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LGEP 2011 ID = 854; International audience; When the fast Hankel transform (FHT) filter technique is used to calculate the spatial-domain Green's functions for planar multilayered media, it can be difficult to obtain accurate numerical results because of branch-cut singularities and the surface-wave pole singularities. Although the singularities can be efficiently avoided through deforming the integration path of the Hankel transform from the real axis to the first quadrant in the complex plane, the argument of the integral kernel becomes a complex number so that the FHT filter algorithm cannot be directly applied. The modified FHT filter algorithm is proposed to overcome this problem by expressing the Bessel function with a complex argument as a sum of terms of product of Bessel function with the real part of the argument and Bessel function with the imaginary part of the argument. The FHT filter technique can then be applied to each expansion term. Numerical results confirm that the proposed approach has high accuracy and good efficiency in the near and intermediate fields. More importantly, it successfully extends the applicability of the conventional FHT method for general multilayered geometries.

Let R be an iterated Ore extension k[y][x;σ,δ] of the complex number field k, with δ a k-automorphism of k[y] and δ a u-derivation of k[y] vanishing on k. We suppose that the center of R is k. Up to a change of variables, any finite group G of k-automorphisms of R acts linearly on kx⊕D1ky. When the quotient division ring D of R is isomorphic to the Weyl skewfield D1(k)1 , then DG⋍D1 (k). In any other noncommutative case, D is isomorphic to the quantum Weyl skewfield Dq 1(k) for some q∊k∗ not a root of one, and DG⋍Ds 1(k) with s = q‖G‖.

The Uniformization Theorem due to Koebe and Poincaré implies that every compact Riemann surface of genus greater or equal to 2 can be endowed with a metric of constant curvature – 1. On the other hand, a compact Riemann surface is a complex algebraic curve and is therefore described by a polynomial equation with complex coefficients. The uniformization problem is then to link explicitly these two descriptions. In [BS05b], Peter Buser and Robert Silhol develop a new uniformization method for compact Riemann surfaces of genus two. Given such a surface S, the method describes a polynomial equation of an algebraic curve conformally equivalent to S. However, in this method appear a complex number τ BS and a function f BS which is holomorphic on the unit disk, both being characterized by some functional equations. This means that τ BS, f BS are given implicitly. P. Buser and R. Silhol then approximate them numerically by a complex number τ and a polynomial p using the approximation method developped in [BS05a]. In cases where the equation of the algebraic curve is known, they notice that these approximations are very good. In this thesis we prove a convergence theorem for the approximation method of P. Buser and R. Silhol, and we propose an adaptation of their method that allows to solve some of the numerical problems to which it is prone. Moreover, we generalize this uniformization method to hyperelliptic Riemann surfaces of genus greater than 2, and we give some examples of numerical uniformization in genus 3.

Natural integers lend themselves to multiple forms of representation. Among the most fundamental are prime factors decomposition and representation in a numeral system. The literature has there- fore naturally been interested in associated morphisms, that is, arithmetic functions that respect the underlying structures. Additive functions transport the multiplicative structure of N∗ to the additive structure of C; additive q-additive functions transport the q-adic representation to this same additive structure of the complex number field. The famous Erd˝os-Wintner theorem provides a complete answer to the question of the existence of a limit distribution law for additive functions. Analogous statements have been established for other representation systems, such as q-adic or Cantor representations. A partial version is known for the representation in the Zeckendorf base. In this work we propose on the one hand to complete this last statement and, on the other hand, to establish effective versions of the above theorems.; Les entiers naturels se prêtent à de multiples formes de représentation. Parmi les plus fondamentales figurent la décomposition en facteurs premiers et l’écriture dans une base de numération. La littérature s’est donc naturellement intéressée aux morphismes associés, autrement dit aux fonctions arithmétiques qui respectent les structures sous-jacentes. Les fonctions additives transportent la structure multiplicative de N vers la structure additive de C ; les fonctions q-additives transportent la représentation q-adique vers cette même structure additive du corps des nombres complexes. Le célèbre théorème d’Erdös-Wintner apporte une réponse complète à la question de l’existence d’une loi de répartition limite pour les fonctions additives. Des énoncés analogues ont été établis pour d’autres systèmes de numération, comme les représentations q-adiques ou associées à une base de Cantor à chiffres bornés. Une version partielle est connue dans le cas de la représentation dans la base de Zeckendorf. Dans ce travail nous nous proposons d’une part de compléter ce dernier énoncé et, d’autre part, d'établir des versions effectives des théorèmes précités.

Natural integers lend themselves to multiple forms of representation. Among the most fundamental are prime factors decomposition and representation in a numeral system. The literature has there- fore naturally been interested in associated morphisms, that is, arithmetic functions that respect the underlying structures. Additive functions transport the multiplicative structure of N∗ to the additive structure of C; additive q-additive functions transport the q-adic representation to this same additive structure of the complex number field. The famous Erd˝os-Wintner theorem provides a complete answer to the question of the existence of a limit distribution law for additive functions. Analogous statements have been established for other representation systems, such as q-adic or Cantor representations. A partial version is known for the representation in the Zeckendorf base. In this work we propose on the one hand to complete this last statement and, on the other hand, to establish effective versions of the above theorems., Les entiers naturels se prêtent à de multiples formes de représentation. Parmi les plus fondamentales figurent la décomposition en facteurs premiers et l’écriture dans une base de numération. La littérature s’est donc naturellement intéressée aux morphismes associés, autrement dit aux fonctions arithmétiques qui respectent les structures sous-jacentes. Les fonctions additives transportent la structure multiplicative de N vers la structure additive de C ; les fonctions q-additives transportent la représentation q-adique vers cette même structure additive du corps des nombres complexes. Le célèbre théorème d’Erdös-Wintner apporte une réponse complète à la question de l’existence d’une loi de répartition limite pour les fonctions additives. Des énoncés analogues ont été établis pour d’autres systèmes de numération, comme les représentations q-adiques ou associées à une base de Cantor à chiffres bornés. Une version partielle est connue dans le cas de la représentation dans la base de Zeckendorf. Dans ce travail nous nous proposons d’une part de compléter ce dernier énoncé et, d’autre part, d'établir des versions effectives des théorèmes précités.

Ce mémoire étudie la théorie de la représentation des algèbres à couture Bn,k (β), introduites par Morin-Duchesne, Rasmussen et Ridout [21]. Elles sont paramétrisées par deux nombres entiers positifs n,k et un nombre complexe β qui est exprimé souvent à l’aide d’un autre paramètre q ∈ ℂˣ comme β = q + q−1. Ces algèbres unifères, associatives et de dimension finie admettent une définition diagrammatique ainsi qu’une réalisation de type Pk(ᵏ)TLn+k Pk(ᵏ) pour une famille d’idempotents Pk(ᴷ) issue des algèbres de Temperley-Lieb originales : les projecteurs de Wenzl-Jones. L’objectif est de caractériser les modules simples, projectifs et cellulaires. Un résultat majeur à cet effet est la preuve de la cellularité de cette famille d’algèbres pour la plupart des valeurs de β. Ce résultat est nouveau et facilite grandement l’étude. En résumé, le comportement dépend de la valeur de q : lorsque q est générique, l’algèbre Bn,k (β) est connue semi-simple ; le cas q racine de l’unité est plus riche et son étude occupe la grande partie de ce mémoire. Le chapitre 1 présente la théorie de base des algèbres de Temperley-Lieb dans une optique pédagogique. Le chapitre 2 utilise l’exemple des algèbres de Temperley-Lieb pourintroduire les algèbres cellulaires. Dans le chapitre 3, les algèbres à couture sont introduites de trois façons : par générateurs et relations, diagrammatiquement et par les projecteurs de Wenzl-Jones ; l’isomorphisme entre les trois présentations est ensuite montré, sauf dans le cas où q 2ᵏ = 1. La cellularité et la théorie de la représentation sont ensuite étudiées pour q générique. Finalement, le chapitre 4 présente en trois étapes les résultats nouveaux en q racine de l’unité : la dimension des radicaux et des modules simples, la construction des morphismes non-triviaux entre les modules cellulaires et la caractérisation des modules indécomposables principaux., This master’s thesis considers the representation theory of boundary seam algebras Bn,k (β), introduced by Morin-Duchesne, Rasmussen and Ridout [21]. Those unitary and associative algebras of finite dimension are parametrised by two positive integers n, k and a complex number β, expressed with q ∈ ℂˣ as β = q + q−1. They admit a diagrammatic definition and a realization of type Pk(ᵏ)TL n+k Pk(ᵏ) using the Temperley-Lieb algebra TLn+k and a family of idempotents Pk(ᵏ): the Wenzl-Jones projectors. We prove the cellularity in the sense of Graham and Lehrer [10] of this family of algebras for most values of β and use it to construct the simple, projective and cellular modules. Expressing β = q + q−1 for q ∈ ℂˣ, we get that the behaviour depends on the value of q : when it is generic, Bn,k (β) is semisimple; the case of q being a root of unity is richer and is studied in depth in chapter 4. Chapter 1 pedagogically presents the theory of Temperley-Lieb algebras. Chapter 2 uses Temperley-Lieb algebras as examples to introduce cellular algebras. In chapter 3, boundary seam algebras are introduced in three different ways : by generators and relations, diagrammatically and by Wenzl-Jones projectors; the isomorphism between the three presentations is then shown except for the case q 2ᵏ = 1. The chapter finishes with the proof of the cellularity of Bn,k (β) and some of the representation theory results for q generic. Finally, chapter 4 presents in three steps the new results when q is a root of unity: the dimension of the radicals and of simple modules, the construction of the non-trivial morphisms between cellular modules and the characterisation of the principal indecomposable modules.

This thesis joins in the field of operator theory. We are specially interested by the extremal operator S(Φ) defined by the compression of the unilateral shift S to the model subspace H(Φ) where Φ is an inner function on the unit disc. The numerical radius of S(Φ) seems to be important and have many applications to harmonic analysis. C. Badea and G. Cassier showed that there is a relationship between the numerical radius of such operators and the Taylor coefficients of positive rational functions. We give an extension of C. Badea and G. Cassier result and an explicit formula of the numerical radius of S(Φ) in the particular case where Φ is a finite Blaschke product with unique zero. An estimate in the general case is also established. The second part is devoted to the study of the higher rank-k numerical range denoted by Λk(T) which is the set of all complex number λ satisfying PTP = λP for some rank-k orthogonal projection P. This notion was introduced by M.-D. Choi, D. W. Kribs, et K. Zyczkowski motivated by a problem in Physics. We show that if Sn is the n-dimensional shift then its rank-k numerical range is the circular discentered in zero and with a precise radius, Cette thèse s’inscrit dans le domaine de la théorie des opérateurs. L’un des opérateurs qui m’a particulièrement intéressé est l’opérateur modèle noté S(Φ) qui désigne la compression du shift unilatéral S sur l’espace modèle H(Φ) où Φ est une fonction intérieure. L’étude du rayon numérique de S(Φ) semble être importante comme l’illustre bien un résultat dû à C. Badea et G. Cassier qui ont montré qu’il existe un lien entre le rayon numérique de tels opérateurs et l’estimation des coefficients des fractions rationnelles positives sur le tore. Nous fournissons une extension de leur résultat et nous trouvons une expression explicite du rayon numérique de S(Φ) dans le cas particulier où Φ est un produit de Blaschke fini avec un unique zéro. Dans le cas général où Φ est un produit de Blaschke fini quelconque, une estimation du rayon numérique de S(Φ) est aussi donnée. Dans la deuxième partie de cette thèse on s’est intéressé à l’image numérique de rang supérieur Λk(T) qui est l’ensemble de tous les nombres complexes λ vérifiant PTP = λP pour une certaine projection orthogonale P de rang k . Cette notion a été introduite récemment par M.-D. Choi, D. W. Kribs, et K. Zyczkowski et elle est utilisée pour certains problèmes en physique. On montre que l’image numérique de rang supérieur du shift n-dimensionnel coïncide avec un disque de rayon bien déterminé

In this work we study the polynomial family of operators : L(z)=H_0+z H_1+...+ zm-1Hm-1+zm , where the coefficients H0,H1,...,Hm-1 are operators defined on the Hilbert space H and z is a complex parameter. We are interested to study the spectrum of the family L(z). The problem L(z)u(x)=0, is called a non-linear eigenvalue problem for m≥2 (The complex number z is called an eigenvalue of L(z), if there exists u in H, u≠0 such that L(z)u=0). We consider here a quadratic family (m=2) and in particular we are interested in the case LP(z)=-∆x+(P(x)-z)2which is defined on the Hilbert space L2(Rn), where P is an elliptic positive polynomial of degree M≥2. For this example results for existence of eigenvalues are known for n=1 and n is even. The main goal of our work is to check the following conjecture, stated by Helffer-Robert-Wang : “ For every dimension n, for every M≥2, the spectrum of LP is non empty.” We prouve this conjecture for the following cases : (1) n=1,3, for every polynomial P of degree M≥2. (2) n=5, for every convex polynomial P satisfying some technical conditions. (3)n=7, for every convex polynomial P. This result extends to the case of quasi-homogeneous polynomial and quasi-elliptic, for example P(x,y)=x2+y4, x in Rn1, y in Rn2, n1+n2=n, where n is even. We prove this results by computing the coefficients of a semi-classical trace formula and by using the theorem of Lidskii.; Ce travail porte sur l'étude de familles polynomiales d'opérateurs de la forme : L(z)=H_0+z H_1+...+ zm-1Hm-1+zm , où H0,H1,...,Hm-1 sont des opérateurs définis sur l'espace de Hilbert H et z est un paramètre complexe. On s'intéresse au spectre de la famille L(z). Le problème L(z)u(x)=0 est un problème aux valeurs propres non-linéaires lorsque m≥2 (Un nombre complexe z est appelé valeur propre de L(z), s'il existe u dans H, u≠0$ tel que L(z)u=0). Ici nous considérons des familles quadratiques (m=2) et nous nous intéressons en particulier au cas LP(z)=-∆x+(P(x)-z)2, définie dans l'espace de Hilbert L2(Rn), où P est un polynôme positif elliptique de degré M≥2. Dans cet exemple les résultats connus d'existence de valeurs propres concernent les cas $n=1$ et $n$ paire.L'objectif principal de ce travail est de progresser vers la preuve de la conjecture suivante, formulée par Helffer-Robert-Wang : « Pour toute dimension n, pour tout M≥2, le spectre de LP est non vide. »Nous prouvons cette conjecture dans les cas suivants : (1) n=1,3, pour tout polynôme P de degré M≥2. (2) n=5, pour tout polynôme P convexe vérifiant de plus des conditions techniques. (3) n=7, pour tout polynôme P convexe. Ce résultat s'étend à des polynômes quasi-homogènes et quasi-elliptiques comme par exemple P(x,y)=x2+y4, x dans Rn1, y dans Rn2, n1+n2=n, et n paire. Nous prouvons ces résultats en calculant les coefficients d'une formule de trace semi-classique et en utilisant le théorème de Lidskii.