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Renewable natural capital (RNC) exploitation by human activities allows human society's development, but may cause deterioration of their quality of life through ecosystem services loss. This paradox questions the compatibility between economic development and the preservation of natural resources. This thesis studies how does the properties of the economic and social-anthropological dimensions of a social-ecological system (SES) may influence its sustainability. To do so, we build a generic model in the ordinary differential equation framework. This model has three variables: human population size, the amount of the RNC and the manufactured good amount per capita (BMpi). This allows us to study its asymptotic and transient properties. We identify as sustainable a situation in which a special type of asymptotically stable steady state exists. We show the importance of return to scale, since this hypothesis changes drastically the results. In case of increasing return to scale, instability of the steady state of interest may be due to: 1) A RNC regeneration rate that is too weak compared to economic system properties; 2) not fulfilled subsistence requirement or 3) an over-production of BMpi that may cause boom and bust cycles for the population size, but also the RNC and the manufactured goods. We then study how does the asymptotically stable steady state vary in case of modification in sub-systems embedded in the SES. As expected, we find that increasing the RNC extraction rate provokes non sustainability of the SES. However, our work shows that, under some hypotheses, this instability may be avoided through task repartition changes in the society. Then, sustainability of a SES depends on the properties assumed for the ecological and economic systems. Moreover, we illustrate that stability does not mean viability: before stability disappears, viability is no more assured. Lastly, in increasing return to scale case, we show that an inner approximation of a capture basin, which lead to population disappearance can always be left by increasing RNC extraction rate. We conclude that for SES governance, a trade-off has to be found between increasing productive capacity to be able to leave a socio-ecological trap and achieve sustainability.; Si l'exploitation du capital naturel renouvelable (CNR) dans le cadre d'activités anthropiques permet le développement des sociétés humaines, elle peut aussi causer la dégradation de leur cadre de vie à travers la perte des services écosystémiques. La question de la compatibilité entre ces deux objectifs se pose donc. Cette thèse étudie comment les transformations du CNR en biens nécessaires à la population et les pratiques humaines influencent la durabilité d'un système écologique et social (SES). Pour ce faire, nous construisons un modèle générique conçu dans le formalisme des équations différentielles ordinaires. Ce modèle comprend trois variables: la taille de population humaine, le niveau de CNR et le niveau de biens manufacturés par individu. Nous en étudions les propriétés asymptotiques et transitoires. A partir de ce modèle, nous identifions comme durable un modèle de SES présentant un certain type de point stationnaire asymptotiquement stable. Nous montrons le caractère déterminant du rendement d'échelle du système économique, puisque cette hypothèse change la nature des résultats. En cas de rendement d'échelle croissant, l'instabilité du point stationnaire d'intérêt peut être due à: 1) un taux de régénération du CNR trop faible par rapport à certaines propriétés du système économique; 2) une condition de subsistance non respectée ou 3) une surproduction de biens manufacturés, qui peut causer des cycles explosion-déclin pour la taille de population, ainsi que pour le niveau de CNR et le niveau de biens manufacturés.Nous étudions ensuite la sensibilité de ce point stationnaire asymptotiquement stable à des changements de pratiques dans les sous-systèmes embarqués dans le SES. Nous retrouvons que l'augmentation seule de l'intensité d'extraction du CNR induit une non-durabilité du SES. Cependant, l'originalité de notre travail réside dans la démonstration que, sous certaines hypothèses, cette instabilité peut être évitée en réorganisant les tâches dans la société. Ainsi, la durabilité d'un SES dépend des propriétés du système économique et du système écologique. Ensuite, dans une perspective viabiliste, nous illustrons que stabilité ne signifie pas viabilité: avant que l'instabilité advienne la viabilité cesse. Enfin, en cas de rendement d'échelle croissant, nous trouvons qu'un ensemble de conditions initiales, correspondant à une estimation basse d'un bassin de capture, menant au déclin de la population humaine du SES peut toujours être quitté en augmentant l'effort d'extraction sur le CNR. Ainsi, d'un point de vue de la gouvernance d'un SES, un compromis est à trouver entre, d'une part, la capacité productive pour sortir d'un piège socio-écologique et, d'autre part, la sobriété du SES pour le rendre durable.

In this thesis, we are interested in the spectral properties of the Laplacian with the attractive Robin boundary condition on planar domains with corners. The aim is to understand the influence of the convex corners on the spectral properties of this operator when the Robin parameter is large. In particular, we show that the asymptotics of the first Robin eigenvalues on curvilinear polygons is determined by model operators: the Robin Laplacians acting on infinite sectors. For a particular class of polygons with straight edges, we prove the existence of an effective operator acting on the boundary of the domain and determining the asymptotics of the further eigenvalues. Finally, some Weyl-type asymptotics for different thresholds depending on the Robin parameter are obtained.; Dans cette thèse, nous étudions les propriétés spectrales du Laplacien avec la condition de bord de Robin attractive sur des domaines du plan à coins. Notre but est de comprendre l’influence des coins convexes sur l’asymptotique des valeurs propres de cet opérateur lorsque le paramètre de Robin est grand. Nous montrons en particulier que l’asymptotique des premières valeurs propres de Robin sur des polygones curvilignes est déterminée par des opérateurs modèles : les Laplaciens agissant sur les secteurs tangents au domaine. Pour une certaine classe de polygones droits, nous montrons l’existence d’un opérateur effectif sur le bord du domaine qui détermine l’asymptotique des valeurs propres suivantes. Enfin, des asymptotiques de Weyl pour différents seuils dépendant du paramètre de Robin sont obtenues.

This thesis is devoted to the flow of yield stress (or viscoplastic) fluids in pipes.Analytical and numerical difficulties lie in the multivaluation of the stress tensor in the plastic regions and in the non-differentiability of the associated minimization problem. This manuscript is organized following two main axes.First, very accurate numerical simulations were carried out using duality methods and parallel multifrontal solvers. Thus, experimental observations were recovered, namely the existence of a slip line for the flow over an obstacle and the Poiseuille-like behaviour of the velocity above this line. Moreover, the viscoplastic boundary layer theory defined by Oldroyd (1947 at high Bingham numbers) was revisited at moderate Bingham numbers in confined areas. This study provided an opportunity to go back and forth between these simulations and the physical measures of Luu et al. from IRSTEA and to perform a theoretical derivation. The boundary layer approximation is valid up to a certain extent in the cavity. An adaptation of the viscoplastic boundary layer definition is then given and allows to generalize the scalings shown by Oldroyd (1947) and Balmforth et al. (JFM 2017). These scalings are also generalized to the Herschel-Bulkley case. Then, an asymptotic analysis of the velocity and stress fields for thin layer (ε) flows is presented. A velocity development up to ε2 lets us find a Reynolds equation of same accuracy. This Reynolds equation extends the already existing results, on the one hand in the newtonian case and on the second hand for free surface flows.; Ette thèse traite d’écoulements de fluides à seuil (ou viscoplastiques) en milieu confiné. Les difficultés analytiques et numériques sont dues à la multivaluation du tenseur des contraintes dans les zones plastiques ainsi qu’à la non-différentiabilité du problème de minimisation associé. Cette thèse s’articule en deux parties.Dans un premier temps, des simulations numériques parallèles très précises à l’aide d’algorithmes de dualité ont été effectuées. Elles ont permis de retrouver des résultats observés expérimentalement dont l’existence d’une ligne de glissement pour l’écoulement au dessus d’un obstacle et le caractère quasi-Poiseuille de la vitesse au-delà de cette ligne. Par ailleurs, la théorie de couche limite viscoplastique définie par Oldroyd (1947, à nombre de Bingham asymptotiquement grand) a été revisitée à nombre de Bingham modéré en milieu confiné. L’étude a mis en œuvre des allers-retours entre ces simulations et les expériences physiques de Luu et al. d’IRSTEA ainsi qu’une dérivation théorique. L’approximation de couche limite est vérifiée dans une certaine mesure à l’intérieur de la cavité. Une adaptation de la notion de couche limite viscoplastique est alors exhibée et permet d’étendre les scalings dérivés par Oldroyd (1947) et Balmforth et al. (J. of Fluid Mech, 2017). Ces scalings sont aussi généralisés au cas de la loi d’Herschel-Bulkley. Dans un second temps, on présente une analyse asymptotique des champs de vitesses et de contraintes pour des écoulements en faible épaisseur (ε). Un développement à l’ordre ε2 de la vitesse permet de trouver une équation de Reynolds à la même précision. Cette équation de Reynolds prolonge les résultats déjà existants dans le cadre newtonien, d’une part et dans le cadre fluide à seuil avec une surface libre, d’autre part.

This thesis is devoted to the flow of yield stress (or viscoplastic) fluids in pipes.Analytical and numerical difficulties lie in the multivaluation of the stress tensor in the plastic regions and in the non-differentiability of the associated minimization problem. This manuscript is organized following two main axes.First, very accurate numerical simulations were carried out using duality methods and parallel multifrontal solvers. Thus, experimental observations were recovered, namely the existence of a slip line for the flow over an obstacle and the Poiseuille-like behaviour of the velocity above this line. Moreover, the viscoplastic boundary layer theory defined by Oldroyd (1947 at high Bingham numbers) was revisited at moderate Bingham numbers in confined areas. This study provided an opportunity to go back and forth between these simulations and the physical measures of Luu et al. from IRSTEA and to perform a theoretical derivation. The boundary layer approximation is valid up to a certain extent in the cavity. An adaptation of the viscoplastic boundary layer definition is then given and allows to generalize the scalings shown by Oldroyd (1947) and Balmforth et al. (JFM 2017). These scalings are also generalized to the Herschel-Bulkley case. Then, an asymptotic analysis of the velocity and stress fields for thin layer (ε) flows is presented. A velocity development up to ε2 lets us find a Reynolds equation of same accuracy. This Reynolds equation extends the already existing results, on the one hand in the newtonian case and on the second hand for free surface flows., Ette thèse traite d’écoulements de fluides à seuil (ou viscoplastiques) en milieu confiné. Les difficultés analytiques et numériques sont dues à la multivaluation du tenseur des contraintes dans les zones plastiques ainsi qu’à la non-différentiabilité du problème de minimisation associé. Cette thèse s’articule en deux parties.Dans un premier temps, des simulations numériques parallèles très précises à l’aide d’algorithmes de dualité ont été effectuées. Elles ont permis de retrouver des résultats observés expérimentalement dont l’existence d’une ligne de glissement pour l’écoulement au dessus d’un obstacle et le caractère quasi-Poiseuille de la vitesse au-delà de cette ligne. Par ailleurs, la théorie de couche limite viscoplastique définie par Oldroyd (1947, à nombre de Bingham asymptotiquement grand) a été revisitée à nombre de Bingham modéré en milieu confiné. L’étude a mis en œuvre des allers-retours entre ces simulations et les expériences physiques de Luu et al. d’IRSTEA ainsi qu’une dérivation théorique. L’approximation de couche limite est vérifiée dans une certaine mesure à l’intérieur de la cavité. Une adaptation de la notion de couche limite viscoplastique est alors exhibée et permet d’étendre les scalings dérivés par Oldroyd (1947) et Balmforth et al. (J. of Fluid Mech, 2017). Ces scalings sont aussi généralisés au cas de la loi d’Herschel-Bulkley. Dans un second temps, on présente une analyse asymptotique des champs de vitesses et de contraintes pour des écoulements en faible épaisseur (ε). Un développement à l’ordre ε2 de la vitesse permet de trouver une équation de Reynolds à la même précision. Cette équation de Reynolds prolonge les résultats déjà existants dans le cadre newtonien, d’une part et dans le cadre fluide à seuil avec une surface libre, d’autre part.

Obliquely reflected Brownian motion in the quadrant, introduced by Harrison, Reiman, Varadhan and Williams in the eighties, has been studied a lot in the probabilistic literature. This thesis, which presents the complete study of the invariant measure of this process in all the cones of the plan, has for overall aim to extend to the continuous framework an analytic method initially developped for random walks in the quarter plane by Fayolle, Iasnogorodski and Malyshev in the seventies. This approach is based on functional equations which link generating functions in the discrete case and Laplace transform in the continuous case. These equations allow to determine and to solve boundary value problems satisfied by these generating functions. In the recurrent case, it permits to compute explicitly the invariant measure of the process with orthogonal reflexions, in the chapter 2, and with any reflexions, in the chapter 3. The Laplace transform of the invariant measure is analytically extended to a Riemann surface induced by the kernel of the functional equation. The study of singularities and the use of saddle point methods on this surface allows to determine the full asymptotics of the invariant measure along every directions in the chapter 4., Le mouvement Brownien réfléchi de manière oblique dans le quadrant, introduit par Harrison, Reiman, Varadhan et Williams dans les années 80, est un objet largement analysé dans la littérature probabiliste. Cette thèse, qui présente l’étude complète de la mesure invariante de ce processus dans tous les cônes du plan, a pour objectif plus global d’étendre au cadre continu une méthode analytique développée initialement pour les marches aléatoires dans le quart de plan par Fayolle, Iasnogorodski et Malyshev dans les années 70. Cette approche est basée sur des équations fonctionnelles, reliant des fonctions génératrices dans le cas discret et des transformées de Laplace dans le cas continu. Ces équations permettent de déterminer et de résoudre des problèmes frontière satisfaits par ces fonctions génératrices. Dans le cas récurrent, cela permet de calculer explicitement la mesure invariante du processus avec rebonds orthogonaux, dans le chapitre 2, et avec rebonds quelconques, dans le chapitre 3. Les transformées de Laplace des mesures invariantes sont prolongées analytiquement sur une surface de Riemann induite par le noyau de l’équation fonctionnelle. L’étude des singularités et l’application de méthodes du point col sur cette surface permettent de déterminer l’asymptotique complète de la mesure invariante selon toutes les directions dans le chapitre 4.

Obliquely reflected Brownian motion in the quadrant, introduced by Harrison, Reiman, Varadhan and Williams in the eighties, has been studied a lot in the probabilistic literature. This thesis, which presents the complete study of the invariant measure of this process in all the cones of the plan, has for overall aim to extend to the continuous framework an analytic method initially developped for random walks in the quarter plane by Fayolle, Iasnogorodski and Malyshev in the seventies. This approach is based on functional equations which link generating functions in the discrete case and Laplace transform in the continuous case. These equations allow to determine and to solve boundary value problems satisfied by these generating functions. In the recurrent case, it permits to compute explicitly the invariant measure of the process with orthogonal reflexions, in the chapter 2, and with any reflexions, in the chapter 3. The Laplace transform of the invariant measure is analytically extended to a Riemann surface induced by the kernel of the functional equation. The study of singularities and the use of saddle point methods on this surface allows to determine the full asymptotics of the invariant measure along every directions in the chapter 4.; Le mouvement Brownien réfléchi de manière oblique dans le quadrant, introduit par Harrison, Reiman, Varadhan et Williams dans les années 80, est un objet largement analysé dans la littérature probabiliste. Cette thèse, qui présente l’étude complète de la mesure invariante de ce processus dans tous les cônes du plan, a pour objectif plus global d’étendre au cadre continu une méthode analytique développée initialement pour les marches aléatoires dans le quart de plan par Fayolle, Iasnogorodski et Malyshev dans les années 70. Cette approche est basée sur des équations fonctionnelles, reliant des fonctions génératrices dans le cas discret et des transformées de Laplace dans le cas continu. Ces équations permettent de déterminer et de résoudre des problèmes frontière satisfaits par ces fonctions génératrices. Dans le cas récurrent, cela permet de calculer explicitement la mesure invariante du processus avec rebonds orthogonaux, dans le chapitre 2, et avec rebonds quelconques, dans le chapitre 3. Les transformées de Laplace des mesures invariantes sont prolongées analytiquement sur une surface de Riemann induite par le noyau de l’équation fonctionnelle. L’étude des singularités et l’application de méthodes du point col sur cette surface permettent de déterminer l’asymptotique complète de la mesure invariante selon toutes les directions dans le chapitre 4.

This manuscript is devoted to the asymptotic analysis of parabolic equationswith stiff terms. First, we perform the asymptotic analysis of a parabolic equation with stifftransport terms. An effective limit model is obtained by a two-scale analysis based on ergodictheory results. This effective system is again a parabolic system whose diffusion field is anaverage of the initial diffusion field along a group of unitary operators. The introduction of acorrector allows us to obtain a strong convergence result, with an order of convergence, forinitial data not necessarily well prepared. We propose a numerical method to compute the effectivediffusion field. This method is based on a Runge-Kutta scheme and a semi-Lagrangianscheme. The theoretically order of convergence is obtained numerically. We propose a numericalmethod based on operator splitting for the resolution of the parabolic system withstiff transport terms. Finally, we perform the asymptotic analysis of a strongly anisotropicparabolic problem. Under suitable smoothness hypotheses, an effective variational system isproposed. By using a suitable corrector, we obtain a strong convergence result and we areable to perform the error analysis. The arguments relate again to the two-scale analysis andthe ergodic theory.; Ce manuscrit de thèse traite de l’analyse asymptotique de problèmes paraboliquespossédant des termes raides. Dans un premier temps, on fait l’analyse asymptotiqued’un système parabolique possédant des termes de transport raide. Une analyse à deuxéchelles, basée sur des résultats de théorie ergodique, nous permet de dériver un systèmelimite effectif. Ce système effectif se trouve être, de nouveau, un système parabolique dont lechamp de diffusion peut être explicité par une moyenne du champ de diffusion initial le longd’un groupe d’opérateurs unitaires. L’introduction d’un correcteur nous permet d’obtenir unrésultat de convergence forte, avec un ordre de convergence, pour des données initiales nonnécessairement bien préparées. On propose dans un second temps une méthode numériquepermettant de calculer le champ de diffusion effectif. Celle-ci est basée sur la combinaisond’un schéma Runge-Kutta et d’un schéma de type semi-Lagrangien. L’ordre de convergenceobtenu théoriquement est mis en évidence de manière numérique. On propose une méthodenumérique basée sur un splitting d’opérateur pour la résolution du système parabolique avectermes de transport raide. Enfin, on effectue l’analyse asymptotique d’un système paraboliquefortement anisotrope. Sous de bonnes hypothèses de régularité, un système variationneleffectif est proposé et l’introduction d’un correcteur adapté permet d’obtenir un résultat deconvergence forte avec un ordre de convergence. Les arguments utilisés relèvent une nouvellefois de l’analyse à deux échelles et de la théorie ergodique.

This thesis is devoted to the study of some mathematical problems arising in micromagnetism. The models considered here are based on the Landau-Lifshitz-Gilbert equation (LLG) describing the evolution of the magnetization field in a ferromagnetic material. Our aim is the analysis of the behavior of the models regarding the slight variations of some physical parameters. We first recall some important notions about ferromagnetism. Then, we carry out a numerical study of a model of magnetization dynamics with inertial effects. We propose a semi-implicit finite difference scheme which intrinsically respects the properties of the continuous model. Numerical simulations are provided for emphasizing the effect of the inertia parameter. These simulations also show the performance of the scheme and confirm the order of convergence obtained theoretically. We then study a model of magnetization dynamics with a non-local damping. The sensitivity of the magnetization dynamics to the damping coefficient is studied by giving the limiting problem for small and large values of the parameter. Finally, we study the homogenization of the LLG equation in two types of structures, namely a composite material with strongly contrasted magnetic properties, and a periodically perforated material with surface anisotropy energy. The homogenized models are first obtained formally. The rigorous derivation is then performed using mainly the concepts of two-scale convergence, two-scale convergence on surfaces together with a new homogenization procedure for handling with the nonlinear terms. More precisely, an appropriate dilation operator is applied in a embedded cells network, the network being constrained by the microscopic geometry., Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes mathématiques issus du micromagnétisme. Le but est d'analyser le comportement des modèles en fonction de différents paramètres physiques, dont les fines variations sont parfois difficilement mesurables. Nous adoptons des approches numériques, asymptotiques ou d'homogénéisation. Les modèles considérés reposent sur l'utilisation de l'équation de Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) décrivant l'évolution du champ d'aimantation dans un matériau ferromagnétique. Nous rappelons d'abord quelques notions importantes en ferromagnétisme. Ensuite, nous menons une étude numérique d'un modèle de la dynamique d'aimantation avec effets d'inertie. Nous proposons un schéma aux différences finies semi-implicite qui respecte de façon intrinsèque les propriétés du modèle continu. Des simulations numériques sont réalisées pour cerner l'effet du paramètre d'inertie. Ces simulations montrent aussi la performance du schéma et confirment l'ordre de convergence obtenu théoriquement. Nous étudions ensuite un modèle de la dynamique de l'aimantation avec amortissement non local. La sensibilité de la dynamique d'aimantation au paramètre d'amortissement est étudiée en donnant le problème limite pour de petites et de grandes valeurs du paramètre. Enfin, nous étudions l'homogénéisation de l'équation LLG dans deux types de matériau, à savoir les composites présentant un fort contraste des propriétés magnétiques et les matériaux périodiquement perforés avec énergie d'anisotropie de surface. Des modèles homogénéisés sont d'abord obtenus formellement puis une dérivation rigoureuse est établie en se basant principalement sur les concepts de la convergence à double échelle et de la convergence à double échelle en surface. Pour traiter les non-linéarités, nous introduisons une nouvelle méthode basée sur le couplage d'un opérateur de dilatation calibré sur les contrastes d'échelle et d'un outil de réduction de dimension, par construction de grilles emboitées adaptées à la géométrie du domaine microscopique.

This work is devoted to water ressources pollution control. We especially focus on the impact of agricultural fertilizer on water quality, by combining economical and hydrogeological modeling. We define, on one hand, the spatio-temporal objective, taking into account the trade off between fertilizer use and the cleaning costs. On an other hand, we describe the pollutant transport in the underground (3D in space) by a nonlinear system coupling a parabolic partial differential equation (reaction-advection-dispersion) with an elliptic one in a bounded domain. We prove the global existence of the solution of the optimal control problem. The uniqueness is proved by asymptotic analysis for the effective problem taking into account the low concentration fertilizer. We define the optimal necessary conditions and the adjoint problem associated to the model. Some analytical results are provided and illustrated. We extend these results within the framework of game theory, where several players are involved, and we prove the existence of a Nash equilibrium. Finally, this work is illustrated by numerical results (2D in space), produced by coupling a Mixed Finite Element scheme with a nonlinear conjugate gradient algorithm., Ce travail s’inscrit dans un contexte de contrôle de la pollution des ressources en eau. On s’intéresse plus particulièrement à l’impact des engrais d’origine agricole sur la qualité de l’eau, en alliant modélisation économique et hydrogéologique. Pour cela, nous définissons d’une part un objectif économique spatio-temporel prenant en compte le compromis entre l’utilisation d’engrais et les coûts de dépollution. D’autre part, nous décrivons le transport du polluant dans le sous-sol (3D en espace) par un système non linéaire d’équations aux dérivées partielles couplées de type parabolique (réaction-convection-dispersion) et elliptique dans un domaine borné. Nous prouvons l’existence globale d’une solution au problème de contrôle optimal. L’unicité est quant à elle démontrée par analyse asymptotique pour le problème effectif tenant compte de la faible concentration d’engrais en sous-sol. Nous établissons les conditions nécessaires d’optimalité et le problème adjoint associé à notre modèle. Quelques exemples analytiques sont donnés et illustrés. Nous élargissons ces résultats au cadre de la théorie des jeux, où plusieurs joueurs interviennent, et prouvons notamment l’existence d’un équilibre de Nash. Enfin, ce travail est illustré par des résultats numériques (2D en espace), obtenus en couplant un schéma de type Éléments Finis Mixtes avec un algorithme de gradient conjugué non linéaire.

This work is part of the FUI Tandem project on radar imaging of mines buried in dry ground by heliborne antennas. The antenna data correspond to measurements of the electromagnetic field (component tangential to the antenna) in the back-scattering configuration: a single transmitter/transceiver antenna. The primary objective of the thesis is to validate / modify the SAR (Synthetic Aperture Radar) methodology proposed by engineers to process the antenna data and to image the mines. The main difficulty lies in the fact that the SAR method is based on the principle of a homogeneous background whereas the study case is not. We have studied the incorporation of a two-layer approximation of the reference medium to correct the effect of the soil and to obtain images that are less sensitive to the effect of the latter. The first solution consists in mimicking the SAR technique to construct an indicator of the geometry via the back propagation of the data in the bi-layer medium using the formula given by the Born approximation. The second option, much more costly numerically consists in inverting the Born model with a regularization technique of the total variation type. In a second part, we are interested in adapting MUSIC (MUltiple SIgnal Classification) methods to retrieve the "depth" information not provided by SAR methods. Based on the Tandem experiement, we proposed the extension of these methods to the case of data in quasi-back-scattering configuration: a transmitting antenna coupled to a 1D array of receiving antennas. The methodology is completely new and the justification of the method is based on the asymptotic analysis of the scattering problem in the small obstacle and far field regime. The study was also extended to cylindrical configurations that could be adapted to biomedical imaging., Ce travail thèse s’inscrit dans le cadre du projet FUI Tandem portant sur l’imagerie radar de mines enfouies dans un sol sec par des antennes héliportées. Les données d’antennes correspondent à des mesures de champ électromagnétique (composante tangentielle à l’antenne) en configuration « back-scattering » : une seule antenne émettrice-réceptrice. L’objectif premier de la thèse est de valider/modifier la méthodologie SAR (Synthetic Aperture Radar) proposée par les ingénieurs pour traiter les données d’antenne et imager les mines. La difficulté essentielle réside dans le fait que la méthode SAR repose sur le principe d’un milieu de référence homogène alors que le cas d’étude ne l’est pas. Nous avons étudié l’incorporation d’une approximation bicouche du milieu de référence pour corriger l’effet du sol et obtenir des images moins sensibles à l’effet de celui-ci. La première solution consiste à mimer la technique SAR pour construire une indicatrice de la géométrie via la rétro-propagation de la donnée dans le milieu bi-couche en utilisant la formule donnée par l’approximation de Born. La deuxième option, beaucoup plus coûteuse numériquement consiste à inverser le modèle de Born avec une technique de régularisation de type variation totale. Nous nous intéressons dans une deuxième partie à l’adaptation de méthodes d’inversion de type MUSIC (MUltiple SIgnal Classification) pour retrouver l’information « profondeur » non fournie par les méthodes SAR. S’inspirant de la problématique Tandem, nous avons proposé l’extension de ces méthodes au cas de données en configuration quasi-back-scattering : une antenne émettrice couplée à un réseau 1D d’antennes réceptrices. La méthodologie est complètement nouvelle et la justification de la méthode repose sur l’analyse asymptotique du problème de diffraction dans le régime petit obstacle et champ lointain. L’étude a également été étendue à des configurations cylindriques qui pourraient être adaptées à l’imagerie bio-médicale.

The subject of this thesis is the development of mathematical models for the dynamics of data fluxes within computer networks. These models are more specifically derived for networks with a big amount of data such as computational grids or AFDX-type avionics networks. The aim is to provide a way, through modeling, to reduce the cost of the simulation of a networks dynamics. These two applications have specific objectives but both share the same modeling approach, based on a micro-meso-macro methodology. Starting from the microscopic description of the network, we identify the characteristic scales and, with a formal asymptotic limit, derive a kinetic model. Using the method of moments, a set of conservation laws can then be obtained. Two different fluid models have been obtained, and their mathematical well-posedness has been proven.Furthermore, numerical schemes based on Finite Volume Methods have been implemented and the expected qualitative behavior of both networks has been shown through numerical simulations. In particular, it has been shown how the numerical simulation of an AFDX-type network dynamics can be helpful in order to identify the weaknesses (i.e. where congestion may appear) of the network architecture. In order to describe a large panel of networks, such as heterogeneous grids with different latency times, it may be necessary to consider very small values for some parameters of the numerical simulation.Under these circumstances, the time step constraint arising from the CFL condition becomes critical. This corresponds to a singular asymptotic limit which describes to a different fluid model. Consequently, the last part of the thesis is focused on Asymptotic Preserving (AP) schemes which may be able to overcome the problem of heterogeneous networks coupling different fluid models. We studied this kind of numerical schemes in the context of a high-temperature plasma, deriving a numerical scheme able to operate the transition between the electronic kinetic regime and the adiabatic electronic fluid limit (obtained using the Boltzmann relation). The efficiency of this approach is finally proven using numerical simulations.; Mes travaux de thèse ont consisté à développer des modèles mathématiques pour décrire la dynamique des flux de données dans des réseaux informatiques comprenant un grand volume de données, spécifiquement pour les réseaux de grilles de calcul et les réseaux avioniques de type AFDX. L’objectif est de réduire, par une modélisation adaptée, la complexité des simulations numériques. Si la modélisation des deux types de réseaux étudiés répond à des motivations spécifiques et a nécessité de développer deux modèles fluides distincts, la méthodologie suivie a été la même. Il s’agit, à partir d’une description particulaire de la dynamique du réseau, d’identifier les grandeurs caractéristiques du réseau. Leur hiérarchisation par ordre de grandeur permet de définir une limite asymptotique formelle et d’obtenir une description cinétique du réseau. On peut alors en déduire, via la méthode des moments, les modèles macroscopiques correspondants, sous forme de systèmes de lois de conservation. Nous avons travaillé pour chaque réseau avec une limite asymptotique spécifique. Le système fluide résultant a ensuite fait l’objet d’une étude mathématique démontrant le caractère bien posé de notre modèle.Par la suite, nous avons mis en œuvre des méthodes numériques de type volumes finis, qui ont permis de simuler nos modèles macroscopiques et de montrer que chacun a un comportementqualitatif conforme avec le réseau qu’il décrit. Une étude d’un réseau AFDX illustre comment ce type de méthode peut permette d’identifier les points faibles (i.e. de congestion) du réseau.Afin de prendre en compte une palette plus large de comportements du réseau, nous avons cherché à prendre en compte le cas où certains paramètres de notre modélisation deviennent très petits, comme par exemple le temps de latence dans des réseaux hétérogènes.Dans ces circonstances, la condition CFL de stabilité liée aux schémas numériques classiquesdevient critique. Cela correspond en fait à une limite asymptotique singulière, pour laquelle les schémas classiques appliqués à nos modèles fluides ne sont plus efficaces. A partir de ce constat, nous nous sommes intéressés aux schémas dits “asymptotic preserving” (AP), dans l’objectif, à terme, d’obtenir un schéma numérique qui nous permette de simuler ce type de comportement limite du réseau. Les schémas AP permettent de discrétiser un problème qui présente une singularité à la limite. Pour cela, ils reformulent le problème singulier à l’asymptotique en tirant profit du“bon” problème limite afin d’obtenir un problème qui dégénère vers la bonne limite. Nous avons illustré cette technique AP dans un autre domaine de la physique qui fait couramment intervenir ce type de schéma : les plasmas de fusion, plus particulièrement lorsque les masses des particules sont fortement disparates et que le plasma est étudié dans la direction des lignes de champ. Le schéma que nous avons développé permet de faire la transition entre deux régimes électroniques : le régime électronique cinétique et le régime adiabatique fluide des électrons, donné par la relation de Boltzmann. L’efficacité du schéma est alors illustrée par des résultats numériques.

The subject of this thesis is the development of mathematical models for the dynamics of data fluxes within computer networks. These models are more specifically derived for networks with a big amount of data such as computational grids or AFDX-type avionics networks. The aim is to provide a way, through modeling, to reduce the cost of the simulation of a networks dynamics. These two applications have specific objectives but both share the same modeling approach, based on a micro-meso-macro methodology. Starting from the microscopic description of the network, we identify the characteristic scales and, with a formal asymptotic limit, derive a kinetic model. Using the method of moments, a set of conservation laws can then be obtained. Two different fluid models have been obtained, and their mathematical well-posedness has been proven.Furthermore, numerical schemes based on Finite Volume Methods have been implemented and the expected qualitative behavior of both networks has been shown through numerical simulations. In particular, it has been shown how the numerical simulation of an AFDX-type network dynamics can be helpful in order to identify the weaknesses (i.e. where congestion may appear) of the network architecture. In order to describe a large panel of networks, such as heterogeneous grids with different latency times, it may be necessary to consider very small values for some parameters of the numerical simulation.Under these circumstances, the time step constraint arising from the CFL condition becomes critical. This corresponds to a singular asymptotic limit which describes to a different fluid model. Consequently, the last part of the thesis is focused on Asymptotic Preserving (AP) schemes which may be able to overcome the problem of heterogeneous networks coupling different fluid models. We studied this kind of numerical schemes in the context of a high-temperature plasma, deriving a numerical scheme able to operate the transition between the electronic kinetic regime and the adiabatic electronic fluid limit (obtained using the Boltzmann relation). The efficiency of this approach is finally proven using numerical simulations.; Mes travaux de thèse ont consisté à développer des modèles mathématiques pour décrire la dynamique des flux de données dans des réseaux informatiques comprenant un grand volume de données, spécifiquement pour les réseaux de grilles de calcul et les réseaux avioniques de type AFDX. L’objectif est de réduire, par une modélisation adaptée, la complexité des simulations numériques. Si la modélisation des deux types de réseaux étudiés répond à des motivations spécifiques et a nécessité de développer deux modèles fluides distincts, la méthodologie suivie a été la même. Il s’agit, à partir d’une description particulaire de la dynamique du réseau, d’identifier les grandeurs caractéristiques du réseau. Leur hiérarchisation par ordre de grandeur permet de définir une limite asymptotique formelle et d’obtenir une description cinétique du réseau. On peut alors en déduire, via la méthode des moments, les modèles macroscopiques correspondants, sous forme de systèmes de lois de conservation. Nous avons travaillé pour chaque réseau avec une limite asymptotique spécifique. Le système fluide résultant a ensuite fait l’objet d’une étude mathématique démontrant le caractère bien posé de notre modèle.Par la suite, nous avons mis en œuvre des méthodes numériques de type volumes finis, qui ont permis de simuler nos modèles macroscopiques et de montrer que chacun a un comportementqualitatif conforme avec le réseau qu’il décrit. Une étude d’un réseau AFDX illustre comment ce type de méthode peut permette d’identifier les points faibles (i.e. de congestion) du réseau.Afin de prendre en compte une palette plus large de comportements du réseau, nous avons cherché à prendre en compte le cas où certains paramètres de notre modélisation deviennent très petits, comme par exemple le temps de latence dans des réseaux hétérogènes.Dans ces circonstances, la condition CFL de stabilité liée aux schémas numériques classiquesdevient critique. Cela correspond en fait à une limite asymptotique singulière, pour laquelle les schémas classiques appliqués à nos modèles fluides ne sont plus efficaces. A partir de ce constat, nous nous sommes intéressés aux schémas dits “asymptotic preserving” (AP), dans l’objectif, à terme, d’obtenir un schéma numérique qui nous permette de simuler ce type de comportement limite du réseau. Les schémas AP permettent de discrétiser un problème qui présente une singularité à la limite. Pour cela, ils reformulent le problème singulier à l’asymptotique en tirant profit du“bon” problème limite afin d’obtenir un problème qui dégénère vers la bonne limite. Nous avons illustré cette technique AP dans un autre domaine de la physique qui fait couramment intervenir ce type de schéma : les plasmas de fusion, plus particulièrement lorsque les masses des particules sont fortement disparates et que le plasma est étudié dans la direction des lignes de champ. Le schéma que nous avons développé permet de faire la transition entre deux régimes électroniques : le régime électronique cinétique et le régime adiabatique fluide des électrons, donné par la relation de Boltzmann. L’efficacité du schéma est alors illustrée par des résultats numériques.

This thesis aim to modelize network made of coaxial and multi-conductors cables.It could be mathematically represent with the Maxwell equations which deals on electromagnetic waves propagating in the network or an electrical circuit whose unknowns - the electrical potentials and currents - satisfy the telegrapher's equation on each branches and the Kirchhoff's laws on each knots.The first method is enough general to integrate many defaults but numerically too expansive for the application we have in mind, namely non destructive testing. The second one is not obtained from the Maxwell theory and it is valid if and only if the cable are perfect (cylindrical, lossless...). We derive some 1D models generalizing the usual telegrapher's equation and Kirchhoff's rules from Maxwell's equation. This new models integrate plenty of defects (geometry, losses, skin-effect, materials' characteristics varying) and are derive via asymptotic analysis (classical ones, multi-scales ones, matched ones) by considering very small parameters (transverse dimensions of the cables relative to length of the cables, conductivity of the dielectric part relative to the metal of the inner-wires, size of the junction part relative to the whole network).One of the mathematical difficult is due to the fact that the geometry we will consider (sections of the cables, junctions) are not simply connected. Thus we will generalize usual tools such as the Helmholtz decompositions.; Cette thèse porte sur la modélisation d'un réseau de câbles coaxiaux et multi-conducteurs. Ce dernier peut être mathématiquement traduit par les équations aux dérivées partielles de Maxwell qui régissent la propagation des ondes électromagnétiques en son sein ou par un modèle type circuit électrique d'inconnues - les potentiels et courants électriques- qui vérifient sur les branches du circuit l'équation des télégraphistes et sur les noeuds les lois de Kirchhoff.Si la première méthode est assez générale pour comprendre toutes sortes de défauts, elle néanmoins trop couteuse pour les applications que nous avons en tête, à savoir le contrôle non destructif. La seconde quant à elle est obtenue par une modélisation non issue de la théorie de Maxwell et est valide que si les câbles sont parfaits (cylindriques, sans pertes...). Nous avons établi diverses modèles 1D venant généraliser l'équation des télégraphistes et les lois de Kirchhoff pour y incorporer diverses défauts (géométrie, pertes, effet de peau, caractéristique des matériaux variables) tant sur les câbles que dans les jonctions. Ceux-ci sont obtenus via des analyses asymptotiques (classiques, multi-échelles, raccordées) des équations 3D de Maxwell en considérant certains paramètres (dimensions transverses des câbles par rapport à leurs longueurs, conductivité du milieu diélectrique par rapport à celle du métal des âmes, petite taille de la zone de jonction par rapport à l'ensemble du réseau) extrêmement petits.Une des difficultés mathématiques tient en ce que les domaines que nous prendrons en compte (sections des câbles, jonctions) ne sont aucunement simplement connexes, nous obligeant ainsi à remanier quelques outils standard tel les décompositions en potentiels.

This thesis aim to modelize network made of coaxial and multi-conductors cables.It could be mathematically represent with the Maxwell equations which deals on electromagnetic waves propagating in the network or an electrical circuit whose unknowns - the electrical potentials and currents - satisfy the telegrapher's equation on each branches and the Kirchhoff's laws on each knots.The first method is enough general to integrate many defaults but numerically too expansive for the application we have in mind, namely non destructive testing. The second one is not obtained from the Maxwell theory and it is valid if and only if the cable are perfect (cylindrical, lossless...). We derive some 1D models generalizing the usual telegrapher's equation and Kirchhoff's rules from Maxwell's equation. This new models integrate plenty of defects (geometry, losses, skin-effect, materials' characteristics varying) and are derive via asymptotic analysis (classical ones, multi-scales ones, matched ones) by considering very small parameters (transverse dimensions of the cables relative to length of the cables, conductivity of the dielectric part relative to the metal of the inner-wires, size of the junction part relative to the whole network).One of the mathematical difficult is due to the fact that the geometry we will consider (sections of the cables, junctions) are not simply connected. Thus we will generalize usual tools such as the Helmholtz decompositions., Cette thèse porte sur la modélisation d'un réseau de câbles coaxiaux et multi-conducteurs. Ce dernier peut être mathématiquement traduit par les équations aux dérivées partielles de Maxwell qui régissent la propagation des ondes électromagnétiques en son sein ou par un modèle type circuit électrique d'inconnues - les potentiels et courants électriques- qui vérifient sur les branches du circuit l'équation des télégraphistes et sur les noeuds les lois de Kirchhoff.Si la première méthode est assez générale pour comprendre toutes sortes de défauts, elle néanmoins trop couteuse pour les applications que nous avons en tête, à savoir le contrôle non destructif. La seconde quant à elle est obtenue par une modélisation non issue de la théorie de Maxwell et est valide que si les câbles sont parfaits (cylindriques, sans pertes...). Nous avons établi diverses modèles 1D venant généraliser l'équation des télégraphistes et les lois de Kirchhoff pour y incorporer diverses défauts (géométrie, pertes, effet de peau, caractéristique des matériaux variables) tant sur les câbles que dans les jonctions. Ceux-ci sont obtenus via des analyses asymptotiques (classiques, multi-échelles, raccordées) des équations 3D de Maxwell en considérant certains paramètres (dimensions transverses des câbles par rapport à leurs longueurs, conductivité du milieu diélectrique par rapport à celle du métal des âmes, petite taille de la zone de jonction par rapport à l'ensemble du réseau) extrêmement petits.Une des difficultés mathématiques tient en ce que les domaines que nous prendrons en compte (sections des câbles, jonctions) ne sont aucunement simplement connexes, nous obligeant ainsi à remanier quelques outils standard tel les décompositions en potentiels.

This thesis is devoted to mathematical modeling and numerical simulations of the blood-flows in arteries in the presence of a vascular prosthesis of type stent. The presence of stent can be considered as a local perturbation of a smooth edge of flow, more precisely the walls artery can be seen as a strongly rough surface.Weare mainly interested in controlling the H² regularity of a simplified model which takes into account the impact of these stents when the blood flow is controlled by a Laplace equation (in link with the axial component rateof flow) with a Dirichlet boundary condition, in a domain with a rough board (according to a small parameter ε). First, we raise the question of existence and unicity of the solution of this model of blood-flow and we study the H² regularity using variational analysis methods. By a detailed study, we control the H² regularity of order O(ε−1). The second part is devoted to the study of the regularity H² regularity using multi-scale analysis.We prove that the H² norm of the solution of this model is singular of order O(ε−½). Moreover, we improve the convergence rate of the existing results on the construction of the multi-scale approximation. Finally, we present an error estimation and numerical results. These numerical results illustrate the well-founded of the error estimates on a practical level. We show the importance of the asymptotic methods that seem to be more effective than a direct computation.; Cette thèse est consacrée à la modélisation mathématique et simulations numériques des écoulements sanguins dans des artères en présence d’une endoprothèse vasculaire de type stent. La présence de stent peut être considérée comme une perturbation locale d’un bord lisse d’écoulement, plus précisément les parois de l’artère sont assimilées à une surface fortement rugueuse. Nous nous sommes principalement intéressés au contrôle de la régularité H² sur un modèle simplifié permettant de prendre en compte l’effet de ces stents lorsque le flux sanguin est gouverné par une équation de Laplace (en lien avec la composante axiale de la vitesse d’écoulement) avec une condition aux limites de type Dirichlet, dans un domaine à bord rugueux (en fonction d’un petit paramètre ε). Dans une première partie, nous soulevons la question d’existence et d’unicité de la solution de ce modèle d’écoulement sanguin et nous traitons la régularité H² par des techniques d’analyse variationnelle. Une étude minutieuse permet de contrôler la régularité H² en O(ε−1). Le deuxième axe est dédié à l’étude de la régularité H² par des analyse asymptotiques multiéchelles. Nous montrons que la norme H² de la solution de ce modèle d’écoulement sanguin est singulière en O(ε−½ ). D’autre part, nous améliorons les ordres de convergence des résultats existants concernant la construction des approximations multiéchelles. Dans un troisième temps, nous présentons des estimations d’erreur et des résultats numériques. Ces résultats illustrent le bien fondé des estimations d’erreur sur le plan pratique. Nous montrons bien l’importance des méthodes asymptotiques qui se révèlent plus efficaces qu’un calcul direct.

In this thesis we consider the Landau-de Gennes variational model for nematic liquid crystals. Nematic liquid crystals are an intermediate phase of matter, which shares properties both with liquids and crystalline solids. They are composed of molecules which can flow freely, but tend to align locally along some preferred directions. Nematic phases exhibit defects, which can occur at isolated points or along lines, and are one of their mean features. This thesis mainly aims at discussing some results towards the mathematical understanding of defects and their generation, within the framework of the Landau-de Gennes theory.In the first chapter, we study minimizers of the energy functional in a bounded, smooth domain in dimension two. We are interested in their asymptotic behaviour as the elastic constant tends to zero. We show that minimizers converge to a locally minimizing harmonic map, with a finite number of point singularities. Moreover, minimizers are biaxial in the core of defects. Biaxiality means that more than one preferred direction of molecular alignment exists at a given point.Chapter two deals with the asymptotic analysis of minimizers in dimension three. We assume that the energy is comparable to the logarithm of the elastic constant and prove a compactness result, as in the two-dimensional case. However, the limiting map is now allowed to have line singularities as well as point singularities. We also provide sufficient conditions for the logarithmic energy estimate to be satisfied.In the third chapter, we study the existence of radially symmetric minimizers on spherical shells, in dimension three. We prove that, if the shell width is small enough or the temperature is low enough, then there exists a unique minimizer for the Landau-de gennes energy, which is radially symmetric. Finally, in chapter four, we discuss a topological obstruction to the existence of unit vector fields of low regularity on a compact manifold with boundary. This result can be understood as a first step in the analysis of some variational models for a surface coated with a thin nematic film., Dans cette thèse, nous nous intéressons aux cristaux liquides nématiques, qui sont une phase de la matière intermédiaire entre les liquides et les solides cristallins ; en particulier, les molécules peuvent se déplacer librement, mais elles tendent à s’orienter localement dans une direction commune. Ces états sont caractérisés par la présence de défauts ponctuels ou de ligne. L’objectif principal de cette thèse est d’apporter une contribution à l’étude mathématique des défauts, dans le cadre de la théorie variationnelle de Landau-de Gennes.Dans le premier chapitre, nous nous intéressons aux minimiseurs de l’énergie dans des domaines bornés et réguliers de dimension deux. Nous nous intéressons au comportement asymptotique lorsque la constante élastique du matériau tend vers zéro. Nous montrons que les minimiseurs convergent vers une application localement harmonique, avec un nombre fini de singularités ponctuelles. Au voisinage de celles-ci, les minimiseurs sont biaxes, c’est-à-dire, deux directions d’alignement local sont présentes en tout point.Le deuxième chapitre est consacré à l’analyse asymptotique des minimiseurs en dimension trois, en supposant l’énergie majorée par le logarithme de la constante élastique. Comme dans le cas bidimensionnel nous obtenons un résultat de compacité des minimiseurs, mais cette fois l’application limite peut présenter à la fois des singularités ponctuelles et de ligne. Nous donnons aussi des conditions suffisantes pour que l’hypothèse sur l’énergie évoquée précédemment soit satisfaite.Le troisième chapitre porte sur l’existence de minimiseurs à symétrie radiale dans une couronne en dimension trois. Nous montrons que, si la largeur de la couronne est petite ou la température est suffisamment basse, alors il existe un unique minimiseur, qui est à symétrie radiale, pour l’énergie de Landau-de Gennes. Enfin, dans le dernier chapitre nous présentons une obstruction topologique à l’existence de champs de vecteurs unitaires de faible régularité, sur des variétés compactes à bord. Ce résultat peut être considéré comme une étape préliminaire à l’étude de certains modèles variationnels pour les films nématiques sur une surface.

Dans cette thèse on considère des algorithmes de Schwarz appliqués aux problèmes harmoniques hétérogènes (Maxwell et Helmholtz) en deux et trois dimensions. On fait l'étude pour une decomposition en deux domaines où chaque domain a ses coefficients constants, c'est à dire qu'on considère un problème avec deux éléments distincts où on fait correspondre l'interface physique entre les éléments avec l'interface entre sous-domaines. On voit que si on prend en compte correctement la discontinuité des sous-domaines on peut obtenir des facteurs de convergence indépendants du pas de maillage h de la discrétisation, chose qui n'est pas possible pour les cas de coefficients continues et sans recouvrement. Les démonstrations de la thèse sont basés sur des analyses asymptotiques et complétés avec des exemples numériques.

Hyperbolic systems arise in a large field of sciences : kinetic theory, inviscid reactive flow, magnetohydrodynamics, inviscid gas dynamics, traffic flow, river or glacier flow, sedimentation processes, chemical exchange processes, etc. In these kind of systems, small paramaters often appear, and an asymptotic study may lead to mathematical or computational simplifications. One fundamental problem that we may work on is local and global existence of solutions for these systems, uniformly with respect to these parameters. This Ph.D. thesis includes, on one hand, general results on uniform local existence of solutions for first order quasi-linear hyperbolic systems ; and on the other hand, results on uniform global existence of solutions near constant equilibriums for these same systems. In the case of Euler-Maxwell systems, required conditions are not fulfilled for uniform global existence, then we treat it separately., Les systèmes hyperboliques interviennent dans de nombreuses branches des sciences : théorie cinétique, mécanique des fluides non visqueux, magnéto hydrodynamique, dynamique des gaz non visqueux, trafic routier, flux d’une rivière ou d’un glacier, processus de sédimentation, processus d’échanges chimiques, etc. Et souvent, les systèmes qui régissent ces évènements font intervenir des petits paramètres, dont l’étude asymptotique permet d’envisager des simplifications mathématiques et/ou informatiques notoires. L’existence locale et l’existence globale de solutions, uniformément par rapport à ces paramètres, sont des questions fondamentales. Cette thèse regroupe à la fois des résultats généraux sur l’existence locale uniforme de solutions pour des systèmes hyperboliques quasi-linéaires du premier ordre ; et sur l’existence globale uniforme de solutions autour d’un équilibre constant pour ces mêmes systèmes. Le cas du système d’Euler-Maxwell ne satisfaisant pas les conditions requises pour l’existence uniforme globale, nous le traitons à part.

In this thesis, we focus our attention on the modeling of heterogeneities which are smaller than the wavelength. The document is decomposed into two parts : a theoretical one and a numerical one. In the first part, we derive a matched asymptotic expansion composed of a far-field expansion and a near-field expansion. The terms of the far-field expansion are singular solutions of the wave equation whereas the terms of the near-field expansion satisfy quasistatic problems. These expansions are matched in an intermediate region. We justify mathematically this theory by proving error estimates. In the second part, we describe the Discontinuous Galerkin method, a local time stepping method and the implementation of the matched asymptotic method. Numerical simulations illustrate these results.; Dans cette thèse, nous nous intéressons à la modélisation mathématique des hétérogénéités de longueurs caractéristiques beaucoup plus petites que la longueur d'ondes. La thèse consiste en deux parties. La partie théorique est dédiée à l'obtention d'un développement asymptotique raccordé: la solution est décrite à l'aide d'un développement de champ proche au voisinage de l'obstacle et par un développement de champ lointain hors de ce voisinage. Le développement de champ lointain met en jeu des solutions singulières de l'équation des ondes tandis que le champ proche lui est régi par un modèle quasi-statique. Ces deux développements sont alors raccordés dans une zone intermédiaire dite de raccord. Nous obtenons alors des estimations d'erreurs permettant de rendre rigoureux ce développement asymptotique formel. La deuxième partie est numérique. Elle décrit à la fois la méthode de Galerkine discontinue, une méthode de raffinement de maillage espace-temps et propose une discrétisation des modèles asymptotiques obtenues précédemment. Elle est illustrée par un certain nombre de tests numériques.

This work is essentially concerned with determining the effective linear mechanical and physical properties of composites in which the interface between two phases is not smooth but very rough. An efficient approach to overcome the difficulties arising from the presence of interfacial roughness is first to homogenize a rough interface zone as an equivalent interphase by an asymptotic analysis and then to apply micromechanical schemes to estimation of the effective properties while accounting for the equivalent interphase. The present work aims mainly to develop this approach in a general situation where the surface around which an interface oscillates periodically and quickly can be curved and the physical phenomena involved can be coupled. To achieve this goal, thermal conduction is first studied as a prototype of transport phenomena so as to elaborate key elements of our approach in a simple situation. This study,even preliminary but very useful in view of the importance of transport phenomena, shows that general and compact results can be obtained when the interface is corrugated in only one direction and that numerical methods are generally required when an interface is curved along two directions. The approach developed and the results obtained for thermal conduction are extended first to linear elasticity and then to linear coupled physical phenomena such as thermoelectricity and piezoelectricity. In these more complex cases, general results are obtained for composite laminates with interfaces oscillating in only one direction, and numerical methods are elaborated for composites in which the interfaces oscillate in two directions; Dans ce travail de thèse, il s'agit essentiellement de déterminer les propriétés mécaniques et physiques linéaires effectives des composites dans lesquels l'interface entre deux phases n'est pas lisse mais très rugueuse. Une approche efficace pour surmonter les difficultés provenant de la présence de rugosités d'interface consiste d'abord à homogénéiser une zone d'interface rugueuse comme une interphase équivalente par une analyse asymptotique et ensuite à appliquer des schémas micromécaniques pour estimer les propriétés effectives en tenant en compte de la présence de l'interphase équivalente. L'objectif principal de ce travail est de développer cette approche dans un cadre général où la surface autour de laquelle l'interface oscille périodiquement et rapidement peut être courbée et les phénomènes physiques concernés peuvent être couplés. Pour atteindre cet objectif, la conduction thermique est premièrement étudiée comme un prototype des phénomènes de transport non couplés pour élaborer dans un cadre simple les éléments essentiels de notre approche. Cette étude, préliminaire mais très utile au vu de l'importance des phénomènes de transport, montre que des résultats généraux et compacts peuvent s'obtenir quand l'interface est ondulée dans une seule direction et que des méthodes numériques sont en général nécessaires dans le cas où l'interface oscille suivant deux directions. L'approche développée et les résultats obtenus pour la conduction thermique sont étendus d'abord à l'élasticité linéaire et ensuite aux phénomènes physiques linéaires couplés tels que la thermoélectricité et la piézoélectricité. Dans ces cas plus complexes, des résultats généraux sont obtenus pour les composites stratifiés avec les interfaces ondulées dans une seule direction et des méthodes numériques sont élaborées pour les composites dans lesquels les interfaces oscillent suivant deux directions

Three axes are explored. 1) Derivation of mathematical models of electrophysiological phenomena applied to cardiology. Asymptotic analysis methods allow to derive simplified models from three-dimensional complex atrial ones, while controlling approximation errors. We construct a bilayer surface model that allows to simulate three-dimensional phenomena for a bi-dimensional computational load, and to investigate 3D atrial patterns involved in atrial arrhythmia such as electrical dissociation or transmural heterogeneities. We prove the convergence of the bilayer model, and an optimization strategy to improve the model outside the asymptotic regime is formalised. Homogeneisation methods are also used to construct a homogenized continuous model of the electrical activity of the myocytes that includes the non linear behavior of gap junctions. 2) Triggers of atrial arrhythmia. Proofs of concept of arrhythmogenic mechanisms are given by using numerical models of the pulmonary veins. The first mechanism is based on a unidirectional conduction block triggered by a discontinuity of the fibre distribution. The second one comes from a different propagation pattern during the depolarization and the repolarization when two layer of fibres are superimposed. 3)Atrial arrhythmia perpetuation. A bilayer model of the atria is constructed from a semi automatic method that we developed. We investigate the influence of transmural heterogeneities of the distribution of fibrosis on the perpetuation of atrial arrhythmia. Several ablation protocols are assessed. Finally, a method of personalization of the model is given.; Le travail présenté dans ce manuscrit s'articule en trois axes distincts. 1) Dérivation de modèles mathématiques de phénomènes électrophysiologiques en cardiologie. Nous utilisons des méthodes d'analyse asymptotique pour dériver un modèle simplifié à partir d'un modèle de tissu auriculaire tridimensionnel, tout en contrôlant l'erreur d'approximation. Ces méthodes ont permis de dériver un modèle bisurfacique qui permet de simuler des comportements tridimensionnels dans les oreillettes pour un coût numérique bidimensionnel afin d'étudier des phénomènes entrant en jeu lors d'arythmies auriculaires, tels que la dissociation électrique ou des hétérogénéités transmurales. La preuve de la convergence du modèle bisurfacique est apportée, et une stratégie d'optimisation du modèle en dehors du régime symptotique est formalisée. Une méthode d'homogénéisation est également utilisée pour construire un modèle continu homogénéisé de l'activité des myocytes incluant le comportement non linéaire des gap junctions. 2)Processus déclencheurs d'arythmie. Des preuves de concepts de mécanismes arythmogènes sont apportées à l'aide de modèles numériques des veines pulmonaires. Le premier mécanisme repose sur un bloc de conduction unidirectionnel engendré par une discontinuité dans la structure fibreuse. Le second est basé sur une dynamique différente lors de la dépolarisation et de la repolarisation lorsque deux couches de fibres de directions différentes sont superposées. 3)Perpétuation des arythmies auriculaires. A partir d'un modèle bicouche des oreillettes, nous étudions l'influence d'hétérogénéités transmurales de fibrose sur la perpétuation des arythmies. Plusieurs protocoles d'ablation sont ensuite testés. Enfin, une méthode de personnalisation du modèle auriculaire est formalisée.

We study the problem of fracture in thin film systems subject to tensile stresses originated by mechanical loading or inelastic phenomena, due e.g. to thermal or moisture couplings. In such systems, homogeneous loads lead to the nucleation of interacting transverse and debonding cracks, producing auto-structuration of quasi-periodic crack networks and propagation of complex patterns showing robust morphological features. We tackle the problem of describing the irreversible evolution of fractures, covering the phases of crack nucleation, path selection and irreversible evolution in space and time. Available literature results rely upon phenomenological models lacking rigorous derivation and are limited to simple geometrical settings. In addition, problems of nucleation of new cracks, mechanisms of path selection and irreversible, non-smooth evolution in space and time are not explored, due to the limitations of to classical theory of fracture mechanics. We propose the derivation of a limit, asymptotic, reduced-dimension, global, varia- tional, theory for fracture of thin films starting from three-dimensional brittle elasticity within the framework of variational fracture, using notions of variational convergence. We then introduce a regularization of the limit fracture problem, by the means of a damage gradient functional, suitable to the numerical solution by finite elements. The proposed work allows to obtain a systematic understanding of the competition between various mechanisms including fracture and debonding; to rigorously establish a reduced, variational, asymptotic model, valid for thin films that is rich enough to capture the important physics of failure; and to tackle a detailed numerical study of the complex cracking and debonding patterns observed in thin film systems., Nous étudions le problème de rupture des systèmes de couches minces soumis à contraintes de tension dues aux chargements mécaniques ou à d'autres phénomènes élastiques, associés e.g. à couplages thérmiques où humidité. Dans ces systèmes, chargements homogènes conduisent à la nucléation de fissures interagissantes transverses et de décollement, produisant l'auto-structuration de réseaux de fissures quasi-périodiques et la propagation de patterns complexes qui montrent caractéristiques morphologiques robustes. On s'intéresse à décrire l'évolution de ces fissures, en prenant en compte les phases de nucléation, sélection du trajet de fissure et évolution irreversible en espace et en temps. Les résultats disponibles en littérature se basent sur des modèles phénoménologiques, dépourvus d'une dérivation rigoureuse, et sont limités à des cas géométriquement simples. Dans ces derniers, le problème de nucléation, les mécanismes de sélection du chemin de fissuration et l'évolution non régulière en espace et en temps ne sont pas explorés, à cause des limitations de la théorie classique de la mécanique de la rupture. Nous proposons la dérivation d'une théorie variationnelle asymptotique, bidimensionnelle et globale, à partir d'un problème tridimensionnel d'élasticité fragile dans le cadre de l'approche variationnelle à la mécanique de la rupture, en faisant intervenir une notion de convergence variationnelle. Ensuite, nous introduisons une régularisation du problème faible de rupture par le moyen d'un modèle en gradient d'endommagement, adapté à la solution numérique via la méthode des éléments finis. Le travail proposé permet d'obtenir une compréhension des mécanismes couplés élastiques, de fissuration et décollement; d'établir un modèle asymptotique, réduit et variationnel, valable pour des systèmes de couches minces suffisamment riche pour capturer les mécanismes physiques essentiels; et d'aborder une étude détaillé des expériences numériques qui révèlent les patterns complexes de fissures observés dans les systèmes de couches minces.

Nous etudions l’effet d’une couche mince rugueuse periodique deposee sur une structure semi-infinie, dans le contexte Helmholtz bi-dimensionnel. Formellement, nous obtenons des conditions de transmission equivalentes a l’ordre 1, par des techniques de type homogeneisation. Suivent alors la resolution du probleme du milieu effectif eclaire par une onde plane, et le calcul de la fonction de Green effective ; le tout par analyse de Fourier. Dans un deuxieme temps, nous considerons le probleme de diffraction par un objet penetrable enfoui dans la structure recouverte par la couche rugueuse. Nous le resolvons par la methode des elements finis de frontiere, dans le milieu effectif. Des resultats numeriques sont presentes. Enfin, le modele effectif est valide dans le cas d’une couche plate, et l’approximation de Born est utilisee pour tester le code des equations integrales.

This dissertation is dedicated to the mathematical and numerical study of a class of collisional kinetic equations, such as the Boltzmann equation of perfect gases. We took a particular interest in the granular media (or gases) equation, which has been first introduced in the physical literature to describe the nonnequilibrium behavior of materials composed of a large number of grains (the particles) of macroscopic size, interacting through energy dissipative collisions. These models have a very rich mathematical structure. This dissertation is divided in three independent part, all related to the theory of collisional kinetic equation, with a strong emphasis on granular media. The first part concerns the mathematical study of the asymptotic behavior of space homogeneous Boltzmann-like kinetic equations. We prove some blow up results, as well as convergence towards self-similarity, with explicit rates for two different models. One of the key tools of our proofs is the use of a new scaling method, where the scaling function depends on the solution itself. We especially prove that for a particular model of granular gases (also know as anomalous), finite time blow up occurs. The second part is dedicated to the development and study of spectral methods for the resolution of multi-scale problems, coming from the theory of collisional kinetic equations. Some rescaling methods take a very important place in this part, allowing to observe numerically some nontrivial phenomena such as the clustering in space which occurs in the time evolution of a space inhomogeneous granular gas, or to investigate numerically the trend to equilibrium for this equation. The whole third (and last) part is dedicated to the spectral study of the granular gases operator with a thermal bath, linearized near a space homogeneous self-similar profile. The goal of this work is to prove some stability results for the complete space inhomogeneous equation, and to investigate the hydrodynamic limit of the model. This work is based and extend the famous result of R. Ellis and M. Pinsky on the spectrum of the linearized Boltzmann equation, intended to establish rigorously the hydrodynamic limit of this equation towards the linearized Euler and Navier-Stokes equations.; Cette thèse est dédiée à l'étude mathématique et numérique d'une classe d'équations cinétiques collisionnelles, de type équation de Boltzmann. Nous avons porté un intérêt tout particulier à l'équation des milieux (ou gaz) granulaires, initialement introduite dans la littérature physique pour décrire le comportement hors équilibre de matériaux composés d'un grand nombre de grains, ou particules, non nécessairement microscopiques, et interagissant par des collisions dissipant l'énergie cinétique. Ces modèles se sont révélés avoir une structure mathématique très riche. Cette thèse se structure en trois partie pouvant être lues de manière indépendante, mais néanmoins en rapport avec des équations cinétiques collisionnelles en général, et l'équation des milieux granulaires en particulier. La première partie est dédiée à l'étude mathématique du comportement asymptotique de certaines équations cinétiques collisionnelles dans un cadre homogène en espace. Nous y montrons des résultats de type explosion et convergence vers la solution autosimilaire avec calcul explicite des taux, pour des opérateurs de type Boltzmann, grâce à l'utilisation (entre autre) d'une nouvelle méthode de changement de variables dépendant directement de la solution de l'équation considérée. En particulier, nous démontrons que pour un modèle de gaz granulaire - dit anormal - il est possible d'observer une explosion en temps fini. Dans la deuxième partie, orientée analyse numérique et calcul scientifique, nous nous intéressons développement et à l'étude de méthodes spectrales pour la résolution de problèmes multi-échelles, issus de la théorie des équations cinétiques collisionnelles. Les méthodes de changement de variables tiennent aussi une place importante dans cette partie, et permettent d'observer numériquement des phénomènes non triviaux qui apparaissent lors de l'étude de gaz granulaires, comme la création d'amas de matière ou la caractérisation précise du retour vers l'équilibre. La troisième et dernière partie est dédiée à l'étude spectrale de l'opérateur des milieux granulaires avec bain thermique, linéarisé au voisinage d'un équilibre homogène en espace, afin d'établir des résultats de type stabilité et convergence vers une limite hydrodynamique. Ce travail est en fait la généralisation d'un résultat célèbre dans la théorie de l'équation de Boltzmann, dû à R. Ellis et M. Pinsky, et établissant rigoureusement la première limite hydrodynamique vers les équations d'Euler compressibles linéaires puis Navier-Stokes de cette équation.

This dissertation is dedicated to the mathematical and numerical study of a class of collisional kinetic equations, such as the Boltzmann equation of perfect gases. We took a particular interest in the granular media (or gases) equation, which has been first introduced in the physical literature to describe the nonnequilibrium behavior of materials composed of a large number of grains (the particles) of macroscopic size, interacting through energy dissipative collisions. These models have a very rich mathematical structure. This dissertation is divided in three independent part, all related to the theory of collisional kinetic equation, with a strong emphasis on granular media. The first part concerns the mathematical study of the asymptotic behavior of space homogeneous Boltzmann-like kinetic equations. We prove some blow up results, as well as convergence towards self-similarity, with explicit rates for two different models. One of the key tools of our proofs is the use of a new scaling method, where the scaling function depends on the solution itself. We especially prove that for a particular model of granular gases (also know as anomalous), finite time blow up occurs. The second part is dedicated to the development and study of spectral methods for the resolution of multi-scale problems, coming from the theory of collisional kinetic equations. Some rescaling methods take a very important place in this part, allowing to observe numerically some nontrivial phenomena such as the clustering in space which occurs in the time evolution of a space inhomogeneous granular gas, or to investigate numerically the trend to equilibrium for this equation. The whole third (and last) part is dedicated to the spectral study of the granular gases operator with a thermal bath, linearized near a space homogeneous self-similar profile. The goal of this work is to prove some stability results for the complete space inhomogeneous equation, and to investigate the hydrodynamic limit of the model. This work is based and extend the famous result of R. Ellis and M. Pinsky on the spectrum of the linearized Boltzmann equation, intended to establish rigorously the hydrodynamic limit of this equation towards the linearized Euler and Navier-Stokes equations, Cette thèse est dédiée à l'étude mathématique et numérique d'une classe d'équations cinétiques collisionnelles, de type équation de Boltzmann. Nous avons porté un intérêt tout particulier à l'équation des milieux (ou gaz) granulaires, initialement introduite dans la littérature physique pour décrire le comportement hors équilibre de matériaux composés d'un grand nombre de grains, ou particules, non nécessairement microscopiques, et interagissant par des collisions dissipant l'énergie cinétique. Ces modèles se sont révélés avoir une structure mathématique très riche. Cette thèse se structure en trois partie pouvant être lues de manière indépendante, mais néanmoins en rapport avec des équations cinétiques collisionnelles en général, et l'équation des milieux granulaires en particulier. La première partie est dédiée à l'étude mathématique du comportement asymptotique de certaines équations cinétiques collisionnelles dans un cadre homogène en espace. Nous y montrons des résultats de type explosion et convergence vers la solution autosimilaire avec calcul explicite des taux, pour des opérateurs de type Boltzmann, grâce à l'utilisation (entre autre) d'une nouvelle méthode de changement de variables dépendant directement de la solution de l'équation considérée. En particulier, nous démontrons que pour un modèle de gaz granulaire - dit anormal - il est possible d'observer une explosion en temps fini. Dans la deuxième partie, orientée analyse numérique et calcul scientifique, nous nous intéressons développement et à l'étude de méthodes spectrales pour la résolution de problèmes multi-échelles, issus de la théorie des équations cinétiques collisionnelles. Les méthodes de changement de variables tiennent aussi une place importante dans cette partie, et permettent d'observer numériquement des phénomènes non triviaux qui apparaissent lors de l'étude de gaz granulaires, comme la création d'amas de matière ou la caractérisation précise du retour vers l'équilibre. La troisième et dernière partie est dédiée à l'étude spectrale de l'opérateur des milieux granulaires avec bain thermique, linéarisé au voisinage d'un équilibre homogène en espace, afin d'établir des résultats de type stabilité et convergence vers une limite hydrodynamique. Ce travail est en fait la généralisation d'un résultat célèbre dans la théorie de l'équation de Boltzmann, dû à R. Ellis et M. Pinsky, et établissant rigoureusement la première limite hydrodynamique vers les équations d'Euler compressibles linéaires puis Navier-Stokes de cette équation

We are interested in the homogenization of heat transfer in periodic porous media modelling the geometry of a gas cooled nuclear reactor. This geometry is made of a solid media perfora- ted by several long thin parallel cylinders, the diameter of which is of the same order than the period. The heat is transported by conduction in the solid part of the domain and by conduc- tion, convection and radiative transfer in the fluid part (the cylinders). A non-local boundary condition models the radiative heat transfer on the cylinder walls. It is a stationary analysis corresponding to a nominal performance of the reactor core, and also non-stationary corres- ponding to a normal shut-down of the core. To obtain the homogenized problem we first use a formal two-scale asymptotic expansion method. The mathematical justification of our re- sults is based on the notion of two-scale convergence. One feature of this work in dimension 3 is that it combines homogenization with a 3D to 2D asymptotic analysis since the radiative transfer in the limit cell problem is purely two-dimensional. A second feature of this work is the study of this heat transfer when it contains an oscillating thermal source at the mi- croscopic level and a thermal exchange with the perforations. In this context, our numerical analysis shows a non-negligible contribution of the second order corrector which helps us to model the gradients appearing between the source area and the perforations.; Nos travaux concernent l'homogénéisation du transfert de chaleur dans un milieu poreux périodique qui modélise la géométrie d'un cœur de réacteur nucléaire à caloporteur gaz. Cette géométrie est constituée d'un milieu solide traversé par plusieurs longs et minces cylindres parallèles dont le diamètre est du même ordre que la période. La chaleur est transportée par conduction dans la partie solide du domaine et par conduction, convection et rayonnement dans la partie fluide (les cylindres). Le rayonnement est modélisé par une condition non-locale sur les parois des cylindres. C'est une analyse stationnaire qui correspond à un fonctionnement nominal du cœur, et aussi non-stationnaire qui correspond à un arrêt nor- mal du cœur. Pour obtenir le problème homogénéisé nous utilisons d'abord une analyse formelle par développement asymptotique à deux échelles. La justification mathématique de nos résultats est basée sur la méthode de convergence à deux échelles. Une caractéristique de ce travail en dimension 3 est qu'il combine l'analyse asymptotique par homogénéisation avec une analyse asymptotique par réduction de la dimension de l'espace 3D en 2D pour remédier à la non-périodicité de la condition de rayonnement suivant la direction axiale des cylindres. Une deuxième caractéristique de ce travail est l'étude de ce transfert de chaleur lorsqu'il contient une source thermique oscillante au niveau microscopique et un échange thermique entre les parties fluide et solide du cœur, dans un tel contexte, notre analyse numérique montre une contribution non-négligeable du correcteur dit d'ordre 2 qui nous aide à reproduire les gradients qui apparaissent entre la zone de la source thermique et la partie fluide (les cylindres).

On s’intéresse ici aux erreurs de modélisation liées à l’usage de modèles de flammelette sous-maille en combustion turbulente non prémélangée. Le but de cette thèse est de développer une stratégie d’estimation d’erreur a posteriori pour déterminer le meilleur modèle parmi une hiérarchie, à un coût numérique similaire à l’utilisation de ces mêmes modèles. Dans un premier temps, une stratégie faisant appel à un estimateur basé sur les résidus pondérés est développée et testée sur un système d’équations d’advection-diffusion-réaction. Dans un deuxième temps, on teste la méthodologie d’estimation d’erreur sur un autre système d’équations, où des effets d’extinction et de réallumage sont ajoutés. Lorsqu’il n’y a pas d’advection, une analyse asymptotique rigoureuse montre l’existence de plusieurs régimes de combustion déjà observés dans les simulations numériques. Nous obtenons une approximation des paramètres de réallumage et d’extinction avec la courbe en «S», un graphe de la température maximale de la flamme en fonction du nombre de Damköhler, composée de trois branches et d’une double courbure. En ajoutant des effets advectifs, on obtient également une courbe en «S» correspondant aux régimes de combustion déjà identifiés. Nous comparons les erreurs de modélisation liées aux approximations asymptotiques dans les deux régimes stables et établissons une nouvelle hiérarchie des modèles en fonction du régime de combustion. Ces erreurs sont comparées aux estimations données par la stratégie d’estimation d’erreur. Si un seul régime stable de combustion existe, l’estimateur d’erreur l’identifie correctement ; si plus d’un régime est possible, on obtient une fac˛on systématique de choisir un régime. Pour les régimes où plus d’un modèle est approprié, la hiérarchie prédite par l’estimateur est correcte., We are interested here in the modeling errors of subgrid flamelet models in nonpremixed turbulent combustion. The goal of this thesis is to develop an a posteriori error estimation strategy to determine the best model within a hierarchy, with a numerical cost at most that of using the models in the first place. Firstly, we develop and test a dual-weighted residual estimator strategy on a system of advection-diffusion-reaction equations. Secondly, we test that methodology on another system of equations, where quenching and ignition effects are added. In the absence of advection, a rigorous asymptotic analysis shows the existence of many combustion regimes already observed in numerical simulations. We obtain approximations of the quenching and ignition parameters, alongside the S-shaped curve, a plot of the maximal flame temperature as a function of the Damköhler number, consisting of three branches and two bends. When advection effects are added, we still obtain a S-shaped curve corresponding to the known combustion regimes. We compare the modeling errors of the asymptotic approximations in the two stable regimes and establish new model hierarchies for each combustion regime. These errors are compared with the estimations obtained by using the error estimation strategy. When only one stable combustion regime exists, the error estimator correctly identifies that regime; when two or more regimes are possible, it gives a systematic way of choosing one regime. For regimes where more than one model is appropriate, the error estimator’s predicted hierarchy is correct.

Rough surfaces and interfaces are encountered in many situations in mechanics and physics of solids. In particular, a surface or interface considered smooth at a given scale turns out often to be rough at another smaller scale. This work studies the flat and curved interfaces whose roughness can be reasonably described as periodic undulations. It aims to model these interfaces in composites and to determine their effects on the effective elastic and conductive properties of the composites in question. The approach elaborated to achieve this objective consists first in using asymptotic analysis to model a zone of rough interface as an interphase being heterogeneous only along its thickness direction and then in resorting to some micromechanical schemes to quantify the influences of the interphase on the effective properties. This work considers three types of composites in which periodically corrugated interfaces are present: laminated, fibrous and particulate composites. The results obtained for these composites contribute to the development of micromechanics and provide solutions to problems of practical interest encountered in physics and mechanics of heterogeneous materials; Les surfaces et interfaces rugueuses sont rencontrées dans de nombreuses situations en mécanique et physique des solides. En particulier, une surface ou interface considérée comme lisse à une échelle donnée se révèle souvent rugueuse à autre échelle plus petite. Ce travail étudie les interfaces planes et courbées dont la rugosité peut être raisonnablement décrite comme des ondulations périodiques. Il a pour objectif de modéliser ces interfaces dans des composites et de déterminer leurs effets sur les propriétés effectives élastiques et conductrices des composites concernés. L'approche élaborée pour atteindre cet objectif consiste d'abord à utiliser l'analyse asymptotique pour modéliser une zone d'interface rugueuse comme une interphase hétérogène uniquement suivant son épaisseur et ensuite à faire appel à des schémas micromécaniques pour quantifier les influences de cette interphase sur les propriétés effectives. Ce travail considère trois types de composites dans lesquels de s interfaces périodiquement ondulées sont présentes : composites stratifiés, fibreux et à inclusions. Les résultats obtenus pour ces composites contribuent au développement de la micromécanique et apportent des solutions à des problèmes d'intérêt pratique rencontrés en physique et mécanique des matériaux hétérogènes

This work consists in the study of transmission problems of electromagnetic waves in high contrast media, like a highly conducting body embedded in an insulating medium. We perform an accurate analysis of the skin effect by the way of the asymptotic analysis and numerical simulations. We derive a scaled asymptotic expansion in the three dimensionnal cae of the harmonic Maxwell equations with high conductivity. We prove uniform estimates with respect to the high conductivity in polyhedral domains with Lipschitz boundaries. These estimates motive the study of a scalar transmission problem, in which case a priori estimates are obtained by the way of an asymptotic expansion. Numerical simulations in axisymetric geometry highlight the skin effect and show the expansion accuracy.Next, we study the behavior of the electromagnetic field in a biological cell modelized by a medium surrounded by a thin layer and embedded in an ambient medium. We derive approximate transmission conditions in order to replace the membrane by these conditions on the boundary of the interior domain., Ce travail est consacré à l'étude d'un problème de transmission d'ondes électromagnétiques dans des matériaux fortement conducteurs entourés d'un matériau diélectrique isolant. On analyse finement le phénomène de l'effet de peau à l'aide de l'analyse asymptotique et de la simulation numérique. On calcule un développement asymptotique multi-échelle à haute conductivité des solutions des équations de Maxwell tridimensionnelles en régime harmonique. Pour valider ce développement, on établit des estimations uniformes par sous-domaines des solutions de ces équations pour une conductivité assez élevée. Ces estimations ont motivé une étude préliminaire d'un problème de transmission scalaire pour lequel des estimations a priori sont démontrées grâce à la convergence normale d'un développement asymptotique. L'accord des formules théoriques avec les calculs numériques est remarquable et met en évidence l'influence de la géométrie de l'interface dans le phénomène de l'effet de peau.D'autre part, on étudie le comportement du champ électromagnétique dans une cellule biologique modélisée par un milieu entouré d'une couche mince et plongée dans un milieu ambiant. On calcule des conditions de transmission approchées sur le bord du domaine intérieur équivalentes à la couche mince.

My researches concern the modeling of a structure made of two bodies Ω+ and Ω− joined by a very rigid layer Bε of thickness ε. I have considered the following situations. i) The bodies ­ Ω+, Ω− and Bε are anisotropic linear elastic. ­ Ω+ and Ω− have a rigidity of same order (O(1)) while that in Bε is of order 1/ε . In [1], the limit behavior as ε goes to 0 has been obtained by weak and strong convergence of the displacement field in an L2-Sobolev space framework. I have also considered in [1] a non linear "natural" extension of the quadratic case to the Lp situation (1 < p < +infty), the limit being obtained in the framework of Γ-convergence. ii) In [2], inspired by some results of Caillerie [3] and Chapelle-Ferent [4], have been interested in the case when the behavior of Bε is that of a plate-like or a shell-like structure. In the isotropic linear elasticity setting, we have considered two situations : when the rigidity in the thin layer is of order 1/ε and when the rigidity is of order 1/ε^3 . When the rigidity is of order 1/ε , the surface energy in the limit problems corresponds respectively to the membranal energy of a Kirchhoff-Love plate, and to the membranal energy of shell. When the rigidity is of order 1/ε^3 , we recover the flexural energy of a Kirchhoff-Love plate in the first case and that of a shell in the second one. iii) When the material in the thin layer can undergo reversible solid/solid phase transformations (for example, austenite and martensite phases in a metal alloy), the elastic density of Bε entails a multi-well structure which is not taken into account in the classical model obtained by Γ-convergence in Sobolev spaces. For this reason, the stored strain energy in Bε is rewritten in terms of Young measure and a new model is obtained where the elastic energy is a bi-functional of pairs of displacement/Young measure [5]. The classical stored strain energy of the previous model is recovered as to be the marginal map of this bi-functional when the Young measure is regarded as an internal state variable. iv) A more dificult situation arises when the thin layer Bε has a plastic behavior and ­ Ω+ and Ω−are linearly elastic. In order to model this situation, I have considered the case when Bε behaves as a Norton-Hoff material with growth p, 1 < p < 2, and identied the Γ-limit behavior when ε goes to 0. Then, to obtain the plastic behavior, it has been studied the Γ-convergence when p goes to 1. Gradients displacement fields in the layer are then measures with matrix values [7]. v) From a numerical point of view, I have proposed in the scalar case, to solve the problem with a domain decomposition method involving GMRES algorithm [8], [9], [10]. Moreover, the limit model obtained in iv) when 1 < p < 2, for p close enough to 1, can be considered as a regular variational approximation of this model providing a numerical scheme. 1. A-L. Bessoud, F. Krasucki, G. Michaille. Multi materials with strong interface : variational modelings. Asympto. Anal. 61 (2009) no. 1, 1-19. 2. A-L. Bessoud, F. Krasucki., M. Serpilli Plate-like and shell-like inclusions with high rigidity. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. 346 (2008) 697–702. 3. D. Caillerie. The Effect of a Thin Inclusion of High Rigidity in an Elastic Body. Math. Meth. in the Appl. Sci. 2 (1980), 251-270. 4. D. Chapelle, A. Ferent. Modeling of the Inclusion of a Reinforcing Sheet whithin a 3D Medium. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 13 (2002), 573-595. 5. A-L. Bessoud, F. Krasucki, G. Michaille. A relaxation procedure for bifunctionals of displacement-Young measure state variables : a model of multi-material with micro-structured strong interface, Annales de l'Institut Henri Poincaré (c) Non Linear Analysis, in press. 6. A-L. Bessoud. Multi-materials with strong interface : Young measures formulation. J. Math. Pures et Appliquées, in press. 7. A-L. Bessoud, F. Krasucki, G. Michaille. Variational convergences of energy functionals for elastic materials with ε-thin strong inclusions growing as p(ε), p(ε) going to 1+. in preparation. 8. A-L. Bessoud, F. Krasucki. GMRES Algorithm for Multi-Materials with Strong Interface. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. 343 (2006), 297-282. 9. A-L. Bessoud, F. Krasucki. Jonctions entre deux solides : modèles simplifiés et algorithmes de résolution. Congrès de la SMAI, Juin 2007. 10. A-L. Bessoud, F. Krasucki. Jonctions entre deux solides : modèles simplifiés et algorithmes de résolution. Congrès Français de Mécanique, Août 2007.; Cette thèse est consacrée à la modélisation d'une structure constituée de l'assemblage de deux solides Ω+ et Ω− à l'aide d'une couche mince (d'épaisseur d'ordre ε) très rigide (d'ordre 1/ε), où ε est un petit paramètre. Différentes situations et considérations sont prises en compte. Dans un premier temps, on se place dans le cadre de l'élasticité linéaire. Une analyse asymptotique formelle conduit à un problème posé sur Ω+UΩ-US où S est l'intersection des frontières . Nous nous intéressons dans cette partie aux deux aspects suivants : - Prise en compte de la géométrie et de la rigidité de la couche intermédiaire : résultats de convergence faible et forte pour des modèles de plaques et de coques ; - Proposition de méthodes de résolution numérique par décomposition de domaine ou avec pénalisation. Nous proposons ensuite une modélisation dans un cadre plus général et obtenons dans le cadre de la Γ-convergence, un modèle en élasticité linéaire non isotrope et un modèle en élasticité non linéaire. Lorsque le matériau dans la couche rigide présente des transitions de phase solide/solide, sa densité d'énergie g possède plusieurs puits de potentiel rendant compte de microstructures. Pour modéliser ces microstructures, il convient de réécrire l'énergie dans la couche en terme de mesures de Young. L'énergie de la structure est alors donnée par une bifonctionnelle ayant pour argument un couple déplacement-mesure de Young. Une des deux fonctions marginales de la fonctionnelle limite nous redonne l'énergie (classique) du modèle limite obtenu précédemment par Γ-convergence . Nous pouvons également réécrire l'énergie de toute la structure en terme de mesures de Young. Nous montrons alors comment les solutions du problème formulé en terme de mesures de Young donnent une description microscopique des solutions classiques. Enfin, lorsque la couche mince a un comportement plastique, des difficultés liées à la croissance linéaire de l'énergie de densité g apparaissent. En s'inspirant des méthodes de régularisation de Norton-Hoff, nous étudions le cas où g est à croissance d'ordre p, 1< p

This thesis deals with the propagation of waves in media that comprise thin wires the thickness of which is much smaller than the wavelength.We apply the matched asymptotic expansion method and derive an expansion of the solution to the two dimensional Helmholtz equation around a small obstacle with Dirichlet boundary condition. Then we present a simplified model for this problem involving an averaged boundary condition and analyze two non-standard numerical methods for computing accurately the corresponding solution : the first one is a variation of the singular function method, and the second one is a scalar version of the Holland method. We prove the consistency of both methods in this case. Then we provide comparable results for the 3D Helmholtz problem with Dirichlet boundary condition on a wire-shaped obstacle with ellipsoïdal tips. We also derive a simplifiedmodel in the latter setting and this leads to a justification of a scalar version of the Pocklington equation.; Cette thèse traite de la modélisation de la propagation d'ondes dans des milieux comportant des fils minces i.e. dont l'épaisseur est bien plus petite que la longueur d'onde. En appliquant la méthode des développements raccordés, nous dérivons un développement de la solution de l'équation de Helmholtz en 2D autour d'un petit obstacle avec condition de Dirichlet sur le bord et proposons un modèle approché dans lequel intervient une condition de Dirichlet moyennée. Par ailleurs nous proposons et analysons deux méthodes numériques non standard pour en calculer la solution avec précision : l'une est adaptée de la méthode de la fonction singulière et l'autre est une version scalaire de la méthode de Holland. Nous démontrons la consistance de ces méthodes. Nous effectuons ensuite le même travail en 3D pour le problème de Helmholtz avec condition de Dirichlet sur le bord d'un objet filiforme dont les pointes sont arrondies ellipsoïdalement. Nous dérivons également un modèle approché dont l'étude mène à une justification théorique de l'équation de Pocklington dans sa version scalaire.

This thesis deals with the propagation of waves in media that comprise thin wires the thickness of which is much smaller than the wavelength.We apply the matched asymptotic expansion method and derive an expansion of the solution to the two dimensional Helmholtz equation around a small obstacle with Dirichlet boundary condition. Then we present a simplified model for this problem involving an averaged boundary condition and analyze two non-standard numerical methods for computing accurately the corresponding solution : the first one is a variation of the singular function method, and the second one is a scalar version of the Holland method. We prove the consistency of both methods in this case. Then we provide comparable results for the 3D Helmholtz problem with Dirichlet boundary condition on a wire-shaped obstacle with ellipsoïdal tips. We also derive a simplifiedmodel in the latter setting and this leads to a justification of a scalar version of the Pocklington equation., Cette thèse traite de la modélisation de la propagation d'ondes dans des milieux comportant des fils minces i.e. dont l'épaisseur est bien plus petite que la longueur d'onde. En appliquant la méthode des développements raccordés, nous dérivons un développement de la solution de l'équation de Helmholtz en 2D autour d'un petit obstacle avec condition de Dirichlet sur le bord et proposons un modèle approché dans lequel intervient une condition de Dirichlet moyennée. Par ailleurs nous proposons et analysons deux méthodes numériques non standard pour en calculer la solution avec précision : l'une est adaptée de la méthode de la fonction singulière et l'autre est une version scalaire de la méthode de Holland. Nous démontrons la consistance de ces méthodes. Nous effectuons ensuite le même travail en 3D pour le problème de Helmholtz avec condition de Dirichlet sur le bord d'un objet filiforme dont les pointes sont arrondies ellipsoïdalement. Nous dérivons également un modèle approché dont l'étude mène à une justification théorique de l'équation de Pocklington dans sa version scalaire.

This work is situated in a framework of modelisation and simulation of the transport of electrons in a nano-device. This transport is described in quantum mechanics through Schrödinger-Poisson systems. The principal part of the work concentrates on the case of the resonant tunnelling diode (RTD) which wells lead to resonances of the involved Hamiltonian.In a first part, we propose numerical methods for the simulation of RTD. To solve the corresponding Shrödinger-Poisson system --with one space variable and in an unbounded domain-- we propose a reference method available for a thin frequency mesh at resonances. The motivation is then to write an algorithm giving similar results to the reference one without the frequency refining constraint which increases the numerical cost. A method is proposed which corresponds to the decomposition of the wave functions in a non-resonant and resonant part. The last requires a precise computation of the resonant mode and of the resonance. For the stationary regime all the resonant information is captured with a large frequency mesh. The principal innovation was to adapt this method to the time dependant regime.In a second part, we compare our reference algorithm to the algorithm of Bonnaillie-Noël, Nier and Patel which is obtained thanks to the semi-classical limit h tends to 0 and which has an interesting computational time. In the stationary regime, the comparison allowed to verify the existence of some branches of the current/voltage curve of the RTD given by the reduced model. For the two wells system, we used our transient algorithm with a value of the potential bias which corresponds to a crossing of the resonant energies related to each well, and we verified that some beating effect occurs from one well to the other.In order to get reduced models similar to the model studied in the second part, we realize, in a third part, the asymptotical analysis of a stationary Schrödinger-Poisson model on a bounded domain of R^d, dDans une première partie, nous proposons des méthodes numériques pour la simulation de RTD. Pour résoudre le problème de Shrödinger-Poisson -- en une variable d'espace et en domaine non borné -- qui correspond, nous proposons une méthode de référence valide pour un maillage fin en fréquence autour des résonances. Le travail est motivé par l'écriture d'un algorithme permettant de retrouver les résultats de la méthode de référence en s'affranchissant de la contrainte de raffinement en fréquence qui rend les temps de calcul excessifs. Nous proposons une méthode consistant en la décomposition des fonctions d'onde en une partie non résonnante et une partie résonnante, la dernière nécessitant un calcul précis du mode résonnant et de la valeur de la résonance. En régime stationnaire, la totalité de l'information résonnante est captée sans avoir à raffiner le maillage en fréquence. La principale nouveauté a été d'adapter cette méthode en régime instationnaire.Dans une deuxième partie, nous comparons notre algorithme de référence à l'algorithme de Bonnaillie-Noël, Nier et Patel basé sur un modèle réduit obtenu en réalisant la limite semi-classique h tend vers 0 et intéressant par son temps de calcul. En régime stationnaire, la comparaison a permis de vérifier l'existence de certaines branches de la courbe courant/tension de la RTD prévues par le modèle réduit. Dans le cas de deux puits, nous avons utilisé notre algorithme instationnaire dans une région de la différence de potentiel où un croisement des énergies résonnantes associées à chaque puits se produit donnant une évidence numérique de l'occurrence de phénomènes de battement de la charge d'un puits à l'autre.En vue d'obtenir des modèles réduits similaires à celui étudié dans la deuxième partie, on réalise, dans une troisième partie, l'étude asymptotique d'un système de Schrödinger-Poisson stationnaire considéré sur un domaine borné inclus dans R^d, d

Working on some random variables, like additive parameters on multidimensional point quadtrees, or the number of maxima among a set of n points, independent and uniformly distributed in [0,1]^d makes appear some particular sequences, called multiple harmonic sums (MHS), extensions of classical harmonic numbers to compositions.Aiming at applying symbolic methods to study these random variables, we replace the use of compositions by encodings over different alphabets, and then call upon important results in the theory of combinatorics on words to apply them to our special sequences of MHS and to polylogarithms, derivative of generating functions of MHS. In convergent cases (respectively as z tends to 1 and as N tends to infinity) both converge to the same limit, called polyzêta. For divergent cases, the use of noncommutative generating series enables us to prove a theorem ``à l'Abel'', giving rise to a common limit. This theorem enables one to give an explicit form to generalized Euler constants associated to divergent MHS and so to get a very efficient algorithm to compute their asymptotic expansion.Finally, we suggest some applications of harmonic sums in the field of multidimensional data structure, for which our approach gives rise to exact computations, which can be then easily asymptotically evaluated.; L'étude de certaines variables aléatoires, comme les paramètres additifs sur les arbres hyperquaternaires de points, ou encore le nombre de maxima au sein d'un ensemble de n points indépendants, et uniformément distribués dans [0,1]^d font apparaître des suites particulières, les sommes harmoniques multiples (SHM), extensions des nombres harmoniques classiques à des multi-indices.Nos travaux visant à appliquer des méthodes symboliques pour l'étude de ces variables aléatoires, nous remplaçons l'utilisation de multi-indices par des codages sur des alphabets distincts, et nous appuyons alors sur des résultats importants en combinatoire des mots pour les appliquer à nos suites de SHM, et aux fonctions polylogarithmes, qui sont des variantes des génératrices ordinaires des SHM. Dans les cas convergents, les deux objets convergent (respectivement lorsque z tend vers 1 et lorsque N tend vers l'infini) vers la même limite, appelée polyzêta. Pour les cas divergents, l'utilisation de séries génératrices non commutatives nous permet d'établir un théorème ``à l'Abel'', faisant apparaître une limite commune. Ce théorème permet de donner une forme explicite aux constantes d'Euler généralisées associées à des SHM divergentes et ainsi d'obtenir un algorithme très efficace pour calculer leur développement asymptotique.Finalement, nous proposons des applications des sommes harmoniques dans le domaine des structures de données multidimensionnelles, pour lesquelles notre approche donne naissance à des calculs exacts, qui peuvent par la suite être aisément évalués asymptotiquement.

This work is situated in a framework of modelisation and simulation of the transport of electrons in a nano-device. This transport is described in quantum mechanics through Schrödinger-Poisson systems. The principal part of the work concentrates on the case of the resonant tunnelling diode (RTD) which wells lead to resonances of the involved Hamiltonian.In a first part, we propose numerical methods for the simulation of RTD. To solve the corresponding Shrödinger-Poisson system --with one space variable and in an unbounded domain-- we propose a reference method available for a thin frequency mesh at resonances. The motivation is then to write an algorithm giving similar results to the reference one without the frequency refining constraint which increases the numerical cost. A method is proposed which corresponds to the decomposition of the wave functions in a non-resonant and resonant part. The last requires a precise computation of the resonant mode and of the resonance. For the stationary regime all the resonant information is captured with a large frequency mesh. The principal innovation was to adapt this method to the time dependant regime.In a second part, we compare our reference algorithm to the algorithm of Bonnaillie-Noël, Nier and Patel which is obtained thanks to the semi-classical limit h tends to 0 and which has an interesting computational time. In the stationary regime, the comparison allowed to verify the existence of some branches of the current/voltage curve of the RTD given by the reduced model. For the two wells system, we used our transient algorithm with a value of the potential bias which corresponds to a crossing of the resonant energies related to each well, and we verified that some beating effect occurs from one well to the other.In order to get reduced models similar to the model studied in the second part, we realize, in a third part, the asymptotical analysis of a stationary Schrödinger-Poisson model on a bounded domain of R^d, d, Le travail de cette thèse se place dans un contexte de modélisation et de simulation numérique du transport d'électrons dans un nano-composant. Ce transport est décrit en mécanique quantique à l'aide de systèmes de Schrödinger-Poisson. La majeure partie du travail se concentre sur le cas de la diode à effet tunnel résonnant (RTD) dont les puits quantiques donnent lieu à des résonances de l'Hamiltonien mis en jeu.Dans une première partie, nous proposons des méthodes numériques pour la simulation de RTD. Pour résoudre le problème de Shrödinger-Poisson -- en une variable d'espace et en domaine non borné -- qui correspond, nous proposons une méthode de référence valide pour un maillage fin en fréquence autour des résonances. Le travail est motivé par l'écriture d'un algorithme permettant de retrouver les résultats de la méthode de référence en s'affranchissant de la contrainte de raffinement en fréquence qui rend les temps de calcul excessifs. Nous proposons une méthode consistant en la décomposition des fonctions d'onde en une partie non résonnante et une partie résonnante, la dernière nécessitant un calcul précis du mode résonnant et de la valeur de la résonance. En régime stationnaire, la totalité de l'information résonnante est captée sans avoir à raffiner le maillage en fréquence. La principale nouveauté a été d'adapter cette méthode en régime instationnaire.Dans une deuxième partie, nous comparons notre algorithme de référence à l'algorithme de Bonnaillie-Noël, Nier et Patel basé sur un modèle réduit obtenu en réalisant la limite semi-classique h tend vers 0 et intéressant par son temps de calcul. En régime stationnaire, la comparaison a permis de vérifier l'existence de certaines branches de la courbe courant/tension de la RTD prévues par le modèle réduit. Dans le cas de deux puits, nous avons utilisé notre algorithme instationnaire dans une région de la différence de potentiel où un croisement des énergies résonnantes associées à chaque puits se produit donnant une évidence numérique de l'occurrence de phénomènes de battement de la charge d'un puits à l'autre.En vue d'obtenir des modèles réduits similaires à celui étudié dans la deuxième partie, on réalise, dans une troisième partie, l'étude asymptotique d'un système de Schrödinger-Poisson stationnaire considéré sur un domaine borné inclus dans R^d, d

I summarize the research papers performed after my PhD. They belong to three domains :1-asymptotic analysis of Navier-Stokes equations.2-Optimal design of structures minimizing water waves impact in order to control coastal erosion.3-analysis of PDE with non local terms arising in dune morphodynamics.; Je présente essentiellement les travaux réalisés depuis ma thèse. Ils se classent en trois thèmes:Analyse asymptotique des équations de Navier-Stokes,Optimisation de forme d'ouvrages de lutte contre l'érosion du littoral,Etude d'équations aux dérivées partielles comportant des termes non-locaux.Dans le thème 1, je développe la justification mathématique de l'approximation hydrostatique pour les fluides géophysiques à faible quotient d'aspect, hypothèse couramment vérifiée en océanographie et en météorologie. C'est un problème de perturbation singulière. Je présente également l'étude théorique et numérique de l'écoulement cône-plan, utilisé en hématologie-hémostase pour le sang de patients. Il s'agit d'un problème de couche limite singulière.Le thème 2 concerne le génie côtier. Les ouvrages utilisés tels que épis, brise-lames, enrochements sont de forme trop rudimentaire. Leur efficacité peut être améliorée significativement si leur forme est optimisée pour réduire l'énergie dissipée par la houle dans la zone proche-littorale. Nous optimisons aussi la forme de géotextiles immergés. Ce travail, réalisé dans le cadre de la thèse de Damien Isèbe, a reçu le soutien de l'ANR (projet COPTER) et s'effectue en partenariat avec le laboratoire Géosciences Montpellier et l'entreprise Bas-Rhône-Languedoc ingénierie (Nîmes).Dans le thème 3, nous prouvons existence, unicité et régularité de solutions pour l'équation de la chaleur fractionnaire, perturbée par un bruit blanc. C'est une équation aux dérivées partielles stochastique.Nous prouvons enfin un résultat d'existence, unicité et dépendance continue pour une loi de conservation non linéaire, comportant un terme non local, qui modélise l'évolution d'un profil de dune immergée. L'intérêt mathématique est que l'équation ne vérifie pas le principe du maximum mais possède néanmoins un effet régularisant.

The PhD thesis is concerned with the study of a new class of quantum transport models: the quantum fluid models derived from the entropy principle. These models have been derived in two articles published in 2003 and 2005 by Degond, Méhats and Ringhofer in the Journal of Statistical Physics, by adapting to the quantum framework the moment method developed by Levermore in the classical framework. This method consists in taking the moments of the Quantum Liouville equation and closing this system by a local equilibrium (or quantum Maxwellian) defined as the minimizer of a quantum entropy with constraints on some physical quantities such as the mass, current, and energy. The main interest of such macroscopic models is their low cost in terms of numerical implementation compared to microscopic models such as the Schrödinger equation or the Wigner equation. Moreover, such models take implicitly into account collisions which are much more difficult to handle with quantum microscopic models. The goal of this thesis is thus to propose numerical methods to implement these models and to test them on some physical devices.We have started in chapter I by proposing a discretization for the most simple of these models which is the Quantum Drift-Diffusion model on a closed domain. We have then decided in chapter II and III to apply this model to electron transport in semiconductors by choosing as open device the resonant tunneling diode. We have then studied in chapter IV the Isothermal Quantum Euler model, before considering in chapter V the study of non isothermal models such as the Quantum Hydrodynamic and the Quantum Energy Transport models. Finally, chapter VI is concerned with a slightly different problem which is the implementation of an asymptotically stable scheme in the semiclassical limit for the fluid formulation of the Schrödinger equation: the Madelung system.; Le sujet de la thèse porte sur l'étude d'une nouvelle classe de modèles de transport quantique: les modèles fluides quantiques issus du principe de minimisation d'entropie. Ces modèles ont été dérivés dans deux articles publiés en 2003 et 2005 par Degond, Méhats et Ringhofer dans Journal of Statistical Physics en adaptant au cadre de la théorie quantique la méthode des moments développée par Levermore dans le cadre classique. Cette méthode consiste à prendre les moments de l'équation de Liouville quantique et à fermer ce système par un équilibre local (ou Maxwellienne quantique) défini comme minimiseur d'une certaine entropie quantique sous contrainte de conservation de certaines quantités physiques comme la masse, le courant, et l'énergie. Le principal intérêt des modèles quantiques ainsi obtenus provient du fait qu'étant macroscopiques, ils sont biens moins coûteux numériquement que des modèles microscopiques comme l'équation de Schrödinger ou l'équation de Wigner, et de plus, ils prennent en compte implicitement des effets de collision bien plus difficiles à modéliser à un niveau microscopique. Le but de cette thèse est donc de proposer des méthodes numériques pour implémenter ces modèles et de les tester sur des dispositifs physiques adéquats.Nous avons donc commencé dans le chapitre I par proposer une discrétisation du plus simple de ces modèles qu'est le modèle de Dérive-Diffusion Quantique sur un domaine fermé. Puis nous avons décidé dans le chapitre II et III d'appliquer ce modèle au transport d'électrons dans les semiconducteurs en choisissant comme dispositif ouvert la diode à effet tunnel résonnant. Ensuite nous nous sommes intéressés au chapitre IV à l'étude et l'implémentation du modèle d'Euler Quantique Isotherme, avant de s'attaquer aux modèles non isothermes dans le chapitre V avec l'étude des modèles d'Hydrodynamique Quantique et de Transport d'Énergie Quantique. Enfin, le chapitre VI s'intéresse à un problème un petit peu différent en proposant un schéma asymptotiquement stable dans la limite semi-classique pour l'équation de Schrödinger écrite dans sa formulation fluide: le système de Madelung.

The PhD thesis is concerned with the study of a new class of quantum transport models: the quantum fluid models derived from the entropy principle. These models have been derived in two articles published in 2003 and 2005 by Degond, Méhats and Ringhofer in the Journal of Statistical Physics, by adapting to the quantum framework the moment method developed by Levermore in the classical framework. This method consists in taking the moments of the Quantum Liouville equation and closing this system by a local equilibrium (or quantum Maxwellian) defined as the minimizer of a quantum entropy with constraints on some physical quantities such as the mass, current, and energy. The main interest of such macroscopic models is their low cost in terms of numerical implementation compared to microscopic models such as the Schrödinger equation or the Wigner equation. Moreover, such models take implicitly into account collisions which are much more difficult to handle with quantum microscopic models. The goal of this thesis is thus to propose numerical methods to implement these models and to test them on some physical devices.We have started in chapter I by proposing a discretization for the most simple of these models which is the Quantum Drift-Diffusion model on a closed domain. We have then decided in chapter II and III to apply this model to electron transport in semiconductors by choosing as open device the resonant tunneling diode. We have then studied in chapter IV the Isothermal Quantum Euler model, before considering in chapter V the study of non isothermal models such as the Quantum Hydrodynamic and the Quantum Energy Transport models. Finally, chapter VI is concerned with a slightly different problem which is the implementation of an asymptotically stable scheme in the semiclassical limit for the fluid formulation of the Schrödinger equation: the Madelung system.; Le sujet de la thèse porte sur l'étude d'une nouvelle classe de modèles de transport quantique: les modèles fluides quantiques issus du principe de minimisation d'entropie. Ces modèles ont été dérivés dans deux articles publiés en 2003 et 2005 par Degond, Méhats et Ringhofer dans Journal of Statistical Physics en adaptant au cadre de la théorie quantique la méthode des moments développée par Levermore dans le cadre classique. Cette méthode consiste à prendre les moments de l'équation de Liouville quantique et à fermer ce système par un équilibre local (ou Maxwellienne quantique) défini comme minimiseur d'une certaine entropie quantique sous contrainte de conservation de certaines quantités physiques comme la masse, le courant, et l'énergie. Le principal intérêt des modèles quantiques ainsi obtenus provient du fait qu'étant macroscopiques, ils sont biens moins coûteux numériquement que des modèles microscopiques comme l'équation de Schrödinger ou l'équation de Wigner, et de plus, ils prennent en compte implicitement des effets de collision bien plus difficiles à modéliser à un niveau microscopique. Le but de cette thèse est donc de proposer des méthodes numériques pour implémenter ces modèles et de les tester sur des dispositifs physiques adéquats.Nous avons donc commencé dans le chapitre I par proposer une discrétisation du plus simple de ces modèles qu'est le modèle de Dérive-Diffusion Quantique sur un domaine fermé. Puis nous avons décidé dans le chapitre II et III d'appliquer ce modèle au transport d'électrons dans les semiconducteurs en choisissant comme dispositif ouvert la diode à effet tunnel résonnant. Ensuite nous nous sommes intéressés au chapitre IV à l'étude et l'implémentation du modèle d'Euler Quantique Isotherme, avant de s'attaquer aux modèles non isothermes dans le chapitre V avec l'étude des modèles d'Hydrodynamique Quantique et de Transport d'Énergie Quantique. Enfin, le chapitre VI s'intéresse à un problème un petit peu différent en proposant un schéma asymptotiquement stable dans la limite semi-classique pour l'équation de Schrödinger écrite dans sa formulation fluide: le système de Madelung.

This work aims at taking into account the infleunce of boundary defects on the behavior till rupture of structures without any fine geometrical description of the domain. This is achieved by appealing to two approaches : an asymptotic analysis of Navier equations and strong discontinuity models. We present in this work a strategy to couple the two approcahes in order to provide the analysis till rupture of the structure behavior., L’objectif de ce travail est de prendre en compte l’influence de la présence de défauts surfaciques sur le comportement jusqu’à rupture des structures et ce sans description fine de la géométrie des perturbations. L’approche proposée s’appuie principalement sur deux outils : une analyse asymptotique fine des équations de Navier et l’utilisation des modèles à discontinuité forte. Une stratégie de couplage des deux approches permettant l’analyse du comportement de la structure jusqu’à rupture est également présentée.

Dans ce travail, nous établissons formellement un modèle aymptotique basse fréquence pour la propagation du son dans un tube mince parcouru par un fluide en écoulement stationnaire. On aboutit à une équation différentielle (de type hyperbolique) par rapport à la variable longitudinale et non local en la variable transverse. Nous menons une analyse mathématique complète du problème d'évolution correspondant. Nous étudions en particulier l'influence du profil de la vitesse de l'écoulement sur le caractère bien posé de ce problème. Cette analyse est fondée sur l'analyse spectrale d'un opérateur borné non normal en dimension infinie. Un des débouchés potentiels de ce travail est l'obtention de résultats nouveaux sur les instabilités hydrodynamiques dans le cas des fluides compressibles.

In shape optimization, the main results concerning the case of domains with smooth boundaries and smooth perturbations of these domains are well-known, whereas the study of non-smooth domains, such as domains with cracks for instance, and the study of singular perturbations such as the creation of a hole in a domain is more recent and complex. This new field of research is motivated by multiple applications, since the smoothness assumptions are not fulfilled in the general case. These singular perturbations can be handled now with new and efficient tools like topological derivative. In the first part, the structure of the shape derivative for domains with cracks is studied. In the case of a smooth domain, with boundary of class C1 or lipschitzian for instance, the derivative depends only on the perturbations of the boundary of the domain in the normal direction. This structure theorem is no longer valid for domains with cracks. We extend here the structure theorem to domains with cracks in any dimension for the first and second derivatives. In dimension two, we get the usual result, i.e. the shape derivative depends also on the tangential components of the deformation at the tips of the crack. In higher dimension, a new term appears in addition to the classical one, coming from the boundary of the manifold representing the crack. In the second part, the singular perturbation of a domain is approximated by using self adjoint extensions of operators. This approximation is first described, then it is applied to a shape optimization problem. An approximated energy functional can be defined for this model problem, and we obtain in particular the usual formula of the topological derivative. In the third part, a numerical application of the topological and shape derivatives is proposed for a non-linear problem. The problem consists in maximizing the energy associated to a Signorini problem in a domain ­. The evolution of the domain is done with the help of a levelset method to handle easily topological changes., En optimisation de formes, de nombreux résultats ont déjà été obtenus dans le cas de domaines à frontière régulière et pour des perturbations régulières de ces domaines. Par contre, l'étude de domaines non-réguliers, tels que des domaines fissurés par exemple, et l'étude de perturbations singulières telles que la création d'un trou dans un domaine est plus récente et plus complexe. Ce nouveau domaine de recherche est motivé par de multiples applications, car en pratique, les hypothèses de régularité ne sont pas toujours vérifiées. Les outils tels que la dérivée topologique permettent d'appréhender ces perturbations singulières de domaines et leur utilisation est maintenant fréquente. Dans la première partie, nous étudions la structure de la dérivée de forme pour des domaines fissurés. Dans le cas d'un ouvert régulier, de classe C1 ou lipschitzien par exemple, la dérivée dépend uniquement des perturbations de la frontière du domaine en direction de la normale. Ce théorème de structure n'est plus valable pour des domaines contenant des fissures. On généralise ici ce théorème de structure aux domaines fissurés en dimension quelconque pour les dérivées premières et secondes. En dimension deux, on retrouve le résultat usuel, à savoir qu'en plus du terme classique, deux nouvelles contributions apparaissent dûes aux extrémités de la fissure. En dimension supérieure, un nouveau terme apparaît en plus du terme classique, dû à la frontière de la variété à bord représentant la fissure. Dans la deuxième partie, nous étudions la perturbation singulière d'un domaine et nous modélisons cette perturbation à l'aide d'extensions auto-adjointes d'opérateurs. Nous décrivons cette modélisation, puis nous montrons comment elle peut être utilisée pour un problème d'optimisation de forme. En définissant une fonctionnelle d'énergie approchée pour ce problème modèle, on retrouve notamment la formule de la dérivée topologique usuelle. Dans la troisième partie, on propose une application numérique de la dérivée topologique et de la dérivée de forme pour un problème non-linéaire. On cherche à maximiser l'énergie associée à la solution d'un problème de Signorini dans un domaine ­. L'évolution du domaine est représentée à l'aide d'une méthode levelset.