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Esta es la versión no revisada del artículo: Inmaculada Higueras, Natalie Happenhofer, Othmar Koch, and Friedrich Kupka. 2014. Optimized strong stability preserving IMEX Runge-Kutta methods. J. Comput. Appl. Math. 272 (December 2014), 116-140. Se puede consultar la versión final en https://doi.org/10.1016/j.cam.2014.05.011 We construct and analyze robust strong stability preserving IMplicit-EXplicit Runge-Kutta (IMEX RK) methods for models of flow with diffusion as they appear in astrophysics and in many other fields where equations with similar structure arise. It turns out that besides the optimization of the region of absolute monotonicity, some other properties of the methods are crucial for the success of such simulations. In particular, the models in our focus dictate to also take into account the step size limits associated with dissipativity, positivity and the stiff parabolic terms which represent transport by diffusion, the uniform convergence with respect to different stiffness properties of those same terms, etc. Furthermore, in the literature, some other properties, like the inclusion of a part of the imaginary axis in the stability region, have been argued to be relevant. In this paper, we construct several new IMEX RK methods which differ from each other by taking various or even all of these constraints simultaneously into account. It is demonstrated for some simple examples as well as for the problem of double-diffusive convection, that the newly constructed schemes provide a significant computational advantage over other methods from the literature. Due to their accumulation of different stability properties, the optimized IMEX RK methods obtained in this paper are robust schemes that may also be useful for general models which involve the solution of advection-diffusion equations, or other transport equations with similar stability requirements. Inmaculada Higueras was supported by the Ministerio de Ciencia e Innovación, project MTM2011-23203

Viele CFD-Softwarepakete basieren auf expliziten Zeitintegrationsmethoden. Diese Verfahren sind einfach und schnell zu implementieren, bergen jedoch den Nachteil, aus Stabilitätsgründen nur sehr kleine Zeitschritte zuzulassen. Diese können unter Umständen die Effizienz der Software erheblich herabsetzen. In der vorliegenden Arbeit wird versucht, dieses Problem mit Hilfe von strong-stability-preserving (SSP) implizit-expliziten (IMEX) Runge-Kutta Verfahren zu umgehen und damit die Effizienz des CFD-Codes ANTARES entscheidend zu verbessern. Es zeigt sich, dass in verschiedenen Arbeiten vorgestellte SSP IMEX Runge-Kutta Methoden bereits eine stabile Zeitintegration mit deutlich größeren Zeitschrittweiten ermöglichen. Speziell entwickelte SSP IMEX Methoden, welche nicht nur einen großen Radius absoluter Monotonizität, sondern auch Eigenschaften wie Positivität und gleichmäßige Konvergenz aufweisen, ermöglichen jedoch eine stabile Zeitintegration unter Verwendung noch einmal deutlich größerer Zeitschritte als jene SSP IMEX Runge-Kutta Verfahren aus der Literatur. Durch den Einsatz verschiedener SSP IMEX Methoden mit unterschiedlichen Eigenschaften lassen sich auch Rückschlüsse auf den Einfluss verschiedener Eigenschaften auf die Stabilität der Simulationen ziehen. Um jedoch tatsächlich nennenswerte Geschwindigkeitsvorteile gegenüber traditionellen, expliziten Verfahren zur erzielen, müssen die hohen Zeitschritte auch in eine entsprechende Reduktion der CPU-Zeit übersetzt werden. Besonderes Augenmerk liegt dabei auf der schnellen Lösung der impliziten Runge-Kutta Stufe. Die SSP IMEX Methoden wurden mit Hilfe von Simulationen doppelt-diffusiver Konvektion auf ihre Effizienz getestet. In diesem Modell besteht die implizite Runge-Kutta Stufe aus der Lösung von zwei linearen, verallgemeinerten Poisson-Gleichungen. Zur näherungsweisen Lösung dieser Gleichungen wurde ein Löser basierend auf der Multigrid-Technik entwickelt, welcher auch im parallelen Modus operieren kann. Es wird gezeigt, dass dieser dieser Löser deutlich schneller konvergiert als ein vergleichbares Verfahren, welchem der Schur-Komplement parallelisierte Algorithmus der konjugierten Gradienten zu Grunde liegt. Speziell der Vorteil großer Zeitschritte wird durch den Multigrid-basierten Löser in Effizienz übersetzt, während der große Overhead des Schur-Komplement basierten-Lösers in diesem Fall besonders spürbar ist. Durch den Einsatz verschiedener Verfahren in der Simulation doppelt-diffusiver Konvektion kann man schließen, dass die Eigenschaften der Positivität und der gleichmäßigen Konvergenz stabilisierend auf die Zeitintegration wirken und große Zeitschritte verwendet werden können. Das effizienteste SSP-IMEX Verfahren erlaubt den Einsatz eines Zeitschrittes, der um einen Faktor 20.7 größer ist als der Zeitschritt, den ein explizites Verfahren verwenden kann. Die Simulation kann dadurch 6x schneller durchgeführt werden als mit expliziten Methoden. Die SSP IMEX-Methoden wurden auch in Simulationen pulsierender Sterne getestet. Da ein nennenswerter Teil des Sternes simuliert wird, ist die Verwendung von sphärischen Koordinaten unabdinglich. Außerdem erlaubt ANTARES die Verwendung eines Gitters, welches der radialen Pulsationsbewegung des Sternes folgt. Dieser Algorithmus wurde für die Verwendung von SSP IMEX Runge-Kutta Verfahren entsprechend adaptiert. Zur realistischen Modellierung der mikrophysikalischen Vorgänge wird die tabellierte OPAL Zustandsgleichung verwendet. Daher besteht die implizite Stufe aus einer nichtlinearen verallgemeinerten Poissongleichung. Ein Multigrid-Newton Löser wurde zur Lösung dieser Gleichung entwickelt. Um höchstmögliche Effizienz zu gewährleisten, wurde dieser Löser speziell an den ANTARES-Code angepasst. Eindimensionale Cepheidenmodelle konnten mit Hilfe von IMEX-Runge-Kutta Methoden um einen Faktor 24 beschleunigt werden. Der dabei verwendete Zeitschritt ist circa 98x größer als jeder, mit dem explizite Methoden arbeiten. Auch in zwei räumlichen Dimensionen sollen IMEX Runge-Kutta Methoden die Simulation von pulsierenden Sternen entscheidend effizienter machen. Erste Ergebnisse werden in dieser Arbeit präsentiert, jedoch sind in diesem Zusammenhang noch verschiedene Punkte offen., Many numerical hydrodynamics codes are based on explicit time integration methods and thus severely limited in their efficiency since for stability reasons, explicit time integration methods often enforce very small timesteps. The present work aims to circumvent this difficulty by using \textit{strong-stability-preserving (SSP) implicit-explicit (IMEX) Runge-Kutta methods} for different simulation settings in the field of astrophysical hydrodynamics. In this study, the hydrodynamics code ANTARES is used. It is shown that SSP IMEX schemes proposed in literature already permit the employment of significantly higher timesteps than traditional explicit time integration methods. Nevertheless, the use of SSP IMEX methods which have been developed such as not only to have a large radius of absolute monotonicity but also possess properties deemed beneficial in the simulations within the focus of this thesis surpass their counterparts by far. Furthermore, the comparison of different SSP IMEX schemes allows to draw conclusions which properties are the crucial ones for inferring the most stability on the simulations. It is another challenge to transform the higher timesteps into a real efficiency gain in terms of CPU-time. This difficulty is met by the developement of a numerical solver based on the multigrid technique to obtain fast and accurate solutions of the implicit stage equations. Since ANTARES is capable of running on up to 4000 CPU-cores in parallel, the solver is likewise able to exploit the advantages of highly parallel computing environments. In simulations of double-diffusive convection, the implicit stage entails the solution of two linear generalized Poisson equations. It is shown that the newly devised linear multigrid solver converges much faster than a comparative solver based on the Schur-Complement parallelized Conjugate Gradient algorithm. This efficiency is especially tangible if large timesteps are employed. Furthermore, it is deduced that SSP IMEX schemes possessing the properties of positivity of the amplification factor and uniform convergence convey significantly more stability to simulations of compressible double-diffusive convection than SSP IMEX methods lacking those. In this setting, the best performing SSP IMEX scheme allows the use of a timestep 20.7 times higher than the traditional two-stage explicit method. The corresponding CPU-time is 6 times lower than its explicit counterpart if 64 CPU-cores are employed. Similarly, the SSP IMEX RK methods have been incorporated into the model of pulsating stars. The moving grid algorithm has been adapted for the use of SSP IMEX Runge-Kutta schemes, furthermore, spherical coordinates are employed. Since a realistic microphysics model is used in this model, the implicit stage amounts to one nonlinear generalized Poisson equation. To obtain a solution to the implicit stage equation, a nonlinear solver based on a Multigrid-Newton technique especially tailored towards the ANTARES framework has been devised. In one-dimensional cepheid models, the use of SSP-IMEX Runge-Kutta methods allows the use of a timestep about 98 times higher than explicit methods, resulting in wallclocktimes about 24 times lower. First attempts in two-dimensional simulations of pulsating stars are reported, however, a few issues remain which have to be resolved in the future.

In dieser Arbeit werden die Navier-Stokes Gleichungen für kompressible Fluide mittels eines von N. Kwatra et al. vorgeschlagenen Verfahren gelöst. Dieses Verfahren filtert effektiv Schallwellen, wodurch eine signifikant größere zeitliche Schrittweite erreicht werden kann als bei herkömmlichen Verfahren. Dies wird an Simulationen von stellare Konvektion und doppelt-diffusiver Konvektion (Semikonvektion) gezeigt., The Navier-Stokes Equations for compressible fluids are solved by a fractional step method proposed by N.Kwatra et al. This method is designed to filter sound waves which permits the use of significant higher timesteps compared to traditional schemes. The efficiency of the scheme is demonstrated on simulations of stellar convection and double diffusive convection in stars.