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This thesis is devoted to the study of propagation phenomena in PDE models arising from biology. We study kinetic equations coming from the modeling of the movement of colonies of bacteria, but also reaction-diffusion equations which are of great interest in ecology to reproduce several features of dynamics and evolution of populations. The first part studies propagation phenomena for kinetic equations. We study existence and stability of travelling wave solutions for models where the dispersal part is given by an hyperbolic operator rather than by a diffusion. A set of admissible velocities comes into the game and we obtain various types of results depending on this set. In the case of a bounded set of velocities, we construct travelling fronts that propagate according to a speed given by a dispersion relation. When the velocity set is unbounded, we prove an accelerating propagation phenomena, for which we give the spreading rate. Then, we adapt to kinetic equations the Hamilton-Jacobi approach to front propagation. We show how to derive an effective Hamiltonian from the original kinetic equation, and prove some convergence results.The second part is devoted to studying models for populations structured by space and phenotypical trait. These models are important to understand interactions between invasion and evolution. We first construct travelling waves that we study qualitatively to show the influence of the genetical variability on the speed and the distribution of phenotypes at the edge of the front. We also perform the Hamilton-Jacobi approach for these non-local reaction-diffusion equations.Two appendices complete this work, one deals with the study of kinetic dispersal in unbounded domains, the other one being numerical aspects of competition models., Cette thèse est consacrée à l'étude de phénomènes de propagation dans des modèles d’EDP venant de la biologie. On étudie des équations cinétiques inspirées par le déplacement de colonies de bactéries ainsi que des équations de réaction-diffusion importantes en écologie afin de reproduire plusieurs phénomènes de dynamique et d'évolution des populations. La première partie étudie des phénomènes de propagation pour des équations cinétiques. Nous étudions l'existence et la stabilité d'ondes progressives pour des modèles ou la dispersion est donnée par un opérateur hyperbolique et non par une diffusion. Cela fait entrer en jeu un ensemble de vitesses admissibles, et selon cet ensemble, divers résultats sont obtenus. Dans le cas d'un ensemble de vitesses borné, nous construisons des fronts qui se propagent à une vitesse déterminée par une relation de dispersion. Dans le cas d'un ensemble de vitesses non borné, on prouve un phénomène de propagation accélérée dont on précise la loi d'échelle. On adapte ensuite à des équations cinétiques une méthode basée sur les équations de Hamilton-Jacobi pour décrire des phénomènes de propagation. On montre alors comment déterminer un Hamiltonien effectif à partir de l'équation cinétique initiale, et prouvons des théorèmes de convergence.La seconde partie concerne l'étude de modèles de populations structurées en espace et en phénotype. Ces modèles sont importants pour comprendre l'interaction entre invasion et évolution. On y construit d'abord des ondes progressives que l'on étudie qualitativement pour montrer l'impact de la variabilité phénotypique sur la vitesse et la distribution des phénotypes à l'avant du front. On met aussi en place le formalisme Hamilton-Jacobi pour l'étude de la propagation dans ces équations de réaction-diffusion non locales.Deux annexes complètent le travail, l'une étant un travail en cours sur la dispersion cinétique en domaine non-borné, l'autre étant plus numérique et illustre l’introduction.

Ce mémoire présente mes travaux de recherche effectués après ma thèse, entre 2002 et 2008. Les thèmes principaux sont les équations aux dérivées partielles non-linéaires et des problèmes d'évolutions de fronts ou d'interfaces. Il est organisé en trois chapitres.Le premier chapitre concerne l'évolution de fronts avec une vitesse normale prescrite. Pour étudier ce genre de problème, une première approche, dite par lignes de niveaux, consiste àreprésenter le front comme une ligne de niveau d'une fonction auxiliaire u. Cette approche ramène l'étude du problème d'évolution géométrique à un problème d'EDP puisque u vérifie une équation de Hamilton-Jacobi. Quelques résultats dans le cas de vitesses locales comme la courbure moyenne sont présentés mais la majorité des résultats concerne le cas de vitesses non-locales décrivant la dynamique des dislocations dans un cristal ou modélisant l'asymptotique d'un système de FitzHugh-Nagumo apparaissant en biologie. Une approche différente, basée sur des solutions de viscosité géométriques, est utilisée pour étudier des problèmes de propagation de fronts apparaissant en optimisation de formes. Le but est de trouver un ensemble optimal minimisant une énergie du type capacité à volume ou périmètre constant. L'idée est de déformer le bord d'un ensemble donné avec une vitesse normale adéquate de manière à diminuer au plus son énergie. La mise en oeuvre de cette idée nécessite la construction rigoureuse d'une telle évolution pour tout temps et la preuve de la convergence vers une solution du problème initial. De plus, la décroissance de l'énergie est obtenue le long du flot.Le deuxième chapitre décrit des résultats d'unicité, d'existence et d'homogénéisation pour des équations de Hamilton-Jacobi-Bellman. La majeure partie du travail effectué concerne des équations provenant de problèmes de contrôle stochastique avec des contrôles non-bornés. Les équations comportent alors des termes quadratiques par rapport au gradient et les solutions étudiées sont elles-mêmes à croissance quadratique. Des liens entre ces solutions et les fonctions valeurs des problèmes de contrôle correspondants sont établis. La seconde partie est consacrée à un théorème d'homogénéisation pour un système d'équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre.Le troisième et dernier chapitre traite d'un sujet un peu à part, à savoir le lien entre les flots de gradient et l'inégalité de Lojasiewicz. La principale originalité de ce travail est de placer l'étude dans un cadre hilbertien pour des fonctions semiconvexes, ce qui sort du cadre de l'inégalité de Lojasiewicz classique. Le principal théorème produit des caractérisations de cette inégalité. Les résultats peuvent être précisés dans le cas des fonctions convexes ; en particulier, un contre-exemple de fonction convexe ne vérifiant pas l'inégalité de Lojasiewicz est construit. Cette dernière inégalité est reliée à la longueur des trajectoires de gradient. Une borne de cette longueur est obtenue pour les fonctions convexes coercives en dimension deux même lorsque cette inégalité n'est pas vérifiée.

Ce mémoire présente mes travaux de recherche effectués après ma thèse, entre 2002 et 2008. Les thèmes principaux sont les équations aux dérivées partielles non-linéaires et des problèmes d'évolutions de fronts ou d'interfaces. Il est organisé en trois chapitres.Le premier chapitre concerne l'évolution de fronts avec une vitesse normale prescrite. Pour étudier ce genre de problème, une première approche, dite par lignes de niveaux, consiste àreprésenter le front comme une ligne de niveau d'une fonction auxiliaire u. Cette approche ramène l'étude du problème d'évolution géométrique à un problème d'EDP puisque u vérifie une équation de Hamilton-Jacobi. Quelques résultats dans le cas de vitesses locales comme la courbure moyenne sont présentés mais la majorité des résultats concerne le cas de vitesses non-locales décrivant la dynamique des dislocations dans un cristal ou modélisant l'asymptotique d'un système de FitzHugh-Nagumo apparaissant en biologie. Une approche différente, basée sur des solutions de viscosité géométriques, est utilisée pour étudier des problèmes de propagation de fronts apparaissant en optimisation de formes. Le but est de trouver un ensemble optimal minimisant une énergie du type capacité à volume ou périmètre constant. L'idée est de déformer le bord d'un ensemble donné avec une vitesse normale adéquate de manière à diminuer au plus son énergie. La mise en oeuvre de cette idée nécessite la construction rigoureuse d'une telle évolution pour tout temps et la preuve de la convergence vers une solution du problème initial. De plus, la décroissance de l'énergie est obtenue le long du flot.Le deuxième chapitre décrit des résultats d'unicité, d'existence et d'homogénéisation pour des équations de Hamilton-Jacobi-Bellman. La majeure partie du travail effectué concerne des équations provenant de problèmes de contrôle stochastique avec des contrôles non-bornés. Les équations comportent alors des termes quadratiques par rapport au gradient et les solutions étudiées sont elles-mêmes à croissance quadratique. Des liens entre ces solutions et les fonctions valeurs des problèmes de contrôle correspondants sont établis. La seconde partie est consacrée à un théorème d'homogénéisation pour un système d'équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre.Le troisième et dernier chapitre traite d'un sujet un peu à part, à savoir le lien entre les flots de gradient et l'inégalité de Lojasiewicz. La principale originalité de ce travail est de placer l'étude dans un cadre hilbertien pour des fonctions semiconvexes, ce qui sort du cadre de l'inégalité de Lojasiewicz classique. Le principal théorème produit des caractérisations de cette inégalité. Les résultats peuvent être précisés dans le cas des fonctions convexes ; en particulier, un contre-exemple de fonction convexe ne vérifiant pas l'inégalité de Lojasiewicz est construit. Cette dernière inégalité est reliée à la longueur des trajectoires de gradient. Une borne de cette longueur est obtenue pour les fonctions convexes coercives en dimension deux même lorsque cette inégalité n'est pas vérifiée.