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International audience; The paper revisits the theoretical account of electron transport in a crystalline solid resting upon the Boltzmann kinetic equation and taught to graduate students. In view of Bardeen's and Peierls' distrust in the relaxation-time approximation to the scattering term present in that equation, the present account of the charge and heat current densities is based upon the physical fact that, in electron-lattice scattering events, the electron's energy is relaxed at a much weaker rate than the instantaneous velocity. It is also considered that the charge and heat transports through the gas of conduction electrons entail but a small disturbance of the gas thermodynamic equilibrium. The latter is ensured by the lattice vibrations which impose their temperature to the electron gas hosted at the same location. Under these conditions, a fluid-dynamical view of electron transport is obtained where the pressure of the electron gas plays a simple role. It is explained how the Boltzmann transport equation leads to an electric-current density controlled by the negative electrochemical gradient --in the absence of a temperature gradient-- although in that equation only the electrical gradient explicitly appears. The present account encompasses metallic and n-type semiconducting solids. The formulae for the electrical and thermal current densities are arrived at without resorting to the relaxation-time ansatz for the scattering term, yet at no extra mathematical cost. The unnecessary ansatz is subsequently examined in some detail. It is shown to lack consistency with the local formulation of the first and second laws of thermodynamics even though it purports to account for the thermodynamic equilibration of the gas of conduction electrons. The ansatz is also shown to entail identical rates of energy and velocity relaxations, in open contradiction to the physics of electron scattering in real conducting solids.; Cet article réexamine la description théorique du transport électronique dans un solide cristallin fondée sur l'équation cinétique de Boltzmann telle qu'elle est enseignée aux étudiants en doctorat. Le terme de collision présent dans cette équation est souvent remplacé par une « approximation du temps de relaxation » qui a été désavouée par Bardeen et Peierls. Nous proposons à la place une description des transports de charge électrique et de chaleur fondée sur le fait que, dans les collisions électron-réseau, l'énergie de l'électron est relaxée à un taux très inférieur au taux de relaxation de la vitesse instantanée. On considère aussi que les transports de charge et de chaleur n'entraînent qu'une faible perturbation de l'équilibre thermodynamique du gaz d'électrons. Cet équilibre est assuré par les vibrations de réseau qui imposent leur température locale au gaz électronique hébergé dans le réseau. Dans ces conditions, l'écoulement des électrons est décrit en termes de dynamique d'un fluide, régie par la pression de ce fluide. On montre comment l'équation de transport de Boltzmann aboutit à une densité de courant électrique déterminée par le gradient électrochimique --en l'absence d'un gradient de température-- alors que seul le gradient électrique apparaît dans cette équation. Cette description englobe tout à la fois les solides métalliques et semi-conducteurs. Les expressions des densités de courant électrique et thermique sont obtenues sans recourir à l'ansatz du temps de relaxation pour simplifier l'effet des collisions, mais sans effort mathématique supplémentaire. On examine ensuite cet ansatz en détail. On montre qu'il est en contradiction avec les principes de la thermodynamique alors même qu'il vise à rendre compte de l'équilibrage thermodynamique local du gaz des électrons de conduction. On montre aussi que cet ansatz implique l'identité des taux de relaxation de l'énergie et de la vitesse instantanée en contradiction flagrante avec la véritable physique des collisions dans les solides.

This thesis is devoted to several studies which aim at investigating the link between the Boltzmann equation for gaseous mixtures and the Maxwell-Stefan equations, modelling purely diffusive phenomena inside a gas. Our analysis is built on a linearization of the solution of the kinetic equation around a local Maxwellian state characterized by different bulk velocities for each species of the mixture, but having the same order of mag- nitude of the scaling parameter which prescribes the diffusion asymptotics. In a first part, we start by showing that the Boltzmann operator linearized around such a Maxwellian, which does not constitute an equilibrium for the gas, exhibits a quasi-stability property on its spectral gap : the spectral gap known to exist for the collision operator linearized a global equilibrium state is preserved up to a correction which is of the same order of the scaling parameter. Thanks to this feature and via the derivation of suitable hypocoercivity estimates, we are then able to prove that the Maxwell-Stefan system can be rigorously obtained from the Boltzmann multi-species equation, by showing that the solutions of the kinetic and macroscopic models exist uniquely in a perturbative sense. In a second part of the manuscript, using the moment method, we design a numerical scheme which captures the correct behaviour of the solutions at different scales of the diffusion asymptotics. We prove that our scheme possesses at least one solution with positive concentrations, and we show numerically that it is asymptotic-preserving in the vanishing limit of the scaling parameter., Cette thèse est consacrée à plusieurs études reliant l’équation de Boltzmann pour les mélanges gazeux aux équations de Maxwell-Stefan décrivant la diffusion gazeuse. Notre analyse est construite sur une linéarisation de la solution de l’équation cinétique autour d’un état maxwellien local ayant des vitesses différentes pour chaque espèce du mélange, mais de l’ordre du paramètre d’échelle qui prescrit l’asymptotique diffusive. Dans une première partie, nous montrons que l’opérateur de Boltzmann linéarisé autour d’une telle maxwellienne, ne constituant pourtant pas un état d’équilibre pour le gaz, satisfait une propriété de quasi-stabilité de son trou spectral : le trou spectral obtenu en linéarisant l’opérateur de collision autour d’un état d’équilibre global est préservé à une correction du même ordre que le paramètre d’échelle. Ainsi, nous sommes ensuite en mesure de prouver que le système de Maxwell-Stefan peut être dérivé rigoureusement à partir de l’équation de Boltzmann multi-espèce. Cette dérivation est obtenue en montrant existence et unicité des solutions perturbatives des modèles cinétique et macroscopique, grâce en particulier à des estimations d’hypocoercivité. Dans une deuxième partie du manuscrit, par le biais de la méthode des moments, nous construisons un schéma numérique capable de décrire le comportement des solutions aux différentes échelles de l’asymptotique diffusive. Pour ce schéma, nous prouvons un résultat d’existence et de positivité des solutions, et un caractère préservant l’asymptotique est montré à travers plusieurs tests numériques.

In this thesis, we study the solutions of the Boltzmann equation. We are interested in the homogeneous framework in which the solution f(t; x; v) depends only on the time t and the velocity v. We consider singular crosssections (non cuto_ case) in the Maxwellian case. For the study of the Cauchy problem, we consider a uctuation of the solution around the Maxwellian distribution then a decomposition of this uctuation in the spectral base associated to the quantum harmonic oscillator At first, we solve numerically the solutions using symbolic computation methods and spectral decomposition of Hermite functions. We consider regular initial data and initial conditions of distribution type. Next, we prove that there is no longer a global solution in time for a large initial condition that changes sign (which does not contradict the global existence of a weak solution for a positive initial condition - see for example Villani Arch. Rational Mech. Anal 1998).; Dans cette thèse, nous étudions les solutions de l'équation de Boltzmann. Nous nous intéressons au cadre homogène en espace où la solution f(t; x; v) dépend uniquement du temps t et de la vitesse v. Nous considérons des sections efficaces singulières (cas dit non cutoff) dans le cas Maxwellien. Pour l'étude du problème de Cauchy, nous considérons une fluctuation de la solution autour de la distribution Maxwellienne puis une décomposition de cette fluctuation dans la base spectrale associée à l'oscillateur harmonique quantique. Dans un premier temps, nous résolvons numériquement les solutions en utilisant des méthodes de calcul symbolique et la décomposition spectrale des fonctions de Hermite. Nous considérons des conditions initiales régulières et des conditions initiales de type distribution. Ensuite, nous prouvons qu'il n'y a plus de solution globale en temps pour une condition initiale grande et qui change de signe (ce qui ne contredit pas l'existence globale d'une solution faible pour une condition initiale positive - voir par exemple Villani Arch. Rational Mech. Anal 1998).

In this thesis, we study the solutions of the Boltzmann equation. We are interested in the homogeneous framework in which the solution f(t; x; v) depends only on the time t and the velocity v. We consider singular crosssections (non cuto_ case) in the Maxwellian case. For the study of the Cauchy problem, we consider a uctuation of the solution around the Maxwellian distribution then a decomposition of this uctuation in the spectral base associated to the quantum harmonic oscillator At first, we solve numerically the solutions using symbolic computation methods and spectral decomposition of Hermite functions. We consider regular initial data and initial conditions of distribution type. Next, we prove that there is no longer a global solution in time for a large initial condition that changes sign (which does not contradict the global existence of a weak solution for a positive initial condition - see for example Villani Arch. Rational Mech. Anal 1998)., Dans cette thèse, nous étudions les solutions de l'équation de Boltzmann. Nous nous intéressons au cadre homogène en espace où la solution f(t; x; v) dépend uniquement du temps t et de la vitesse v. Nous considérons des sections efficaces singulières (cas dit non cutoff) dans le cas Maxwellien. Pour l'étude du problème de Cauchy, nous considérons une fluctuation de la solution autour de la distribution Maxwellienne puis une décomposition de cette fluctuation dans la base spectrale associée à l'oscillateur harmonique quantique. Dans un premier temps, nous résolvons numériquement les solutions en utilisant des méthodes de calcul symbolique et la décomposition spectrale des fonctions de Hermite. Nous considérons des conditions initiales régulières et des conditions initiales de type distribution. Ensuite, nous prouvons qu'il n'y a plus de solution globale en temps pour une condition initiale grande et qui change de signe (ce qui ne contredit pas l'existence globale d'une solution faible pour une condition initiale positive - voir par exemple Villani Arch. Rational Mech. Anal 1998).

The work of this thesis belongs to the field of partial differential equations. More specifically, it is linked to the problematic of scale changes in the context of kinetic of gas. Indeed, knowing that there exists different scales of description for a gas (microscopic, mesoscopic and macroscopic scale), we want to link these different associated scales in a context where some randomness acts, in initial data and/or distributed on all the time interval.In a first part, we establish the rigorous derivation of the linear Boltzmann equation without cut- off starting from a particle system interacting via a potential of infinite range, under particular assumptions of decay, starting from a perturbed equilibrium.The second part deals with the passage from a stochastic BGK model with high-field scaling to a scalar conservation law with stochastic forcing. First, we establish the existence of a solution to the considered BGK model. Under an additional assumption, we prove then the convergence to a kinetic formulation associated to the conservation law with stochastic forcing.In the third part, in a first place, we quantify in the case of discrete velocities the defect of regularity associated to the traditional averaging which are considered in the averaging lemmas. Then, we establish a stochastic averaging lemma in that same case. We apply then the result to the context of Rosseland approximation to establish the diffusive limit associated to this model.Finally, in the last part, we are interested into the numerical study of Uchiyama’s model of square particles with four velocities in dimension two. After adapting the methods of simulation which were developed in the case of hard spheres, we carry out a statistical study of the limits at different scales of this model. We reject the hypothesis of a fractional Brownian motion as diffusive limit.; Les travaux de cette thèse s’inscrivent dans le domaine des équations aux dérivées partielles. Plus particulièrement, ils sont liés à la problématique des changements d’échelle dans le contexte de la cinétique des gaz. En effet, sachant qu’il existe plusieurs niveaux de description pour un gaz (échelles microscopique, mésoscopique et macroscopique), on cherche à relier les différentes échelles associées dans un cadre où une part d’aléa intervient, dans les données initiales et/ou réparti sur tout l’intervalle de temps.Dans une première partie, on établit la dérivation rigoureuse de l’équation de Boltzmann linéaire sans cut-off en partant d’un système de particules interagissant via un potentiel à portée infinie, sous des hypothèses particulières de décroissance, en partant d’un équilibre perturbé.La deuxième partie traite du passage d’un modèle BGK stochastique avec champ fort à une loi de conservation scalaire avec forçage stochastique. D’abord, on établit l’existence d’une solution au modèle BGK considéré. Sous une hypothèse additionnelle, on prouve alors la convergence vers une formulation cinétique associée à la loi de conservation avec forçage stochastique.Au cours de la troisième partie, dans un premier temps, on quantifie dans le cas à vitesses discrètes le défaut de régularité associé aux traditionnelles moyennes considérées dans les lemmes de moyenne. Par la suite, on établit un lemme de moyenne stochastique dans ce même cas. On applique alors le résultat au cadre de l’approximation de Rosseland pour établir la limite diffusive associée à ce modèle.Enfin, dans la quatrième et dernière partie, on s’intéresse à l’étude numérique du modèle de Uchiyama de particules carrées à quatre vitesses en dimension deux. Après avoir adapté les méthodes de simulation développées dans le cas des sphères dures, on effectue une étude statistique des limites à différentes échelles de ce modèle. On rejette alors l’hypothèse d’un mouvement Brownien fractionnaire comme limite diffusive.

Transport properties at high temperature in gases and/or in plasmas are of very importance in various fields, namely in the field of breaking technology in arc, cutting plasma, welding or burning. Knowledge of transport coefficients is necessary for any modeling involving hydrodynamic equations. As part of the kinetic theory of diluted gas, an approximate solution of the integro-differential Boltzmann equation governing distribution functions was proposed by Chapman-Enskog. Transport coefficients are classically computed using the method of Chapman-Enskog through the collision integrals. In our study we have developed, initially, a numerical code to obtain these collision integral taking into account the singularities that may occur in the calculation of the cross sections relating to interactions between particles forming the gas and/or plasmas. Secondly, we have studied the influence of the choice of parameters of interaction potentials on transport coefficients. Subsequently, we have used the numerical code developed for evaluating and helium plasma transport coefficients by studying the influence of the choice of method for calculating chemical composition on these coefficients. Finally, a simplified model of an interaction between an electromagnetic wave and a helium plasma has been proposed as a direct application of the transport coefficients., Les propriétés de transport à haute température dans les gaz et/ou dans les plasmas ont une importance capitale dans différents domaines, à savoir dans le domaine de technologie de coupure à arc, plasmas de coupure, de soudure ou de gravure. La connaissance des coefficients de transport est nécessaire pour toute modélisation faisant intervenir les équations hydrodynamiques. Dans le cadre de la théorie cinétique des gaz dilués, une solution approchée de l’équation intégro-différentielle de Boltzmann régissant les fonctions de distribution a été proposée par Chapman-Enskog. Les coefficients de transport sont calculés classiquement par la méthode de Chapman-Enskog via les intégrales de collision. Dans le cadre de notre étude nous avons développé, dans un premier temps, un code numérique permettant l’obtention de ces intégrales de collision en tenant compte des singularités qui peuvent apparaître dans le calcul des sections efficaces relatives aux interactions entre les particules constituant les gaz et/ou les plasmas. Dans un second temps nous avons étudié l’influence du choix des paramètres des potentiels d’interaction sur les coefficients de transport. Par la suite, nous avons utilisé le code numérique ainsi développé pour évaluer les coefficients de transport du plasma d’hélium en étudiant l’influence du choix de la méthode de calcul de composition chimique sur ces coefficients. Enfin, un modèle simplifié d’une interaction entre une onde électromagnétique et un plasma d’hélium a été proposé comme une application directe des coefficients de transport.

In transport physics, especially in radiative transfer physics, the Monte-Carlo method has been originally developed as the simulation of the history of numerous particles, from which are deduced mean observables. This numerical method owes its success to several qualities : a natural management of many-dimensional phase space, a null systematic error away from the mathematical and physical model, the confidence intervals given with the results, an ability to take into account simultaneously numerous physical phenomenons, the simultaneous sensitivities calculating possibility, and an easy parallelization. In gas kinetics, particles collide each other, not with an external fixed medium ; it is said that their transport is non-linear. These mutual collisions put out of action the aforesaid approach of the Monte-Carlo method ; because in order to simulate the independent trajectories of multiple particles and thus estimate their distribution, this distribution must beforehand be exactly known...This thesis follows on from those of Jérémy DAUCHET (2012) and of Mathieu GALTIER (2014), dedicated to radiative transfer physics. Between other works, these authors have shown how the Monte-Carlo method can bear non-linearities, while keeping its customary formalism and specificities. The then overcome non-linearities were respectively a chemistry/irradiance coupling law, and the dependence of the irradiance toward the absorption coefficient. We try in this manuscript to overcome the non-linearity of the transport. In this aim, our main tools are a reverse following of particles, based on integral formulations of the transport equations, formulations largely inspired from the so-called null collisions algorithms. We show, on several academic examples, that we have indeed extended the Monte Carlo method to the resolution of the Boltzmann equation. These examples are also occasions to test the limits of what we have built. The most noteworthy results are certainly the absence of any mesh in the numerical method, and its capacity to calculate correctly the high-speed particles quantities (always rare compared to the total, in gas kinetics). Beyond the given examples, this manuscript is wanted as a formalism attempt and an exploration of the developed method basics. The focus is made on the reasoning leading to the method, rather than on particular implementations which have been realized. In the eyes of the author, the method is still largely reworkable. In particular, the maximal times on which the evolution of particles is computable, which constitute the main weakness of the developed numerical method, can surely be increased.; En physique du transport, en particulier en physique du transfert radiatif, la méthode de Monte-Carlo a été développée à l'origine comme la simulation de l'histoire d'un grand nombre de particules, dont on déduit des observables moyennes. Cette méthode numérique doit son succès à plusieurs qualités : une gestion naturelle des espaces des phases aux nombreuses dimensions, une erreur systématique nulle par rapport au modèle physico-mathématique, les intervalles de confiance donnés avec les résultats, une capacité à prendre en compte simultanément de nombreux phénomènes physiques, la possibilité de calcul de sensibilités simultané, et une parallélisation aisée. En cinétique des gaz, les particules collisionnent entre elles et non pas avec un milieu extérieur ; on dit que leur transport est non-linéaire. Ces collisions mutuelles mettent en défaut l'approche évoquée ci-dessus de la méthode de Monte-Carlo ; car pour simuler des trajectoires indépendantes de multiples particules et ainsi estimer leur distribution, il faut connaître au préalable exactement cette même distribution...Cette thèse fait suite à celles de Jérémi DAUCHET (2012) et de Mathieu GALTIER (2014), consacrées au transfert radiatif. Entre autres travaux, ces auteurs montraient comment la méthode de Monte-Carlo peut s'accommoder de non-linéarités, en gardant son formalisme et ses spécificités habituelles. Les non-linéarités alors franchies étaient respectivement une loi de couplage chimie/luminance, et la dépendance de la luminance envers le coefficient d'absorption. On essaie dans ce manuscrit d'outrepasser la non-linéarité du transport. Pour cela, nos principaux outils sont un suivi des particules en remontant le temps, basé sur des formulations intégrales des équations de transport, formulations largement inspirées des algorithmes dits à collisions nulles. Nous montrons, sur plusieurs exemples académiques, que nous avons en effet étendu la méthode de Monte-Carlo à la résolution de l'équation de Boltzmann. Ces exemples sont aussi l'occasion de tester les limites de ce que nous avons mis en place. Les résultats les plus marquants sont certainement l'absence totale de maillage dans la méthode numérique, ainsi que sa capacité à calculer correctement les quantités de particules de haute énergie cinétique (toujours peu nombreuses par rapport au total, en cinétique des gaz). Au-delà des exemples fournis, ce manuscrit est voulu comme un essai de formalisme et une exploration des bases de la méthode développée. L'accent est mis sur les raisonnements menant à la mise au point de la méthode, plutôt que sur les implémentations particulières qui ont été abouties. La méthode est encore, aux yeux de l'auteur, largement susceptible d'être retravaillée. En particulier, les temps maximaux sur lesquels l'évolution des particules est calculable, qui constituent la faiblesse principale de la méthode numérique développée, peuvent sûrement être augmentés.

Le présent travail est entièrement dédié à la construction de modèles simplifiant l’opérateur de collision de Boltzmann. On pourrait trouver cette thématique très réductrice et pourtant... Les travaux de Ludwig Boltzmann portent sur l’introduction d’une description cinétique des gaz, même si cette idée peut être largement co-attribuée à James Clerk Maxwell et aux thermodynamiciens de cette époque. Mais ils s’étendent aussi et surtout à leur évolution en dehors de l’équilibre. Si le terme de transport de son équation est relativement naturel eût égard aux équations du mouvement avec forces extérieures, le comptage des collisions contribuant qui à diminuer la densité du nombre de molécules ayant la vitesse v pour t et x fixés, qui à l’augmenter, est d’une grand beauté géométrique. Et le passage de la micro-réversibilité à la ”flèche” du temps (théorème H) est révolutionnaire. La relative simplicité de la démonstration fascine. Pourtant, Boltzmann lui-même déclara tandis qu’il cherchait des développements pour obtenir des solutions à son équation : ”la simplicité sied au tailleur, pas au mathématicien”. Il est vrai que bon nombre de travaux qui suivirent, dont la hiérarchie BBGKY et le théorème d’existence global en temps de solutions, peuvent lui donner raison. Mais reste son oeuvre immense. Bon nombre d’équations cinétiques suivront telles celles de Fokker-Planck, Landau, Vlasov ou même Uehling-Uhlenbeck pour ne citer qu’elles. Ces équations n’auraient peut-être pas vu le jour sans son travail. Le point de vue cinétique permet d’appréhender bon nombre de problèmes issus de la physique. ”Sasha” Bobylev m’a dit un jour : ”Jâcques, à partir du moment où tu as commencé avec l’équation de Boltzmann, tu ne pourra jamais la quitter”. En ce qui me concerne, il a eut raison !

Technical progress on ultra-cold Fermi gases experiments induced numerous studies for the last few years. Using these experimental setups, it is effectively possible to generate ultra-cold gases with selected properties, in particular through the Feshbach resonances phenomenon. This allows us to set the sign of the scattering length a using an external magnetic field. It is then possible to have an attractive interaction (a < 0) as well as a repulsive one (a > 0). The Feshbach resonance itself is defined for infinite values of a (positive or negative), which corresponds to a strongly interacting regime. Moreover, when a > 0, molecular bound states (bosonic because they are made with two fermionic atoms) can appear. Thus, below a critical temperature, a superfluid phase can emerge and a crossover can be observed (from the BEC to BCS superfluid states). Depending on the position on the phase diagram, frequency and damping of collective modes will be different. This is why the collective modes are good probes of the system phase. A precise extensive knowledge of their characteristics is thus very important. This thesis presents a complete study of some of these collective modes in the normal phase. This work mainly relies on the Boltzmann equation which will be solved in two different ways: firstly, with an improved (higher order) version of the so-called moments method; secondly with a numerical solution that has required to write a numerical code in order to take into account the in-medium effects (mean field potential and in-medium cross section). Particular attention has been paid to numerical simulations in order to reproduce as closely as possible the experimental conditions. Moreover, experimental procedures now allow to create spin unbalanced gases. We have shown in this work a study of these systems using the numerical resolution of the Boltzmann equation. Moreover, we have developed a theoretical approach in order to build the phase diagram of these polarized gases, which is not fully described yet. Finally, we have suggested a method to determine the in-medium effects, with the aim to solve the problem emerging with the usual method used in the balanced case; Les progrès techniques réalisés dans le cadre des expériences sur les gaz de fermions ultrafroids ont engendré une émulation particulièrement importante ces dernières années. En effet, ces dispositifs expérimentaux permettent de produire des systèmes gazeux ≪ à la carte ≫, notamment grâce au phénomène de résonances de Feshbach qui permet de contrôler le signe de la longueur de diffusion a par application d'un champ magnétique extérieur. Il est alors possible de générer aussi bien une interaction attractive (a < 0) que répulsive (a > 0). La résonance de Feshbach en elle-même se trouve en a → ±∞, cette limite correspondant à un régime de fortes corrélations entre les particules. De plus, dans la région où a est positive, des états lies moléculaires (bosoniques car formés de deux fermions) peuvent se former. En-dessous d'une certaine température, une phase superfluide peut alors apparaitre, et une transition de phase continue entre l'état bosonique et l'état fermionique peut être observée (BEC-BCS crossover). En fonction de la position dans le diagramme de phases, les modes collectifs possèderont des caractéristiques (fréquence, amortissement) différentes. En ce sens, ils constituent une sonde de l'état de la matière et une connaissance précise de ces modes est par conséquent très importante. Le travail présenté dans cette thèse comporte une caractérisation détaillée de plusieurs modes collectifs dans la phase normale du système atomique. L'étude repose principalement sur l'équation de Boltzmann, que nous résolvons de deux façons différentes. La première consiste à utiliser une méthode des moments ≪ améliorée ≫ (c'est-à-dire d'ordre supérieur). La seconde est numérique et a nécessité l'écriture d'un programme de simulation permettant l'incorporation de tous les effets de milieu (potentiel de champ moyen et section efficace). Une attention toute particulière a été apportée à la mise en place des simulations afin de reproduire le plus fidèlement possible les conditions expérimentales. Les techniques expérimentales permettent également désormais la création de gaz polarisés. Nous présenterons donc dans ce travail une étude de ces gaz utilisant notre programme de simulation (mise en évidence des différents régimes de collision), puis une étude plus théorique ayant pour principal objectif d'établir le diagramme de phase encore méconnu de ces gaz particuliers, et enfin de proposer une méthode de calcul des effets de milieu, les techniques habituelles utilisées pour les gaz non polarisés n'étant plus valables

Technical progress on ultra-cold Fermi gases experiments induced numerous studies for the last few years. Using these experimental setups, it is effectively possible to generate ultra-cold gases with selected properties, in particular through the Feshbach resonances phenomenon. This allows us to set the sign of the scattering length a using an external magnetic field. It is then possible to have an attractive interaction (a < 0) as well as a repulsive one (a > 0). The Feshbach resonance itself is defined for infinite values of a (positive or negative), which corresponds to a strongly interacting regime. Moreover, when a > 0, molecular bound states (bosonic because they are made with two fermionic atoms) can appear. Thus, below a critical temperature, a superfluid phase can emerge and a crossover can be observed (from the BEC to BCS superfluid states). Depending on the position on the phase diagram, frequency and damping of collective modes will be different. This is why the collective modes are good probes of the system phase. A precise extensive knowledge of their characteristics is thus very important. This thesis presents a complete study of some of these collective modes in the normal phase. This work mainly relies on the Boltzmann equation which will be solved in two different ways: firstly, with an improved (higher order) version of the so-called moments method; secondly with a numerical solution that has required to write a numerical code in order to take into account the in-medium effects (mean field potential and in-medium cross section). Particular attention has been paid to numerical simulations in order to reproduce as closely as possible the experimental conditions. Moreover, experimental procedures now allow to create spin unbalanced gases. We have shown in this work a study of these systems using the numerical resolution of the Boltzmann equation. Moreover, we have developed a theoretical approach in order to build the phase diagram of these polarized gases, which is not fully described yet. Finally, we have suggested a method to determine the in-medium effects, with the aim to solve the problem emerging with the usual method used in the balanced case, Les progrès techniques réalisés dans le cadre des expériences sur les gaz de fermions ultrafroids ont engendré une émulation particulièrement importante ces dernières années. En effet, ces dispositifs expérimentaux permettent de produire des systèmes gazeux ≪ à la carte ≫, notamment grâce au phénomène de résonances de Feshbach qui permet de contrôler le signe de la longueur de diffusion a par application d'un champ magnétique extérieur. Il est alors possible de générer aussi bien une interaction attractive (a < 0) que répulsive (a > 0). La résonance de Feshbach en elle-même se trouve en a → ±∞, cette limite correspondant à un régime de fortes corrélations entre les particules. De plus, dans la région où a est positive, des états lies moléculaires (bosoniques car formés de deux fermions) peuvent se former. En-dessous d'une certaine température, une phase superfluide peut alors apparaitre, et une transition de phase continue entre l'état bosonique et l'état fermionique peut être observée (BEC-BCS crossover). En fonction de la position dans le diagramme de phases, les modes collectifs possèderont des caractéristiques (fréquence, amortissement) différentes. En ce sens, ils constituent une sonde de l'état de la matière et une connaissance précise de ces modes est par conséquent très importante. Le travail présenté dans cette thèse comporte une caractérisation détaillée de plusieurs modes collectifs dans la phase normale du système atomique. L'étude repose principalement sur l'équation de Boltzmann, que nous résolvons de deux façons différentes. La première consiste à utiliser une méthode des moments ≪ améliorée ≫ (c'est-à-dire d'ordre supérieur). La seconde est numérique et a nécessité l'écriture d'un programme de simulation permettant l'incorporation de tous les effets de milieu (potentiel de champ moyen et section efficace). Une attention toute particulière a été apportée à la mise en place des simulations afin de reproduire le plus fidèlement possible les conditions expérimentales. Les techniques expérimentales permettent également désormais la création de gaz polarisés. Nous présenterons donc dans ce travail une étude de ces gaz utilisant notre programme de simulation (mise en évidence des différents régimes de collision), puis une étude plus théorique ayant pour principal objectif d'établir le diagramme de phase encore méconnu de ces gaz particuliers, et enfin de proposer une méthode de calcul des effets de milieu, les techniques habituelles utilisées pour les gaz non polarisés n'étant plus valables

This thesis is concerned with kinetic theory and many-particle systems in the setting of Boltzmann and Landau equations. Firstly, we study the derivation of kinetic equation as mean field limits of many-particle systems, using the concept of propagation of chaos. More precisely, we study chaotic probabilities on the phase space of such particle systems : the Boltzmann's sphere, which corresponds to the phase space of a many-particle system undergoing a dynamics that conserves momentum and energy ; and the Kac's sphere, which corresponds to the energy conservation only. Then we are concerned with the propagation of chaos, with quantitative and uniform in time estimates, for Boltzmann and Landau equations. Secondly, we study the long-time behaviour of solutions to the Landau equation.; Nous nous intéressons dans cette thèse à la théorie cinétique et aux systèmes de particules dans le cadre des équations de Boltzmann et Landau. Premièrement, nous étudions la dérivation des équations cinétiques comme des limites de champ moyen des systèmes de particules, en utilisant le concept de propagation du chaos. Plus précisément, nous étudions les probabilités chaotiques sur l'espace de phase de ces systèmes de particules : la sphère de Boltzmann, qui correspond à l'espace de phase d'un système de particules qui évolue conservant le moment et l'énergie ; et la sphère de Kac, correspondant à un système de particules qui conserve seulement l'énergie. Ensuite, nous nous intéressons à la propagation du chaos, avec des estimations quantitatives et uniforme en temps, pour les équations de Boltzmann et Landau. Deuxièmement, nous étudions le comportement asymptotique en temps grand des solutions de l'équation de Landau.

This thesis is concerned with kinetic theory and many-particle systems in the setting of Boltzmann and Landau equations. Firstly, we study the derivation of kinetic equation as mean field limits of many-particle systems, using the concept of propagation of chaos. More precisely, we study chaotic probabilities on the phase space of such particle systems : the Boltzmann's sphere, which corresponds to the phase space of a many-particle system undergoing a dynamics that conserves momentum and energy ; and the Kac's sphere, which corresponds to the energy conservation only. Then we are concerned with the propagation of chaos, with quantitative and uniform in time estimates, for Boltzmann and Landau equations. Secondly, we study the long-time behaviour of solutions to the Landau equation.; Nous nous intéressons dans cette thèse à la théorie cinétique et aux systèmes de particules dans le cadre des équations de Boltzmann et Landau. Premièrement, nous étudions la dérivation des équations cinétiques comme des limites de champ moyen des systèmes de particules, en utilisant le concept de propagation du chaos. Plus précisément, nous étudions les probabilités chaotiques sur l'espace de phase de ces systèmes de particules : la sphère de Boltzmann, qui correspond à l'espace de phase d'un système de particules qui évolue conservant le moment et l'énergie ; et la sphère de Kac, correspondant à un système de particules qui conserve seulement l'énergie. Ensuite, nous nous intéressons à la propagation du chaos, avec des estimations quantitatives et uniforme en temps, pour les équations de Boltzmann et Landau. Deuxièmement, nous étudions le comportement asymptotique en temps grand des solutions de l'équation de Landau.

This dissertation is dedicated to the mathematical and numerical study of a class of collisional kinetic equations, such as the Boltzmann equation of perfect gases. We took a particular interest in the granular media (or gases) equation, which has been first introduced in the physical literature to describe the nonnequilibrium behavior of materials composed of a large number of grains (the particles) of macroscopic size, interacting through energy dissipative collisions. These models have a very rich mathematical structure. This dissertation is divided in three independent part, all related to the theory of collisional kinetic equation, with a strong emphasis on granular media. The first part concerns the mathematical study of the asymptotic behavior of space homogeneous Boltzmann-like kinetic equations. We prove some blow up results, as well as convergence towards self-similarity, with explicit rates for two different models. One of the key tools of our proofs is the use of a new scaling method, where the scaling function depends on the solution itself. We especially prove that for a particular model of granular gases (also know as anomalous), finite time blow up occurs. The second part is dedicated to the development and study of spectral methods for the resolution of multi-scale problems, coming from the theory of collisional kinetic equations. Some rescaling methods take a very important place in this part, allowing to observe numerically some nontrivial phenomena such as the clustering in space which occurs in the time evolution of a space inhomogeneous granular gas, or to investigate numerically the trend to equilibrium for this equation. The whole third (and last) part is dedicated to the spectral study of the granular gases operator with a thermal bath, linearized near a space homogeneous self-similar profile. The goal of this work is to prove some stability results for the complete space inhomogeneous equation, and to investigate the hydrodynamic limit of the model. This work is based and extend the famous result of R. Ellis and M. Pinsky on the spectrum of the linearized Boltzmann equation, intended to establish rigorously the hydrodynamic limit of this equation towards the linearized Euler and Navier-Stokes equations.; Cette thèse est dédiée à l'étude mathématique et numérique d'une classe d'équations cinétiques collisionnelles, de type équation de Boltzmann. Nous avons porté un intérêt tout particulier à l'équation des milieux (ou gaz) granulaires, initialement introduite dans la littérature physique pour décrire le comportement hors équilibre de matériaux composés d'un grand nombre de grains, ou particules, non nécessairement microscopiques, et interagissant par des collisions dissipant l'énergie cinétique. Ces modèles se sont révélés avoir une structure mathématique très riche. Cette thèse se structure en trois partie pouvant être lues de manière indépendante, mais néanmoins en rapport avec des équations cinétiques collisionnelles en général, et l'équation des milieux granulaires en particulier. La première partie est dédiée à l'étude mathématique du comportement asymptotique de certaines équations cinétiques collisionnelles dans un cadre homogène en espace. Nous y montrons des résultats de type explosion et convergence vers la solution autosimilaire avec calcul explicite des taux, pour des opérateurs de type Boltzmann, grâce à l'utilisation (entre autre) d'une nouvelle méthode de changement de variables dépendant directement de la solution de l'équation considérée. En particulier, nous démontrons que pour un modèle de gaz granulaire - dit anormal - il est possible d'observer une explosion en temps fini. Dans la deuxième partie, orientée analyse numérique et calcul scientifique, nous nous intéressons développement et à l'étude de méthodes spectrales pour la résolution de problèmes multi-échelles, issus de la théorie des équations cinétiques collisionnelles. Les méthodes de changement de variables tiennent aussi une place importante dans cette partie, et permettent d'observer numériquement des phénomènes non triviaux qui apparaissent lors de l'étude de gaz granulaires, comme la création d'amas de matière ou la caractérisation précise du retour vers l'équilibre. La troisième et dernière partie est dédiée à l'étude spectrale de l'opérateur des milieux granulaires avec bain thermique, linéarisé au voisinage d'un équilibre homogène en espace, afin d'établir des résultats de type stabilité et convergence vers une limite hydrodynamique. Ce travail est en fait la généralisation d'un résultat célèbre dans la théorie de l'équation de Boltzmann, dû à R. Ellis et M. Pinsky, et établissant rigoureusement la première limite hydrodynamique vers les équations d'Euler compressibles linéaires puis Navier-Stokes de cette équation.

This dissertation is dedicated to the mathematical and numerical study of a class of collisional kinetic equations, such as the Boltzmann equation of perfect gases. We took a particular interest in the granular media (or gases) equation, which has been first introduced in the physical literature to describe the nonnequilibrium behavior of materials composed of a large number of grains (the particles) of macroscopic size, interacting through energy dissipative collisions. These models have a very rich mathematical structure. This dissertation is divided in three independent part, all related to the theory of collisional kinetic equation, with a strong emphasis on granular media. The first part concerns the mathematical study of the asymptotic behavior of space homogeneous Boltzmann-like kinetic equations. We prove some blow up results, as well as convergence towards self-similarity, with explicit rates for two different models. One of the key tools of our proofs is the use of a new scaling method, where the scaling function depends on the solution itself. We especially prove that for a particular model of granular gases (also know as anomalous), finite time blow up occurs. The second part is dedicated to the development and study of spectral methods for the resolution of multi-scale problems, coming from the theory of collisional kinetic equations. Some rescaling methods take a very important place in this part, allowing to observe numerically some nontrivial phenomena such as the clustering in space which occurs in the time evolution of a space inhomogeneous granular gas, or to investigate numerically the trend to equilibrium for this equation. The whole third (and last) part is dedicated to the spectral study of the granular gases operator with a thermal bath, linearized near a space homogeneous self-similar profile. The goal of this work is to prove some stability results for the complete space inhomogeneous equation, and to investigate the hydrodynamic limit of the model. This work is based and extend the famous result of R. Ellis and M. Pinsky on the spectrum of the linearized Boltzmann equation, intended to establish rigorously the hydrodynamic limit of this equation towards the linearized Euler and Navier-Stokes equations, Cette thèse est dédiée à l'étude mathématique et numérique d'une classe d'équations cinétiques collisionnelles, de type équation de Boltzmann. Nous avons porté un intérêt tout particulier à l'équation des milieux (ou gaz) granulaires, initialement introduite dans la littérature physique pour décrire le comportement hors équilibre de matériaux composés d'un grand nombre de grains, ou particules, non nécessairement microscopiques, et interagissant par des collisions dissipant l'énergie cinétique. Ces modèles se sont révélés avoir une structure mathématique très riche. Cette thèse se structure en trois partie pouvant être lues de manière indépendante, mais néanmoins en rapport avec des équations cinétiques collisionnelles en général, et l'équation des milieux granulaires en particulier. La première partie est dédiée à l'étude mathématique du comportement asymptotique de certaines équations cinétiques collisionnelles dans un cadre homogène en espace. Nous y montrons des résultats de type explosion et convergence vers la solution autosimilaire avec calcul explicite des taux, pour des opérateurs de type Boltzmann, grâce à l'utilisation (entre autre) d'une nouvelle méthode de changement de variables dépendant directement de la solution de l'équation considérée. En particulier, nous démontrons que pour un modèle de gaz granulaire - dit anormal - il est possible d'observer une explosion en temps fini. Dans la deuxième partie, orientée analyse numérique et calcul scientifique, nous nous intéressons développement et à l'étude de méthodes spectrales pour la résolution de problèmes multi-échelles, issus de la théorie des équations cinétiques collisionnelles. Les méthodes de changement de variables tiennent aussi une place importante dans cette partie, et permettent d'observer numériquement des phénomènes non triviaux qui apparaissent lors de l'étude de gaz granulaires, comme la création d'amas de matière ou la caractérisation précise du retour vers l'équilibre. La troisième et dernière partie est dédiée à l'étude spectrale de l'opérateur des milieux granulaires avec bain thermique, linéarisé au voisinage d'un équilibre homogène en espace, afin d'établir des résultats de type stabilité et convergence vers une limite hydrodynamique. Ce travail est en fait la généralisation d'un résultat célèbre dans la théorie de l'équation de Boltzmann, dû à R. Ellis et M. Pinsky, et établissant rigoureusement la première limite hydrodynamique vers les équations d'Euler compressibles linéaires puis Navier-Stokes de cette équation

This thesis addresses the problem of diffusive transport in multilayer systems when the layers thickness is of the order of or even smaller than the mean free path. We present a formalism which enables to synthetize and to go beyond various the standard models (drift-diffusion, Valet-Fert model, flux method or Fuchs-Sondheimer model). This formalism applies to two kinds of structures: (i) the so called CPP geometry (Current Perpendicular to Plane) where the mean transport current is perpendicular to the interfaces separating the layers, and (ii) the so called CIP (Current in Plane) geometry in which the mean transport current is parallel to interfaces. This new model of transport is build on the Boltzmann transport equation in which the scattering in the layer or at interfaces is represented by linear collision integrals that can describe specular and random scattering not necessarily isotropic. The resolution of this Boltzmann equation to obtain macroscopic quantities of interest is done in three steps for each layer: (1) the particle distribution is splitted into two “chiralities” characterized by the sign of the projection of the velocity vector of each particle along the axis perpendicular to interfaces; (2) the local description of the complete angular velocity distribution for each chirality is obtained by an expansion over a new orthogonal polynomial basis adapted to the existence of two chiralities; (3) to compute the chiral mean of the angular velocity distribution we define a minimal troncated expansion adapted to the local physical quantities of interest. Step (1) is necessary to describe correctly the interface scattering, step (3) is usual but the key ingredient of our formalism is step (2) which solely allows a coherent description of step (1) and (3) in the presence of interfaces. For spin polarized systems this novel formalism allows, among other things, to express the boundaries resistances of the Valet-Fert model in terms of generalized transmission coefficients associated to scattering at interfaces. For CIP structures, with this new approach we obtain explicit analytical expressions for the local conductivity of each layer (with or without spin polarisation) and we make the link with CPP transport more transparent. This novel formalism is not specific to electrical transport, to show its versatility we present an application to transport of light by revisiting the Milne problem for which we can recover certain exact result in a much simpler way. At last, we present a variational method which gives some interesting interpretation of the Fuchs-Sondheimer model.; Cette thèse aborde le problème du transport diffusif dans les matériaux multicouches lorsque l'épaisseur des couches est comparable voire plus petit que le libre parcours moyen. Nous présentons un formalisme qui à la fois effectue une synthèse et permet d'aller au delà des divers modèles existants, dérive-diffusion, le modèle Valet-Fert, la méthode des flux ou encore le modèle de Fuchs-Sondheimer. Ce formalisme est applicable à deux types de structures: (i) la géométrie dite CPP (Current Perpendicular to Plane) où le courant moyen est perpendiculaire aux interfaces séparant les couches, et (ii) la géométrie dite CIP (Current In Plane) où le courant moyen est parallèle aux interfaces. Ce nouveau modèle de transport est bâti à partir d'une équation de Boltzmann où les collisions dans les couches et aux interfaces sont représentées par des intégrales de collision linéaires pouvant décrire aussi bien des réflexions spéculaires que des collisions aléatoires non nécessairement isotropes. La résolution de cette équation de Boltzmann pour déterminer les quantités macroscopiques locales d'intérêt se fait en trois étapes : pour chacune des couches, (1) la distribution locale des particules est séparée en deux « chiralités » caractérisés par le signe de la projection du vecteur vitesse de chaque particule le long de l'axe perpendiculaire aux interfaces ; (2) la description locale complète de la distribution angulaire des vitesses pour chaque chiralité est obtenue en développant sur une nouvelle base polynômes orthogonaux adaptée à l'existence de deux chiralités ; (3) pour effectuer la moyenne chirale sur la distribution angulaire des vitesses on définit une troncature minimale de ce développement adaptée aux quantités macroscopiques locales d'intérêt.L’étape (1) est nécessaire afin de pouvoir décrire correctement les collisions d'interfaces, l'étape (3) est usuelle mais l'ingrédient clef de ce formalisme est le point (2) qui seul permet de rendre cohérent les étapes (1) et (3) en présence d'interfaces. Pour la géométrie CPP, ce formalisme « Boltzmann chiral » permet d'unir les systèmes balistique et diffusif sous une même approche macroscopique. En présence de polarisation en spin, ce nouveau formalisme permet d'obtenir entre autre les résistances d'interfaces du modèle Valet-Fert en fonction des coefficients de transmission généralisés associés aux collisions d'interface. Pour les structures CIP, ce modèle permet d'obtenir des expressions analytiques pour les conductivités locales par couche (avec ou sans polarisation en spin) et de plus il rend le lien avec le transport CPP plus transparent. Ce formalisme n'étant pas propre au transport électrique, nous montrons sa versatilité sur une application au transport lumineux en revisitant le problème de Milne pour lequel nous retrouvons un résultat exact de façon beaucoup plus simple. Nous présentons pour terminer une méthode variationnelle fournissant une interprétation intéressante du modèle de Fuchs-Sondheimer.

This thesis addresses the problem of diffusive transport in multilayer systems when the layers thickness is of the order of or even smaller than the mean free path. We present a formalism which enables to synthetize and to go beyond various the standard models (drift-diffusion, Valet-Fert model, flux method or Fuchs-Sondheimer model). This formalism applies to two kinds of structures: (i) the so called CPP geometry (Current Perpendicular to Plane) where the mean transport current is perpendicular to the interfaces separating the layers, and (ii) the so called CIP (Current in Plane) geometry in which the mean transport current is parallel to interfaces. This new model of transport is build on the Boltzmann transport equation in which the scattering in the layer or at interfaces is represented by linear collision integrals that can describe specular and random scattering not necessarily isotropic. The resolution of this Boltzmann equation to obtain macroscopic quantities of interest is done in three steps for each layer: (1) the particle distribution is splitted into two “chiralities” characterized by the sign of the projection of the velocity vector of each particle along the axis perpendicular to interfaces; (2) the local description of the complete angular velocity distribution for each chirality is obtained by an expansion over a new orthogonal polynomial basis adapted to the existence of two chiralities; (3) to compute the chiral mean of the angular velocity distribution we define a minimal troncated expansion adapted to the local physical quantities of interest. Step (1) is necessary to describe correctly the interface scattering, step (3) is usual but the key ingredient of our formalism is step (2) which solely allows a coherent description of step (1) and (3) in the presence of interfaces. For spin polarized systems this novel formalism allows, among other things, to express the boundaries resistances of the Valet-Fert model in terms of generalized transmission coefficients associated to scattering at interfaces. For CIP structures, with this new approach we obtain explicit analytical expressions for the local conductivity of each layer (with or without spin polarisation) and we make the link with CPP transport more transparent. This novel formalism is not specific to electrical transport, to show its versatility we present an application to transport of light by revisiting the Milne problem for which we can recover certain exact result in a much simpler way. At last, we present a variational method which gives some interesting interpretation of the Fuchs-Sondheimer model.; Cette thèse aborde le problème du transport diffusif dans les matériaux multicouches lorsque l'épaisseur des couches est comparable voire plus petit que le libre parcours moyen. Nous présentons un formalisme qui à la fois effectue une synthèse et permet d'aller au delà des divers modèles existants, dérive-diffusion, le modèle Valet-Fert, la méthode des flux ou encore le modèle de Fuchs-Sondheimer. Ce formalisme est applicable à deux types de structures: (i) la géométrie dite CPP (Current Perpendicular to Plane) où le courant moyen est perpendiculaire aux interfaces séparant les couches, et (ii) la géométrie dite CIP (Current In Plane) où le courant moyen est parallèle aux interfaces. Ce nouveau modèle de transport est bâti à partir d'une équation de Boltzmann où les collisions dans les couches et aux interfaces sont représentées par des intégrales de collision linéaires pouvant décrire aussi bien des réflexions spéculaires que des collisions aléatoires non nécessairement isotropes. La résolution de cette équation de Boltzmann pour déterminer les quantités macroscopiques locales d'intérêt se fait en trois étapes : pour chacune des couches, (1) la distribution locale des particules est séparée en deux « chiralités » caractérisés par le signe de la projection du vecteur vitesse de chaque particule le long de l'axe perpendiculaire aux interfaces ; (2) la description locale complète de la distribution angulaire des vitesses pour chaque chiralité est obtenue en développant sur une nouvelle base polynômes orthogonaux adaptée à l'existence de deux chiralités ; (3) pour effectuer la moyenne chirale sur la distribution angulaire des vitesses on définit une troncature minimale de ce développement adaptée aux quantités macroscopiques locales d'intérêt.L’étape (1) est nécessaire afin de pouvoir décrire correctement les collisions d'interfaces, l'étape (3) est usuelle mais l'ingrédient clef de ce formalisme est le point (2) qui seul permet de rendre cohérent les étapes (1) et (3) en présence d'interfaces. Pour la géométrie CPP, ce formalisme « Boltzmann chiral » permet d'unir les systèmes balistique et diffusif sous une même approche macroscopique. En présence de polarisation en spin, ce nouveau formalisme permet d'obtenir entre autre les résistances d'interfaces du modèle Valet-Fert en fonction des coefficients de transmission généralisés associés aux collisions d'interface. Pour les structures CIP, ce modèle permet d'obtenir des expressions analytiques pour les conductivités locales par couche (avec ou sans polarisation en spin) et de plus il rend le lien avec le transport CPP plus transparent. Ce formalisme n'étant pas propre au transport électrique, nous montrons sa versatilité sur une application au transport lumineux en revisitant le problème de Milne pour lequel nous retrouvons un résultat exact de façon beaucoup plus simple. Nous présentons pour terminer une méthode variationnelle fournissant une interprétation intéressante du modèle de Fuchs-Sondheimer.

The study of spin transport properties in magnetic materials started in the 1950s. The intrinsic magnetism of this kind of materials represents an additional diffusion source compared to non-magnetic materials, in which diffusion sources are mainly phonons, impurities and crystalline defects of the lattice. Magnetic scattering is more complex than the two previous sources expressed. On one hand the magnetic diffusion induces different behaviors of resistivity due to the material, as it can be a metal or a semiconductor. On the other hand, the type of magnetism exhibited by a structure is also at the origin of different magnetic behaviors of resistivity. During the 1950s many authors focused on metals and magnetic semiconductors. It follows that each of the various theories works for a particular case, but failed for all other behaviors observed experimentally. For example, the resistivity of magnetic metals is a monotonic function of temperature (it is only the derivative that presents a singularity with respect to the temperature), while magnetic semiconductors show a peak at the critical temperature (Tc) , temperature separating the order to the disorder magnetic phases. Note that the different interpretations concerning the magnetic diffusion around the critical temperature are still a controversial point. Moreover, the theories available to date about transport in magnetic materials should be selected according to the material studied (type of structure, metal or semiconductor, type of magnetism). A general method which could be used for all behaviors of resistivity, whatever the nature of the solid (metal or semiconductor) and the type of magnetism was lacking at the beginning of this work. First, it is to this lack we want to answer with this thesis. Indeed, the spectacular development of spintronics relies on the use of magnetic semiconductors and metals, so a rigorous understanding of the scattering mechanisms near the critical temperature is needed today. Our approach consists in using a Monte Carlo Metropolis simulation to study this problem. I have developed an algorithm that applies to a fairly general Hamiltonian of the system. Thanks to this Hamiltonian and with an appropriate set of parameters, we are able to reproduce experimental trends and/or generic behaviors presented in the literature for ferromagnetic and antiferromagnetic (frustrated and non-frustrated) semiconductors. The method also allows to perform a systematic study of materials experimentally characterized taking into account units to realize direct comparisons between our simulation results and experimental measurements, with good agreement. This as been applied to the case of MnTe, a magnetic semiconductor, for example. Whereas this work was limited to the study of semiconductor materials, our next objective will consist in extending the method to diluted magnetic semiconductors (DMS), as well as scattering at the magnetic interfaces of GMR devices, an issue that currently raises many questions. So far, our approach is unique and seems able to reproduce a large number of experimental behaviors of resistivity, in particular in the case of semiconductors, and providing a new explanation to the controversy about scattering mechanisms around the critical temperature. My contribution to this work was to develop, in collaboration with my PhD advisor Prof. Hung The Diep, the calculation model and the Monte Carlo Metropolis spin transport algorithm. Thanks to this algorithm, I obtained many results which led to the interpretation of different experimental results presented in my thesis. My main contribution to this work is: -The development of a Monte Carlo Metropolis algorithm with numerical tricks for the reduction of statistical fluctuations samples (multi-step averaging) - The study of different ferromagnetic and antiferromagnetic materials (not frustrated). A very significant observation of resistivity behavior around Tc and at low T was seen: the dependence of the peak has Tc depends on well-identified physical variables (interactions: range, nature, relaxation time, lattice, ...) - Study of the frustration effect on the resistivity. Effect of a first order transition on resistivity. - Interpretation of the behavior of the resistivity using numerical data, especially in terms of clusters and relaxation time. - Quantitative study of MnTe and comparison with experiment: excellent agreement. Let us briefly explicit these points in a few words. The first point I would like to emphasize is the new interpretation we gave regarding the scattering mechanisms near the order/disorder temperature transition for non-frustrated lattices. I showed during my PhD that the shape of the resistivity peak around Tc is a direct consequence of two related effects induced by the magnetism of the lattice. Around Tc the lattice percolates and shows large clusters of parallel (antiparallel) spins which represent many areas of low (high) energies for electrons which to go through. In addition lattice spin fluctuations undergo a critical slowing down which produce an extremely slow evolution of the magnetic landscape. The magnetic lattice can be seen as a frozen magnetic state which allows itinerant spins to be trapped in parallel clusters (low energies), giving rise to a peak resistivity at Tc. As a result we emphasize that the study of transport in magnetic systems must take into account the local energy landscape of the magnetic lattice, as well as the dynamics of spin fluctuations as a function of temperature (which were not included in the previous works). These two points allow us to generalize the treatment of resistivity to non-frustrated systems. Frustrated antiferromagnetic systems are characterized by a large number of degenerate states (often infinite in case of Ising spins). However, the thin film structure allows us to make it as a finite degenerate state. We firstly showed that the degeneration of the system induces a first order resistivity transition, and according to the degenerate state of the system, the resistivity can present two kinds of transition: a transition from low to high resistivities with increasing temperature, or vice versa.; L'étude des propriétés de transport dans les matériaux magnétiques a débuté dans les années 1950. Le magnétisme intrinsèque à ce type de solide représente une source de diffusion supplémentaire par rapport aux matériaux non-magnétiques qui vient s'ajouter aux phonons et aux impuretés ou défauts cristallins du réseau. L'étude de la diffusion magnétique est plus complexe que les deux précédentes sources diffusives énoncées. Car d'une part l'influence de la diffusion magnétique induit des comportements différents de résistivité dus au matériau, selon que ce dernier est un métal ou un semi-conducteur. D'autre part, le type de magnétisme porté par la structure est également à l'origine de différents comportements de la résistivité magnétique. Dès les années 1950 de nombreux auteurs se sont concentrés sur l'étude des métaux et semi-conducteurs magnétiques. Il résulte des différents travaux que chacune des théories s'applique à un cas particulier et ne peut pas rendre compte de l'ensemble des comportements susceptibles d'être observés expérimentalement. A titre d'exemple, la résistivité des métaux magnétiques présente une évolution monotone fonction de la température (seule la dérivée par rapport à la température présente une singularité), alors que les semi-conducteurs magnétiques présentent un pic à la température critique (Tc), température séparant les phases d'ordre et de désordre magnétique. Ajoutons que les différentes interprétations concernant la diffusion magnétique autour de la température critique est encore un point controversé. Aussi, les théories disponibles à ce jour concernant l'étude du transport dans les matériaux magnétiques doivent être choisies en fonction du matériau étudié (type de structure, métal ou semi-conducteur, type de magnétisme). Une méthode générale, capable de rendre compte de l'ensemble des comportements de la résistivité quelle que soit la nature du solide (métal ou semi-conducteur) et du type de magnétisme fait aujourd'hui cruellement défaut. C'est à ce manque que nous avons souhaité répondre en premier lieu dans le cadre de cette thèse. En effet, le développement spectaculaire de la spintronique repose sur l'utilisation des semi-conducteurs magnétiques qui ne peut faire fi d'une compréhension rigoureuse des mécanismes de diffusion autour de la température critique. Notre démarche a consisté à utiliser la méthode numérique Monte Carlo Métropolis afin d'étudier ce problème sous un angle nouveau. Nous avons ainsi construit un algorithme qui s'applique à un Hamiltonien assez général du système. Grâce à cet Hamiltonien et avec un jeu de paramètres d'entrées appropriées, nous sommes en mesure par le biais de la méthode Monte Carlo Métropolis de reproduire de façon générique les tendances expérimentales présentes dans la littérature pour des semi-conducteurs ferromagnétiques et antiferromagnétiques, frustrés et non-frustrés. Egalement, la méthode permet une étude systématique de matériaux caractérisés expérimentalement avec prise en compte des unités afin de réaliser des comparaisons directes entre nos résultats de simulations et les mesures expérimentales, avec un bon accord de forme et de grandeur, par exemple dans le cas du semi-conducteur magnétique MnTe. Si cette thèse se limite à l'étude de matériaux semi-conducteurs, nos perspectives vont consister à étendre l'étude aux systèmes dilués DMS, très étudiés aujourd'hui, ainsi qu'aux problèmes de diffusion aux interfaces dans les dispositifs GMR, problématique qui soulève actuellement de nombreuses questions. A ce jour notre démarche est unique et semble capable de rendre compte des comportements de résistivité expérimentale en particulier pour le cas des semi-conducteurs, de fournir une nouvelle explication quant à la controverse liée aux mécanismes de diffusion électronique autour de la température critique. Ma contribution à ce travail a consisté à développer, en collaboration avec mon directeur de thèse le Pr. Hung The Diep, un algorithme pour l'étude du transport de spin. Grâce à cet algorithme, j'ai obtenu de nombreux résultats qui ont permis l'interprétation des différents résultats expérimentaux présentés dans ma thèse. Ma contribution principale à ce travail est : - Mise au point d'une méthode Monte Carlo avec des techniques permettant la réduction des fluctuations statistiques des échantillons (multi-step averaging) - Etude des différents types de matériaux ferromagnétiques et antiferromagnétiques non frustrés. Observation des comportements très marquants autour de Tc et à basse T: la dépendance de la forme du pic à Tc dépend de variables physiques bien identifiées (interactions : portée, nature ; temps de relaxation, réseau, ...) - Etude de l'effet de la frustration sur la résistivité. Effet d'une transition du premier ordre sur la résistivité. - Interprétation du comportement de la résistivité utilisant les données numériques notamment en terme de clusters et de temps de relaxation. - Etude quantitative de MnTe et comparaison avec l'expérience : accord parfait. Développons ces points en quelques mots. Le premier point sur lequel je voudrais insister, est l'interprétation nouvelle en ce qui concerne les mécanismes de diffusion à proximité des températures de transition ordre/désordre pour les réseaux non-frustrés. En effet, j'ai mis en évidence lors de ma thèse que la forme du pic de résistivité autour de Tc est une conséquence directe de deux effets liés au magnétisme du réseau. Autour de Tc le réseau percole et présente de larges clusters de spins parallèles (antiparallèles) qui représentent autant de zones de basses (hautes) énergies pour les électrons qui s'y propagent. En addition les spins du réseau subissent un ralentissement critique qui rend l'évolution du paysage magnétique extrêmement lent. Le ralentissement critique des fluctuations des spins du réseau fige le paysage magnétique et permet aux spins itinérants de se localiser dans les clusters parallèles (basses énergies) et d'y être piégés, donnant naissance à un pic de résistivité à Tc. En conséquence nous soulignons que l'étude de transport dans les systèmes magnétiques doit tenir compte du paysage énergétique local du réseau magnétique, ainsi que de la dynamique des fluctuations des spins en fonction de la température (ce dont ne tenaient pas compte les travaux ultérieurs). C'est deux points nous permettent un traitement généralisé de la résistivité dans les systèmes non-frustrés. Quant aux systèmes antiferromagnétiques frustrés, ils se caractérisent par un grand nombre d'états dégénérés (souvent infini pour des spins d'Ising). Cependant, la structure en couches minces du système nous permet de rendre cette dégénérescence finie. Nous mettons premièrement en évidence que la dégénérescence du système induit une transition de résistivité du premier ordre, et que selon l'état dégénéré du système, la résistivité peut présenter deux types de transition : une transition allant des basses résistivités vers les hautes résistivités, dans le sens des températures croissantes, ou inversement. Soulignons que ce type de matériau peut présenter un intérêt dans l'élaboration de système tel que les rams assistées par la chaleur.

This thesis summarizes our work between 1995 and 2010. It concerns the analysis and the discretization of Fokker-Planck or semi-classical Boltzmann kinetic models and of Euler or Navier-Stokes fluid models at low Mach number. The studied Fokker-Planck equation models the collisions between ions and electrons in a hot plasma, and is here applied to the inertial confinement fusion. The studied semi-classical Boltzmann equations are of two types. The first one models the thermonuclear reaction between a deuterium ion and a tritium ion producing an alpha particle and a neutron particle, and is also in our case used to describe inertial confinement fusion. The second one - known as the Wang-Chang & Uhlenbeck equations - models the transitions between electronic quantified energy levels of uranium and iron atoms in the AVLIS isotopic separation process. We studied the basic properties of these two Boltzmann equations, and, for the Wang-Chang & Uhlenbeck equations, we proposed a kinetic fluid coupling algorithm. This kinetic-fluid coupling algorithm incited us to study the relaxation concept for gas and immiscible fluids mixtures, and to underline connections with classical kinetic theory. Then, we proposed a diphasic low Mach number model without acoustic waves to model the deformation of the interface between two immiscible fluids induced by high heat transfers at low Mach number. And, to increase the accuracy of the results without increasing computational cost, we studied an AMR algorithm on a simplified interface deformation model. These low Mach number studies also incited us to analyse on cartesian meshes the inaccuracy at low Mach number of Godunov schemes. Finally, we justified the LBM algorithm applied to the heat equation., Ce mémoire résume les travaux que nous avons réalisés de 1995 à 2010. Ces travaux ont eu pour thème l'étude et la discrétisation, d'une part, de modèles cinétiques de type Fokker-Planck ou de type Boltzmann semi-classiques et, d'autre part, de modèles fluides de type Euler ou de type Navier-Stokes à bas nombre de Mach. L'équation de Fokker-Planck étudiée modélise les collisions entre ions et électrons dans un plasma chaud, et concerne ici la fusion par confinement inertiel. Les équations de Boltzmann semi-classiques étudiées sont de deux types. Le premier type modélise la réaction de fusion thermonucléaire entre un ion deuterium et un ion tritium donnant une particule alpha et un neutron, et concerne également ici la fusion par confinement inertiel. Le deuxième type - connu sous le nom d'équations de Wang-Chang & Uhlenbeck - modélise ici les transitions d'énergie quantique dans les couches électroniques d'atomes d'uranium et de fer provoquées par les collisions entre ces mêmes atomes au sein du procédé SILVA de Séparation Isotopique par Laser sur Vapeur Atomique. Nous avons étudié les propriétés de base de ces deux types d'équations de Boltzmann semi-classiques, et, dans le cas des équations de Wang-Chang & Uhlenbeck, nous avons proposé un algorithme de couplage cinétique-fluide. L'étude de cet algorithme nous a incité à étudier la notion de relaxation dans un mélange binaire de gaz et de fluides non-miscibles, et à souligner les points communs de cette approche avec la théorie cinétique standard. L'étude de modèles moyennés pour des mélanges de fluides non-miscibles nous a amené à proposer et à discrétiser un modèle sans ondes acoustiques modélisant la déformation d'une interface entre deux fluides non-miscibles provoquée par de forts gradients thermiques à bas nombre de Mach. Puis, afin d'améliorer la précision des calculs tout en en maîtrisant le coût, nous avons également étudié la possibilité de résoudre sur un maillage dynamique de type AMR un modèle simplifié de déformation d'interface. Ces études à bas nombre de Mach nous ont également incités à analyser sur maillage cartésien le mauvais comportement à bas nombre de Mach des schémas de type Godunov appliqués au système d'Euler compressible. Enfin, nous avons justifié l'algorithme LBM dans le cas de l'équation de la chaleur.

This thesis deals with kinetic models describing a spray in a rarefied atmosphere. These models rely on coupling two Partial Differential Equations which describe the spatio-temporal evolution of the distribution in molecules and in dust particles. The model presented in the first part is described by two Boltzmann-type equations where collisions between molecules and particles are modeled by two collision operators. We suggest two modelings of these collision operators. In the first one, collisions between dust particles and molecules are supposed to be elastic. In the second, we assume these collisions are inelastic and given by a diffuse reflexion mechanism on the surface of dust particles. This leads to the establishment of non-classical collision operators. We prove that in the case of elastic collisions, the spatially homogeneous system has weak solutions which preserve mass and energy, and which satisfy an entropy inequality. We then describe the numerical simulation of the inelastic model which is based on a Direct Simulation Method. However, a study of the numerical method shows that the simulation is too expensive will the size of a typical dust particle is too large. We therefore introduce a model constituted of a coupling (by a drag force term) between a Boltzmann equation and a Vlasov equation. To this end, we perform a scaling of the Boltzmann/Boltzmann system and an asymptotic expansion of one of the dimensionless collision operators with respect to the ratio of mass between a molecule of gas and a particle. A rigorous proof of the convergence is given in the spatially homogeneous setting for the elastic model of collision operators. It includes a new variant of Povzner's inequality in which the vanishing mass ratio is taken into account. Moreover, we numerically compare the Boltzmann/Boltzmann and Vlasov/Boltzmann systems with the inelatic collision operators. The simulation of the Vlasov equation is performed with a Particle-In-Cell method. Using these models, we perform some numerical simulations of a loss-of-vacuum event in the framework of safety studies in the ITER., Dans ce travail, nous nous intéressons à des modèles cinétiques décrivant un aérosol constitué de particules solides dans un gaz raréfié. Ces modèles sont constitués d'un couplage de deux Équations aux Dérivées Partielles décrivant l'évolution spatio-temporelle des distributions en molécules de gaz et en particules de poussière. Le modèle présenté dans la première partie de ce travail est constitué d'un couplage de deux équations de type Boltzmann, dans lequel l'interaction entre les molécules de gaz et les particules de poussière est décrite par deux opérateurs de collision. Nous proposons deux modélisations de ces opérateurs. Dans la première, les collisions entre particules et molécules sont supposées élastiques. Dans la seconde, nous modélisons ces collisions par un mécanisme inélastique de réflexion diffuse sur la surface des particules. Nous établissons alors des opérateurs de collision d'expressions non classiques. D'un point de vue mathématique, nous montrons que le couplage homogène en espace muni des opérateurs de collision élastiques possède des solutions faibles préservant la masse et l'énergie, et vérifiant une inégalité d'entropie. Nous proposons ensuite une mise en oeuvre numérique du modèle dit de réflexion diffuse, basé sur un code de type Direct Simulation Monte Carlo. Celle-ci met en évidence un coût de simulation de l'opérateur particules-molécules trop élevé lorsque les particules ont un rayon trop grand. Nous introduisons alors dans la deuxième partie de ce travail un modèle constitué d'un couplage (par l'intermédiaire d'une force de traînée) entre une équation de Vlasov et une équation de Boltzmann. Pour cela, nous effectuons un adimensionnement du premier système, suivi d'un développement asymptotique de l'opérateur de collision particules-molécules adimensionné en fonction du rapport de masse entre une molécule et une particule de poussière. Nous justifions ensuite rigoureusement ce développement asymptotique dans le cas homogène en espace et pour le modèle de collisions élastiques en prouvant que les solutions du couplage Boltzmann/Boltzmann convergent faiblement vers des solutions du couplage asymptotique Vlasov/Boltzmann. Nous établissons pour cela une nouvelle variante de l'inégalité de Povzner, adaptée au cas de particules de masses très différentes. Par ailleurs, nous comparons numériquement les systèmes Boltzmann/Boltzmann et Vlasov/Boltzmann pour le modèle dit de réflexion diffuse. La mise en oeuvre numérique du système Vlasov/Boltzmann est réalisée par couplage entre une méthode de type Particle-In-Cell et une méthode Monte-Carlo. Enfin, nous présentons l'application de ces modèles à la simulation numérique de la mobilisation et du transport de particules de poussière au début d'un accident de perte de vide, dans le cadre d'étude de sûreté pour le réacteur ITER

In this post-graduate research, kinetic equations of the Boltzmann type were used to model and simulate two-phase flows with phase change. This work was aimed at two different applications where it is important to understand and finely analyze the mechanisms and dynamics of phase change. The first topic is related to the development of two-phase passive cooling devices for micro-electronics. The second application is the aggregation of colloidal particles that results in the formation of deposits on the surface of a membrane during the process of membrane filtration. For the colloid application, a two fluid model is proposed that adapts existing Lattice Boltzmann methods to solve the flow. Finally, in a more exploratory part, an original method is proposed to solve the Boltzmann-Enskog equation, to deal with flows with phase change including thermal effects.; Ce travail de thèse concerne la modélisation et la simulation des écoulements diphasiques avec changement de phase par des équations cinétiques de type Boltzmann. Ce travail est motivé par deux applications distinctes pour lesquelles la compréhension et l'analyse fine des mécanismes et des dynamiques de changement de phase sont nécessaires. Le premier thème concerne la mise au point de dispositifs passifs de refroidissement diphasiques pour la micro-électronique. Le seconde thématique concerne la formation de dépôts de filtration résultant de l'agrégation de particules colloïdales à la surface d'une membrane dans des procédés de filtration membranaire. Pour les applications de type colloïdal, un modèle à deux fluides est proposé en adaptant des méthodes Boltzmann-sur-Réseau de la littérature pour la résolution de l'écoulement. Enfin, dans une partie plus exploratoire, un méthode de résolution originale de l'équation de Boltzmann-Enskog est proposée afin de traiter des écoulements avec changement de phase en incluant les effets thermiques.

In this post-graduate research, kinetic equations of the Boltzmann type were used to model and simulate two-phase flows with phase change. This work was aimed at two different applications where it is important to understand and finely analyze the mechanisms and dynamics of phase change. The first topic is related to the development of two-phase passive cooling devices for micro-electronics. The second application is the aggregation of colloidal particles that results in the formation of deposits on the surface of a membrane during the process of membrane filtration. For the colloid application, a two fluid model is proposed that adapts existing Lattice Boltzmann methods to solve the flow. Finally, in a more exploratory part, an original method is proposed to solve the Boltzmann-Enskog equation, to deal with flows with phase change including thermal effects.; Ce travail de thèse concerne la modélisation et la simulation des écoulements diphasiques avec changement de phase par des équations cinétiques de type Boltzmann. Ce travail est motivé par deux applications distinctes pour lesquelles la compréhension et l'analyse fine des mécanismes et des dynamiques de changement de phase sont nécessaires. Le premier thème concerne la mise au point de dispositifs passifs de refroidissement diphasiques pour la micro-électronique. Le seconde thématique concerne la formation de dépôts de filtration résultant de l'agrégation de particules colloïdales à la surface d'une membrane dans des procédés de filtration membranaire. Pour les applications de type colloïdal, un modèle à deux fluides est proposé en adaptant des méthodes Boltzmann-sur-Réseau de la littérature pour la résolution de l'écoulement. Enfin, dans une partie plus exploratoire, un méthode de résolution originale de l'équation de Boltzmann-Enskog est proposée afin de traiter des écoulements avec changement de phase en incluant les effets thermiques.

We study the regularity of kinetic equations of Boltzmann type. We use essentielly Littlewood-Paley method from harmonic analysis, consisting mainly in working with dyadic annulus. We shall mainly concern with the homogeneous case, where the solution f(t,x,v) depends only on the time t and on the velocities v, while working with realistic and singular cross-sections (non cutoff).In the first part, we study the particular case of Maxwellian molecules. Under this hypothesis, the structure of the Boltzmann operator and his Fourier transform write in a simple form. We show a global C^\infty regularity.Then, we deal with the case of general cross-sections with "hard potential". We are interested in the Landau equation which is limit equation to the Boltzmann equation, taking in account grazing collisions. We prove that any weak solution belongs to Schwartz space S. We demonstrate also a similar regularity for the case of Boltzmann equation. Let us note that our method applies directly for all dimensions, and proofs are often simpler compared to other previous ones.Finally, we finish with Boltzmann-Dirac equation. In particular, we adapt the result of regularity obtained in Alexandre, Desvillettes, Wennberg and Villani work, using the dissipation rate connected with Boltzmann-Dirac equation.; Nous étudions la régularité des équations cinétiques de type Boltzmann. Nous nous basons essentiellement sur une méthode d'analyse harmonique de type "décomposition de Littlewood-Paley", consistant principalement à travailler avec des couronnes dyadiques. Nous nous intéressons de plus, au cadre homogène où la solution f(t,x,v) dépend uniquement du temps t et de la vitesse v, tout en travaillant avec des sections efficaces réalistes et singulières (non cutoff).Dans une première partie, nous étudions le cas particulier des molécules Maxwelliennes. Sous cette hypothèse, la structure de l'opérateur de Boltzmann et de sa tranformée de Fourier s'expriment de manière simple. Nous montrons ainsi une régularité globale C^\infty.Ensuite, nous traitons le cas des sections efficaces générales avec "potentiel dur". Nous nous intéressons d'abord à l'équation de Landau. C'est une équation limite de l'équation de Boltzmann prenant en compte les collisions rasantes. Nous prouvons que toute solution faible appartient à l'espace de Schwartz S. Nous démontrons ensuite une régularité identique pour le cas de l'équation de Boltzmann. Notons que notre méthode s'applique directement pour toutes les dimensions, en signalant que les preuves sont souvent plus simples comparées à d'autres preuves plus anciennes.Enfin, nous terminons avec l'équation de Boltzmann-Dirac. En particulier, nous adaptons le résultat de régularité obtenu dans le travail de Alexandre, Desvillettes, Wennberg et Villani, en utilisant le taux de dissipation d'entropie relatif à l'équation de Boltzmann-Dirac.

We study the regularity of kinetic equations of Boltzmann type. We use essentielly Littlewood-Paley method from harmonic analysis, consisting mainly in working with dyadic annulus. We shall mainly concern with the homogeneous case, where the solution f(t,x,v) depends only on the time t and on the velocities v, while working with realistic and singular cross-sections (non cutoff).In the first part, we study the particular case of Maxwellian molecules. Under this hypothesis, the structure of the Boltzmann operator and his Fourier transform write in a simple form. We show a global C^\infty regularity.Then, we deal with the case of general cross-sections with "hard potential". We are interested in the Landau equation which is limit equation to the Boltzmann equation, taking in account grazing collisions. We prove that any weak solution belongs to Schwartz space S. We demonstrate also a similar regularity for the case of Boltzmann equation. Let us note that our method applies directly for all dimensions, and proofs are often simpler compared to other previous ones.Finally, we finish with Boltzmann-Dirac equation. In particular, we adapt the result of regularity obtained in Alexandre, Desvillettes, Wennberg and Villani work, using the dissipation rate connected with Boltzmann-Dirac equation., Nous étudions la régularité des équations cinétiques de type Boltzmann. Nous nous basons essentiellement sur une méthode d'analyse harmonique de type "décomposition de Littlewood-Paley", consistant principalement à travailler avec des couronnes dyadiques. Nous nous intéressons de plus, au cadre homogène où la solution f(t,x,v) dépend uniquement du temps t et de la vitesse v, tout en travaillant avec des sections efficaces réalistes et singulières (non cutoff).Dans une première partie, nous étudions le cas particulier des molécules Maxwelliennes. Sous cette hypothèse, la structure de l'opérateur de Boltzmann et de sa tranformée de Fourier s'expriment de manière simple. Nous montrons ainsi une régularité globale C^\infty.Ensuite, nous traitons le cas des sections efficaces générales avec "potentiel dur". Nous nous intéressons d'abord à l'équation de Landau. C'est une équation limite de l'équation de Boltzmann prenant en compte les collisions rasantes. Nous prouvons que toute solution faible appartient à l'espace de Schwartz S. Nous démontrons ensuite une régularité identique pour le cas de l'équation de Boltzmann. Notons que notre méthode s'applique directement pour toutes les dimensions, en signalant que les preuves sont souvent plus simples comparées à d'autres preuves plus anciennes.Enfin, nous terminons avec l'équation de Boltzmann-Dirac. En particulier, nous adaptons le résultat de régularité obtenu dans le travail de Alexandre, Desvillettes, Wennberg et Villani, en utilisant le taux de dissipation d'entropie relatif à l'équation de Boltzmann-Dirac.

We propose an elementary introduction to the lattice Boltzmann scheme. We recall the physical (Boltzmann equation) and algorithmic (cellular automata) origins of this numerical method. For a one-dimensional example, we present in detail the two characteristic steps of the algorithm: the nonlinear collision step, local in space and the linear propagation phase with the neighbouring vertices, explicit in time. We then propose a generic Taylor-type development with the so-called equivalent partial differential equation. We obtain in this way formally a so-called Chapman-Enskog development where the small parameter is the discretization step of the scheme. At order zero, the lattice Boltzmann scheme satisfies a local thermodynamical equilibrium. At first order, it satisfies the Euler equations of gas dynamics and at second order the Navier-Stokes equations. Then we detail the classical case of the nine velocities model on a square lattice.

This thesis deals with the problem of gas/wall interaction and boundary conditions in rarefied gas flows. Recent developments in microsytems and atmospheric re-entry flight let appear new flow fields where boundary conditions are very important. These boundary conditions should be basically derived from gas kinetic theory. During this thesis, we developed a model of kinetic boundary conditions for unstructured/structured molecules gas flows in the gas surface interaction field. The proposed kinetic boundary conditions were based on some mathematical integral formulations of the problem, supported by phenomenological descriptions.Then, the kinetic boundary conditions were used to describe hydrodynamic boundary conditions through the problem of temperature jump and slip velocity at the solid body. The Knudsen layer (which is a thin layer close to the wall) is also briefly described. Finally, the proposed kinetic boundary conditions are used in drag coefficient calculation, for higher altitude hypersonic flows in the free molecular regime, and in some particular flow predictions. Comparisons are made with other models and experiments., Cette thèse aborde le problème de l'interaction gaz/paroi et des conditions aux limites en écoulement de gaz raréfié. Les écoulements dans les microsystèmes et les écoulements autour des engins spatiaux en rentrée atmosphérique ont démontré l'insuffisance des concepts utilisés dans la formulation des conditions aux limites hydrodynamiques existantes. Dans ce travail, nous avons élaboré, dans un premier temps, des modèlesde conditions aux limites cinétiques, en développant de manière originale la théorie de " scattering kernel " bien connue dans le domaine de la recherche de conditions aux limites pour l'équation de Boltzmann. Ces modèles sont développés d'une part pour un gaz monoatomique et d'autre part pour un gaz de molécules complexes. Les démonstrations font appel à des formulations intégrales et à une description basée sur la théorie des opérateurs. Elles introduisent la notion de coefficient d'accommodationpropre à chaque degré de liberté. Dans un deuxième temps nous avons utilisé ces conditions aux limitescinétiques pour établir des conditions aux limites hydrodynamiques : saut de température- glissement de vitesse. Nous abordons également le problème de la couche limite cinétique (couche de Knudsen) et de la prédiction du flux de chaleur à la paroi. Finalement ces conditions aux limites sont utilisées pour les calculs de coefficients aérodynamiques et de quelques types d'écoulements particuliers. Les résultats sont comparés à ceux donnés par d'autres modèles, ainsi qu'aux résultats expérimentaux.

In this manuscript, I present the scientific work I did after myPh.D. During this period, my research activity was focussed on twomain topics: (i) an experiment on ultracold atoms aimed atrealizing a continuous source of coherent matter waves, and (ii) atheoretical investigation of the dynamics of trapped gases.In our experimental project, a non-degenerate, but already slowand cold beam of atoms, is injected into a magnetic guide wheretransverse evaporation is implemented. In other words, we intendto replace the time-dependent aspects of the cooling processinvolved in a regular Bose Einstein condensation machine, by asetup where the atoms are progressively cooled as they move alongspatially separated cooling regions. This should allow us to reachcontinuous fluxes of condensed atoms. This source, whoseproperties will be very different from those of a thermal atomicbeams, will provide a very useful tool for many experiments. Amongthose are atomic Rb fountain clocks, for which a continuousoperation would allow for a significant increase of the signal tonoise ratio. It is ideally suited for precision measurement. Alsomatter wave interferometers, atom holography and nanolithographyexperiments would benefit of such a well-collimated atomic beam.In the first chapter, I describe the different stages of theexperimental setup and the first results that we obtained. Twoatom sources have been studied to load efficiently an anistropicmagneto-optical trap which serves as an injector of ultracoldatoms into a magnetic guide: (i) a two dimensional magneto-opticaltrap with high cooling laser power, and (ii) an optimized Zeemanslower placed at the exit of a recirculating effusive oven. Withthe latter, a loading rate of $4\times 10^{10}$ atoms/s have beenmeasured for the injector. The confinement of atoms in theinjector is provided by transverse gradient of magnetic fields,and the launching of atoms relies on the moving molassestechnique. The magnetic guide, whose entrance is placed at fewcentimeters from the injector magneto-optical trap center,provides strong magnetic gradient without affecting theperformance of the magneto-optical trap. We have demonstratedexperimentally, and for the first time, the continuous loading ofa slow and cold atomic beam into a magnetic guide. To optimize thetransfer, we have studied different coupling schemes in thecontinuous and pulsed modes. The characteristics of the beammagnetically guided are the following: a flux of $7\times 10^9$atoms/s, a temperature of 400 $\mu$K for a strength of theconfinement of 600 Gauss/cm, and a mean velocity of 1 m/s.The second chapter is devoted to the physics of collisions on ourmagnetically guided atomic beam. We first present a newspectroscopic method to measure the temperature of the beam. Bymeans of two radio-frequency antennas placed at different locationon the magnetic guide, we were able to set the beam in anout-of-equilibrium state, and to follow the restoring ofequilibrium with the second antenna. This experiment shows theoccurrence of thermalization in the d-wave dominated regime. Atomshave also been subsequently slowed down to 60 cm/s using an upwardslope. The relative high collision rate in the beam allows us tostart forced evaporative cooling of the beam, leading to thereduction of the beam temperature by a factor of 4, and a ten-foldincrease on the on-axis phase-space density.The last chapter addresses some theoretical questions related tothe dynamics of trapped gases. We have developed two new toolswell-adapted to analyse the dynamics of gases confined by aharmonic potential. The first one is the method of averages for aclassical gas. It has permitted to study the collectiveoscillations, the spinning up by a rotating anisotropy, and thethermalization of mixtures of ultracold gases. This tool has alsobeen extended to the case of a Bose Einstein condensate in theThomas-Fermi regime. It has been used to propose the investigationof the scissors mode. Such a pendular oscillation reveals theeffect of superfluidity exhibited by a Bose Einstein condensate.The second tool that we have developed is based on approximatedsolutions of the Boltzmann equation with a scaling ansatz. Withinthis framework, we have shown a link between the relaxation timesrelevant for the damping of the collective oscillations and forthe expansion of a gas in a time-of-flight experiment. Bothmethods can also describe the crossover between the collisionlessand hyrodynamic regime of a trapped gas in the classical regime.Our theoretical predictions have been confronted to experiments.The tools we have developed have also been extensively used andadapted to address related questions of our field., Dans ce manuscrit, je présente la presque totalité de mes travauxscientifiques depuis ma soutenance de thèse. Au cours de cettepériode, mon activité de recherche a été double : (i) j'ai pris encharge une nouvelle expérience visant à produire une sourcecontinue d'ondes de matière cohérentes, et (ii) j'ai développé desoutils analytiques pour cerner la dynamique des gaz d'atomesfroids piégés.Dans notre projet expérimental, un jet d'atomes froids et lentsmais non dégénéré est couplé à un guide magnétique le long duquelun refroidissement par évaporation est mis en oeuvre. En d'autrestermes, nous essayons de transposer les aspects temporels duprotocole d'obtention des condensats de Bose Einstein dans ledomaine spatial : dans notre montage les atomes sontprogressivement refroidis grâce à des zones de refroidissementséparées spatialement. Une telle démarche doit permettre d'obtenirun flux continu d'atomes condensés. Une source de ce type, dontles propriétés sont radicalement différentes de celles d'unesource thermique, pourrait constituer un outil de choix pour denombreuses expériences. Les horlosges atomiques, lesinterféromètres à ondes de matière, l'holographie atomique ouencore la nanolithographie sont autant de domaines qui peuventpotentiellement bénéficier d'amélioration par l'usage d'une sourcecontinue et cohérente d'atomes froids.Dans le premier chapitre, je décris les différentes parties dudispositif expérimental et les premiers résultats que nous avonsobtenus. Deux sources d'atomes ont été étudiées pour alimenterefficacement un piège magnéto-optique anisotrope qui sertd'injecteur d'atomes froids dans le guide magnétique : (i) unpiège magnéto-optique purement bi-dimensionnel avec des faisceauxde refroidissement d'intensité relativement élevée , et (ii) unralentisseur à effet Zeeman placé en sortie d'un four effusif àrecirculation. Cette dernière source a permis de mesurer un tauxde chargement de l'injecteur de $4\times 10^{10}$ atomes parseconde. Le confinement magnétique dans l'injecteur est assuré parun gradient de champ magnétique, alors que le lancement exploitela technique de la mélasse en mouvement. Le guide magnétique, dontl'entrée est placée à quelques centimètres seulement del'injecteur, procure un gradient de confinement élevé sans altéreraucunement les performances de l'injecteur. Nous avons démontré,et pour la première fois, l'alimentation en continu d'un guidemagnétique. Pour optimiser le transfert d'atomes, nous avonsétudié différents protocoles de couplage en mode continu comme enmode pulsé. Les caractéristiques de notre jet atomique guidé sontdésormais les suivantes : un flux de $7\times 10^9$ atomes parseconde, une température de 400 micro K pour un confinementtransverse de 600 Gauss/cm, et une vitesse moyenne de 1 m/s.Le deuxième chapitre est dédié à la physique des collisions ausein du jet d'atomes guidé magnétiquement. Nous présentons toutd'abord une nouvelle technique spectroscopique de mesure de latempérature du jet. Grâce à deux antennes radio-fréquencesdisposées le long du guide, nous avons pu mettre le jet dans unétat hors d'équilibre, puis suivre le retour à l'équilibre grâce àl'antenne placée en aval. Cette expérience montre le phénomène dethermalisation dans un régime collisionnel dominé par les ondes d.Dans une deuxième série d'expériences, le jet a été ralenti à unevitesse de 60 cm/s grâce à une pente appliquée sur la premièrepartie du guide magnétique. Le taux de collisions relativementélevé a permis d'amorcer le refroidissement par évaporation forcé.Une réduction de la température par un facteur 4 a ainsi étéobtenue, correspondant à un gain en densité dans l'espace desphases d'un ordre de grandeur.Le dernier chapitre est consacré au développement de méthodesanalytiques pour caractériser la dynamique des gaz piégés. Nousmis au point essentiellement deux outils. Le premier est laméthode dite des moyennes. Il a permis d'étudier les oscillationscollectives d'un gaz classique, la mise en rotation d'un gaz parle biais d'une anisotropie tournante, et la dynamique derethermalisation d'un mélange de gaz d'atomes froids. Cet outil apu être étendu au cas d'un condensat de Bose Einstein dans lerégime de Thomas-Fermi. Il a ainsi été possible d'étudier le modeciseau. Ce mode d'oscillation pendulaire révèle les propriétés desuperfluidité d'un condensat de Bose Einstein. Le deuxième outilque nous avons développé repose sur des solutions approchées parchangement d'échelle de l'équation de Boltzmann. Nous avons montréainsi que les temps de relaxation pertinents pour décrirel'amortissement des oscillations collectives d'un gaz classiquepiégé, et les expériences de temps de vol sont intimement reliés.Les deux méthodes que nous avons élaborées permettent de décrireégalement tous les régimes collisionnels, et en particulier latransition d'un régime sans collision à un régime hydrodynamique.L'essentiel de nos prédictions théoriques a été utilisé soit pouranalyser, expliquer ou extraire des informations de donnéesexpérimentales. Les outils que nous avons développés ont parailleurs été largement utilisés et adaptés pour traiter desproblèmes connexes de notre communauté.

We are interested in this PhD in the study of solutions to the Boltzmann equation (elastic or inelastic) and the Landau equation. The axis of this study are the regularity and asymptotic behavior of the solutions, and we systematically search for quantitative results. In the first part, we consider on the one hand the spatially homogeneous solutions to the Boltzmann equation, for which we prove propagation of regularity and damping of singularities for short-range interactions, as well as propagation of integrability bounds for long-range interactions. On the other hand, we quantify the positivity of the spatially inhomogeneous solutions, under regularity assumptions. In the second part, we give spectral gap and coercivity estimates for the linearized Boltzmann and Landau operators, and we prove exponential convergence to equilibrium with explicit rate for a gas of spatially homogeneous hard spheres. In the third part, we consider the spatially homogeneous Boltzmann equation for granular gases, for which we construct solutions for realistic models of inelasticity (however strongly non-linear) and discuss the possibility of cooling in finite time or asymptotically. We then show the existence of self-similar profils, and study the behavior of solutions for large velocities. In the forth part, we use a semi-discretization of the Boltzmann operator in order to propose fast numerical schemes based on the spectral method or discrete velocity models., On s'intéresse dans cette thèse à l'étude des solutions des équations de Boltzmann (élastiques et inélastiques) et Landau. Les axes de cette étude sont la régularité des solutions et leur comportement asymptotique, et nous nous attachons systématiquement à quantifier les résultats obtenus. Dans la première partie, d'une part nous considérons les solutions spatialement homogènes de l'équation de Boltzmann, pour lesquelles nous montrons la propagation de la régularité et la décroissance des singularités pour des interactions à courte portée, et la propagation de bornes d'intégrabilité pour des interactions à longue portée. D'autre part, nous quantifions la positivité des solutions spatialement inhomogènes, sous des hypothèses de régularité. Dans la deuxième partie, nous donnons des estimations de trou spectral et de coercivité sur les opérateurs de Boltzmann et Landau linéarisés, puis nous prouvons la convergence exponentielle vers l'équilibre avec taux explicite pour un gaz de sphères dures spatialement homogènes. Dans la troisième partie, nous considérons l'équation de Boltzmann spatialement homogène pour les gaz granulaires, pour laquelle nous construisons des solutions pour des modèles d'inélasticité réalistes (mais fortement non-linéaires) et discutons la possibilité de « gel » en temps fini ou asymptotiquement. Puis nous montrons l'existence de profils auto-similaires et étudions le comportement de la solution pour les grandes vitesses. Dans la quatrième partie, nous utilisons une semi-discrétisation de l'opérateur de Boltzmann pour proposer des schémas numériques rapides basés sur les méthodes spectrales ou les méthodes par discrétisation des vitesses.

Physic of the light and geometrical tools for Computer Aided Geometric Design are the basis of light phenomenon simulation software for optical systems development. It is difficult for industrials to design and produce those software with a major handicap being the time needed for the simulations. The aim of this work is to search and to develop calculus algorithms with higher performances. Firstly, we describe precisely the photon transport model in our context. We use Boltzmann equation with boundary conditions which is the radiosity equation in case of homogeneous media by piece. Secondly, we introduce geometrical tools used in CSG (Constructive Solid Geometry) and BRep (Boundary Representation) hybrid modeller. Basic algorithms looking for intersections between half-lines and geometrical objects are described. Then, we present a survey of acceleration methods in radiometric computation by spatial localization. Taking into account the constraints relevant to the industry, such an acceleration method is adapted to our context and then developed in an existing software environment. Numerical tests show the efficiency of the new libraries. Finally, we study the time and memory complexities of spatial localization methods. This theoretical study uses Minkowski's sums of geometrical sets. An important result is a strategical method minimizing time complexity to choose the localization parameters., La physique de la lumière ainsi que les outils géométriques pour la Conception Assistée par Ordinateur sont à la base des logiciels de simulation des phénomènes lumineux pour la fabrication des systèmes optiques. Ce n'est pas sans difficulté que les industriels conçoivent ces logiciels dont un des principaux handicaps est que les simulations sont très coûteuses en temps. L'objectif principal de ce travail est de rechercher et développer des algorithmes de calcul plus performants. Dans un premier temps, on décrit précisément le modèle du transport des photons dans ce contexte, composé de l'équation de Boltzmann accompagné de conditions de bord, et qui, dans le cas de milieux homogènes par morceaux, se ramène à l'équation de radiosité. Ensuite, on présente les outils géométriques utilisés dans le modeleur hybride CSG (Constructive Solid Geometry) et BRep (Boundary Representation) ainsi que les algorithmes de base nécessaires à la recherche d'intersections entre des demi-droites et des objets géométriques. Puis, un tour d'horizon des méthodes d'accélération des calculs en radiométrie par localisation spatiale est présenté. En tenant compte des contraintes industrielles, une telle méthode d'accélération est alors adaptée au contexte puis développée dans un environnement logiciel existant. Des expérimentations numériques montrent l'efficacité des nouvelles bibliothèques. Enfin, une étude théorique des complexités en temps et en mémoire liées aux méthodes de localisation spatiale, faisant intervenir les sommes de Minkowski d'ensembles géométriques, débouche sur une stratégie consistant à minimiser la complexité en temps pour choisir les paramètres de localisation.

First part: Anderson localization of waves in disordered media results from interferences effects in multiple scattering. We investigate the possibility of observing localization of light in an atomic Bose-Einstein condensate. In order to determine the distribution of outgoing times of a photon initially inside the condensate, we use the master equation describing the evolution of the atomic density matrix. Restricting the problem to the case of fixed atomic positions, we show that outgoing times scaling exponentially with the size of the cloud constitute a signature of a localization effect.Second Part: Evaporative cooling of an atomic beam could lead to a realization of a continuous atom laser. In order to estimate the length of the guide needed to reach quantum degeneracy, we solve Boltzmann equation by two methods. The first one is a Monte-Carlo simulation and is purely numerical ; the other one is based on an ansatz for the phase space density and is mainly analytical. We also describe the coherence properties of the beam in the quantum regime by taking into account the effects of quantum statistics and atomic interactions., Première partie : Les effets d'interférences lors des diffusions multiples d'une onde dans un potentiel aléatoire peuvent conduire au phénomène de localisation d'Anderson, ce qui modifie profondément les propriétés de transport. Nous étudions la possibilité d'observer des effets de localisation de la lumière dans un condensat atomique gazeux. Nous voulons déterminer la distribution des temps de sortie d'un photon initialement placé dans un nuage atomique. Pour cela, nous modélisons la dynamique de ce système à l'aide de l'équation pilote qui décrit l'évolution de la matrice densité atomique. Dans l'hypothèse où le mouvement des atomes peut être négligé, l'apparition d'échelles de temps qui varient exponentiellement avec la taille du nuage permet d'obtenir une signature d'un effet de localisation.Deuxième partie : Nous étudions le refroidissement par évaporation d'un jet atomique en vue de l'obtention d'un laser à atomes continu. Pour estimer la longueur du jet permettant d'atteindre le régime de dégénérescence quantique, on développe deux méthodes de résolution de l'équation de Boltzmann : l'une, purement numérique, utilise une simulation Monte-Carlo ; l'autre, essentiellement analytique, repose sur un ansatz de la densité dans l'espace des phases. Nous décrivons alors les principales propriétés de cohérence du faisceau atomique ainsi obtenu en prenant en compte les effets de la statistique quantique et des interactions entre les atomes.

The suprathermal electrons and protons coming from the Sun and precipitating into the high latitude atmosphere are an energy source of the Earth' s ionosphere. These particles interact with the ambient thermal gas through collisions. The Boltzmann equation providing particle fluxes in altitude, energy and pitch angle allows one of the most complete descriptions of the transport of these particles. We demonstrate it again in the dissipative case, the most general one, and we propose an original resolution of transport equations of protons and hydrogen atoms: these equations are coupled via charge-changing reactions. This resolution based on the introduction of dissipative forces to describe the energetic degradation of precipitating particles allows to take into account the angular redistributions of collisionnal or magnetic origin, neglected until now. Nevertheless their effect has been observed from ground on the H atom emissions as the red shift of the magnetic-zenith Doppler profile attests it. The resolution adopted here is validated by comparison with another model in the classical case of no angular redistribution. The influence of magnetic mirroring effect is discussed: this effect does not seem sufficient to explain alone the observed red shift. The collisionnal angular redistribution has then to play a significant role. At last a comparison of our model with Proton 1 rocket data is proposed., Les électrons et les protons suprathermiques, issus du soleil et précipitant dans l'atmosphère des hautes latitudes, constituent une source d'énergie de l'ionosphère terrestre. Ces particules interagissent avec le gaz thermique ambiant par collisions. L'équation de Boltzmann, fournissant les flux de particules en altitude, énergie et angle d'attaque, permet une description des plus complètes du transport de ces particules. Nous la redémontrons dans le cas dissipatif, le plus général, et nous proposons une résolution originale des équations de transport des protons et des atomes d 'hydrogène, équations couplées via les réactions de changement de charge. Cette résolution, fondée sur l'introduction de forces dissipatives pour décrire la dégradation énergétique des particules précipitant, permet la prise en compte des redistributions angulaires, d'origine collisionnelle ou magnétique, jusqu'alors négligées. Pourtant, leur effet a été observé, depuis le sol, sur les émissions des atomes d 'hydrogène, comme en témoigne la composante, décalée vers le rouge, du profil Doppler selon le zénith magnétique. La résolution adoptée ici est validée par comparaison avec un autre modèle, dans le cas classique sans redistribution angulaire. L'influence de l'effet de miroir magnétique est discutée: cet effet ne semble pas pouvoir expliquer, à lui seul, le décalage vers le rouge observé. La redistribution angulaire collisionnelle doit jouer un rôle significatif. Enfin, une comparaison de notre modèle avec les données de la fusée Proton 1 est proposée.

In the last decade nuclear physics research has found, with the observation of phenomena such as multifragmentation or vaporization, the possibility to get a deeper insight into the nuclear matter phase diagram. For example, a spinodal decomposition scenario has been proposed to explain the multifragmentation: because of the initial compression, the system may enter a region, the spinodal zone, in which the nuclear matter is no longer stable, and so any fluctuation leads to the formation of fragments. This thesis deals with spinodal decomposition within the theoretical framework of stochastic mean filed approaches, in which the one-body density function may experience a stochastic evolution. We have shown that these approaches are able to describe phenomena, such as first order phase transitions, in which fluctuations and many-body correlations plan an important role. In the framework of stochastic mean-filed approaches we have shown that the fragment production by spinodal decomposition is characterized by typical time scales of the order of 100 fm/c and by typical size scales around the Neon mass. We have also shown that these features are robust and that they are not affected significantly by a possible expansion of the system or by the finite size of nuclei. We have proposed as a signature of the spinodal decomposition some typical partition of the largest fragments. The study and the comparison with experimental data, performed for the reactions Xe + Cu at 45 MeV/A and Xe + Sn at 50 MeV/A, have shown a remarkable agreement. Moreover we would like to stress that the theory does not contain any adjustable parameter. These results seem to give a strong indication of the possibility to observe a spinodal decomposition of nuclei., Une perspective qui s'est ouverte pour la physique nucléaire dans les dernières années, avec la mise en évidence de phénomènes tels que la multifragmentation ou la vaporisation, est la possibilité d'observer une transition de phase dans la matière nucléaire. Une explication proposée de la multifragmentation est la décomposition spinodale: le passage du système à travers une zone du diagramme des phases, la région spinodale, dans laquelle la matière nucléaire n'est plus stable. Ce mémoire traite ce processus dans le cadre théorique d'une approche de champ moyen stochastique. Nous avons montré que ce type d'approche, dans laquelle la fonction de distribution à un corps peut avoir une évolution aléatoire, est capable de bien décrire des phénomènes dans lesquels corrélations et fluctuations jouent un rôle important, comme dans le cas d'une transition de phase du premier ordre. Dans le cadre d'une approche de champ moyen stochastique, nous avons montré que la production de fragments par décomposition spinodale est caractérisée par des temps typiques (de l'ordre d'une centaine de fm/c) et par des tailles typiques (autour de la masse du Néon). Nous avons montré que ces caractéristiques sont assez robustes et qu'elles ne sont pas affectées de façon importante par une éventuelle expansion du système ou par la taille finie des noyaux. Nous avons proposé de chercher de telles caractéristiques dans les partitions des fragments les plus gros. L'étude et la comparaison avec les données expérimentales ont montrés un très bon accord qui est d'autant plus remarquable que les théories que nous avons développées ne contiennent aucun paramètre ajustable. Ces résultats constituent une indication forte sur la possibilité d'observer une décomposition spinodale dans les noyaux