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In this thesis, we study the large-time behavior of solutions to Schrödinger equation with complex-valued potentials. In the first part, we are interested in rapidly decreasing potentials. We establish the resolvent expansions at threshold and near positive resonances. We obtain the expansions in time of solutions under different conditions, including the existence of positive resonances and zero resonance or/and zero eigenvalue. In the second part, we are interested in slowly decreasing potentials. We establish Gevrey estimates for the resolvent and the large-time expansions for Schrödinger and heat semi-groups with sub-exponential time-decay estimates on the remainder. These results generalize the results of X. P. Wang to potentials satisfying a virial condition at infinity. Our results in the two parts cover the case of zero eigenvalue of arbitrary geometric multiplicity.; Dans cette thèse, on étudie le comportement en temps grand des solutions de l’équation de Schrödinger avec potentiels à valeurs complexes. Dans lapremière partie, on s’intéresse aux potentiels à décroissance rapide. On établit les développements de la résolvante au seuil et près des résonances positives. On obtient, sous différentes conditions, les développements en temps grand des solutions en supposant l’existence de résonances positives et d’une résonance et / ou une valeur propre au seuil zéro. Dans la deuxième partie, on s’intéresse aux potentiels à décroissance lente. On établit des estimations de Gevrey de la résolvante aussi que les développements en temps grand des semi-groupes de Schrödinger et de la chaleur avec des estimations sous-exponentielles en temps sur le reste. Ces derniers résultats généralisent les résultats de X. P. Wang au cas où le potentiel vérifie une condition de viriel au voisinage de l’infini. Ainsi, nos résultats dans les deux parties couvrent le cas d’une valeur propre zéro de multiplicité géométrique quelconque

In this thesis, we study the large-time behavior of solutions to Schrödinger equation with complex-valued potentials. In the first part, we are interested in rapidly decreasing potentials. We establish the resolvent expansions at threshold and near positive resonances. We obtain the expansions in time of solutions under different conditions, including the existence of positive resonances and zero resonance or/and zero eigenvalue. In the second part, we are interested in slowly decreasing potentials. We establish Gevrey estimates for the resolvent and the large-time expansions for Schrödinger and heat semi-groups with sub-exponential time-decay estimates on the remainder. These results generalize the results of X. P. Wang to potentials satisfying a virial condition at infinity. Our results in the two parts cover the case of zero eigenvalue of arbitrary geometric multiplicity.; Dans cette thèse, on étudie le comportement en temps grand des solutions de l’équation de Schrödinger avec potentiels à valeurs complexes. Dans lapremière partie, on s’intéresse aux potentiels à décroissance rapide. On établit les développements de la résolvante au seuil et près des résonances positives. On obtient, sous différentes conditions, les développements en temps grand des solutions en supposant l’existence de résonances positives et d’une résonance et / ou une valeur propre au seuil zéro. Dans la deuxième partie, on s’intéresse aux potentiels à décroissance lente. On établit des estimations de Gevrey de la résolvante aussi que les développements en temps grand des semi-groupes de Schrödinger et de la chaleur avec des estimations sous-exponentielles en temps sur le reste. Ces derniers résultats généralisent les résultats de X. P. Wang au cas où le potentiel vérifie une condition de viriel au voisinage de l’infini. Ainsi, nos résultats dans les deux parties couvrent le cas d’une valeur propre zéro de multiplicité géométrique quelconque

In this work, we are interested in the spectral analysis of systems of semiclassical pseudodifferentialoperators. In the first part, we study the extension of the long time semiclassical Egorovtheorem in the case where the quantum Hamiltonian which generates the time evolution andthe initial quantum observable are two semiclassical pseudodifferential operators with matrixvaluedsymbols. Under an hyperbolicity condition on the principal symbol of the Hamiltonianwhich ensures the existence of the semiclassical projections, and for a class of observable thatare "semi-classically" block-diagonal with respect to these projections, we prove an Egorov theoremvalid in a large time interval of order log(h-1) known as the Ehrenfest time. Here h & 0is the semiclassical parameter.In the second part, we are interested in the spectral and scattering theories for self-adjointsystems of pseudodifferential operators. We develop a stationary approach for the study of thespectral shift function (SSF) associated to a pair of self-adjoint semiclassical Schrödinger operatorswith matrix-valued potentials. We prove a Weyl-type asymptotics with sharp remainderestimate on the SSF, and under the existence of a scalar escape function, a pointwise completeasymptotic expansion on its derivative. This last result is a generalisation in the matrix-valuedcase of a result of Robert and Tamura established in the scalar case near non-trapping energies.Our time-independent method allows us to treat certain potentials with energy-level crossings; Dans ce travail, nous nous intéressons à l’analyse spectrale des systèmes d’opérateurs pseudodifférentiels semi-classiques. Dans la première partie, nous étudions la généralisation du théorème d’Egorov en temps longs dans le cas où l’Hamiltonien quantique qui génère l’évolution en temps et l’observable quantique initiale sont deux opérateurs pseudodifférentiels semiclassiques associés à des symboles à valeurs matricielles. Sous une condition d’hyperbolicité sur le symbole principal de l’Hamiltonien qui assure l’existence des projecteurs semi-classiques, et pour une classe d’observables "semi-classiquement" diagonales par blocs par rapport à ces projecteurs, nous démontrons un théorème de type Egorov valable pour un temps long d’ordre log(h-1) connu comme le temps d’Ehrenfest. Ici h 0 est le paramètre semi-classique. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à la théorie spectrale et la théorie de la diffusion pour des systèmes d’opérateurs pseudodifférentiels auto-adjoints. Nous développons une approche stationnaire pour l’étude de la fonction de décalage spectral associée à une paire d’opérateurs de Schrödinger semi-classiques à potentiels matriciels. Une asymptotique de type Weyl avec reste optimal sur la fonction de décalage spectral est établie, et sous l’hypothèse d’existence d’une fonction fuite scalaire, un développement asymptotique complet en puissancesde h au sens fort sur sa dérivée est obtenu. Ce dernier résultat est une généralisation au cas matriciel d’un résultat de Robert et Tamura établi dans le cas scalaire près des énergies non-captives. Notre méthode indépendante du temps nous permet de traiter certains potentiels avec des croisements des valeurs propres.

We study in this thesis the high frequency limit of the Helmholtz equation in a dissipative setting. We first prove uniform resolvent estimates for the dissipative Schrödinger operator on the upper half-plane and close to an energy which satisfies a damping assumption on trapped classical trajectories. To this purpose we generalize Mourre's commutators method to dissipative operators. In a second part we study the semiclassical measures for the outgoing solution of the equation when the source term concentrates on a bounded submanifold of the space.; On s'intéresse dans cette thèse à l'analyse haute fréquence de l'équation de Helmholtz dans un cadre dissipatif. On commence par chercher des estimations uniformes pour la résolvante de l'opérateur de Schrödinger dissipatif sur le demi-plan supérieur et près d'une énergie vérifiant une hypothèse d'amortissement sur les trajectoires classiques bornées. On généralise pour cela la méthode des commutateurs de Mourre pour des opérateurs dissipatifs. Dans une deuxième partie, on étudie les mesures semi-classiques pour la solution sortante à l'équation lorsque le terme source se concentre sur une sous-variété bornée de l'espace.

We study in this thesis the high frequency limit of the Helmholtz equation in a dissipative setting. We first prove uniform resolvent estimates for the dissipative Schrödinger operator on the upper half-plane and close to an energy which satisfies a damping assumption on trapped classical trajectories. To this purpose we generalize Mourre's commutators method to dissipative operators. In a second part we study the semiclassical measures for the outgoing solution of the equation when the source term concentrates on a bounded submanifold of the space.; On s'intéresse dans cette thèse à l'analyse haute fréquence de l'équation de Helmholtz dans un cadre dissipatif. On commence par chercher des estimations uniformes pour la résolvante de l'opérateur de Schrödinger dissipatif sur le demi-plan supérieur et près d'une énergie vérifiant une hypothèse d'amortissement sur les trajectoires classiques bornées. On généralise pour cela la méthode des commutateurs de Mourre pour des opérateurs dissipatifs. Dans une deuxième partie, on étudie les mesures semi-classiques pour la solution sortante à l'équation lorsque le terme source se concentre sur une sous-variété bornée de l'espace.

We study bidimensional Dirac operator with magnetic fields which grow unboundedly at infinity. The spectrum of such operator is composed only of eigenvalues and in particular the essential spectrum is reduced to one point. For power-like increasing magnetic field, we give an equivalent of the eigenvalues at infinity.When we perturbe this operator by an electric potential which decays to zero at infinity with power-like decay, exponential decay or with compact support, some eigenvalues are created near essential spectrum. We investigate the asymptotic behaviour of the discrete spectrum near this point.For tridimensional Dirac operator with constant magnetic fields, we define resonances with analytical dilatation. Using Grushin's method, we study the resonances near Landau-Dirac levels with the help of effective hamiltonian.; On étudie l'opérateur de Dirac bidimensionnel avec un champ magnétique tendant vers l'infini en l'infini. Le spectre d'un tel opérateur est uniquement composé de valeurs propres et en particulier le spectre essentiel est réduit à un point. Pour un champ magnétique à croissance polynomiale, on donne l'équivalent des valeurs propres à l'infini.Quand on perturbe cet opérateur par un potentiel électrique tendant vers zéro à l'infini avec une décroissance polynomiale, exponentielle ou à support compact, des valeurs propres sont créées près du point du spectre essentiel. On étudie le comportement asymptotique du spectre discret de l'opérateur perturbé près de ce point.Pour l'opérateur de Dirac tridimensionnel avec un champ magnétique constant, on définit les résonances à l'aide de la méthode de dilatation analytique. Grâce à la méthode de Grushin, on étudie les résonances près des niveaux de Landau-Dirac à l'aide d'un hamiltonien effectif.