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Lower Bound for the Canonical Height for Drinfeld Modules with Complex Multiplication. Let K be a fi nite extension of Fq(T), let L=K be a Galois extension with Galois group G and let E be the sub eld of L fixed by the center of G. Assume that there exists a finite place v of K such that the local degrees of E=K above v are bounded. Let $\phi$ be a Drinfeld module with complex multiplication. We give an e fective lower bound for the canonical height of $\phi$ on L outside the torsion points of $\phi$ . In the number field case, this problem was solved by F. Amoroso, S. David and U. Zannier., Comment: in French

This thesis studies the existence of torsion points of rank 2 Drinfeld modules over finite extensions of F_q(T) (q a prime power). Following the approach of Mazur and Merel for the torsion of elliptic curves over number fields, we introduce and study a quotient of the Jacobian of a Drinfeld modular curve, defined by a special Teitelbaum modular symbol. Under a hypothesis of duality between Hecke algebra and modular forms for F_q[T], and a minor technical hypothesis, we show the following result: if there exists a rank 2 Drinfeld module over an extension of degree at most q of F_q(T), with a torsion point of order a prime ideal n of F_q[T], then the degree of n is at most max(q,4). For this purpose, we use a description of the action of the Hecke algebra on Teitelbaum modular symbols and on modular forms for F_q[T]. When n has small degree, we obtain unconditional results: there exists no rank 2 Drinfeld module over an extension of degree at most 2 (resp. at most 3) of F_q(T) with a torsion point of order a prime ideal of degree 3 (resp. 4 if q is at least 7). These statements partially confirm a conjecture of Poonen and Schweizer, about a uniform bound for the torsion of Drinfeld modules.; Cette thèse étudie l'existence de points de torsion pour les modules de Drinfeld de rang 2 sur des extensions finies de F_q(T), pour q puissance d'un nombre premier. Notre approche suit celle de Mazur et Merel pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres : nous introduisons un quotient de la jacobienne d'une courbe modulaire de Drinfeld, défini à l'aide d'un symbole modulaire de Teitelbaum particulier, et étudions ses propriétés. Sous une hypothèse de dualité entre algèbre de Hecke et formes modulaires pour F_q[T], ainsi qu'une hypothèse technique mineure, on montre le résultat suivant : s'il existe un module de Drinfeld de rang 2 sur une extension de degré au plus q de F_q(T), muni d'un point de torsion d'ordre un idéal premier n de F_q[T], alors le degré de n est au plus max(q,4). Nous utilisons pour cela une description de l'action de l'algèbre de Hecke sur les symboles modulaires de Teitelbaum et sur les formes modulaires pour F_q[T]. Lorsque le degré de n est petit, on obtient des résultats non conditionnels : il n'existe aucun module de Drinfeld de rang 2 sur une extension de degré au plus 2 (resp. au plus 3) de F_q(T) possédant un point de torsion d'ordre un idéal premier de degré 3 (resp. de degré 4 si q est au moins 7). Cela confirme partiellement une conjecture de Poonen et Schweizer de borne uniforme sur la torsion des modules de Drinfeld.

This thesis studies the existence of torsion points of rank 2 Drinfeld modules over finite extensions of F_q(T) (q a prime power). Following the approach of Mazur and Merel for the torsion of elliptic curves over number fields, we introduce and study a quotient of the Jacobian of a Drinfeld modular curve, defined by a special Teitelbaum modular symbol. Under a hypothesis of duality between Hecke algebra and modular forms for F_q[T], and a minor technical hypothesis, we show the following result: if there exists a rank 2 Drinfeld module over an extension of degree at most q of F_q(T), with a torsion point of order a prime ideal n of F_q[T], then the degree of n is at most max(q,4). For this purpose, we use a description of the action of the Hecke algebra on Teitelbaum modular symbols and on modular forms for F_q[T]. When n has small degree, we obtain unconditional results: there exists no rank 2 Drinfeld module over an extension of degree at most 2 (resp. at most 3) of F_q(T) with a torsion point of order a prime ideal of degree 3 (resp. 4 if q is at least 7). These statements partially confirm a conjecture of Poonen and Schweizer, about a uniform bound for the torsion of Drinfeld modules., Cette thèse étudie l'existence de points de torsion pour les modules de Drinfeld de rang 2 sur des extensions finies de F_q(T), pour q puissance d'un nombre premier. Notre approche suit celle de Mazur et Merel pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres : nous introduisons un quotient de la jacobienne d'une courbe modulaire de Drinfeld, défini à l'aide d'un symbole modulaire de Teitelbaum particulier, et étudions ses propriétés. Sous une hypothèse de dualité entre algèbre de Hecke et formes modulaires pour F_q[T], ainsi qu'une hypothèse technique mineure, on montre le résultat suivant : s'il existe un module de Drinfeld de rang 2 sur une extension de degré au plus q de F_q(T), muni d'un point de torsion d'ordre un idéal premier n de F_q[T], alors le degré de n est au plus max(q,4). Nous utilisons pour cela une description de l'action de l'algèbre de Hecke sur les symboles modulaires de Teitelbaum et sur les formes modulaires pour F_q[T]. Lorsque le degré de n est petit, on obtient des résultats non conditionnels : il n'existe aucun module de Drinfeld de rang 2 sur une extension de degré au plus 2 (resp. au plus 3) de F_q(T) possédant un point de torsion d'ordre un idéal premier de degré 3 (resp. de degré 4 si q est au moins 7). Cela confirme partiellement une conjecture de Poonen et Schweizer de borne uniforme sur la torsion des modules de Drinfeld.

The core of this thesis is the structure of Drinfeld Modules. This notion was introduced by Drinfeld in 1973, as "elleptic modules". These algebraic objects are the analog of elleptic curves on both of the field of numbers and the finite fields, given by the reduction modulo non-archimedian place. The arithmetical study of such objets becomes legitim, motivated by the arithmeticsofthecurvesdefinedonafinite fields and initiated by Artin, Hasse and Weil. In this direction, we extend this analogy for Drinfeld modules of rank two, in fact we give one analog of Weil theorem, Deuring-Waterhouse theorem, and the work of S.Vladut for the cyclicity of such algebraic structure., La notion de modules de Drinfeld est le centre de cette thèse, cette notion fut introduite par Drinfeld en 1973, comme étant des " modules elliptiques" appelés de nos jours modules de Drinfeld. Ceux sont des objets algèbriques analogues aux courbes elliptiques sur les corps des nombres et sur les corps finis, obtenus par la réduction modulo une place non-archimédiennene. Une étude de l'arithmétique de tels objet devient légitime, motivée par l'arithmétique des courbes définies sur un corps fini initiée par Artin, Hasse et Weil. Dans cette direction on pousse cette analogie, pour un module de Drinfeld de rang 2, à la majorité de points étudiés pour des courbes elliptiques sur un corps fini. On donne plus précisement un analogue du théorème de Weil, théorème de Deuring-Waterhouse, et un analogue du travail de S. Vladut sur la cyclicité de tel structure algébrique.

The core of this thesis is the structure of Drinfeld Modules. This notion was introduced by Drinfeld in 1973, as "elleptic modules". These algebraic objects are the analog of elleptic curves on both of the field of numbers and the finite fields, given by the reduction modulo non-archimedian place. The arithmetical study of such objets becomes legitim, motivated by the arithmeticsofthecurvesdefinedonafinite fields and initiated by Artin, Hasse and Weil. In this direction, we extend this analogy for Drinfeld modules of rank two, in fact we give one analog of Weil theorem, Deuring-Waterhouse theorem, and the work of S.Vladut for the cyclicity of such algebraic structure., La notion de modules de Drinfeld est le centre de cette thèse, cette notion fut introduite par Drinfeld en 1973, comme étant des " modules elliptiques" appelés de nos jours modules de Drinfeld. Ceux sont des objets algèbriques analogues aux courbes elliptiques sur les corps des nombres et sur les corps finis, obtenus par la réduction modulo une place non-archimédiennene. Une étude de l'arithmétique de tels objet devient légitime, motivée par l'arithmétique des courbes définies sur un corps fini initiée par Artin, Hasse et Weil. Dans cette direction on pousse cette analogie, pour un module de Drinfeld de rang 2, à la majorité de points étudiés pour des courbes elliptiques sur un corps fini. On donne plus précisement un analogue du théorème de Weil, théorème de Deuring-Waterhouse, et un analogue du travail de S. Vladut sur la cyclicité de tel structure algébrique.

We prove a characteristic p analogue of a special case of the André-Oort conjecture. More precisely, let Z be a product of n Drinfeld modular curves, and let X be an irreducible algebraic subvariety of Z. We prove that X contains a Zariski-dense set of CM points (i.e. points corresponding to n-tuples of Drinfeld A-modules of rank 2 with complex multiplication, where A=F_q[T], and q is a power of an odd prime) if and only if X is a so-called modular subvariety. Our approach is based on a characteristic 0 approach of Edixhoven., Nous démontrons une version pour la caractéristique p d'un cas spécial de la conjecture d'André-Oort. Plus précisement, soit Z le produit de n courbes modulaires de Drinfeld, et soit X une sous-variété algébrique irréductible de Z. Alors nous démontrons que X contient un ensemble Zariski-dense de points CM (c.a.d. points correspondant aux n-uples de A-modules de Drinfeld de rang 2 avec mulitplications complexes, où A=F_q[T], et q est une puissance d'un nombre prémier impair) si et seulement si X est une sous-variété dite modulaire. Notre approche répose sur une approche (en caractéristique 0) due à Edixhoven.