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Wir schlagen ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen mit homogenen nichtlinearen Termen des ersten Grades vor, um den demografischen Übergang zu modellieren. Es gibt zwei Altersgruppen und zwei Fruchtbarkeitsstufen. Eine geringe Fruchtbarkeit erstreckt sich durch Mimikry auf Erwachsene mit hoher Fruchtbarkeit. Wenn der Mimikry-Koeffizient zunimmt, überschreitet die Bevölkerung zwei Schwellenwerte. Zwischen diesen beiden Schwellenwerten nimmt die Population mit einer stabilen Mischung der beiden Fertilitätsraten exponentiell zu oder ab. Dieser teilweise demografische Übergang ist in einigen Ländern Afrikas südlich der Sahara zu beobachten. We study a mathematical model for the demographic transition. It is a homogeneous differential system of degree one. There are two age groups and two fertility levels. Low fertility extends by mimicry to adults with high fertility. When the mimicry coefficient increases, the system crosses two thresholds between which the population increases or decreases exponentially with a stable mixture of the two fertility rates. This partial demographic transition is reminiscent of the situation in some countries of sub-Saharan Africa. On propose un système d'équations différentielles ordinaires avec des termes non linéaires homogènes de degré un pour modéliser la transition démographique. Il y a deux classes d'âge et deux niveaux de fécondité. La fécondité faible s'étend par mimétisme aux adultes avec une fécondité élevée. Lorsque le coefficient de mimétisme augmente, la population traverse deux seuils. Entre ces deux seuils, la population croît ou décroît exponentiellement avec un mélange stable des deux fécondités. Cette transition démographique partielle s'observe dans certains pays d'Afrique subsaharienne.

The inflammatory myofibroblastic tumour of the bladder is a rare benign affection that interests mainly young adults. Its etiopathogeny remains unknown, but its tumoral origin was evocated recently by Griffin (1999), incriminating a chromosomic abnormality involving the ALK gene. We will discuss the etiopathogenic, anatopathological and therapeutical aspects of this lesion for which the diagnosis is histological and the treatment remains conservative with a good prognosis.

The male urethral diverticulum is a rare affection. The authors report one case of congenital urethral diverticulum. The diagnosis was approved by clinical examination and urethrocystography. Treatment was based by resection of the diverticulum and urethrography. On the basis of this case, the authors discuss the incidence, diagnosis and therapeutic aspects of this disease.

Cette thèse porte sur l’analyse et le contrôle optimal d’un digesteur anaérobie. L’objectif est de proposer une stratégie de commande optimale pour maximiser la quantité de biogaz produit dans un bioréacteur anaérobie sur une période de temps donnée. Plus particulièrement, à partir d’un modèle simple de bioprocédé et en considérant une classe importante de cinétiques de croissance, nous résolvons un problème de maximisation de biogaz produit par le système pendant un temps fixé, en utilisant le taux de dilution D(.) comme variable de contrôle. Dépendant des conditions initiales du système, l’analyse du problème de contrôle optimal fait apparaître des degrés de difficulté très divers. Dans une première partie, nous résolvons le problème dans le cas où le taux de dilution permettant de maximiser le débit de gaz à l’équilibre est à l’intérieur des bornes minimales et maximales du débit d’alimentation pouvant être appliqué au système : il s’agit du cas WDAC (Well Dimensioned Actuator Case). La synthèse du contrôle optimal est obtenue par une approche de comparaison de trajectoires d’un système dynamique. Une étude comparative des solutions exactes avec celle obtenues avec une approche numérique directe en utilisant le logiciel “BOCOP” est faite. Une comparaison des performances du contrôleur optimal avec celles obtenues en appliquant une loi heuristique est discutée. On montre en particulier que les deux lois de commande amènent le système vers le même point optimal. Dans une deuxième partie, dans le cas où l’actionneur est sous- (ou sur-) dimensionné, c’est-à-dire si la valeur du taux de dilution à appliquer pour obtenir le maximum de biogaz à l’équilibre est en dehors de la valeur minimale ou maximale de l’actionneur, alors nous définissons les cas UDAC (Uder dimensioned Actuator Case) et ODAC (Over Dimensioned Actuator Case) que nous résolvons en appliquant le principe du maximum de Pontryagin, This thesis focuses on the optimal control of an anaerobic digestor for maximizing its biogas production. In particular, using a simple model of the anaerobic digestion process, we derive a control law to maximize the biogas production over a period of time using the dilution rate D(.) as the control variable. Depending on initial conditions and constraints on the actuator, the search for a solution to the optimal control problem reveals very different levels of difficulty. In the first part, we consider that there are no severe constraints on the actuator. In particular, the interval in which the input flow rate lives includes the value which allows the biogas to be maximized at equilibrium. For this case, named WDAC (Well Dimensioned Actuator Case) we solve the optimal control problem using classical tools of differential equations analysis. Numerical simulations illustrate the robustness of the control law with respect to several parameters, notably with respect to initial conditions. We use these results to show that an heuristic control law proposed in the literature is optimal in a certain sense. The optimal trajectories are then compared with those given by a purely numerical optimal control solver (i.e. the "BOCOP" toolkit) which is an open-source toolbox for solving optimal control problems. When the exact analytical solution to the optimal control problem cannot be found, we suggest that such numerical tool can be used to intuiter optimal solutions. In the second part, the problem of maximizing the biogas production is treated when the actuator is under (-over) dimensioned. These are the cases UDAC (Under Dimensioned Actuator Cases) and ODAC (Over Dimensioned Actuator Cases). Then we solve these optimal problems using the Maximum Principle of Pontryagin.