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In this thesis, we study some exact controllability problems for the wave equation. We consider successively the following problems.A. Exact controllability for the linear wave equation with distributed control.B. Exact controllability for the linear wave equation with pointwise control.C. Exact controllability for a semi-linear wave equation with distributed control.D. Exact controllability for the linear elasticity system with boundary control.We focus particularly on the numerical approximation of the control. For each of the four problems, we develop a robust method to approximate the control. The method mainly used is based on a space-time variational approach. In the case of a time-varying control domain, the space-time aspect of the formulation allows to build discretizations adapted to the control domain.In Chapter 1, we start by recalling the main concepts for the study of the controllability of linear autonomous evolution systems. We recall in particular the duality between controllability of the state system and observability of the adjoint system, as well as the Hilbert Uniqueness Method (HUM). We then discuss some numerical methods for the approximation of the control of hyperbolic systems.In Chapter 2, we gather the main results of the thesis. These results are transcribed in a series of four articles.Article A deals with the exact controllability for the one-dimensional linear wave equation with distributed control. Furthermore, we consider non-cylindrical control domains. The article includes two main contributions. On one hand, we prove a uniform observability inequality with respect to the control domain. On the other hand, the second contribution is the theoretical and numerical analysis of the problem of optimizing the control domain.Article B deals with the exact controllability for the one-dimensional linear wave equation with pointwise control. Furthermore, we consider non-cylindrical control domains. The article includes two main contributions. On one hand, we adapt the space-time variational formulation used in Article A to the case of a pointwise control. On the other hand, the second contribution is the (mainly numerical) analysis of the problem of optimizing the control domain.Article C deals with the exact controllability for a semi-linear wave equation with distributed control. The main contribution of the article is the design of an algorithm to approximate an exact control. To do so, we introduce a least-squares functional whose zeros are precisely the exact controls of the semi-linear system. By a descent method, we then build a sequence of functions strongly converging to an exact control of the semi-linear system.Article D deals with the exact controllability for the linear elasticity system with boundary control. The main contribution of the article is the design of a algorithm to approximate the control of minimal norm. To do so, we adapt a method developed for the wave equation by rewriting the elasticity system using the velocity-constraint variables.; Dans cette thèse, on étudie quelques problèmes de contrôlabilité exacte pour l'équation des ondes. On considère tour à tour les problèmes suivants.A. Contrôlabilité exacte pour l'équation des ondes linéaire avec contrôle interne.B. Contrôlabilité exacte pour l'équation des ondes linéaire avec contrôle ponctuel.C. Contrôlabilité exacte pour une équation des ondes semi-linéaire avec contrôle interne.D. Contrôlabilité exacte pour le système de l'élasticité linéaire avec contrôle au bord.L'accent est particulièrement mis sur l'approximation numérique du contrôle. Pour chacun des quatre problèmes, on développe une méthode robuste pour approcher le contrôle. La méthode principalement utilisée est basée sur une approche variationnelle espace-temps. Dans le cas où le support de contrôle varie au cours du temps, le caractère espace-temps de la formulation permet d'effectuer une discrétisation adaptée au support.Au Chapitre 1, on commence par rappeler certains concepts clef pour l'étude de la contrôlabilité des systèmes d'évolution linéaires et autonomes. On rappelle notamment la dualité entre contrôlabilité du système d'état et observabilité du système adjoint, ainsi que la Méthode d'Unicité de Hilbert (HUM). On évoque ensuite quelques méthodes d'approximation du contrôle pour des systèmes hyperboliques.Le Chapitre 2 regroupe les principaux résultats de la thèse sous la forme d'une compilation de quatre articles.L'Article A traite de la contrôlabilité exacte pour l'équation des ondes linéaire unidimensionnelle avec contrôle interne. On autorise en outre le support de contrôle à être non cylindrique. L'article contient deux contributions principales. On démontre d'une part une inégalité d'observabilité uniforme par rapport au support de contrôle. On réalise d’autre part une analyse théorique et numérique d'un problème d'optimisation du support de contrôle.L'Article B traite de la contrôlabilité exacte pour l'équation des ondes linéaire unidimensionnelle avec contrôle ponctuel. On autorise en outre le support de contrôle à être non cylindrique. L'article contient deux contributions principales. Dans un premier temps, on adapte au cas d'un contrôle ponctuel la formulation variationnelle espace-temps utilisée dans l'Article A. Dans un second temps, on réalise une analyse (essentiellement numérique) d'un problème d'optimisation du support de contrôle.L'Article C traite de la contrôlabilité exacte pour une équation des ondes semi-linéaire avec contrôle interne. La contribution principale de l'article est la mise en place d'un algorithme permettant d'approcher un contrôle exact. Pour ce faire, on introduit une fonctionnelle type moindres carrés dont les zéros sont précisément les contrôles exacts du système semi-linéaire. Par une méthode de descente, on construit alors une suite de fonctions qui converge fortement vers un contrôle exact du système semi-linéaire.L'Article D traite de la contrôlabilité exacte pour le système de l'élasticité linéaire avec contrôle au bord. La contribution principale de l'article est la mise en place d'un algorithme permettant d'approcher le contrôle de norme minimale. Pour ce faire, on adapte une méthode développée pour l'équation des ondes en réécrivant le système de l'élasticité sous forme vitesse-contrainte.

National audience; – L'équation d'évolution du p-Laplacien non-local, gouvernée par un noyau donné, a de très nombreuses applications pour modéliser les phénomènes de diffusion, notamment en traitement du signal et des images sur graphes. En pratique, cette équation d'évolution est implé-mentée sous une forme discrète (en temps et en espace) comme une approximation numérique du problème continu, où le noyau est remplacé par la matrice d'adjacence d'un graphe. La question naturelle est alors d'étudier la structure des solutions du problème discret et d'en établir la limite continue. C'est l'objectif poursuivi dans ce travail. En combinant des outils issus de la théorie des graphes et des équations d'évolution non-linéaires, nous donnons une interprétation rigoureuse à la limite continue du problème du p-Laplacien discret sur graphes. Plus spécifique-ment, nous considérons une suite de graphes (déterministes) dont l'objet limite est appelé graphon. L'équation d'évolution du p-Laplacien est alors discrétisée en temps et en espace sur cette suite de graphes. Ainsi, nous prouvons la convergence des solutions de la suite des problèmes discrétisés vers la solution du problème d'évolution continu gouverné par le graphon lorsque le nombre des noeuds du graphe tend vers l'infini. Ce faisant, nous exhibons les vitesses de convergence correspondantes pour différents modèles de graphes, et mettons en exergue l'influence de la géométrie du graphon. Dans le cas de graphes aléatoires, en utilisant des inégalités de concentration fines, nous fournissons les vitesses de convergence de la solution discrète vers sa limite continue avec grande probabilité et montrons l'influence de la valeur de p. Abstract – The non-local p-Laplacian evolution equation, governed by given kernel, has various applications to model diffusion phenomena, in particular in signal and image processing. In practice, such an evolution equation is implemented in discrete form (in space and time) as a numerical approximation to a continuous problem, where the kernel is replaced by an adjacency matrix of graph. The natural question that arises is to understand the structure of solutions to the discrete problem, and study their continuous limit. This is the goal pursued in this work. Combining tools from graph theory and non-linear evolution equations, we give a rigorous interpretation to the continuous limit of the discrete p-Laplacian on graphs. More specifically, we consider a sequence of (deterministic) graphs converging to a so-called graphon. The continuous p-Laplacian evolution equation is then discretized on this graph sequence both in space and time. We therefore prove that the solutions of the sequence of discrete problems converge to the solution of the continuous evolution problem governed by the graphon, when the number of graph vertices grows to infinity. We exhibit the corresponding convergence rates for different graph models, and point out the role of the graphon geometry. For random graph sequences, using sharp concentration inequalities, we deliver convergence rate with overwhelming probability and show the influence of the choice of p.

The optimization of Laplacian eigenvalues is a classical problem. In fact, at the end of the nineteenth century, Lord Rayleigh conjectured that the first eigenvalue with Dirichlet boundary condition is minimized by a disk. This problem received a lot of attention since this first study and research possibilities are numerous: various conditions, geometrical constraints added, existence, description of optimal shapes... In this document we restrict us to Dirichlet and Neumann boundary conditions in R^2 and R^3. We begin with a state of the art. Then we focus our study on disks and balls. Indeed, these are some of the only shapes for which it is possible to explicitly and relatively easily compute the eigenvalues. But we show in one of the main result of this document that they are not minimizers for most eigenvalues. Finally we take an interest in the possible numerical experiments. Since we can do very few theoretical computations, it is interesting to get numerical candidates. Then we can deduce some theoretical working assumptions. With this in mind we give some keys to understand our numerical method and we also give some results obtained., Le problème de l'optimisation des valeurs propres du Laplacien est ancien puisqu'à la fin du XIXème siècle Lord Rayleigh conjecturait que la première valeur propre avec condition de Dirichlet était minimisée par le disque. Depuis le problème a été beaucoup étudié. Et les possibilités de recherches sont multiples : diverses conditions, ajout de contraintes, existence, description des optima ... Dans ce document on se limite aux conditions de Dirichlet et de Neumann, dans R^2 et dans R^3. On procède dans un premier temps à un état de l'art. On se focalise ensuite sur les disques et les boules. En effet, ils font partie des rares formes pour lesquelles il est possible de calculer explicitement et relativement facilement les valeurs propres. On verra malheureusement que ces formes ne sont la plupart du temps pas des minimiseurs. Enfin on s'intéresse aux simulations numériques possibles. En effet, puisque peu de calculs théoriques peuvent être faits il est intéressant d'obtenir numériquement des candidats. Cela permet ensuite d'avoir des hypothèses de travail théorique. `{A} cet effet nous donnerons des éléments de compréhension sur une méthode de simulation numérique ainsi que des résultats obtenus.

This thesis work dealing with finite dimensional approximation of infinite dimension system. The class considered is that of Hamiltonian systems in ports. We study initially ordinary differential equations systems. Based on an energy integrator, we define a class of discrete passive dynamics is invariant interconnection. We obtain the stability conditions (LMI) for dynamic network in the presence of delays and uncertainties, and propose a method of stabilizing energy synthesis. These developments were experimentally validated by the implementation of an energy control a power converter (Buck). We then study the Hamiltonian formalism in infinite dimensions. We offer an approximation that combines a semi-discretization and an energy integrator. The mixed composability is studied and a method of synthesis IDA-PBC was developed. All the obtained results are numerically illustrated in the manuscript., Ces travaux de thèse traitent de l'approximation en dimension finie de système de dimension infinie. La classe considérée est celle des systèmes hamiltoniens à ports. Nous étudions dans un premier temps les systèmes d'équations différentielles ordinaires. Sur la base d'un intégrateur énergétique, nous définissons une classe de dynamiques passives discrètes qui est invariante par interconnexion. Nous obtenons alors des conditions de stabilité (LMI) pour des dynamiques en réseau en présence de retards et d'incertitudes, et proposons une méthode de synthèse énergétique stabilisante. Ces développements ont été validés expérimentalement par la mise en oeuvre d'une commande énergétique sur un convertisseur de puissance (Buck). Nous étudions ensuite le formalisme hamiltonien en dimension infinie. Nous proposons une approximation qui combine une semi-discrétisation et un intégrateur énergétique. La composabilité mixte est étudiée et une méthode de synthèse IDA-PBC a été développée. L'ensemble des résultats obtenus sont illustrés numériquement dans le manuscrit.

This thesis carries out some studies concerning the mathematical modelling and the numerical approximation of problems involving homogenized metamaterials. In the first part, we investigate wave propagation problems with homogenized metamaterials for Maxwell's equations and acoustics or linear elasticity systems. We establish that each of these systems is well-posed under assumptions that are relevant for some models already designed in the literature. We next tackle their numerical approximation. We give results showing that the finite element method for the approximation of Helmholtz equation, when metatmaterials are involved, may not converges. We propose then a numerical scheme, the EF-AL scheme, which can be used with metamaterials and we prove that it converges as soon as the considered problem is well-posed. We finish studying the discontinuous galerkin scheme. We show numerically its convergence for some examples of metamaterials. The second part presents a formal non-periodic homogenization process for acoustic metamaterials. The work of A.G. Ramm, designing a medium by assembling many obstacles, is extended meanwhile accurately describing the asymptotic behavior of the field scattered by a finite number of small ball of radius \delta. The method of matched asymptotic expansions is used. We establish existence and uniqueness of the latter expansion and prove error estimates giving it a theoretical background. Next we assume that the number of small obstacles grows to infinity when \delta goes to 0 and pass to the limit in the asymptotic expansion. A Born approximation then yields the refractive index of an effective medium packaging all the small bodies which corresponds, in some cases, to a metamaterial.; Cette thèse concerne la modélisation mathématique et l'approximation numérique de modèles homogénéisés de métamatériaux. Dans la première partie on étudie des problèmes de propagation d'ondes en présence de métamatériaux homogénéisés tels que les équations de Maxwell, le système de l'acoustique ou de l'élasticité linéaire. Nous établissons des résultats d'existence et d'unicité pour ces systèmes sous des hypothèses phénoménologiques sur le métamatériau en accord avec certains modèles de la littérature. Nous abordons ensuite leurs approximations numériques. Nous présentons des résultats concernant les éléments finis pour l'approximation de l'équation de Helmholtz qui montrent que ce schéma peut ne pas converger en présence de métamatériaux. On propose alors un schéma adapté aux métamatériaux, le schéma EF-AL, qui converge dès que le problème est bien-posé. On termine par l'étude du schéma Galerkin Discontinu dont on montre numériquement sa convergence sur des exemples de métamatériaux. La seconde partie présente l'homogénéisation non-périodique formelle de métamatériaux acoustiques. Les travaux d'A.G. Ramm sur la création de milieux à partir d'assemblages d'obstacles sont repris afin de préciser l'asymptotique fine du comportement du champ diffracté par un nombre fini de petites boules de rayon \delta. On utilise pour cela la méthode des développements asymptotiques raccordés. On établit l'existence et l'unicité de ce dernier et des estimations d'erreurs qui valident l'approche formelle. On suppose ensuite que le nombre de petits objets tend vers l'infini lorsque \delta tend vers 0 et passons à la limite dans le développement. Une approximation de Born permet d'obtenir l'indice du milieu contenant tous les objets qui, dans certains cas, est celui d'un métamatériau.

This thesis carries out some studies concerning the mathematical modelling and the numerical approximation of problems involving homogenized metamaterials. In the first part, we investigate wave propagation problems with homogenized metamaterials for Maxwell's equations and acoustics or linear elasticity systems. We establish that each of these systems is well-posed under assumptions that are relevant for some models already designed in the literature. We next tackle their numerical approximation. We give results showing that the finite element method for the approximation of Helmholtz equation, when metatmaterials are involved, may not converges. We propose then a numerical scheme, the EF-AL scheme, which can be used with metamaterials and we prove that it converges as soon as the considered problem is well-posed. We finish studying the discontinuous galerkin scheme. We show numerically its convergence for some examples of metamaterials. The second part presents a formal non-periodic homogenization process for acoustic metamaterials. The work of A.G. Ramm, designing a medium by assembling many obstacles, is extended meanwhile accurately describing the asymptotic behavior of the field scattered by a finite number of small ball of radius \delta. The method of matched asymptotic expansions is used. We establish existence and uniqueness of the latter expansion and prove error estimates giving it a theoretical background. Next we assume that the number of small obstacles grows to infinity when \delta goes to 0 and pass to the limit in the asymptotic expansion. A Born approximation then yields the refractive index of an effective medium packaging all the small bodies which corresponds, in some cases, to a metamaterial., Cette thèse concerne la modélisation mathématique et l'approximation numérique de modèles homogénéisés de métamatériaux. Dans la première partie on étudie des problèmes de propagation d'ondes en présence de métamatériaux homogénéisés tels que les équations de Maxwell, le système de l'acoustique ou de l'élasticité linéaire. Nous établissons des résultats d'existence et d'unicité pour ces systèmes sous des hypothèses phénoménologiques sur le métamatériau en accord avec certains modèles de la littérature. Nous abordons ensuite leurs approximations numériques. Nous présentons des résultats concernant les éléments finis pour l'approximation de l'équation de Helmholtz qui montrent que ce schéma peut ne pas converger en présence de métamatériaux. On propose alors un schéma adapté aux métamatériaux, le schéma EF-AL, qui converge dès que le problème est bien-posé. On termine par l'étude du schéma Galerkin Discontinu dont on montre numériquement sa convergence sur des exemples de métamatériaux. La seconde partie présente l'homogénéisation non-périodique formelle de métamatériaux acoustiques. Les travaux d'A.G. Ramm sur la création de milieux à partir d'assemblages d'obstacles sont repris afin de préciser l'asymptotique fine du comportement du champ diffracté par un nombre fini de petites boules de rayon \delta. On utilise pour cela la méthode des développements asymptotiques raccordés. On établit l'existence et l'unicité de ce dernier et des estimations d'erreurs qui valident l'approche formelle. On suppose ensuite que le nombre de petits objets tend vers l'infini lorsque \delta tend vers 0 et passons à la limite dans le développement. Une approximation de Born permet d'obtenir l'indice du milieu contenant tous les objets qui, dans certains cas, est celui d'un métamatériau.

This thesis analyses the spectrum of magnetic Schrödinger operators with constant magnetic field in dihedral domains. In order to understand how a curved edge influences the first eigenvalue in the semi-classical limit, we have to investigate the bottom of the spectrum of the Schrödinger operator with constant magnetic field on an infinite wedge. Using Fourier transform we reduce to a one-parameter family of operators on the corresponding infinite sector. We exhibit the essential spectrum of the operators on the sector and we show that in certain cases there exist discrete eigenvalues below the essential spectrum. Comparing with singular Sturm-Liouville operators on the half-line, we get upper bounds for the bottom of the spectrum of the magnetic Schrödinger operator on the wedge: For small opening angles and some special orientations of the magnetic field, this quantity is smaller than the spectral quantities coming from the regular case. We finally use these results to investigate the Schrödinger operator with constant magnetic field and small parameter in three-dimensional bounded domains with a curved edge. In order to find asymptotics for the first eigenvalue in the semi-classical limit, we construct quasi-modes near the edge using the eigenfunctions of the parameter problem on the sector. Using a partition of unity depending on whether we are close to the edge or to the regular boundary, we get the first term of the asymptotics for various orientations of the magnetic field and we show that the first eigenvalue can be smaller than in the regular case., Cette thèse analyse le spectre d'opérateurs de Schrödinger avec champ magnétique constant dans des ouverts de type diédraux. Pour comprendre l'influence d'une arête courbe sur la première valeur propre de l'opérateur dans la limite semi-classique, il faut connaître le bas du spectre de l'opérateur de Schrödinger magnétique avec champ constant sur un dièdre infini. Par transformation de Fourier ce problème se ramène à l'étude d'une famille d'opérateurs à paramètre sur un secteur infini. On calcule le spectre essentiel de ces opérateurs sur le secteur et on montre que dans certains cas il y a des valeurs propres discrètes sous le spectre essentiel. Par comparaison avec des opérateurs de Sturm-Liouville singuliers sur le demi-axe on obtient des majorations du bas du spectre de l'opérateur sur le dièdre : pour un angle d'ouverture assez petit et certaines orientations du champ magnétique, celui-ci est strictement inférieur aux quantités spectrales issues du cas régulier. Finalement on applique ces résultats à l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique constant et petit paramètre dans des domaines bornés de l'espace possédant des arêtes courbes. Pour déterminer une asymptotique de la première valeur propre dans la limite semi-classique, on construit des quasi-modes près de l'arête à l'aide des fonctions propres du problème à paramètre sur le secteur. En utilisant une partition du domaine selon que l'on soit près de l'arête ou du bord régulier, on obtient le premier terme de l'asymptotique pour diverses orientations du champ magnétique et on montre dans certains cas que la première valeur propre est inférieure aux valeurs propres associées à des ouverts réguliers.

Resume Dans cette Note, nous presentons la discretisation par differentes methodes d'elements finis mixtes d'une nouvelle formulation variationnelle d'un probleme de fissure. Cette formulation variationnelle, dite methode du domaine regulier, est ici mise en œuvre dans le cas d'un modele simplife de membrane elastique. Des conditions de type inegalite sont imposees sur les faces de la fissure, et le probleme modele se ramene a un probleme de contact unilateral sur cette fissure. L'analyse mathematique de ces methodes d'elements finis conduit a des taux de convergence optimaux enonces ici. Pour citer cet article : Z. Belhachmi et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004).

A survey of semimartingales Local Time and Occupation Density concepts is given, in order to provide a synthetic map, between the way of use both of them and some statistical estimation subjects through continuous time processes. Details about their link and differences explain why the author exploits them for regression estimation purpose., On donne un tour d’horizon des concepts de Temps Local de semimartingales et de Densités d’Occupation, afin d’établir une cartographie de l’utilisation de chaque statistique, en regard de l’estimation recherchée dans des processus à temps continu. Des exemples du lien privilégié entre ces deux statistiques, comme de leurs différences, introduisent leur exploitation dans le cadre de l’estimation de régression.

Resume Nous presentons une methode d'integration numerique d'ordre eleve pour des fonctions singulieres ou non sur un intervalle. Cette methode s'avere tres utile dans la mise en œuvre des methodes d'elements finis frontiere, pour integrer la fonction de Green.

Nous etudions les systemes hyperboliques de lois de conservation en dimension un d'espace, en particulier ce que devient la condition aux limites posee pour le schema de Godunov lorsque le pas d'espace tend vers zero. A l'aide d'estimations sur les entropies, nous demontrons la convergence de la solution du schema de Godunov adapte au cas d'un domaine x > 0 vers la solution d'un systeme hyperbolique mixte sur un intervalle de temps fini, anterieur a la formation des chocs.