergies n’en sont qu’à leurs débuts. Les techniques classiques par calibration, ne sont plus numériquement stables lorsqu’il y a plus de deux plages disponibles.Le but de cette thèse est de développer de nouvelles méthodes de décomposition des données spectrales dans le domaine des projections. Après avoir formalisé le problème direct de la tomodensitométrie spectrale, le problème de décomposition en base de matériaux sera exprimé et traité comme un problème inverse non linéaire. Il sera résolu en minimisant une fonction de coût incluant un terme caractérisant la fidélité de la décomposition par rapport aux données et un a priori sur les cartes de matériaux projetées. Ces travaux présenteront tout d’abord une adaptation de la fonctionnelle prenant en compte la nature Poissonienne du bruit. Cette formulation permet d’obtenir de meilleures décompositions pour de forts niveaux de bruit par rapport à la formulation classique. Ensuite, deux algorithmes de minimisation incluant une contrainte de positivité additionnelle seront proposés. Le premier, un algorithme de Gauss-Newton projeté, permet d’obtenir des cartes rapidement et de meilleure qualité que des méthodes non contraintes. Pour améliorer les résultats du premier algorithme, une seconde méthode, de type ADMM, ajoute une contrainte d’égalité. Cette contrainte a permis de diminuer les artefacts présents dans l’image. Ces méthodes ont été évaluées sur des données numériques de souris et de thorax humain. Afin d’accélérer et de simplifier les méthodes, un choix automatique des hyperparamètres est proposé qui permet de diminuer fortement le temps de calcul tout en gardant de bonnes décompositions. Finalement, ces méthodes sont testées sur des données expérimentales provenant d’un prototype de scanner spectral.

The goal of this thesis is to study and to develop some methods in order to solve two types of identification problems in the framework of elliptical equations. As those problems are known to be particularly unstable, the proposed methods are accompanied with regularization procedures, that ensure that the obtained solutions keep a physical meaning.Firstly, we study the resolution of the Cauchy problem (boundary conditions identification) by the Steklov-Poincaré method. We start by proposing some improvements based on the used Krylov solver, especially by introducing a regularization method that consists in truncating the Ritz values decomposition of the operator in question. We study afterwards the estimation of uncertainties by the mean of techniques stemming from Bayesian inversion. Finally, we aim at solving more demanding problems, namely a time-transient problem, a non-linear case, and we give some elements to carry out resolutions on geometries that have a very high number of degrees of freedom, with help of domain decomposition.As for the problem of crack identification by the reciprocity gap method, we firstly propose and numerically test some ways to stabilize the resolution (use of different test-functions, a posteriori minimization of the gradients or Tikhonov regularization). Then we present an other variant of the reciprocity gap method, that is applicable on cases for which the measurements are incomplete. This method, based on a Petrov-Galerkin approach, is confronted, among others, with an experimental case. Finally, we investigate some ideas that allow to extend the reciprocity gap method for the identification of non-plane cracks.; Le but de cette thèse est d'étudier et de développer des méthodes permettant de résoudre deux types de problèmes d'identification portant sur des équations elliptiques. Ces problèmes étant connus pour leur caractère fortement instable, les méthodes proposées s'accompagnent de procédures de régularisation, qui permettent d'assurer que la solution obtenue conserve un sens physique.Dans un premier temps, on étudie la résolution du problème de Cauchy (identification de conditions aux limites) par la méthode de Steklov-Poincaré. On commence par proposer quelques améliorations basées sur le solveur de Krylov utilisé, en introduisant notamment une méthode de régularisation consistant à tronquer la décomposition de Ritz de l'opérateur concerné. Par la suite, on s'intéresse à l'estimation d'incertitude en utilisant des techniques issues de l'inversion Bayésienne. Enfin, on cherche à résoudre des problèmes plus exigeants, à savoir un problème transitoire en temps, un cas non-linéaire, et on donne des éléments pour effectuer des résolutions sur des géométries ayant un très grand nombre de degrés de liberté en s'aidant de la décomposition de domaine.Pour ce qui est du problème d'identification de fissures par la méthode de l'écart à la réciprocité, on commence par proposer et tester numériquement différents moyens de stabiliser la résolution (utilisation de fonctions-tests différentes, minimisation des gradients a posteriori ou régularisation de Tikhonov). Puis on présente une autre variante de la méthode de l'écart à la réciprocité, qui est applicable aux cas pour lesquels les mesures sont incomplètes. Cette méthode, basée sur une approche de Petrov-Galerkine, est confrontée entre autres à un cas expérimental. Enfin, on s'intéresse à certaines idées permettant d'étendre la méthode de l'écart à la réciprocité à l'identification de fissures non planes.

The goal of this thesis is to study and to develop some methods in order to solve two types of identification problems in the framework of elliptical equations. As those problems are known to be particularly unstable, the proposed methods are accompanied with regularization procedures, that ensure that the obtained solutions keep a physical meaning.Firstly, we study the resolution of the Cauchy problem (boundary conditions identification) by the Steklov-Poincaré method. We start by proposing some improvements based on the used Krylov solver, especially by introducing a regularization method that consists in truncating the Ritz values decomposition of the operator in question. We study afterwards the estimation of uncertainties by the mean of techniques stemming from Bayesian inversion. Finally, we aim at solving more demanding problems, namely a time-transient problem, a non-linear case, and we give some elements to carry out resolutions on geometries that have a very high number of degrees of freedom, with help of domain decomposition.As for the problem of crack identification by the reciprocity gap method, we firstly propose and numerically test some ways to stabilize the resolution (use of different test-functions, a posteriori minimization of the gradients or Tikhonov regularization). Then we present an other variant of the reciprocity gap method, that is applicable on cases for which the measurements are incomplete. This method, based on a Petrov-Galerkin approach, is confronted, among others, with an experimental case. Finally, we investigate some ideas that allow to extend the reciprocity gap method for the identification of non-plane cracks., Le but de cette thèse est d'étudier et de développer des méthodes permettant de résoudre deux types de problèmes d'identification portant sur des équations elliptiques. Ces problèmes étant connus pour leur caractère fortement instable, les méthodes proposées s'accompagnent de procédures de régularisation, qui permettent d'assurer que la solution obtenue conserve un sens physique.Dans un premier temps, on étudie la résolution du problème de Cauchy (identification de conditions aux limites) par la méthode de Steklov-Poincaré. On commence par proposer quelques améliorations basées sur le solveur de Krylov utilisé, en introduisant notamment une méthode de régularisation consistant à tronquer la décomposition de Ritz de l'opérateur concerné. Par la suite, on s'intéresse à l'estimation d'incertitude en utilisant des techniques issues de l'inversion Bayésienne. Enfin, on cherche à résoudre des problèmes plus exigeants, à savoir un problème transitoire en temps, un cas non-linéaire, et on donne des éléments pour effectuer des résolutions sur des géométries ayant un très grand nombre de degrés de liberté en s'aidant de la décomposition de domaine.Pour ce qui est du problème d'identification de fissures par la méthode de l'écart à la réciprocité, on commence par proposer et tester numériquement différents moyens de stabiliser la résolution (utilisation de fonctions-tests différentes, minimisation des gradients a posteriori ou régularisation de Tikhonov). Puis on présente une autre variante de la méthode de l'écart à la réciprocité, qui est applicable aux cas pour lesquels les mesures sont incomplètes. Cette méthode, basée sur une approche de Petrov-Galerkine, est confrontée entre autres à un cas expérimental. Enfin, on s'intéresse à certaines idées permettant d'étendre la méthode de l'écart à la réciprocité à l'identification de fissures non planes.

International audience; On s'intéresse dans cette contribution à l'identification de fissures internes dans des pièces mécaniques à partir de mesures des déformations de celles-ci sous des sollicitations quasi-statiques. On utilise pour ce faire la méthode de l'écart à la réciprocité. Une procédure sera proposée afin de se passer de la nécessité, très contraignante pour cette méthode, d'avoir des mesures sur tout le bord du domaine considéré. Cette procédure sera étudiée numériquement sur des données synthétiques dans des cas 2D et 3D..

SAR tomography consists in exploiting multiple images from the same area acquired from a slightly different angle to retrieve the 3-D distribution of the complex reflectivity on the ground. As the transmitted waves are coherent, the desired spatial information (along with the vertical axis) is coded in the phase of the pixels. Many methods have been proposed to retrieve this information in the past years. However, the natural redundancies of the scene are generally not exploited to improve the tomographic estimation step. This Ph.D. presents new approaches to regularize the estimated reflectivity density obtained through SAR tomography by exploiting the urban geometrical structures., La tomographie SAR exploite plusieurs acquisitions d'une même zone acquises d'un point de vue légerement différent pour reconstruire la densité complexe de réflectivité au sol. Cette technique d'imagerie s'appuyant sur l'émission et la réception d'ondes électromagnétiques cohérentes, les données analysées sont complexes et l'information spatiale manquante (selon la verticale) est codée dans la phase. De nombreuse méthodes ont pu être proposées pour retrouver cette information. L'utilisation des redondances naturelles à certains milieux n'est toutefois généralement pas exploitée pour améliorer l'estimation tomographique. Cette thèse propose d'utiliser l'information structurelle propre aux structures urbaines pour régulariser les densités de réflecteurs obtenues par cette technique.

SAR tomography consists in exploiting multiple images from the same area acquired from a slightly different angle to retrieve the 3-D distribution of the complex reflectivity on the ground. As the transmitted waves are coherent, the desired spatial information (along with the vertical axis) is coded in the phase of the pixels. Many methods have been proposed to retrieve this information in the past years. However, the natural redundancies of the scene are generally not exploited to improve the tomographic estimation step. This Ph.D. presents new approaches to regularize the estimated reflectivity density obtained through SAR tomography by exploiting the urban geometrical structures.; La tomographie SAR exploite plusieurs acquisitions d'une même zone acquises d'un point de vue légerement différent pour reconstruire la densité complexe de réflectivité au sol. Cette technique d'imagerie s'appuyant sur l'émission et la réception d'ondes électromagnétiques cohérentes, les données analysées sont complexes et l'information spatiale manquante (selon la verticale) est codée dans la phase. De nombreuse méthodes ont pu être proposées pour retrouver cette information. L'utilisation des redondances naturelles à certains milieux n'est toutefois généralement pas exploitée pour améliorer l'estimation tomographique. Cette thèse propose d'utiliser l'information structurelle propre aux structures urbaines pour régulariser les densités de réflecteurs obtenues par cette technique.

This thesis deals with solutions of nonlinear inverse problems using a sparsity prior; more specifically when the data can be modelled as a linear combination of a few functions, which depend non-linearly on a "location" parameter, i.e. frequencies for spectral analysis or time-delay for spike train deconvolution. These problems are generally reformulated as linear sparse approximation problems, thanks to an evaluation of the nonlinear functions at location parameters discretised on a thin grid, building a "discrete dictionary". However, such an approach has two major drawbacks. On the one hand, the discrete dictionary is highly correlated; classical sub-optimal methods such as L1- penalisation or greedy algorithms can then fail. On the other hand, the estimated location parameter, which belongs to the discretisation grid, is necessarily discrete and that leads to model errors. To deal with these issues, we propose in this work an exact sparsity model, thanks to the introduction of binary variables, and an optimal solution of the problem with a "continuous dictionary" allowing a continuous estimation of the location parameter. We focus on two research axes, which we illustrate with problems such as spike train deconvolution and spectral analysis of unevenly sampled data. The first axis focusses on the "dictionary interpolation" principle, which consists in a linearisation of the continuous dictionary in order to get a constrained linear sparse approximation problem. The introduction of binary variables allows us to reformulate this problem as a "Mixed Integer Program" (MIP) and to exactly model the sparsity thanks to the "pseudo-norm L0". We study different kinds of dictionary interpolation and constraints relaxation, in order to solve the problem optimally thanks to MIP classical algorithms. For the second axis, in a Bayesian framework, the binary variables are supposed random with a Bernoulli distribution and we model the sparsity through a Bernoulli-Gaussian prior. This model is extended to take into account continuous location parameters (BGE model). We then estimate the parameters from samples drawn using Markov chain Monte Carlo algorithms. In particular, we show that marginalising the amplitudes allows us to improve the sampling of a Gibbs algorithm in a supervised case (when the model's hyperparameters are known). In an unsupervised case, we propose to take advantage of such a marginalisation through a "Partially Collapsed Gibbs Sampler." Finally, we adapt the BGE model and associated samplers to a topical science case in Astrophysics: the detection of exoplanets from radial velocity measurements. The efficiency of our method will be illustrated with simulated data, as well as actual astrophysical data.; Cette thèse s'intéresse à la résolution de problèmes inverses non linéaires exploitant un a priori de parcimonie ; plus particulièrement, des problèmes où les données se modélisent comme la combinaison linéaire d'un faible nombre de fonctions non linéaires en un paramètre dit de " localisation " (par exemple la fréquence en analyse spectrale ou le décalage temporel en déconvolution impulsionnelle). Ces problèmes se reformulent classiquement en un problème d'approximation parcimonieuse linéaire (APL) en évaluant les fonctions non linéaires sur une grille de discrétisation arbitrairement fine du paramètre de localisation, formant ainsi un " dictionnaire discret ". Cependant, une telle approche se heurte à deux difficultés majeures. D'une part, le dictionnaire provenant d'une telle discrétisation est fortement corrélé et met en échec les méthodes de résolution sous-optimales classiques comme la pénalisation L1 ou les algorithmes gloutons. D'autre part, l'estimation du paramètre de localisation, appartenant nécessairement à la grille de discrétisation, se fait de manière discrète, ce qui entraîne une erreur de modélisation. Dans ce travail nous proposons des solutions pour faire face à ces deux enjeux, d'une part via la prise en compte de la parcimonie de façon exacte en introduisant un ensemble de variables binaires, et d'autre part via la résolution " optimale " de tels problèmes sur " dictionnaire continu " permettant l'estimation continue du paramètre de localisation. Deux axes de recherches ont été suivis, et l'utilisation des algorithmes proposés est illustrée sur des problèmes de type déconvolution impulsionnelle et analyse spectrale de signaux irrégulièrement échantillonnés. Le premier axe de ce travail exploite le principe " d'interpolation de dictionnaire ", consistant en une linéarisation du dictionnaire continu pour obtenir un problème d'APL sous contraintes. L'introduction des variables binaires nous permet de reformuler ce problème sous forme de " programmation mixte en nombres entiers " (Mixed Integer Programming - MIP) et ainsi de modéliser de façon exacte la parcimonie sous la forme de la " pseudo-norme L0 ". Différents types d'interpolation de dictionnaires et de relaxation des contraintes sont étudiés afin de résoudre de façon optimale le problème grâce à des algorithmes classiques de type MIP. Le second axe se place dans le cadre probabiliste Bayésien, où les variables binaires nous permettent de modéliser la parcimonie en exploitant un modèle de type Bernoulli-Gaussien. Ce modèle est étendu (modèle BGE) pour la prise en compte de la variable de localisation continue. L'estimation des paramètres est alors effectuée à partir d'échantillons tirés avec des algorithmes de type Monte Carlo par Chaîne de Markov. Plus précisément, nous montrons que la marginalisation des amplitudes permet une accélération de l'algorithme de Gibbs dans le cas supervisé (hyperparamètres du modèle connu). De plus, nous proposons de bénéficier d'une telle marginalisation dans le cas non supervisé via une approche de type " Partially Collapsed Gibbs Sampler. " Enfin, nous avons adapté le modèle BGE et les algorithmes associés à un problème d'actualité en astrophysique : la détection d'exoplanètes par la méthode des vitesses radiales. Son efficacité sera illustrée sur des données simulées ainsi que sur des données réelles.

This thesis deals with solutions of nonlinear inverse problems using a sparsity prior; more specifically when the data can be modelled as a linear combination of a few functions, which depend non-linearly on a "location" parameter, i.e. frequencies for spectral analysis or time-delay for spike train deconvolution. These problems are generally reformulated as linear sparse approximation problems, thanks to an evaluation of the nonlinear functions at location parameters discretised on a thin grid, building a "discrete dictionary". However, such an approach has two major drawbacks. On the one hand, the discrete dictionary is highly correlated; classical sub-optimal methods such as L1- penalisation or greedy algorithms can then fail. On the other hand, the estimated location parameter, which belongs to the discretisation grid, is necessarily discrete and that leads to model errors. To deal with these issues, we propose in this work an exact sparsity model, thanks to the introduction of binary variables, and an optimal solution of the problem with a "continuous dictionary" allowing a continuous estimation of the location parameter. We focus on two research axes, which we illustrate with problems such as spike train deconvolution and spectral analysis of unevenly sampled data. The first axis focusses on the "dictionary interpolation" principle, which consists in a linearisation of the continuous dictionary in order to get a constrained linear sparse approximation problem. The introduction of binary variables allows us to reformulate this problem as a "Mixed Integer Program" (MIP) and to exactly model the sparsity thanks to the "pseudo-norm L0". We study different kinds of dictionary interpolation and constraints relaxation, in order to solve the problem optimally thanks to MIP classical algorithms. For the second axis, in a Bayesian framework, the binary variables are supposed random with a Bernoulli distribution and we model the sparsity through a Bernoulli-Gaussian prior. This model is extended to take into account continuous location parameters (BGE model). We then estimate the parameters from samples drawn using Markov chain Monte Carlo algorithms. In particular, we show that marginalising the amplitudes allows us to improve the sampling of a Gibbs algorithm in a supervised case (when the model's hyperparameters are known). In an unsupervised case, we propose to take advantage of such a marginalisation through a "Partially Collapsed Gibbs Sampler." Finally, we adapt the BGE model and associated samplers to a topical science case in Astrophysics: the detection of exoplanets from radial velocity measurements. The efficiency of our method will be illustrated with simulated data, as well as actual astrophysical data.; Cette thèse s'intéresse à la résolution de problèmes inverses non linéaires exploitant un a priori de parcimonie ; plus particulièrement, des problèmes où les données se modélisent comme la combinaison linéaire d'un faible nombre de fonctions non linéaires en un paramètre dit de " localisation " (par exemple la fréquence en analyse spectrale ou le décalage temporel en déconvolution impulsionnelle). Ces problèmes se reformulent classiquement en un problème d'approximation parcimonieuse linéaire (APL) en évaluant les fonctions non linéaires sur une grille de discrétisation arbitrairement fine du paramètre de localisation, formant ainsi un " dictionnaire discret ". Cependant, une telle approche se heurte à deux difficultés majeures. D'une part, le dictionnaire provenant d'une telle discrétisation est fortement corrélé et met en échec les méthodes de résolution sous-optimales classiques comme la pénalisation L1 ou les algorithmes gloutons. D'autre part, l'estimation du paramètre de localisation, appartenant nécessairement à la grille de discrétisation, se fait de manière discrète, ce qui entraîne une erreur de modélisation. Dans ce travail nous proposons des solutions pour faire face à ces deux enjeux, d'une part via la prise en compte de la parcimonie de façon exacte en introduisant un ensemble de variables binaires, et d'autre part via la résolution " optimale " de tels problèmes sur " dictionnaire continu " permettant l'estimation continue du paramètre de localisation. Deux axes de recherches ont été suivis, et l'utilisation des algorithmes proposés est illustrée sur des problèmes de type déconvolution impulsionnelle et analyse spectrale de signaux irrégulièrement échantillonnés. Le premier axe de ce travail exploite le principe " d'interpolation de dictionnaire ", consistant en une linéarisation du dictionnaire continu pour obtenir un problème d'APL sous contraintes. L'introduction des variables binaires nous permet de reformuler ce problème sous forme de " programmation mixte en nombres entiers " (Mixed Integer Programming - MIP) et ainsi de modéliser de façon exacte la parcimonie sous la forme de la " pseudo-norme L0 ". Différents types d'interpolation de dictionnaires et de relaxation des contraintes sont étudiés afin de résoudre de façon optimale le problème grâce à des algorithmes classiques de type MIP. Le second axe se place dans le cadre probabiliste Bayésien, où les variables binaires nous permettent de modéliser la parcimonie en exploitant un modèle de type Bernoulli-Gaussien. Ce modèle est étendu (modèle BGE) pour la prise en compte de la variable de localisation continue. L'estimation des paramètres est alors effectuée à partir d'échantillons tirés avec des algorithmes de type Monte Carlo par Chaîne de Markov. Plus précisément, nous montrons que la marginalisation des amplitudes permet une accélération de l'algorithme de Gibbs dans le cas supervisé (hyperparamètres du modèle connu). De plus, nous proposons de bénéficier d'une telle marginalisation dans le cas non supervisé via une approche de type " Partially Collapsed Gibbs Sampler. " Enfin, nous avons adapté le modèle BGE et les algorithmes associés à un problème d'actualité en astrophysique : la détection d'exoplanètes par la méthode des vitesses radiales. Son efficacité sera illustrée sur des données simulées ainsi que sur des données réelles.

The knowledge of atmospheric turbulence in horizontal aim allows to better understand the physics of the heat fluxes at the ground-atmosphere interface. It also allows, in vertical aim, to improve the performance of future wide-field adaptive optics systems for astronomical observation. The profile of Cn²locally characterizes the force of turbulence. The CO-SLIDAR method, developed by ONERA, allows profiles of Cn² along the line of sight of the telescope, from the slopes and scintillations of a double source measured by Shack-Hartmann analyzer. This method was validated in vertical aim but had not yet shown its effectiveness in horizontal aim. The two experiments in Lannemezan and Châtillon-Meudon introduced a new Shack-Hartmann Infrared profilometer: the SCINDAR. They were carried out on heterogeneous and piecewise homogeneous surfaces respectively, and they participate in the validation of the method for agronomic and ecological applications. My study consists of improving SCINDAR profilometer signal processing and validating the CO-SLIDAR method for near-ground atmospheric turbulence measurements. This method has been adapted using a spherical wave propagation formalism. The study identified and took into account sources of error in processing: the cold machine vibration of the SCINDAR cryogenic wavefront analyzer and the extent of the sources in the weight functions of the direct model set for data processing. My study focuses on improvement of the SCINDAR data processing and experimental validation profiles Cn² obtained with Cn² measurements acquired by scintillometers. I first built a database of slopes and scintillations of verified quality. For the inversion of the data, I chose the L1L2 regularization which is suitable for near-ground Cn² measurements. The method of setting the hyperparameters of this regularization is unsupervised. It makes it possible to increase the reliability and the accuracy of the Cn² profile estimation in a pragmatic way using the relative errors of the macroscopic turbulent parameters. The SCINDAR profilometer with the improved CO-SLIDAR method finally produces Cn² profiles of excellent quality. These profiles are successfully compared to scintillometer measurements. All of this work constitues the adaptation of the CO-SLIDAR method for measurements of near-ground turbulence.; La connaissance de la turbulence atmosphérique en visée horizontale permet de mieux appréhender la physique des flux de chaleur à l’interface sol-atmosphère. Elle permet également, en visée verticale, d’améliorer les performances des futurs systèmes d’optique adaptative grand-champ pour l’observation astronomique. Le profil de Cn² caractérise localement la force de la turbulence. La méthode CO-SLIDAR, développée par l’ONERA, permet de réaliser des profils de Cn² le long de la ligne de visée du télescope à partir des pentes et de scintillations mesurées par un Analyseur de Shack-Hartmann sur source double. Cette méthode a été validée en visée verticale mais n’avait pas encore montré son efficacité en visée horizontale. Les deux expériences à Lannemezan et à Châtillon-Meudon ont vu la mise en place d'un nouveau profilomètre Shack-Hartmann Infrarouge : le SCINDAR. Elles ont été réalisées sur des surfaces respectivement hétérogène et homogène par morceaux, et elles participent à la validation de la méthode pour des applications agronomiques et écologiques. Mon étude consiste à améliorer le traitement du signal du profilomètre SCINDAR et à valider la méthode CO-SLIDAR pour des mesures de la turbulence atmosphérique proche du sol. Cette méthode a été adaptée en utilisant un formalisme de propagation en onde sphérique. L'étude a permis d'identifier et prendre en compte des sources d'erreur dans le traitement : à savoir la vibration de la machine à froid de l'analyseur de front d'onde cryogénique du SCINDAR et l'étendue des sources dans les fonctions de poids du modèle direct posé pour le traitement des données. Mon étude se consacre à l’amélioration du traitement des données du SCINDAR et à la validation expérimentale des profils de Cn² obtenus avec des mesures de Cn² acquises par des scintillomètres. J'ai construit tout d'abord une base de données de pentes et scintillations de qualité vérifiée. Pour l'inversion des données, j'ai choisi la régularisation L1L2 qui est adaptée pour des mesures de Cn² proches du sol. La méthode de réglage des hyperparamètres de cette régularisation est non-supervisée. Elle permet d’augmenter la fiabilité et la précision de l’estimation du profil de Cn² de façon pragmatique à l'aide des erreurs relatives sur les paramètres turbulents macroscopiques. Le profilomètre SCINDAR avec la méthode CO-SLIDAR ainsi améliorée produit finalement des profils de Cn² d'excellente qualité. Ces profils sont comparés avec succès aux mesures des scintillomètres. L’ensemble de ces travaux constitue l'adaptation de la méthode CO-SLIDAR pour des mesures de la turbulence proche du sol.

The knowledge of atmospheric turbulence in horizontal aim allows to better understand the physics of the heat fluxes at the ground-atmosphere interface. It also allows, in vertical aim, to improve the performance of future wide-field adaptive optics systems for astronomical observation. The profile of Cn²locally characterizes the force of turbulence. The CO-SLIDAR method, developed by ONERA, allows profiles of Cn² along the line of sight of the telescope, from the slopes and scintillations of a double source measured by Shack-Hartmann analyzer. This method was validated in vertical aim but had not yet shown its effectiveness in horizontal aim. The two experiments in Lannemezan and Châtillon-Meudon introduced a new Shack-Hartmann Infrared profilometer: the SCINDAR. They were carried out on heterogeneous and piecewise homogeneous surfaces respectively, and they participate in the validation of the method for agronomic and ecological applications. My study consists of improving SCINDAR profilometer signal processing and validating the CO-SLIDAR method for near-ground atmospheric turbulence measurements. This method has been adapted using a spherical wave propagation formalism. The study identified and took into account sources of error in processing: the cold machine vibration of the SCINDAR cryogenic wavefront analyzer and the extent of the sources in the weight functions of the direct model set for data processing. My study focuses on improvement of the SCINDAR data processing and experimental validation profiles Cn² obtained with Cn² measurements acquired by scintillometers. I first built a database of slopes and scintillations of verified quality. For the inversion of the data, I chose the L1L2 regularization which is suitable for near-ground Cn² measurements. The method of setting the hyperparameters of this regularization is unsupervised. It makes it possible to increase the reliability and the accuracy of the Cn² profile estimation in a pragmatic way using the relative errors of the macroscopic turbulent parameters. The SCINDAR profilometer with the improved CO-SLIDAR method finally produces Cn² profiles of excellent quality. These profiles are successfully compared to scintillometer measurements. All of this work constitues the adaptation of the CO-SLIDAR method for measurements of near-ground turbulence.; La connaissance de la turbulence atmosphérique en visée horizontale permet de mieux appréhender la physique des flux de chaleur à l’interface sol-atmosphère. Elle permet également, en visée verticale, d’améliorer les performances des futurs systèmes d’optique adaptative grand-champ pour l’observation astronomique. Le profil de Cn² caractérise localement la force de la turbulence. La méthode CO-SLIDAR, développée par l’ONERA, permet de réaliser des profils de Cn² le long de la ligne de visée du télescope à partir des pentes et de scintillations mesurées par un Analyseur de Shack-Hartmann sur source double. Cette méthode a été validée en visée verticale mais n’avait pas encore montré son efficacité en visée horizontale. Les deux expériences à Lannemezan et à Châtillon-Meudon ont vu la mise en place d'un nouveau profilomètre Shack-Hartmann Infrarouge : le SCINDAR. Elles ont été réalisées sur des surfaces respectivement hétérogène et homogène par morceaux, et elles participent à la validation de la méthode pour des applications agronomiques et écologiques. Mon étude consiste à améliorer le traitement du signal du profilomètre SCINDAR et à valider la méthode CO-SLIDAR pour des mesures de la turbulence atmosphérique proche du sol. Cette méthode a été adaptée en utilisant un formalisme de propagation en onde sphérique. L'étude a permis d'identifier et prendre en compte des sources d'erreur dans le traitement : à savoir la vibration de la machine à froid de l'analyseur de front d'onde cryogénique du SCINDAR et l'étendue des sources dans les fonctions de poids du modèle direct posé pour le traitement des données. Mon étude se consacre à l’amélioration du traitement des données du SCINDAR et à la validation expérimentale des profils de Cn² obtenus avec des mesures de Cn² acquises par des scintillomètres. J'ai construit tout d'abord une base de données de pentes et scintillations de qualité vérifiée. Pour l'inversion des données, j'ai choisi la régularisation L1L2 qui est adaptée pour des mesures de Cn² proches du sol. La méthode de réglage des hyperparamètres de cette régularisation est non-supervisée. Elle permet d’augmenter la fiabilité et la précision de l’estimation du profil de Cn² de façon pragmatique à l'aide des erreurs relatives sur les paramètres turbulents macroscopiques. Le profilomètre SCINDAR avec la méthode CO-SLIDAR ainsi améliorée produit finalement des profils de Cn² d'excellente qualité. Ces profils sont comparés avec succès aux mesures des scintillomètres. L’ensemble de ces travaux constitue l'adaptation de la méthode CO-SLIDAR pour des mesures de la turbulence proche du sol.

Data completion problems occur in many engineering fields, such as mechanical, acoustical and thermal sciences. Direct measurement of boundary conditions is often confronting with the impossibility of placing the appropriate instrumentation. The determination of these data is then possible only through additional informations. Overprescribed measurements on an accessible part of the boundary lead to the resolution of an inverse Cauchy problem. However, in some cases, direct measurements on the boundary are inaccessible, to overcome this problem field measurements are more easily accessible. This thesis presents fading regularization methods that allow to find, among all the solutions of the equilibrium equation, the solution of the data completion problem which fits at best Cauchy or partial fields data. These iterative processesdo not depend on a regularization coefficient and are robust with respect to the noise on the data, which are recomputed and therefore denoised. We are interested initially in solving Cauchy problems associated with the Helmholtz equation. A complete numerical study is made, usingthe method of fundamental solutions as a numerical method for discretizing the space of the Helmholtz equation solutions. Accurate reconstructions attest to the efficiency and the robustness of the method. We present, in a second time, the generalization of the fading regularization method to the data completion problems from partial full-field measurements. Numerical simulations, for the Lamé operator, using the finite element method or the method of fundamental solutions, show the ability of the iterative process to complete and denoise partial displacements fields data and to identify the boundary conditions at any point. We find precise reconstructions and efficient denoising of the data when the algorithm is applied to real measurements from digital image correlation. A possible change in the material behavior is detected thanks to the analysis of the displacements residuals., Les problèmes de complétion de données interviennent dans divers domaines de la physique, tels que la mécanique, l'acoustique ou la thermique. La mesure directe des conditions aux limites se heurte souvent à l'impossibilité de placer l'instrumentation adéquate. La détermination de ces données n'est alors possible que grâce à des informations complémentaires. Des mesures surabondantes sur une partie accessible de la frontière mènent à la résolution d'un problème inverse de type Cauchy. Cependant, dans certains cas, des mesures directes sur la frontière sont irréalisables, des mesures de champs plus facilement accessibles permettent de pallier ce problème. Cette thèse présente des méthodes de régularisation évanescente qui permettent de trouver, parmi toutes les solutions de l'équation d'équilibre, la solution du problème de complétion de données qui s'approche au mieux des données de type Cauchy ou de champs partiels. Ces processus itératifs ne dépendent pas d'un coefficient de régularisation et sont robustes vis à vis du bruit sur les données, qui sont recalculées et de ce fait débruitées. Nous nous intéressons, dans un premier temps, à la résolution de problèmes de Cauchy associés à l'équation d'Helmholtz. Une étude numérique complète est menée, en utilisant la méthode des solutions fondamentales en tant que méthode numérique pour discrétiser l'espace des solutions de l'équation d'Helmholtz. Des reconstructions précises attestent de l'efficacité et de la robustesse de la méthode. Nous présentons, dans un second temps, la généralisation de la méthode de régularisation évanescente aux problèmes de complétion de données à partir de mesures de champs partielles. Des simulations numériques, pour l'opérateur de Lamé, dans le cadre des éléments finis et des solutions fondamentales, montrent la capacité de la méthode à compléter et débruiter des données partielles de champs de déplacements et à identifier les conditions aux limites en tout point de la frontière. Nous retrouvons des reconstructions précises et un débruitage efficace des données lorsque l'algorithme est appliqué à des mesures réelles issues de corrélation d'images numériques. Un éventuel changement de comportement du matériau est détecté grâce à l'analyse des résidus de déplacements.

Adhesive joints are increasingly employed for bonding critical parts of industrial structures. Therefore, they are subject to complex dynamic loadings. Existing dynamic characterization techniques do not characterize only the adhesive joint, but the complete assembly. This thesis proposes an innovative experimental technique for the characterization of adhesive joints under dynamic multiaxial loadings. The experimental method relies on three main components: i) a conventional split Hopkinson pressure bar (SHPB) apparatus, ii) a novel specimen, denoted as DODECA, which enables testing of three distinct multiaxial loadings using the same method and iii) local strain and stress measurements performed by digital image correlation (DIC). The stress and strain in the adhesive joint are estimated directly from the experimental data both during loading and at the failure point. Another approach based on the Finite Element Model Updating method (FEMU) has been used to complete the adhesive joint model. A numerical inverse method has been developed to obtain elastic, plastic and fracture parameters. Besides, qualitative tools have been proposed to estimate uncertainties on identified parameters. This work has proven the value of local high-speed imaging to characterize adhesive joints.This innovative method has been validated on another specimen denoted as BIADH45. This last study has also emphasized new research interests : in particular, the role of the interfaces in the adhesive joint failure and the benefit of substrates in CMO in dynamic characterization of adhesive joints., Les joints adhésifs sont de plus en plus utilisés dans des structures industrielles critiques. Ils sont donc susceptibles de subir des chargements dynamiques complexes. Les méthodes de caractérisation dynamiques existantes ne caractérisent pas seulement le joint adhésif, mais l'assemblage collé tout entier. Cette thèse propose une méthode innovante pour caractériser un joint adhésif sous sollicitations dynamiques multiaxiales. La méthode expérimentale repose sur trois éléments principaux: i) un système de barres d'Hopkinson conventionnel (SHPB), ii) une nouvelle géométrie d'éprouvette, nommée DODECA, qui permet d'appliquer trois chargements multiaxiaux différents et iii) des mesures locales de déformation et de contrainte par corrélation d'images. La contrainte et la déformation dans le joint adhésif sont estimées directement à partir des données expérimentales pendant le chargement jusqu'au point de rupture. Une autre approche basée sur la méthode FEMU (Finite Element Model Updating) a été utilisée pour compléter le modèle du joint adhésif. Une méthode inverse numérique a été développée pour obtenir les paramètres élastiques, plastiques et de rupture du joint adhésif. De plus, des outils qualitatifs ont été proposés pour estimer les incertitudes sur les paramètres identifiés. Ce travail a prouvé l'intérêt de l'imagerie rapide locale pour caractériser les joints adhésifs.Cette méthode innovante a été validée sur une autre éprouvette nommée BIADH45. Cette dernière étude a aussi mis l'accent sur de nouveaux domaines de recherche : en particulier, le rôle des interfaces dans la rupture du joint adhésif et l'intérêt des substrats en CMO dans la caractérisation dynamique des joints adhésifs.

Adhesive joints are increasingly employed for bonding critical parts of industrial structures. Therefore, they are subject to complex dynamic loadings. Existing dynamic characterization techniques do not characterize only the adhesive joint, but the complete assembly. This thesis proposes an innovative experimental technique for the characterization of adhesive joints under dynamic multiaxial loadings. The experimental method relies on three main components: i) a conventional split Hopkinson pressure bar (SHPB) apparatus, ii) a novel specimen, denoted as DODECA, which enables testing of three distinct multiaxial loadings using the same method and iii) local strain and stress measurements performed by digital image correlation (DIC). The stress and strain in the adhesive joint are estimated directly from the experimental data both during loading and at the failure point. Another approach based on the Finite Element Model Updating method (FEMU) has been used to complete the adhesive joint model. A numerical inverse method has been developed to obtain elastic, plastic and fracture parameters. Besides, qualitative tools have been proposed to estimate uncertainties on identified parameters. This work has proven the value of local high-speed imaging to characterize adhesive joints.This innovative method has been validated on another specimen denoted as BIADH45. This last study has also emphasized new research interests : in particular, the role of the interfaces in the adhesive joint failure and the benefit of substrates in CMO in dynamic characterization of adhesive joints.; Les joints adhésifs sont de plus en plus utilisés dans des structures industrielles critiques. Ils sont donc susceptibles de subir des chargements dynamiques complexes. Les méthodes de caractérisation dynamiques existantes ne caractérisent pas seulement le joint adhésif, mais l'assemblage collé tout entier. Cette thèse propose une méthode innovante pour caractériser un joint adhésif sous sollicitations dynamiques multiaxiales. La méthode expérimentale repose sur trois éléments principaux: i) un système de barres d'Hopkinson conventionnel (SHPB), ii) une nouvelle géométrie d'éprouvette, nommée DODECA, qui permet d'appliquer trois chargements multiaxiaux différents et iii) des mesures locales de déformation et de contrainte par corrélation d'images. La contrainte et la déformation dans le joint adhésif sont estimées directement à partir des données expérimentales pendant le chargement jusqu'au point de rupture. Une autre approche basée sur la méthode FEMU (Finite Element Model Updating) a été utilisée pour compléter le modèle du joint adhésif. Une méthode inverse numérique a été développée pour obtenir les paramètres élastiques, plastiques et de rupture du joint adhésif. De plus, des outils qualitatifs ont été proposés pour estimer les incertitudes sur les paramètres identifiés. Ce travail a prouvé l'intérêt de l'imagerie rapide locale pour caractériser les joints adhésifs.Cette méthode innovante a été validée sur une autre éprouvette nommée BIADH45. Cette dernière étude a aussi mis l'accent sur de nouveaux domaines de recherche : en particulier, le rôle des interfaces dans la rupture du joint adhésif et l'intérêt des substrats en CMO dans la caractérisation dynamique des joints adhésifs.

Il y a bien longtemps, dans une galaxie très, très lointaine. L'ordre des GPï développe un nouvel art de résolution des problèmes inverses: la synthèse parcimonieuse. Nous présenterons ici une forme primordiale de cet art : l'algorithme de seuillage itératif combiné à n'importe quelle règle de seuillage. Allié à la parcimonie sociale, permettant une prise en compte plus perméable des structures, nous verrons comment il éclipse la parcimonie simple de type Basis Pursuit (Denoising) dans la résolution de problèmes inverses. Puis nous méditerons sur ses liens avec l'art Bayesien afin d'ériger une nouvelle forme de structure fondée sur la synthèse parcimonieuse de rang faible, permettant d'interpréter la décomposition en matrice non négative comme un nouvel a priori. Nous mesurerons également la force de ces approches sur un problème particulier: la désaturation audio. Nous illustrerons aussi les succès de ces approches sur d'autres problèmes inverses tels que la séparation de sources ou la localisation de sources M/EEG.

In Digital Imaging, the regularized inverse problems methods reconstruct particular information from measurements and an image formation model. With an inverse problem that is ill-posed and ill-conditioned, and with the used image formation model having few constraints, it is necessary to introduce a priori conditions in order to restrict ambiguity for the inversion. This allows us to guide the reconstruction towards a satisfying solution. The works of the following thesis delve into the development of reconstruction algorithms of digital holograms based on large-scale optimizationmethods (smooth and non-smooth). This general framework allowed us to propose different approaches adapted to the challenges found with this unconventional imaging technique : the super-resolution, reconstruction outside the sensor's field, the color holography and finally, thequantitative reconstruction of phase objects (i.e. transparent). For this last case, the reconstruction problem consists of estimating the complex 2D transmittance of objects having absorbed and/or dephased the light wave during the recording of the hologram. The proposed methodsare validated with the help of numerical simulations that are then applied on experimental data taken from the lensless imaging or from the in-line holographic microscopy (coherent imaging in transmission, with a microscope object glass). The applications range from the reconstruction of opaque resolution sights, to the reconstruction of biological objects (bacteria), passing through the reconstruction of evaporating ether droplets from a perspective of turbulence study in fluid mechanics.; En imagerie numérique, les approches problèmes inverses " régularisées reconstruisent une information d'intérêt à partir de mesures et d'un modèle de formation d'image. Le problème d'inversion étant mal posé, mal conditionné et le modèle de formation d'image utilisé peu contraint, il est nécessaire d'introduire des a priori afin de restreindre l'ambiguïté de l'inversion. Ceci permet de guider la reconstruction vers une solution satisfaisante. Les travaux de cette thèse ont porté sur le développement d'algorithmes de reconstruction d'hologrammes numériques, basés sur des méthodes d'optimisation en grande dimension (lisse ou non-lisse). Ce cadre général a permis de proposer différentes approches adaptées aux problématiques posées par cette technique d'imagerie non conventionnelle : la super-résolution, la reconstruction hors du champ du capteur, l'holographie "couleur" et enfin la reconstruction quantitative d'objets de phase (c.a.d. transparents). Dans ce dernier cas, le problème de reconstruction consiste à estimer la transmittance complexe 2D des objets ayant absorbé et/ou déphasé l'onde d'éclairement lors de l'enregistrement de l'hologramme. Les méthodes proposées sont validées à l'aide de simulations numériques puis appliquées sur des données expérimentales issues de l'imagerie sans lentille ou de la microscopie holographique en ligne (imagerie cohérente en transmission, avec un objectif de microscope). Les applications vont de la reconstruction de mires de résolution opaques à la reconstruction d'objets biologiques (bactéries), en passant par la reconstruction de gouttelettes d'éther en évaporation dans le cadre d'une étude de la turbulence en mécanique des fluides.

Vacuum holding induction furnaces are used for the manufacturing of turbine blades by loss wax foundry process. Heat transfer control in a holding furnace is crucial to ensure the quality of manufacturing. This work has 3 major parts, which are the detailed modelling, reduced modelling and experiments. An axyisymmetric furnace and its load have been numerically modelled using FlexPDE and COMSOL Multiphysics, finite element codes. Modelling takes as inputs the electric power consumed by inductors and gives the temperature field in the heating module. The studied reduced models are phyisical convolutive models (enthalpic (0D), 1 dimension analytical (1D)) and parametric like AutoRegressive with eXogeneous inputs (ARX). ARX models have been compared to convolutive models (identification, validation). The goal is to get temperatures in the heating module without local presence of physical sensors (virtual sensor). Detailed and reduced models have been compared to experiments on the furnace. This last part is not described in this document, Les fours de maintien à induction sous vide sont utilisés pour la fabrication d'aubes de turbine à l'aide du procédé de fonderie à cire perdue. La maîtrise de la thermique de ce dernier est primordiale afin d'assurer la qualité de la production. Ce travail est composé de 3 grandes parties : la modélisation détaillée du four, la modélisation réduite et l'expérience. Un four axisymétrique et sa charge ont été modélisés numériquement à l'aide des logiciels FlexPDE et COMSOL Multiphysics. Ces modèles utilisent en entrée la puissance consommée par les inducteurs et fournissent en sortie la température en tout point du module de chauffe et de la charge. Les modèles réduits étudiés sont des modèles physiques dit convolutifs (enthalpique (0D), analytique de dimension 1 (1D)) et paramétrique de type AutoRégressifs avec variables eXogènes (ARX). Les modèles ARX ont été comparés aux modèles convolutifs (procédures d'identification, puis de validation, de modèles). L'objectif est d'accéder à des températures en certains points du four sans présence d'un capteur physique local (capteur virtuel). Les modélisations détaillées et réduites ont été comparées à des expériences réalisées sur four de production. Cette dernière partie n'est pas décrite dans ce mémoire

This thesis aims at designing efficient numerical solution methods to solve linear systems, arising in constrained optimization problems in some structural dynamics and vibration applications (test-analysis correlation, model error localization,hybrid model, damage assessment, etc.). These applications rely on solving inverse problems, by means of minimization of an energy-based functional. This latter involves both data from a numerical finite element model and from experimental tests, which leads to high quality models, but the associated linear systems, that have a saddle-point coefficient matrices, are long and costly to solve. We propose two different classes of methods to deal with these problems. First, a direct factorization method that takes advantage of the special structures and properties of these saddle point matrices. The Gaussian elimination factorization is implemented in order to factorize the saddle point matrices block-wise with small blocks of orders 2 and using a fill-in reducing topological ordering. We obtain significant gains in memory cost (up to 50%) due to enhanced factors sparsity in comparison to literature. The second class is based on a double projection of the generated saddle point system onto the nullspace of the constraints. The first projection onto the kinematic constraints is proposed as an explicit process through the computation of a sparse null basis. Then, we detail the application of a constraint preconditioner within a Krylov subspace solver, as an implicit second projection of the system onto the nullspace of the sensors constraints. We further present and compare different approximations of the constraint preconditioner. The approach is implemented in a parallel distributed environment using the PETSc library. Significant gains in computational cost and memory are illustrated on several industrial applications., Cette thèse vise à concevoir des solveurs efficaces pour résoudre des systèmes linéaires, résultant des problèmes d'optimisation sous contraintes dans certaines applications de dynamique des structures et vibration (la corrélation calcul-essai, la localisation d'erreur, le modèle hybride, l'évaluation des dommages, etc.). Ces applications reposent sur la résolution de problèmes inverses, exprimés sous la forme de la minimisation d'une fonctionnelle en énergie. Cette fonctionnelle implique à la fois, des données issues d'un modèle numérique éléments finis, et des essais expérimentaux. Ceci conduit à des modèles de haute qualité, mais les systèmes linéaires point-selle associés, sont coûteux à résoudre. Nous proposons deux classes différentes de méthodes pour traiter le système. La première classe repose sur une méthode de factorisation directe profitant de la topologie et des propriétés spéciales de la matrice point-selle. Après une première renumérotation pour regrouper les pivots en blocs d'ordre 2. L'élimination de Gauss est conduite à partir de ces pivots et en utilisant un ordre spécial d'élimination réduisant le remplissage. Les résultats numériques confirment des gains significatifs en terme de remplissage, jusqu'à deux fois meilleurs que la littérature pour la topologie étudiée. La seconde classe de solveurs propose une approche à double projection du système étudié sur le noyau des contraintes, en faisant une distinction entre les contraintes cinématiques et celles reliées aux capteurs sur la structure. La première projection est explicite en utilisant une base creuse du noyau. La deuxième est implicite. Elle est basée sur l'emploi d'un préconditionneur contraint avec des méthodes itératives de type Krylov. Différentes approximations des blocs du préconditionneur sont proposées. L'approche est implémentée dans un environnement distribué parallèle utilisant la bibliothèque PETSc. Des gains significatifs en terme de coût de calcul et de mémoire sont illustrés sur plusieurs applications industrielles.

Les activités de recherche présentées dans cette habilitation sont portées par les méthodes temps-fréquence et leur apport méthodologique au traitement du signal et de l'image, plus particulièrement dans le contexte de problèmes inverses mal posés. Dans ce cadre, je me suis intéressée à deux apports importants de cet outil. Le premier est évidemment la parcimonie, qui est l'un des intérêts majeurs de la décomposition temps-fréquence. Un autre intérêt est porté par l'estimation non paramétrique et le lien entre les signaux naturels et des espaces fonctionnels donnés. Même si dans les faits les signaux ont tous une représentation finie, pouvoir les considérer comme des objets de dimension infinie offre plus de flexibilité et permet de s'affranchir de contraintes telles que le choix de l'échantillonnage ou du nombre de paramètres à considérer.C'est donc par le biais des apports de ces deux aspects méthodologiques que j'ai étudié trois grands axes thématiques du traitement du signal. Le premier axe porte sur la théorie de l'information pour le codage de données parcimonieuses. Le second axe s'appuie sur l'étude et l'application de méthodes déterministes d'estimation et de reconstruction, en particulier des méthodes par seuillage d'ondelettes, dans le cadre de problèmes inverses. Finalement, la dernière partie de ce mémoire traite du développement de méthodes bayésiennes variationnelles pour les problèmes inverses.

Blind source separation (BSS) consists of estimating the source signals only from the observed mixtures. The problem can be divided into two categories according to the mixing model: instantaneous mixtures, where delay and reverberation (multi-path effect) are not taken into account, and convolutive mixtures which are more general but more complicated. Moreover, the additive noise at the sensor level and the underdetermined setting, where there are fewer sensors than the sources, make the problem even more difficult.In this thesis, we first studied the link between two existing methods for instantaneous mixtures: independent component analysis (ICA) and sparse component analysis (SCA). We then proposed a new formulation that works in both determined and underdetermined cases, with and without noise. Numerical evaluations show the advantage of the proposed approaches.Secondly, the proposed formulation is generalized for convolutive mixtures with speech signals. By integrating a new approximation model, the proposed algorithms work better than existing methods, especially in noisy and/or high reverberation scenarios.Then, we take into account the technique of morphological decomposition and the use of structured sparsity which leads to algorithms that can better exploit the structures of audio signals. Such approaches are tested for underdetermined convolutive mixtures in a non-blind scenario.At last, being benefited from the NMF model, we combined the low-rank and sparsity assumption and proposed new approaches for under-determined convolutive mixtures. The experiments illustrate the good performance of the proposed algorithms for music signals, especially in strong reverberation scenarios.; La séparation aveugle de source consiste à estimer les signaux de sources uniquement à partir des mélanges observés. Le problème peut être séparé en deux catégories en fonction du modèle de mélange: mélanges instantanés, où le retard et la réverbération (effet multi-chemin) ne sont pas pris en compte, et des mélanges convolutives qui sont plus généraux mais plus compliqués. De plus, le bruit additif au niveaux des capteurs et le réglage sous-déterminé, où il y a moins de capteurs que les sources, rendent le problème encore plus difficile.Dans cette thèse, tout d'abord, nous avons étudié le lien entre deux méthodes existantes pour les mélanges instantanés: analyse des composants indépendants (ICA) et analyse des composant parcimonieux (SCA). Nous avons ensuite proposé une nouveau formulation qui fonctionne dans les cas déterminés et sous-déterminés, avec et sans bruit. Les évaluations numériques montrent l'avantage des approches proposées.Deuxièmement, la formulation proposés est généralisés pour les mélanges convolutifs avec des signaux de parole. En intégrant un nouveau modèle d'approximation, les algorithmes proposés fonctionnent mieux que les méthodes existantes, en particulier dans des scénarios bruyant et / ou de forte réverbération.Ensuite, on prend en compte la technique de décomposition morphologique et l'utilisation de parcimonie structurée qui conduit à des algorithmes qui peuvent mieux exploiter les structures des signaux audio. De telles approches sont testées pour des mélanges convolutifs sous-déterminés dans un scénario non-aveugle.Enfin, en bénéficiant du modèle NMF (factorisation en matrice non-négative), nous avons combiné l'hypothèse de faible-rang et de parcimonie et proposé de nouvelles approches pour les mélanges convolutifs sous-déterminés. Les expériences illustrent la bonne performance des algorithmes proposés pour les signaux de musique, en particulier dans des scénarios de forte réverbération.

Blind source separation (BSS) consists of estimating the source signals only from the observed mixtures. The problem can be divided into two categories according to the mixing model: instantaneous mixtures, where delay and reverberation (multi-path effect) are not taken into account, and convolutive mixtures which are more general but more complicated. Moreover, the additive noise at the sensor level and the underdetermined setting, where there are fewer sensors than the sources, make the problem even more difficult.In this thesis, we first studied the link between two existing methods for instantaneous mixtures: independent component analysis (ICA) and sparse component analysis (SCA). We then proposed a new formulation that works in both determined and underdetermined cases, with and without noise. Numerical evaluations show the advantage of the proposed approaches.Secondly, the proposed formulation is generalized for convolutive mixtures with speech signals. By integrating a new approximation model, the proposed algorithms work better than existing methods, especially in noisy and/or high reverberation scenarios.Then, we take into account the technique of morphological decomposition and the use of structured sparsity which leads to algorithms that can better exploit the structures of audio signals. Such approaches are tested for underdetermined convolutive mixtures in a non-blind scenario.At last, being benefited from the NMF model, we combined the low-rank and sparsity assumption and proposed new approaches for under-determined convolutive mixtures. The experiments illustrate the good performance of the proposed algorithms for music signals, especially in strong reverberation scenarios.; La séparation aveugle de source consiste à estimer les signaux de sources uniquement à partir des mélanges observés. Le problème peut être séparé en deux catégories en fonction du modèle de mélange: mélanges instantanés, où le retard et la réverbération (effet multi-chemin) ne sont pas pris en compte, et des mélanges convolutives qui sont plus généraux mais plus compliqués. De plus, le bruit additif au niveaux des capteurs et le réglage sous-déterminé, où il y a moins de capteurs que les sources, rendent le problème encore plus difficile.Dans cette thèse, tout d'abord, nous avons étudié le lien entre deux méthodes existantes pour les mélanges instantanés: analyse des composants indépendants (ICA) et analyse des composant parcimonieux (SCA). Nous avons ensuite proposé une nouveau formulation qui fonctionne dans les cas déterminés et sous-déterminés, avec et sans bruit. Les évaluations numériques montrent l'avantage des approches proposées.Deuxièmement, la formulation proposés est généralisés pour les mélanges convolutifs avec des signaux de parole. En intégrant un nouveau modèle d'approximation, les algorithmes proposés fonctionnent mieux que les méthodes existantes, en particulier dans des scénarios bruyant et / ou de forte réverbération.Ensuite, on prend en compte la technique de décomposition morphologique et l'utilisation de parcimonie structurée qui conduit à des algorithmes qui peuvent mieux exploiter les structures des signaux audio. De telles approches sont testées pour des mélanges convolutifs sous-déterminés dans un scénario non-aveugle.Enfin, en bénéficiant du modèle NMF (factorisation en matrice non-négative), nous avons combiné l'hypothèse de faible-rang et de parcimonie et proposé de nouvelles approches pour les mélanges convolutifs sous-déterminés. Les expériences illustrent la bonne performance des algorithmes proposés pour les signaux de musique, en particulier dans des scénarios de forte réverbération.

This work focuses on the development of innovative tools and methodologies for coronary artery wall characterization. These tools are required to support the diagnosis of cardiovascular disease. A mechanical approach was used to implement inverse resolution methods that provide key data about the mechanical properties of tissues. Resolution of inverse problems in mechanics uses strain fields, which are computed thanks to elastography algorithms. Two main characterization tools were used: one aimed to allow lesions detection by applying a virtual palpation technique and the other aimed to identify a reconstructed distribution of the Young's modulus. Palpography and Modulography tools can facilitate in vivo atherosclerotic plaques characterization. The current dissertation brings contribution in the elastography, palpography and modulography fields.We started by improving the iMOD Modulography tool (previously developed application to compute the Young's modulus map). We adapted iMOD to the new constraints related to high definition IVUS modality (HD-IVUS). This new advanced tool was named E-iMOD (Extended iMOD) and its performances were was evaluated with simulated elastography data.In next step, we developed a new version of the strain elastography algorithm. Indeed, strains estimations are critical to solve of the inverse problem in mechanics. It was shown that the introduced enhancements improved estimation for both vessel simulations and phantom experimental data.In a third stage, an analysis was lead to access the contribution of HD-IVUS technology to current IVUS imaging on simulated and experimental data. Even though hopeful results were showed, further efforts in the elastography algorithm are required in order to fully exploit the HD improvements.The last part of this work deals with the palpography tool that allows the detection of lesions. First, experimental ultrasound acquisitions from animal arteries were processed. These data were involved in a validation prototcol of palpography technique developed in our team. In a second part, a review of several palpography techniques allowed us to highlight their strengths and weaknesses on simulated data. A new palpation index adapted to anisotropic material was also introduced. Finally, an original theoretical method rethinking the results of palpography was proposed. This approach computes a first modulogram to improve the prior preconditioning of optimization processes, such as the optimization process of E-iMOD, Ces travaux de thèse portent sur le développement d’outils et de méthodologies innovantes permettant la caractérisation de la paroi artérielle coronarienne. Ce développement est nécessaire pour aider au diagnostic des maladies cardiovasculaires. L’approche mécanique a été utilisée pour mettre en place des méthodes de résolution inverse restituant des informations clés sur les propriétés mécaniques des tissus. La résolution du problème inverse en mécanique utilise entre autres des champs de déformation dont l’estimation est réalisée à l’aide d’algorithmes d’élastographie de déformation. Deux outils de caractérisation ont été étudiés : l’un visant à faciliter la détection par une palpation virtuelle et l’autre l’identification par la reconstruction de cartographies locales du module de Young. Ces outils de palpographie et de modulographie peuvent faciliter la caractérisation in vivo des plaques d’athérosclérose. Les contributions apportées portent successivement sur l’élastographie, la palpographie et la modulographie.Nous avons tout d’abord amélioré l’outil de modulographie iMOD (application existante de reconstruction du module de Young) en l’adaptant aux nouvelles contraintes liées aux modalités IVUS dites de haute définition (HD-IVUS). Les performances de ce nouvel outil perfectionné nommé E-iMOD (Extended iMOD) ont été évaluées en l’appliquant sur des données d’élastographie simulées.Ensuite, nous avons développé une nouvelle version de l’algorithme d’élastographie de déformation. En effet, l’estimation des déformations est un point critique conditionnant la bonne résolution du problème inverse en mécanique. Il a été montré que les améliorations introduites permettent l’amélioration des estimations sur des données simulées et sur des données expérimentales de fantôme.Dans un troisième temps, une analyse de l’apport de la technologie HD-IVUS vis-à-vis de l’imagerie IVUS actuelle a été menée sur données simulées et expérimentales. Elle a montré que les résultats peuvent être prometteurs mais que des efforts de développement sur l’élastographie sont encore nécessaires afin d’exploiter pleinement les avancées techniques de la HD.Une dernière partie traite de l’outil de palpographie relatif à la détection des lésions. Tout d’abord, ce volet est l’occasion de mettre en œuvre une phase expérimentale sur des acquisitions d’artères animales. Le traitement de ces données participe à une phase de validation d’une technique de palpographie développée dans l’équipe. Dans un second volet, une revue de littérature de différentes techniques de palpographie nous permet de mettre en avant les points forts et les faiblesses de ces techniques sur des données simulées. Nous introduisons également un nouvel indice de palpation adapté aux milieux anisotropes. Enfin, une méthode théorique originale repensant les résultats de la palpographie a été proposée. Cette approche permet le calcul d’un premier modulogramme pouvant améliorer le pré-conditionnement des processus d’optimisation de type E-iMOD

Dans cette présentation, j’effectue une synthèse de mes activités de recherche menées depuis sept ans à l’ENSTA Bretagne et au LabSTICC. Ces activités sont caractérisées par cette approche interdisciplinaire, à l'interface entre les STIC (Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication) et les Sciences de la Mer. L’ensemble de mes travaux vise à développer et/ou exploiter des méthodes innovantes de traitement du signal, pour répondre à des problématiques environnementales et stratégiques du milieu marin, en particulier en utilisant l'acoustique. En effet, les ondes acoustiques se propagent particulièrement bien dans l'eau, et sont donc le vecteur privilégié pour sonder les océans. Dans ce contexte, je développe une activité de recherche structurée autour de deux grands axes: l'études et l'utilisation des ondes Ultra Basse Fréquence (UBF), et le monitoring océanique par acoustique passive.Le terme UBF s'applique aux fréquences inférieures à quelques centaines de Hz. Leur propagation en milieu sous-marin est particulière. En UBF, l'océan se comporte comme un guide d'onde dispersif: différentes fréquences se propagent à différentes vitesses. Les méthodes classiques de l'acoustique sous-marine ne sont plus applicables. Je m'attache à développer des traitements adaptées à la dispersion: caractérisation du signal reçu, et utilisation de l'information de dispersion pour localiser des sources et/ou caractériser l'environnement. Cet axe de recherche sur les UBF possède un large spectre applicatif, allant de la lutte sous-marine à la biologie marine. Je présenterai notamment des méthodes novatrices de localisation de source et de caractérisation du milieu marin.L'océanographie acoustique s'intéresse à l'observation et la compréhension des océans en utilisant le vecteur acoustique. Dans mes travaux, je me restreins au monitoring environnemental par acoustique passive, contexte au sein duquel on s'interdit toute émission sonore. Il s'agit alors d'écouter le paysage sonore sous-marin, et d'en extraire des informations océanographiques. Dans cet axe de recherche, je m'intéresse moins aux développements des traitements qu'aux réponses apportées aux questions environnementales. Il s'agit donc d'utiliser des méthodes, développées par ailleurs, pour répondre à des problématiques propres aux sciences de la mer. Je présenterai ici des résultats de suivi de mammifères marins, ainsi que de météorologie acoustique.

Forecasting of a physical system is computed by the help of a mathematical model. This model needs to be initialized by the state of the system at initial time. But this state is not directly measurable and data assimilation techniques are generally used to estimate it. They combine all sources of information such as observations (that may be sparse in time and space and potentially include errors), previous forecasts, the model equations and error statistics. The main idea of data assimilation techniques is to find an initial state accounting for the different sources of informations. Such techniques are widely used in meteorology, where data and particularly images are more and more numerous due to the increasing number of satellites and other sources of measurements. This, coupled with developments of meteorological models, have led to an ever-increasing quality of the forecast.Spatial consistency is one specificity of images. For example, human eyes are able to notice structures in an image. However, classical methods of data assimilation do not handle such structures because they take only into account the values of each pixel separately. In some cases it leads to a bad initial condition. To tackle this problem, we proposed to change the representation of an image: images are considered here as elements of the Wasserstein space endowed with the Wasserstein distance coming from the optimal transport theory. In this space, what matters is the positions of the different structures.This thesis presents a data assimilation technique based on this Wasserstein distance. This technique and its numerical procedure are first described, then experiments are carried out and results shown. In particularly, it appears that this technique was able to give an analysis of corrected position., Pour prédire l'évolution d'un système physique, nous avons besoin d'initialiser le modèle mathématique le représentant, donc d'estimer la valeur de l'état du système au temps initial. Cet état n'est généralement pas directement mesurable car souvent trop complexe. En revanche, nous disposons d'informations du système, prises à des temps différents, incomplètes, mais aussi entachées d'erreurs, telles des observations, de précédentes estimations, etc. Combiner ces différentes informations partielles et imparfaites pour estimer la valeur de l'état fait appel à des méthodes d'assimilation de données dont l'idée est de trouver un état initial proche de toutes les informations. Ces méthodes sont très utilisées en météorologie. Nous nous intéressons dans cette thèse à l'assimilation d'images, images qui sont de plus en plus utilisées en tant qu'observations. La spécificité de ces images est leur cohérence spatiale, l'oeil humain peut en effet percevoir des structures dans les images que les méthodes classiques d'assimilation ne considèrent généralement pas. Elles ne tiennent compte que des valeurs de chaque pixel, ce qui résulte dans certains cas à des problèmes d'amplitude dans l'état initial estimé. Pour résoudre ce problème, nous proposons de changer d'espace de représentation des données : nous plaçons les données dans un espace de Wasserstein où la position des différentes structures compte. Cet espace, équipé d'une distance de Wasserstein, est issue de la théorie du transport optimal et trouve beaucoup d'applications en imagerie notamment.Dans ce travail nous proposons une méthode d'assimilation variationnelle de données basée sur cette distance de Wasserstein. Nous la présentons ici, ainsi que les algorithmes numériques liés et des expériences montrant ses spécificités. Nous verrons dans les résultats comment elle permet de corriger ce qu'on appelle erreurs de position.

Dictionary learning for sparse representation has been widely advocated for solving inverse problems. Optimization methods and parametric approaches towards dictionary learning have been particularly explored. These methods meet some limitations, particularly related to the choice of parameters. In general, the dictionary size is fixed in advance, and sparsity or noise level may also be needed. In this thesis, we show how to perform jointly dictionary and parameter learning, with an emphasis on image processing. We propose and study the Indian Buffet Process for Dictionary Learning (IBP-DL) method, using a bayesian nonparametric approach.A primer on bayesian nonparametrics is first presented. Dirichlet and Beta processes and their respective derivatives, the Chinese restaurant and Indian Buffet processes are described. The proposed model for dictionary learning relies on an Indian Buffet prior, which permits to learn an adaptive size dictionary. The Monte-Carlo method for inference is detailed. Noise and sparsity levels are also inferred, so that in practice no parameter tuning is required. Numerical experiments illustrate the performances of the approach in different settings: image denoising, inpainting and compressed sensing. Results are compared with state-of-the art methods is made. Matlab and C sources are available for sake of reproducibility.; L'apprentissage de dictionnaire pour la représentation parcimonieuse est bien connu dans le cadre de la résolution de problèmes inverses. Les méthodes d'optimisation et les approches paramétriques ont été particulièrement explorées. Ces méthodes rencontrent certaines limitations, notamment liées au choix de paramètres. En général, la taille de dictionnaire doit être fixée à l'avance et une connaissance des niveaux de bruit et éventuellement de parcimonie sont aussi nécessaires. Les contributions méthodologies de cette thèse concernent l'apprentissage conjoint du dictionnaire et de ces paramètres, notamment pour les problèmes inverses en traitement d'image. Nous étudions et proposons la méthode IBP-DL (Indien Buffet Process for Dictionary Learning) en utilisant une approche bayésienne non paramétrique. Une introduction sur les approches bayésiennes non paramétriques est présentée. Le processus de Dirichlet et son dérivé, le processus du restaurant chinois, ainsi que le processus Bêta et son dérivé, le processus du buffet indien, sont décrits. Le modèle proposé pour l'apprentissage de dictionnaire s'appuie sur un a priori de type Buffet Indien qui permet d'apprendre un dictionnaire de taille adaptative. Nous détaillons la méthode de Monte-Carlo proposée pour l'inférence. Le niveau de bruit et celui de la parcimonie sont aussi échantillonnés, de sorte qu'aucun réglage de paramètres n'est nécessaire en pratique. Des expériences numériques illustrent les performances de l'approche pour les problèmes du débruitage, de l'inpainting et de l'acquisition compressée. Les résultats sont comparés avec l'état de l'art.Le code source en Matlab et en C est mis à disposition.

Ce manuscrit est présenté pour l'obtention de l'Habilitation à Diriger des Recherches de l'Université Paul Sabatier Toulouse 3. Il décrit les activités de recherche que j'ai menés depuis la soutenance de ma thèse de doctorat en 2008, effectuée au laboratoire Creatis à l'INSA-Lyon.Depuis septembre 2009, l'essentiel de mon activité de recherche au laboratoire IRIT est consacré au développement de techniques de traitement du signal et de l'image appliquées à l'imagerie médicale. En particulier, je m'intéresse à l'estimation du mouvement tissulaire et à la reconstruction d'images. Ce manuscrit est organisé en deux parties et se termine par des orientations du projet de recherche proposé pour la suite du travail. La première contient mon curriculum-vitæ détaillé et la liste complète de mes publications. La deuxième partie, organisée en trois chapitres, dresse un résumé de mes activités de recherche. Le premier chapitre résume nos contributions en estimation du mouvement cardiaque, avec un focus sur l'utilisation de la phase spatiale des images. Le deuxième chapitre montre nos travaux en échantillonnage compressif, notamment son application à l'imagerie ultrasonore. Enfin, le troisième chapitre concerne la résolution de problèmes inverses rencontrés en reconstruction d'images ultrasonores : la formation des voies, la déconvolution, la super-résolution et la segmentation.