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The XTOR-2F code simulates the 3D dynamics of full bi-fluid MHD instabilities in tokamak plasmas.The first part of the thesis was dedicated to the parallelisation of XTOR-2F code. The code has been parallelised significantly despite the numerical profile of the problem solved, i.e. a discretisation with pseudo-spectral representations in all angular directions, the stiffness of the two-fluid stability problem in tokamaks, and the use of a direct LU decomposition to invert the physical pre-conditioner. The execution time of the parallelised version is an order of magnitude smaller than the sequential one for low-resolution cases, with an increasing speedup when the discretisation mesh is refined. Moreover, it allows to perform simulations with higher resolutions, previously forbidden because of memory limitations.The second part of the thesis was dedicated to the development of free boundary condition. The original fixed boundary computational domain of the code was generalised to a free-boundary one, thus approaching closely the geometry of today’s and future large experimental devices. The initial conditions are given by the CHEASE equilibrium code inside the plasma. Outside the plasma, fitting the magnetic potential at the CHEASE computation domain boundary with a set of external poloidal magnetic coils extends the solution. The boundary conditions use Green functions to construct a response matrix matching the normal and tangential components of the outside magnetic field with the inside solution. A thin resistive wall can be added to the computational domain. This new numerical setup generalises the investigation field from internal MHD instabilities towards external instabilities. The code linear behaviour is validated with two families of instabilities, n = 0 axisymmetric modes and n = 1/m = 2 external kinks. In order to validate the nonlinear behaviour, nonlinear resistive MHD simulations of tearing modes at zero beta evolving to a stationary state have been performed., Le code XTOR-2F simule la dynamique 3D des instabilités MHD bi-fluides de plasmas de tokamaks.La première partie de la thèse a été consacrée à la parallélisation du code XTOR-2F. Le code a été parallélisé significativement malgré la représentation pseudo-spectrale pour les deux directions angulaires, la raideur des équations résolues et l’utilisation d’une décomposition LU exacte afin d’inverser le préconditionneur physique. Le temps d’exécution de la version parallèle est un ordre de grandeur plus petit que la version séquentielle sur un maillage basse résolution. L’accélération croît ensuite avec la taille du maillage. La parallélisation permet également de réaliser des simulations avec des maillages plus grands, autrefois non réalisables par la limitation du stockage en RAM.La seconde partie de la thèse a été consacrée au développement d’une version du code permettant de réaliser des simulations en géométrie à frontière libre, s’approchant de la géométrie des tokamaks expérimentaux de grandes tailles. Les conditions initiales sont fournies par le code d’équilibre CHEASE à l’intérieur du plasma. A l’extérieur du plasma, la solution a été étendue en ajustant le potentiel magnétique avec un ensemble de bobines magnétiques poloïdales externes. Les conditions de bord utilisent des fonctions de Green afin de calculer une matrice de transfert permettant de relier les composantes tangentes et normales du champ magnétique externe à la coque avec la solution interne. Ceci permet de modéliser une coque résistive fine. Cette nouvelle version élargie le domaine d’investigation de XTOR-2F, autrefois restreint aux instabilités internes, aux instabilités externes. Le comportement linéaire du code est validé sur deux familles d’instabilités, les modes axisymétriques n = 0 et les kinks externes n = 1 / m = 2. Afin de valider le comportement non linéaire, des simulations en MHD résistive de modes tearing à bêta nul évoluant vers un état stationnaire ont été réalisées.

Financial markets have known from the studies conducted during the last three decades , a considerable expansion and an emergence of diverse and varied products. Among the most common , there are American options. An American option is by definition an option that has the right to be practiced before the agreed maturity T. The most basic are the American Put or Call ( respectively put option (K - x ) + or purchase (x - K) +). The first part of this thesis is devoted to the study of American options in exponential Lévy models . First, we consider the multidimensional framework and a pay-off function not necessarily bounded and we characterize the price of an American option using a variational inequality in the distribution sense . We study then the properties of the exercise region. These results are further refined by studying in particular the area of exercise of an American Call on a basket of assets as well as the exercise boundary region ( at maturity ). In a second step , we study the behavior of the critical price ( function defining the exercise area) and the behavior studying an American Put near maturity in one-dimensional framework. Specifically, we consider the case where the price does not converge to the strike K in a Jump- diffusion model and a model where the Lévy process behaves to an alpha-stable process (alpha stable like). The second part deals with the pricing of the Credit Valuation Adjustment (CVA ) . It presents a method based on Malliavin calculus inspired by the methods used for American options . A study of the complexity of this method is also presented and compared to purely Monte Carlo methods and to methods based on regression.; Les marchés financiers ont connu, grâce aux études réalisées durant les trois dernières décennies, une expansion considérable et ont vu l'apparition de produits dérivés divers et variés. Parmi les plus répandus, on retrouve les options américaines. Une option américaine est par définition une option qu'on a le droit d'exercer avant l'échéance convenue T. Les plus basiques sont le Put ou le Call américain (respectivement option de vente (K - x)+ ou d'achat (x - K)+). La première partie, et la plus conséquente, de cette thèse est consacrée à l'étude des options américaines dans des modèles exponentiels de Lévy. On commence dans un cadre multidimensionnel caractérise le prix d'une option américaine, dont le Pay-off appartient à une classe de fonctions non forcément bornées, à l'aide d'une inéquation variationnelle au sens des distributions. On étudie, ensuite, les propriétés générales de la région d'exercice ainsi que de la frontière libre. On affine encore ces résultats en étudiant, en particulier, la région d'exercice d'un Call américain sur un panier d'actifs, où on caractérise en particulier la région d'exercice limite (à l'échéance). Dans un deuxième temps, on se place dans un cadre unidimensionnel et on étudie le comportement du prix critique (fonction délimitant la région d'exercice) d'un Put américain près de l'échéance. Particulièrement, on considère le cas où le prix ne converge pas vers le strike K, dans un modèle Jump-diffusion puis dans un modèle où le processus de Lévy est à saut pur avec un comportement proche de celui d'un &-stable. La deuxième partie porte sur l'approximation numérique de la Credit Valuation Adjustment (CVA). On y présente une méthode basée sur le calcul de Malliavin inspirées de celles utilisées pour les options américaines. Une étude de la complexité de cette méthode y est aussi présentée et comparée aux méthodes purement Monte Carlo et aux méthodes fondées sur la régression.

Financial markets have known from the studies conducted during the last three decades , a considerable expansion and an emergence of diverse and varied products. Among the most common , there are American options. An American option is by definition an option that has the right to be practiced before the agreed maturity T. The most basic are the American Put or Call ( respectively put option (K - x ) + or purchase (x - K) +). The first part of this thesis is devoted to the study of American options in exponential Lévy models . First, we consider the multidimensional framework and a pay-off function not necessarily bounded and we characterize the price of an American option using a variational inequality in the distribution sense . We study then the properties of the exercise region. These results are further refined by studying in particular the area of exercise of an American Call on a basket of assets as well as the exercise boundary region ( at maturity ). In a second step , we study the behavior of the critical price ( function defining the exercise area) and the behavior studying an American Put near maturity in one-dimensional framework. Specifically, we consider the case where the price does not converge to the strike K in a Jump- diffusion model and a model where the Lévy process behaves to an alpha-stable process (alpha stable like). The second part deals with the pricing of the Credit Valuation Adjustment (CVA ) . It presents a method based on Malliavin calculus inspired by the methods used for American options . A study of the complexity of this method is also presented and compared to purely Monte Carlo methods and to methods based on regression., Les marchés financiers ont connu, grâce aux études réalisées durant les trois dernières décennies, une expansion considérable et ont vu l'apparition de produits dérivés divers et variés. Parmi les plus répandus, on retrouve les options américaines. Une option américaine est par définition une option qu'on a le droit d'exercer avant l'échéance convenue T. Les plus basiques sont le Put ou le Call américain (respectivement option de vente (K - x)+ ou d'achat (x - K)+). La première partie, et la plus conséquente, de cette thèse est consacrée à l'étude des options américaines dans des modèles exponentiels de Lévy. On commence dans un cadre multidimensionnel caractérise le prix d'une option américaine, dont le Pay-off appartient à une classe de fonctions non forcément bornées, à l'aide d'une inéquation variationnelle au sens des distributions. On étudie, ensuite, les propriétés générales de la région d'exercice ainsi que de la frontière libre. On affine encore ces résultats en étudiant, en particulier, la région d'exercice d'un Call américain sur un panier d'actifs, où on caractérise en particulier la région d'exercice limite (à l'échéance). Dans un deuxième temps, on se place dans un cadre unidimensionnel et on étudie le comportement du prix critique (fonction délimitant la région d'exercice) d'un Put américain près de l'échéance. Particulièrement, on considère le cas où le prix ne converge pas vers le strike K, dans un modèle Jump-diffusion puis dans un modèle où le processus de Lévy est à saut pur avec un comportement proche de celui d'un &-stable. La deuxième partie porte sur l'approximation numérique de la Credit Valuation Adjustment (CVA). On y présente une méthode basée sur le calcul de Malliavin inspirées de celles utilisées pour les options américaines. Une étude de la complexité de cette méthode y est aussi présentée et comparée aux méthodes purement Monte Carlo et aux méthodes fondées sur la régression.

There exist path following methods for mechanical structures submitted to varying loads, with classical boundary conditions. One of the tool required by these numerical methods (continuation) is the C1 implicit function theorem. But in the case of contact problems the derivative of the solution with respect to the load no longer exists in general. This technical diculty has been overcome for an elastic membrane but we do not yet know how to extend these methods to the case of plates. It is known that there exist some derivative with respect to the forces to a solution for the obstacle problem for an elastic beam or a plate, in the polyhedric case. In order to investigate these sensitivity questions we extended to the biharmonic operator the stability theorem of Schaeer which has been esta- blished for the harmonic operator. This theorem gives the strong derivative of the free boundary with respect to the external forces, provided the free boundary is smooth. We explore the sensiti- vity analysis by second order perturbation ana- lysis. We establish a kind of generalization of the previous sensitivity results to the case of linear beams and plates. Finally we discuss how to deal with the stability and sensitivity analysis in the case of the obstacle problem for von Karman plates.; Avec les codes de calculs généralistes de la mécanique il est possible de suivre numériquement l'évolution de structures soumises a un chargement variable, avec des conditions aux bords classiques. Un des outils pour ces méthodes numériques (dites de continuation) est le théorème des fonctions implicites C1. Mais dans le cas des problèmes de contact avec ou sans frottement cet outil ne s'applique plus, car la solution n'est en général plus dérivable par rapport aux paramètres du problème. La difficulté a été surmontée pour les opérateurs semi-lineaires d'ordre 2 (cas d'une membrane élastique en grandes déformations), mais pas encore pour les plaques. Pour cela, nous avons généralise au bilaplacien le Théorème de stabilité de Schaeffer valable pour le laplacien. Ce qui fournit la dérivée de la frontière libre par rapport aux forces extérieures de classe C^infini, si la frontière libre est C^infini. Nous savons qu'il existe une dérivée par rapport aux forces de classe L2 de la solution pour le problème d'obstacle d'une poutre et d'une plaque élastique, avec des hypothèses sur la zone de contact assurant la polyédricité. Nous explorons l'analyse de sensibilité du problème de l'obstacle pour une poutre et une plaque linéaire, par des méthodes nouvelles d'analyse par perturbation au second ordre. Enfin nous expliquons comment ces résultats pourraient servir a comprendre la stabilité et la sensibilité des plaques de von Karman.

The classical Helmholtz model for wakes behind an obstacle in perfect fluid mechanics boils down in complex analysis into a Riemann problem with free boundary, the free boundary being the wake and being such that the Riemann map parametrizes it as arc-length parametrization. We generalize a method due to Coifman and Meyer to solve this problem for a class of non-smooth obstacles.

This dissertation takes place in the mathematic field called shape optimization. More precisely, we focus on difficulties linked to the writing of optimality conditions, and how to use them. The two main obstacles that have been analysed are the following:- to deal with shape whose regularity is a priori unknown,- to deal with strong geometrical constraints, i.e. which allow very few variations in the writing of optimality (for example the convexity).The results are described in the four chapters of the thesis:- the first one aims at developing a framework of shape derivatives, well adapted for shapes with very poor regularity,- the chapter 2 deals with the analysis of optimality conditions under convexity constraints, in dimension 2, and their applications to a class of problems whose solutions are necessarily polygons,- the third one focuses on two classical problems of shape optimization for eigenvalues, which enlighten the difficulties previously mentioned. We prove some regularity results, and also non-regularity ones, of optimal shapes for these problems; we get some maximal regularity in $\C^{1,1/2}$, which are new and sharp,- the last chapter is motivated by the question of partially overdetermined problems, and we build some counter-examples linked with shape optimization., Cette thèse s'inscrit dans le domaine des mathématiques appelé Optimisation de forme. Plus spécifiquement, on s'est attaché aux difficultés liées à l'écriture des conditions d'optimalité, et à leurs utilisations. Les deux obstacles majeurs qui ont été analysés sont les suivants :- gérer des formes dont on ne connaît pas a priori la régularité,- gérer des contraintes géométriques fortes, c'est-à-dire qui ne permettent que très peu de variations pour écrire l'optimalité (par exemple la convexité).Les résultats obtenus sont décrits dans les quatre chapitres de cette thèse :- le premier vise à établir un cadre de différentiation de forme valable pour des formes presque sans régularité a priori,- le chapitre 2 s'attache à l'analyse des conditions d'optimalité sous contrainte de convexité, en dimension 2, et leurs applications à une classe de problèmes où les formes optimales sont nécessairement des polygones,- le troisième chapitre se focalise sur deux problèmes classiques de l'optimisation de forme des valeurs propres du laplacien, qui montrent bien les deux types de difficultés évoquées ci-dessus. On y démontre des résultats de régularité, et aussi de non-régularité, des formes optimales pour ces problèmes ; on obtient des limites de régularité en $\C^{1,1/2}$ qui sont nouvelles et optimales,- le dernier chapitre est motivé par la question des problèmes elliptiques partiellement surdéterminés, et on construit des contre-exemples liés à l'optimisation de forme.

Yield design formulation for porous media subjected to flow, using approximate pressure field. We attempt here to use the kinematic method of yield design in the case of a porous medium subjected to flow (with or without free surface), without looking for the exact solution of the pressure field. The method proposed here is based on the use of approximate pressure fields. In this paper, we show how, under different conditions concerning the yield criterion and the velocity field, the use of such approximate fields allows to obtain a necessary condition for stability without having to find the real pressure field. Nous cherchons ici \`a utiliser la m\'ethode cin\'ematique du calcul \`a la rupture dans le cas d'un milieu poreux soumis \`a un \'ecoulement avec ou sans surface libre sans conna\^itre la solution exacte du champ de pression. La m\'ethode propos\'ee ici repose sur l'utilisation de champs de pression approch\'es par d\'efaut. Nous montrerons comment sous certaines conditions portant sur le crit\`ere de r\'esistance et sur le champ de vitesse utilis\'e, l'utilisation de tels champs de pression approch\'es permet d'obtenir une condition n\'ecessaire de stabilit\'e sans avoir \`a d\'eterminer exactement l'\'ecoulement.

We deal with some mathematical questions in fluid mechanics. The framework of this study is decomposed in two thematics : bi-layer models with free surface or rigid-lid hypothesis, analysis of problems defined in free boundary domains., Nous étudions dans ce document des problèmes mathématiques de la mécanique des fluides. Ce travail s'articule principalement autour de deux thèmes : les modèles bi-couches à surface libre ou à toit rigide, l'analyse de problèmes définis dans des domaines à frontière libre.

International audience; We consider the stability of a porous medium submitted to a steady-state flow with free-boundary. Assuming some hypotheses, it is possible to implement the kinematic method by using an approximate pressure field bounding the true pressure field from below. We are interested in finding such approximate pressure fields and in proving that they bound the true pressure field from below without knowing the true pressure field. We use fields which are solutions of a problem with relaxed conditions with regard to the real problem. Under a uniqueness condition of the solution of a weak formulation of the problem, such fields are lower bounds for the true pressure field. Finally, we give the example of a vertical dam.

This thesis presents regularity results for partial differential equations of parabolic type. In the first part we concentrate on free boundary problems which stem from the parabolic obstacle problem with variablecoefficients. We prove regularity results for the solution and for the free boundary. This study uses blow-up and monotonicity formulae methods. The second part is dedicated to a problem which comes from aggregation modelling in biology: theKeller-Segel system. Making use of a free energy, we prove the existence of a threshold which governs the initial data, below which the solutions exist, and above which they blow-up in finite time. We specify their long-time behaviour in the case where the solutions exist.; Ce mémoire présente des résultats de régularité pour des problèmes d'équations aux dérivées partielles paraboliques. Dans la première partie nous nous intéressons à des problèmes à frontière libre issus du problème del'obstacle parabolique à coefficients variables. Nous montrons des résultats de régularité de la solution et de la frontière libre. Cette étude utilise des méthodes d'explosion et des formules de monotonie. La seconde partie est consacrée à l'étude d'un problème issu de la modélisation de l'agrégation en biologie : le système deKeller-Segel. En utilisant une énergie libre, nous montrons l'existence d'une masse critique en deçà de laquelle les solutions existent et au delà de laquelle elles explosent en temps fini. Nous précisons leur comportement asymptotique, dans le cas où les solutions existent en temps long.

This thesis presents regularity results for partial differential equations of parabolic type. In the first part we concentrate on free boundary problems which stem from the parabolic obstacle problem with variablecoefficients. We prove regularity results for the solution and for the free boundary. This study uses blow-up and monotonicity formulae methods. The second part is dedicated to a problem which comes from aggregation modelling in biology: theKeller-Segel system. Making use of a free energy, we prove the existence of a threshold which governs the initial data, below which the solutions exist, and above which they blow-up in finite time. We specify their long-time behaviour in the case where the solutions exist.; Ce mémoire présente des résultats de régularité pour des problèmes d'équations aux dérivées partielles paraboliques. Dans la première partie nous nous intéressons à des problèmes à frontière libre issus du problème del'obstacle parabolique à coefficients variables. Nous montrons des résultats de régularité de la solution et de la frontière libre. Cette étude utilise des méthodes d'explosion et des formules de monotonie. La seconde partie est consacrée à l'étude d'un problème issu de la modélisation de l'agrégation en biologie : le système deKeller-Segel. En utilisant une énergie libre, nous montrons l'existence d'une masse critique en deçà de laquelle les solutions existent et au delà de laquelle elles explosent en temps fini. Nous précisons leur comportement asymptotique, dans le cas où les solutions existent en temps long.

This thesis aims at improving our knowledge of American options exercise regions. In the first part, we present some European and American options value functions properties. In the second part, we use these results to give the critical price behavior near the maturity of an American option on a dividend-paying asset with a volatility which depends on time and the asset value. In the third part, we study a problem related to the valuation of a pension plan. We prove that the previous results enable us to get the behavior of the pension plan exercise region near the maturity. The fourth part is devoted to the study of an American put option on a linear function of d dividend-paying assets. We extend the second part results by describing the free boundary near maturity in the case d>1. Finally, we conclude this work with studying the approximation of an American option by a Bermudean option., Cette thèse cherche à améliorer notre connaissance de la région d'exercice des options américaines. Dans la première partie, nous présentons certaines propriétés des fonctions de valeur des options américaines et européennes. Nous utilisons ces résultats dans la seconde partie, pour donner un développement limité du prix critique à l'échéance d'une option américaine qui porte sur un actif distribuant des dividendes et dont la volatilité est une fonction du temps et de la valeur de l'actif. Dans la troisième partie, nous étudions un problème lié à la valorisation d'un plan retraite. Nous déduisons des résultats de la partie précédente une approximation de la région d'exercice du plan retraite au voisinage de l'échéance. La quatrième partie est consacrée à l'extension des résultats de la seconde partie à une option de vente américaine portant sur une fonction linéaire de plusieurs actifs distribuant des dividendes. Finalement, nous concluons ce travail en étudiant l'approximation d'une option américaine par une option bermudéenne.

Jury : Catherine Bolley, François Jauberteau, Peter Markowich (Rapporteur), Americo Marrocco (Rapporteur), Abdeljalil Nachaoui (directeur), Nabil Nassif (président); The description of the mechanisms of conduction in the semiconductor devices by drift-diffusion model (DD) leads to a system of three nonlinear partial differential equations strongly coupled. This thesis is composed of three parts. The first is devoted to the setting of the equations and the description of physical parameters as well as the simplification of the model in the case of a junction PN. The second part consists in identifying the depletion region in a junction $pn$. By using the variational inequalities, we show that the problem admits a solution. The numerical originality of this part is the use of the nodes on the free boundaries as unknowns. We propose two algorithms of resolution which we test by using the finite and boundary element methods. In the third part, we are interested in the mathematical analysis of the steady state DD model written with Slotboom variables. We show the existence of a solution, when the laws of mobilities depend on the electric field, by applying the convex analysis techniques. Then, we consider that the term of avalanche is non-zero, we give a priori estimates and we prove an existence result. In order to study the uniqueness, we first expose a condition to be satisfied in order to ensure the uniqueness. This condition is then verified in the case of sufficiently small domain or large enough permittivity. We give a theorem of local uniqueness in the presence of avalanche term and sufficient regularity of solution.; La description des mécanismes de conduction dans les dispositifs semi-conducteurs par le modèle dérive-diffusion (DD) mène à un système de trois équations aux dérivées partielles non linéaires fortement couplées. Cette thèse est composée de trois parties. La première est consacrée à la mise en équations et à la présentation des régimes de fonctionnement ainsi que la simplification du modèle dans le cas d'une jonction pn. La deuxième partie consiste à identifier la zone de dépletion dans une jonction PN. En formulant le problème en un problème d'inéquations variationnelles, nous démontrons que le problème admet une solution. L'originalité numérique de cette partie est l'utilisation des noeuds sur la frontière libre comme inconnus. Nous proposons deux algorithmes de résolution que nous testons en utilisant la méthode des éléments finis et la méthode des équations intégrales. Dans la troisième partie, nous nous intéressons à l'étude mathématique du modèle DD à l'état stationnaire dans les semi-conducteurs écrit avec les variables de Slotboom. Nous démontrons l'existence d'une solution, dans le cas où les lois de mobilités dépendent du champ électrique, en appliquant les techniques de l'analyse convexe. Ensuite, nous considérons que le terme d'avalanche est non nul, nous donnons des estimations a priori et nous prouvons un théorème d'existence. Afin d'étudier l'unicité de solutions de notre modèle, nous exposons tout d'abord une condition pour que le système possède au plus une solution. Nous en déduisons des résultats d'unicité dans des cas spécifiques tels que le domaine soit suffisamment petit ou la permittivité soit assez grande. Nous donnons un théorème d'unicité locale dans les cas où le terme d'avalanche est non nul et les changements de conditions aux limites se font à angles droits.