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This thesis is devoted to the study of random perturbation of two models of interacting particle systems related to quantum mechanics. First is a one-dimensional disordered chain of quantum harmonic oscillators, where a hydrodynamic limit inthe hyperbolic scaling of time and space is proven; elongation, momentum, and energy converge to the solution of the Euler equation in this scaling.In the second model, a mass conserving stochastic perturbation of a certain class of discrete non-linear Schrödinger equations is introduced, modeling the action of a heat bath at a given temperature. The corresponding Gibbs measureis the unique invariant measure of the dynamics, providing ergodicity and time-mixing properties. As an application, it is proved that in the one-dimensional cubic focusing case, the large time, continuum approximation, and the low-temperature limit of the solution converges to the steady wave of the continuous non-perturbed equation that minimizes the energy fora given mass., Cette thèse est consacrée à l’étude de la perturbation aléatoire de deux modèles de systèmes de particules en interaction, liés à la mécanique quantique. Le premier est une chaîne désordonnée unidimensionnelle d’oscillateurs harmoniques quantiques, où une limite hydrodynamique dans l’échelle hyperbolique du temps et de l’espace est prouvée ; l’élongation, la quantité de mouvement et l’énergie convergent vers la solution de l’équation d’Euler dans cette échelle. Dans le deuxième modèle, une perturbation stochastique conservant la masse d’une certaine classe d’équations de Schrödinger non-linéaires discrètes est introduite, modélisant l’action d’un bain de chaleur à une température donnée. La mesure de Gibbs correspondante est la seule mesure invariante de la dynamique, fournissant des propriétés d’ergodicité et de mélange temporel. En guise d’application, on étudie la limite de grand temps, l’approximation du continuum, et la limite de basse température dans le cas cubique unidimensionnelle focalisant.

Non disponible; Non disponible

The object of research of this thesis is the derivation of heat equation from the underlying microscopic dynamics of the system. Two main models have been studied: a microscopic system described by the discrete Schrödinger equation and an anharmonic chain of oscillators in presence of a gradient of temperature. The first model considered is the one-dimensional discrete linear Schrödinger (DLS) equation perturbed by a conservative stochastic dynamics, that changes the phase of each particles, conserving the total norm (or number of particles). The resulting total dynamics is a degenerate hypoelliptic diffusion with a smooth stationary state. It has been shown that the system has a hydrodynamical limit given by the solution of the heat equation. When it is coupled at the boundaries to two Langevin thermostats at two different chemical potentials, it has been proven that the stationary state, in the limit to infinity, satisfies the Fourier’s law. The second model considered is a chain of anharmonic oscillators immersed in a heat bath with a temperature gradient and a time varying tension applied to one end of the chain while the other side is fixed to a point. We prove that under diffusive space-time rescaling the volume strain distribution of the chain evolves following a non-linear diffusive equation. The stationary states of the dynamics are of non-equilibrium and have a positive entropy production, so the classical relative entropy methods cannot be used. We develop new estimates based on entropic hypocoercivity, that allows to control the distribution of the positions configurations of the chain. The macroscopic limit can be used to model isothermal thermodynamic transformations between non-equilibrium stationary states. CEMRACS project on simulating Rayleigh- Taylor and Richtmyer-Meshkov turbulent mixing zones with a probability density function method at last.; Cette thèse est consacrée à l’étude des modèles microscopiques pour la dérivation de la conduction de la chaleur. Démontrer rigoureusement une équation diffusive macroscopique à partir d’une description microscopique du système est à aujourd’hui encore un problème ouvert. On étudie un système décrit par l’équation de Schrödinger linéaire discrète (DLS) en dim 1, perturbé par une dynamique stochastique conservative. On peut montrer que le système a une limite hydrodynamique donnée par la solution de l’équation de la chaleur. Quand le système est rattaché aux bords à deux réservoirs de Langevin à deux différents potentiels chimiques, on peut montrer que l’état stationnaire, dans la limite vers l'infinie, satisfait la loi de Fourier. On étudie une chaine des oscillateurs anharmonique immergée en un réservoir de chaleur avec un gradient de température. On exerce une tension, variable dans le temps, à une des deux extrémités de la chaine, et l’autre reste fixe. On montre que sous un changement d’échelle diffusive dans l’espace et dans le temps, la distribution d’étirement de la chaine évolue selon un équation diffusive non-linéaire. On développe des estimations qui reposent sur l’hypocoercitivité entropique. La limite macroscopique peut être utilisée pour modéliser les transformations thermodynamique isothermiques entre états stationnaire de non-équilibre.

The object of research of this thesis is the derivation of heat equation from the underlying microscopic dynamics of the system. Two main models have been studied: a microscopic system described by the discrete Schrödinger equation and an anharmonic chain of oscillators in presence of a gradient of temperature. The first model considered is the one-dimensional discrete linear Schrödinger (DLS) equation perturbed by a conservative stochastic dynamics, that changes the phase of each particles, conserving the total norm (or number of particles). The resulting total dynamics is a degenerate hypoelliptic diffusion with a smooth stationary state. It has been shown that the system has a hydrodynamical limit given by the solution of the heat equation. When it is coupled at the boundaries to two Langevin thermostats at two different chemical potentials, it has been proven that the stationary state, in the limit to infinity, satisfies the Fourier’s law. The second model considered is a chain of anharmonic oscillators immersed in a heat bath with a temperature gradient and a time varying tension applied to one end of the chain while the other side is fixed to a point. We prove that under diffusive space-time rescaling the volume strain distribution of the chain evolves following a non-linear diffusive equation. The stationary states of the dynamics are of non-equilibrium and have a positive entropy production, so the classical relative entropy methods cannot be used. We develop new estimates based on entropic hypocoercivity, that allows to control the distribution of the positions configurations of the chain. The macroscopic limit can be used to model isothermal thermodynamic transformations between non-equilibrium stationary states. CEMRACS project on simulating Rayleigh- Taylor and Richtmyer-Meshkov turbulent mixing zones with a probability density function method at last.; Cette thèse est consacrée à l’étude des modèles microscopiques pour la dérivation de la conduction de la chaleur. Démontrer rigoureusement une équation diffusive macroscopique à partir d’une description microscopique du système est à aujourd’hui encore un problème ouvert. On étudie un système décrit par l’équation de Schrödinger linéaire discrète (DLS) en dim 1, perturbé par une dynamique stochastique conservative. On peut montrer que le système a une limite hydrodynamique donnée par la solution de l’équation de la chaleur. Quand le système est rattaché aux bords à deux réservoirs de Langevin à deux différents potentiels chimiques, on peut montrer que l’état stationnaire, dans la limite vers l'infinie, satisfait la loi de Fourier. On étudie une chaine des oscillateurs anharmonique immergée en un réservoir de chaleur avec un gradient de température. On exerce une tension, variable dans le temps, à une des deux extrémités de la chaine, et l’autre reste fixe. On montre que sous un changement d’échelle diffusive dans l’espace et dans le temps, la distribution d’étirement de la chaine évolue selon un équation diffusive non-linéaire. On développe des estimations qui reposent sur l’hypocoercitivité entropique. La limite macroscopique peut être utilisée pour modéliser les transformations thermodynamique isothermiques entre états stationnaire de non-équilibre.

In this thesis, we study an interacting particle system that generalizes a contact process, evolving in a random environment. The contact process can be interpreted as a spread of a population or an infection. The motivation of this model arises from behavioural ecology and evolutionary biology via the \textsl{sterile insect technique} ; its aim is to control a population by releasing sterile individuals of the same species: the progeny of a female and a sterile male does not reach sexual maturity, so that the population is reduced or potentially dies out.To understand this phenomenon, we construct a stochastic spatial model on a lattice in which the evolution of the population is governed by a contact process whose growth rate is slowed down in presence of sterile individuals, shaping a dynamic random environment.A first part of this document investigates the construction and the properties of the process on the lattice $\mathbb Z^d$. One obtains monotonicity conditions in order to study the survival or the extinction of the process. We exhibit the existence and uniqueness of a phase transition with respect to the release rate. On the other hand, when $d=1$ and now fixing initially the random environment, we get further survival and extinction conditions which yield explicit numerical bounds on the phase transition.A second part concerns the macroscopic behaviour of the process by studying its hydrodynamic limit when the microscopic evolution is more intricate. We add movements of particles to births and deaths. First on the $d$-dimensional torus, we derive a system of reaction-diffusion equations as a limit. Then, we study the system in infinite volume in $\mathbb Z^d$, and in a bounded cylinder whose boundaries are in contact with stochastic reservoirs at different densities. As a limit, we obtain a non-linear system, with additionally Dirichlet boundary conditions in bounded domain., Dans cette thèse, on étudie un système de particules en interaction qui généralise un processus de contact, évoluant en environnement aléatoire. Le processus de contact peut être interprété comme un modèle de propagation d'une population ou d'une infection. La motivation de ce modèle provient de la biologie évolutive et de l'écologie comportementale via la \textsl{technique du mâle stérile}, il s'agit de contrôler une population d'insectes en y introduisant des individus stérilisés de la même espèce: la progéniture d'une femelle et d'un individu stérile n'atteignant pas de maturité sexuelle, la population se voit réduite jusqu'à potentiellement s'éteindre.Pour comprendre ce phénomène, on construit un modèle stochastique spatial sur un réseau dans lequel la population suit un processus de contact dont le taux de croissance est ralenti en présence d'individus stériles, qui forment un environnement aléatoire dynamique. Une première partie de ce document explore la construction et les propriétés du processus sur le réseau $\mathbb Z^d$. On obtient des conditions de monotonie afin d'étudier la survie ou la mort du processus. On exhibe l'existence et l'unicité d'une transition de phase en fonction du taux d'introduction des individus stériles. D'autre part, lorsque $d=1$ et cette fois en fixant l'environnement aléatoire initialement, on exhibe de nouvelles conditions de survie et de mort du processus qui permettent d'expliciter des bornes numériques pour la transition de phase.Une seconde partie concerne le comportement macroscopique du processus en étudiant sa limite hydrodynamique lorsque l'évolution microscopique est plus complexe. On ajoute aux naissances et aux morts des déplacements de particules. Dans un premier temps sur le tore de dimension $d$, on obtient à la limite un système d'équations de réaction-diffusion. Dans un second temps, on étudie le système en volume infini sur $\mathbb Z^d$, et en volume fini, dans un cylindre dont le bord est en contact avec des réservoirs stochastiques de densités différentes. Ceci modélise des phénomènes migratoires avec l'extérieur du domaine que l'on superpose à l'évolution. À la limite on obtient un système d'équations de réac