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Les travaux présentés concernent trois thématiques connexes~: Interprétation et étude probabiliste d'équations de McKean-Vlasov - propagation du chaos, - estimation quantitative de la convergence à l'équilibre, - modèles cinétiques. Inégalités fonctionnelles - inégalités fonctionnelles et concentration de la mesure pour les schémas d'Euler, - comportement en temps long de diffusions inhomogènes, - inégalités fonctionnelles et concentration de la mesure pour un mélange. Processus de Markov déterministes par morceaux - modélisation markovienne (télécomunications, biologie, chimie), - construction de couplage explicites et convergence en temps long, - propriétés de la mesure invariante. Le fil rouge de ce travail est la recherche de bornes quantitatives pour l'étude de processus de Markov issus de la modélisation (physique, biologie, etc). Souvent, ces processus possèdent des propriétés de symétrie, de régularité ou de monotonie qu'il est possible d'exploiter pour étudier finement leurs comportements. L'idée est donc ici non pas de chercher à établir des propriétés génériques et qualitatives valables pour la classe la plus large de processus mais bien d'utiliser la dynamique spécifique des processus étudiés pour décrire leur convergence à l'équilibre.

This thesis deals with the splitting method first introduced in rare event analysis in order to speed-up simulation. In this technique, the sample paths are split into $R$ multiple copies at various stages during the simulation. Given the cost, the optimization of the algorithm suggests to take the transition probabilities between stages equal to some constant and to resample the inverse of that constant subtrials, which may be non-integer and even unknown but estimated. First, we study the sensitivity of the relative error between the probability of interest $\mathbb{P}(A)$ and its estimator depending on the strategy that makes the resampling numbers integers. Then, since in practice the transition probabilities are generally unknown (and so the optimal resampling umbers), we propose a two-steps algorithm to face that problem. Several numerical applications and comparisons with other models are proposed.; Nous étudions, dans cette thèse, le modèle de branchement avec duplication des trajectoires d'abord introduit pour l'étude des événements rares destiné à accélérer la simulation. Dans cette technique, les échantillons sont dupliqués en $R$ copies à différents niveaux pendant la simulation. L'optimisation de l'algorithme à coût fixé suggère de prendre les probabilités de transition entre les niveaux égales à une constante et de dupliquer un nombre égal à l'inverse de cette constante, nombre qui peut être non entier. Nous étudions d'abord la sensibilité de l'erreur relative entre la probabilité d'intérêt $\mathbb{P}(A)$ et son estimateur en fonction de la stratégie adoptée pour avoir des nombres de retirage entiers. Ensuite, puisqu'en pratique les probabilités de transition sont généralement inconnues (et de même pour les nombres de retirages), nous proposons un algorithme en deux étapes pour contourner ce problème. Des applications numériques et comparaisons avec d'autres modèles sont proposés.

This thesis deals with the splitting method first introduced in rare event analysis in order to speed-up simulation. In this technique, the sample paths are split into $R$ multiple copies at various stages during the simulation. Given the cost, the optimization of the algorithm suggests to take the transition probabilities between stages equal to some constant and to resample the inverse of that constant subtrials, which may be non-integer and even unknown but estimated. First, we study the sensitivity of the relative error between the probability of interest $\mathbb{P}(A)$ and its estimator depending on the strategy that makes the resampling numbers integers. Then, since in practice the transition probabilities are generally unknown (and so the optimal resampling umbers), we propose a two-steps algorithm to face that problem. Several numerical applications and comparisons with other models are proposed.; Nous étudions, dans cette thèse, le modèle de branchement avec duplication des trajectoires d'abord introduit pour l'étude des événements rares destiné à accélérer la simulation. Dans cette technique, les échantillons sont dupliqués en $R$ copies à différents niveaux pendant la simulation. L'optimisation de l'algorithme à coût fixé suggère de prendre les probabilités de transition entre les niveaux égales à une constante et de dupliquer un nombre égal à l'inverse de cette constante, nombre qui peut être non entier. Nous étudions d'abord la sensibilité de l'erreur relative entre la probabilité d'intérêt $\mathbb{P}(A)$ et son estimateur en fonction de la stratégie adoptée pour avoir des nombres de retirage entiers. Ensuite, puisqu'en pratique les probabilités de transition sont généralement inconnues (et de même pour les nombres de retirages), nous proposons un algorithme en deux étapes pour contourner ce problème. Des applications numériques et comparaisons avec d'autres modèles sont proposés.