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We analyze three non-local models describing the evolutionary dynamics of a continuous phenotypic trait undergoing the joint action of mutations and selection. We establish the existence and uniqueness of the solutions to the Cauchy problem, and give a description of the long-time behaviour of the solution. In the first work we study the replicator-mutator equation in the unbounded domain and generalize to cases of selective values confining the known results in the harmonic case. Namely, the existence of a unique global regular solution, converging towards a universal profile; for this, we use spectral decomposition techniques of Schrödinger operators. In the second work, we discuss a model whose fitness value is density-dependent. In order to show the well-posedness of the equation, we combine two approaches. The first is based on the study of the cumulant generating functions, satisfying a non-local transport equation and making it possible to implicitly obtain the average trait. The second uses a change of variable (Avron-Herbst formula), allowing the solution to be written in terms of the average trait and the solution of the heat equation with the same initial data. Finally, we study a model whose mutation rate is proportional to the average value of the trait. We establish a bijective link between this last model and the second, thus making it possible to describe the dynamics of the solution in detail. In particular, we show the exponential growth of the average trait.; Nous analysons trois modèles non-locaux décrivant la dynamique évolutive d’un trait phénotypique continu soumis à l’action conjointe des mutations et de la sélection. Nous établissons l’existence et l’unicité des solutions du problème de Cauchy, et donnons la description du comportement en temps long de la solution. Dans le premier travail nous étudions l’équation du réplicateur-mutateur en domaine non borné et généralisons aux cas des valeurs sélectives confinantes les résultats connus dans le cas harmonique. À savoir, l’existence d’une unique solution globale, régulière, convergeant en temps long vers un profil universel ; pour cela, nous employons des techniques de décomposition spectrale d’opérateurs de Schrödinger. Le deuxième travail traite d’un modèle dont la valeur sélective est densité-dépendante. Afin de montrer le caractère bien posé de l’équation, nous combinons deux approches. La première est basée sur l’étude de la fonction génératrice des cumulants, satisfaisant une équation de transport non locale et permettant d’obtenir implicitement le trait moyen. La deuxième exploite un changement de variable (formule d’Avron-Herbst), permettant d’écrire la solution en termes du trait moyen et de la solution de l’équation de la chaleur avec même donnée initiale. Finalement, nous étudions un modèle dont le taux de mutation est proportionnel à la valeur moyenne du trait. Nous établissons un lien bijectif entre ce dernier modèle et le deuxième, permettant ainsi de décrire finement la dynamique de la solution. Nous montrons en particulier la croissance exponentielle du trait moyen.

We analyze three non-local models describing the evolutionary dynamics of a continuous phenotypic trait undergoing the joint action of mutations and selection. We establish the existence and uniqueness of the solutions to the Cauchy problem, and give a description of the long-time behaviour of the solution. In the first work we study the replicator-mutator equation in the unbounded domain and generalize to cases of selective values confining the known results in the harmonic case. Namely, the existence of a unique global regular solution, converging towards a universal profile; for this, we use spectral decomposition techniques of Schrödinger operators. In the second work, we discuss a model whose fitness value is density-dependent. In order to show the well-posedness of the equation, we combine two approaches. The first is based on the study of the cumulant generating functions, satisfying a non-local transport equation and making it possible to implicitly obtain the average trait. The second uses a change of variable (Avron-Herbst formula), allowing the solution to be written in terms of the average trait and the solution of the heat equation with the same initial data. Finally, we study a model whose mutation rate is proportional to the average value of the trait. We establish a bijective link between this last model and the second, thus making it possible to describe the dynamics of the solution in detail. In particular, we show the exponential growth of the average trait.; Nous analysons trois modèles non-locaux décrivant la dynamique évolutive d’un trait phénotypique continu soumis à l’action conjointe des mutations et de la sélection. Nous établissons l’existence et l’unicité des solutions du problème de Cauchy, et donnons la description du comportement en temps long de la solution. Dans le premier travail nous étudions l’équation du réplicateur-mutateur en domaine non borné et généralisons aux cas des valeurs sélectives confinantes les résultats connus dans le cas harmonique. À savoir, l’existence d’une unique solution globale, régulière, convergeant en temps long vers un profil universel ; pour cela, nous employons des techniques de décomposition spectrale d’opérateurs de Schrödinger. Le deuxième travail traite d’un modèle dont la valeur sélective est densité-dépendante. Afin de montrer le caractère bien posé de l’équation, nous combinons deux approches. La première est basée sur l’étude de la fonction génératrice des cumulants, satisfaisant une équation de transport non locale et permettant d’obtenir implicitement le trait moyen. La deuxième exploite un changement de variable (formule d’Avron-Herbst), permettant d’écrire la solution en termes du trait moyen et de la solution de l’équation de la chaleur avec même donnée initiale. Finalement, nous étudions un modèle dont le taux de mutation est proportionnel à la valeur moyenne du trait. Nous établissons un lien bijectif entre ce dernier modèle et le deuxième, permettant ainsi de décrire finement la dynamique de la solution. Nous montrons en particulier la croissance exponentielle du trait moyen.

I summarize the research papers performed after my PhD. They belong to three domains :1-asymptotic analysis of Navier-Stokes equations.2-Optimal design of structures minimizing water waves impact in order to control coastal erosion.3-analysis of PDE with non local terms arising in dune morphodynamics.; Je présente essentiellement les travaux réalisés depuis ma thèse. Ils se classent en trois thèmes:Analyse asymptotique des équations de Navier-Stokes,Optimisation de forme d'ouvrages de lutte contre l'érosion du littoral,Etude d'équations aux dérivées partielles comportant des termes non-locaux.Dans le thème 1, je développe la justification mathématique de l'approximation hydrostatique pour les fluides géophysiques à faible quotient d'aspect, hypothèse couramment vérifiée en océanographie et en météorologie. C'est un problème de perturbation singulière. Je présente également l'étude théorique et numérique de l'écoulement cône-plan, utilisé en hématologie-hémostase pour le sang de patients. Il s'agit d'un problème de couche limite singulière.Le thème 2 concerne le génie côtier. Les ouvrages utilisés tels que épis, brise-lames, enrochements sont de forme trop rudimentaire. Leur efficacité peut être améliorée significativement si leur forme est optimisée pour réduire l'énergie dissipée par la houle dans la zone proche-littorale. Nous optimisons aussi la forme de géotextiles immergés. Ce travail, réalisé dans le cadre de la thèse de Damien Isèbe, a reçu le soutien de l'ANR (projet COPTER) et s'effectue en partenariat avec le laboratoire Géosciences Montpellier et l'entreprise Bas-Rhône-Languedoc ingénierie (Nîmes).Dans le thème 3, nous prouvons existence, unicité et régularité de solutions pour l'équation de la chaleur fractionnaire, perturbée par un bruit blanc. C'est une équation aux dérivées partielles stochastique.Nous prouvons enfin un résultat d'existence, unicité et dépendance continue pour une loi de conservation non linéaire, comportant un terme non local, qui modélise l'évolution d'un profil de dune immergée. L'intérêt mathématique est que l'équation ne vérifie pas le principe du maximum mais possède néanmoins un effet régularisant.