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13 results on '"Dominique Bakry"'

1. The Markov sequence problem for the Jacobi polynomials and on the simplex *

Author

Dominique Bakry, Lamine Mbarki, Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 ( IMT ), Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ) -Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse ( INSA Toulouse ), Institut National des Sciences Appliquées ( INSA ) -Institut National des Sciences Appliquées ( INSA ) -PRES Université de Toulouse-Université Paul Sabatier - Toulouse 3 ( UPS ) -Université Toulouse - Jean Jaurès ( UT2J ) -Université Toulouse 1 Capitole ( UT1 ), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Markov sequence, Simplex, General Mathematics, Dirichlet measures, 010102 general mathematics, 16. Peace & justice, 01 natural sciences, 33C45, Combinatorics, [MATH.MATH-PR]Mathematics [math]/Probability [math.PR], Markov sequences, 010104 statistics & probability, symbols.namesake, 43A90, 43A62, Orthogonal polynomials, hypergroups, symbols, Jacobi polynomials, 46H99, 60J99, 0101 mathematics, orthogonal polynomials, [ MATH.MATH-PR ] Mathematics [math]/Probability [math.PR], Mathematics
Abstract

The Markov sequence problem aims at the description of possible eigenvalues of symmetric Markov operators with some given orthonormal basis as eigenvector decomposition. A fundamental tool for their description is the hypergroup property. We first present the general Markov sequence problem and provide the classical examples, most of them associated with the classical families of orthogonal polynomials. We then concentrate on the hypergroup property, and provide a general method to obtain it, inspired by a fundamental work of Carlen, Geronimo and Loss. Using this technique and a few properties of diffusion operators having polynomial eigenvectors, we then provide a simplified proof of the hypergroup property for the Jacobi polynomials (Gasper’s theorem) on the unit interval. We finally investigate various generalizations of this property for the family of Dirichlet laws on the simplex.

Published
2018

2. Harnack inequalities on a manifold with positive or negative Ricci curvature

Author

Zhongmin Qian and Dominique Bakry

Subjects
Riemann curvature tensor, General Mathematics, Mathematical analysis, Ricci flow, Riemannian manifold, symbols.namesake, Harnack's principle, symbols, Mathematics::Differential Geometry, Heat kernel, Ricci curvature, Scalar curvature, Mathematics, Harnack's inequality
Abstract

Several new Harnack estimates for positive solutions of the heat equation on a complete Riemannian manifold with Ricci curvature bounded below by a positive (or a negative) constant are established. These estimates are sharp both for small time, for large time and for large distance, and lead to new estimates for the heat kernel of a manifold with Ricci curvature bounded below.

Published
2016

3. Analysis and Geometry of Markov Diffusion Operators

Author

Dominique Bakry, Ivan Gentil, Michel Ledoux, Dominique Bakry, Ivan Gentil, and Michel Ledoux

Subjects
Markov operators, Distribution (Probability theory)
Abstract

The present volume is an extensive monograph on the analytic and geometric aspects of Markov diffusion operators. It focuses on the geometric curvature properties of the underlying structure in order to study convergence to equilibrium, spectral bounds, functional inequalities such as Poincaré, Sobolev or logarithmic Sobolev inequalities, and various bounds on solutions of evolution equations. At the same time, it covers a large class of evolution and partial differential equations. The book is intended to serve as an introduction to the subject and to be accessible for beginning and advanced scientists and non-specialists. Simultaneously, it covers a wide range of results and techniques from the early developments in the mid-eighties to the latest achievements. As such, students and researchers interested in the modern aspects of Markov diffusion operators and semigroups and their connections to analytic functional inequalities, probabilistic convergence to equilibrium andgeometric curvature will find it especially useful. Selected chapters can also be used for advanced courses on the topic.

Published
2014

4. Curvature dimension bounds on the deltoid model

Author

Dominique Bakry, Olfa Zribi, Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Pure mathematics, Probability (math.PR), 010102 general mathematics, Boundary (topology), General Medicine, Curvature, 01 natural sciences, Dirichlet distribution, Sobolev inequality, [MATH.MATH-PR]Mathematics [math]/Probability [math.PR], symbols.namesake, Dimension (vector space), Bounded function, 0103 physical sciences, Orthogonal polynomials, FOS: Mathematics, symbols, 010307 mathematical physics, 0101 mathematics, Mathematics - Probability, Mathematics, Probability measure
Abstract

International audience; The deltoid curve in R 2 is the boundary of a domain on which there exist probability measures and orthogonal polynomials for theses measures which are eigenvec-tors of diffusion operators. As such, they may be considered as a two dimensional extension of the classical Jacobi operators. They belong to one of the 11 families of such bounded domains in R 2. We study the curvature-dimension inequalities associated to these operators, and deduce various bounds on the associated polynomials, together with Sobolev inequalities related to the associated Dirichlet forms

Published
2016
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5. Symmetric diffusions with polynomial eigenvectors

Author

Dominique Bakry, Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Crisan D., Hambly B., Zariphopoulou T. (eds), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
60B15, 60B20, 60G99, 43A75, 14H50, Power sum symmetric polynomial, Discrete orthogonal polynomials, 010102 general mathematics, diffusion operators, Complete homogeneous symmetric polynomial, 01 natural sciences, random matrices, 010101 applied mathematics, Classical orthogonal polynomials, Combinatorics, [MATH.MATH-PR]Mathematics [math]/Probability [math.PR], symbols.namesake, Orthogonal polynomials, symbols, Jacobi polynomials, Elementary symmetric polynomial, 0101 mathematics, Ring of symmetric functions, orthogonal polynomials, Mathematics
Abstract

25 pages; International audience; We describe symmetric diffusion operators where the spectral decomposition is given through a family of orthogonal polynomials. In dimension one, this reduces to the case of Hermite, Laguerre and Jacobi polynomials. In higher dimension, some basic examples arise from compact Lie groups. We give a complete description of the bounded sets on which such operators may live. We then provide a classification of those sets when the polynomials are ordered according to their usual degrees

Published
2014
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6. Weighted Nash Inequalities

Author

Ivan Gentil, Dominique Bakry, François Bolley, Patrick Maheux, Institut Universitaire de France (IUF), Ministère de l'Education nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche (M.E.N.E.S.R.), Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision (CEREMADE), Université Paris Dauphine-PSL, Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut Camille Jordan (ICJ), École Centrale de Lyon (ECL), Université de Lyon-Université de Lyon-Université Claude Bernard Lyon 1 (UCBL), Université de Lyon-Institut National des Sciences Appliquées de Lyon (INSA Lyon), Université de Lyon-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Jean Monnet - Saint-Étienne (UJM)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Mathématiques - Analyse, Probabilités, Modélisation - Orléans (MAPMO), Université d'Orléans (UO)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), ANR-08-BLAN-0242,EVOL,Dissipative Evolutions and Convergence to Equilibrium(2008), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Paris Dauphine-PSL, Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL), Institut Camille Jordan [Villeurbanne] (ICJ), Université de Lyon-Université Jean Monnet [Saint-Étienne] (UJM)-Institut National des Sciences Appliquées de Lyon (INSA Lyon), Université de Lyon-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), and Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université d'Orléans (UO)

Subjects
Pure mathematics, General method, Markov chain, General Mathematics, 010102 general mathematics, Mathematical analysis, Probability (math.PR), 01 natural sciences, Sobolev inequality, [MATH.MATH-PR]Mathematics [math]/Probability [math.PR], 010104 statistics & probability, Norm (mathematics), FOS: Mathematics, 0101 mathematics, Heat kernel, Mathematics - Probability, Mathematics
Abstract

International audience; Nash or Sobolev inequalities are known to be equivalent to ultracontractive properties of Markov semigroups, hence to uniform bounds on their kernel densities. In this work we present a simple and extremely general method, based on weighted Nash inequalities, to obtain non-uniform bounds on the kernel densities. Such bounds imply a control on the trace or the Hilbert-Schmidt norm of the heat kernels. We illustrate the method on the heat kernel on $\dR$ naturally associated with the measure with density $C_a\exp(-|x|^a)$, with $1

Published
2012
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7. On gradient bounds for the heat kernel on the Heisenberg group

Author

Michel Bonnefont, Dominique Bakry, Fabrice Baudoin, Djalil Chafaï, Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Physiopathologie et Toxicologie Expérimentales (UPTE), Institut National de la Recherche Agronomique (INRA)-Ecole Nationale Vétérinaire de Toulouse (ENVT), Institut National Polytechnique (Toulouse) (Toulouse INP), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National Polytechnique (Toulouse) (Toulouse INP), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées, ANR-08-BLAN-0242,EVOL,Dissipative Evolutions and Convergence to Equilibrium(2008), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National Polytechnique (Toulouse) (Toulouse INP), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Ecole Nationale Vétérinaire de Toulouse (ENVT), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National de la Recherche Agronomique (INRA), and ANR-09-EVOL,ANR-09-EVOL

Subjects
Pure mathematics, Type (model theory), Space (mathematics), 01 natural sciences, Heisenberg group, 010104 statistics & probability, Simple (abstract algebra), FOS: Mathematics, functional inequalities, 0101 mathematics, Brownian motion, Heat kernel, Mathematics, 60J60, Probability (math.PR), 010102 general mathematics, Mathematical analysis, [MATH.MATH-PR]Mathematics [math]/Probability [math.PR], hypoelliptic diffusions, Hypoelliptic operator, Isoperimetric inequality, 22E30, Analysis, Mathematics - Probability
Abstract

It is known that the couple formed by the two dimensional Brownian motion and its L\'evy area leads to the heat kernel on the Heisenberg group, which is one of the simplest sub-Riemannian space. The associated diffusion operator is hypoelliptic but not elliptic, which makes difficult the derivation of functional inequalities for the heat kernel. However, Driver and Melcher and more recently H.-Q. Li have obtained useful gradient bounds for the heat kernel on the Heisenberg group. We provide in this paper simple proofs of these bounds, and explore their consequences in terms of functional inequalities, including Cheeger and Bobkov type isoperimetric inequalities for the heat kernel., Comment: Minor corrections

Published
2007
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8. Perturbations of functional inequalities using growth conditions

Author

Dominique Bakry, Feng-Yu Wang, Michel Ledoux, Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), School of Mathematical Sciences [Beijing] (SMS), Beijing Normal University (BNU), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Mathematics(all), Pure mathematics, Inequality, Applied Mathematics, General Mathematics, media_common.quotation_subject, Logarithmic Sobolev inequality, 010102 general mathematics, Mathematical analysis, Poincaré inequality, 60J45 (58J65 60E15), 01 natural sciences, Perturbation, 010104 statistics & probability, symbols.namesake, symbols, 0101 mathematics, Reference function, ComputingMilieux_MISCELLANEOUS, Logarithmic sobolev inequality, Mathematics, media_common
Abstract

Perturbations of functional inequalities are studied by using merely growth conditions in terms of a distance-like reference function. As a result, optimal sufficient conditions are obtained for perturbations to reach a class of functional inequalities interpolating between the Poincaré inequality and the logarithmic Sobolev inequality.

Published
2007
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10. Lectures on Probability Theory : Ecole D'Ete De Probabilites De Saint-Flour XXII - 1992

Author

Dominique Bakry, Richard D. Gill, Stanislav A. Molchanov, Pierre Bernard, Dominique Bakry, Richard D. Gill, Stanislav A. Molchanov, and Pierre Bernard

Subjects
Probabilities
Abstract

This book contains work-outs of the notes of three 15-hour courses of lectures which constitute surveys on the concerned topics given at the St. Flour Probability Summer School in July 1992. The first course, by D. Bakry, is concerned with hypercontractivity properties and their use in semi-group theory, namely Sobolev and Log Sobolev inequa- lities, with estimations on the density of the semi-groups. The second one, by R.D. Gill, is about statistics on survi- val analysis; it includes product-integral theory, Kaplan- Meier estimators, and a look at cryptography and generation of randomness. The third one, by S.A. Molchanov, covers three aspects of random media: homogenization theory, loca- lization properties and intermittency. Each of these chap- ters provides an introduction to and survey of its subject.

Published
2006

12. Functional inequalities for subelliptic heat kernels

Author

Bonnefont, Michel, Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Paul Sabatier - Toulouse III, and Dominique Bakry(bakry@math.univ-toulouse.fr)

Subjects
subelliptic geometry, inégalité de H.Q.Li, variétés CR, inégalités fonctionnelles, groupe de Heisenberg, Driver-Melcher inequality, inégalité de Driver-Melcher, Ricci curvature bounded below, géométrie sous-elliptique, H.Q.Li inequality, Heisenberg group, courbure de Ricci minorée, heat semigroup, noyau de la chaleur, Poincaré inequality, estimées de Li-Yau, heat kernel, Li-Yau estimates, functional inequalities, CR manifolds, inégalité de Poincaré, [MATH]Mathematics [math], semi-groupe de la chaleur
Abstract

In this thesis, I have studied the heat kernel, the heat semigroup and the associated functional inequalities on three model spaces in subelliptic geometry. The main interest of this study is in fact to develop new methods and new technics that we hope we can extend in subelliptic geometry. The real goal is to understand a notion of Ricci curvature bounded below by a constant in subelliptic geometry. Here, the three model spaces are 3-dimensional Lie groups: the Heisenberg group, the SU(2) group and the SL(2,R) group endowed with a sublaplacian: a left-invariant second order differential opertor, self-adjoint with respect to the Haar mesure of the group, which is not elliptic but hypoelliptic from Hörmander's results. My results first concern the setting of explicit formulas for the above heat kernels. Then I focus on the generalisation in subelliptic geometry of the notion of Ricci curvature bounded below by a constant. In this way, I give a generalized Bakry-Emery curvature-dimension criterion which under some antisymetrical conditions satisfied by our model spaces, implies some Li-Yau type estimates. I also study the setting and the consequences of subcommutation inequalities between the gradient and the semigroup. In particular, I give two new proofs of the H.Q.Li inequality on the Heisenberg group.; Dans cette thèse, j'ai étudié le noyau et le semi-groupe de la chaleur ainsi que les inégalités fonctionnelles associées sur trois espaces modèles de la géométrie sous-elliptique. Cette étude a en fait pour principal objectif de développer et tester de nouvelles techniques et méthodes que l'on espère ensuite pouvoir étendre en géométrie sous-elliptique. Le but avoué est de comprendre en géométrie sous-elliptique une notion de courbure de Ricci minorée par une constante. Ici, les trois espaces modèles sont des groupes de Lie de dimension 3: le groupe de Heisenberg, le groupe SU(2) et le groupe SL(2,R), que l'on munit d'un sous-laplacien: un opérateur différentiel du second ordre invariant à gauche essentiellement auto-adjoint pour la mesure de Haar du groupe qui n'est pas elliptique mais hypoelliptique d'après des résultats de Hörmander. Mes résultats portent tout d'abord sur l'obtention de formules explicites pour les noyaux de la chaleur associés. J'ai ensuite introduit un critère de courbure-dimension de Bakry-Emery généralisé qui, sous certaines conditions d'antisymétrie vérifiées sur nos espaces modèles, permet l'obtention d'estimées du type de Li-Yau. Je me suis enfin intéressé à l'établissement et l'étude d'inégalités de sous-commutation entre le gradient et le semi-groupe de la chaleur. J'ai notamment donné deux nouvelles démonstrations de l'inégalité de H.Q.Li sur le groupe de Heisenberg.

Published
2009

13. Inégalités fonctionnelles pour des noyaux de la chaleur sous-elliptiques

Author

Bonnefont, Michel, Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Paul Sabatier - Toulouse III, Dominique Bakry(bakry@math.univ-toulouse.fr), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
subelliptic geometry, inégalité de H.Q.Li, variétés CR, inégalités fonctionnelles, groupe de Heisenberg, Driver-Melcher inequality, inégalité de Driver-Melcher, Ricci curvature bounded below, géométrie sous-elliptique, H.Q.Li inequality, Heisenberg group, courbure de Ricci minorée, heat semigroup, noyau de la chaleur, Poincaré inequality, estimées de Li-Yau, heat kernel, Li-Yau estimates, functional inequalities, CR manifolds, inégalité de Poincaré, [MATH]Mathematics [math], semi-groupe de la chaleur
Abstract

In this thesis, I have studied the heat kernel, the heat semigroup and the associated functional inequalities on three model spaces in subelliptic geometry. The main interest of this study is in fact to develop new methods and new technics that we hope we can extend in subelliptic geometry. The real goal is to understand a notion of Ricci curvature bounded below by a constant in subelliptic geometry. Here, the three model spaces are 3-dimensional Lie groups: the Heisenberg group, the SU(2) group and the SL(2,R) group endowed with a sublaplacian: a left-invariant second order differential opertor, self-adjoint with respect to the Haar mesure of the group, which is not elliptic but hypoelliptic from Hörmander's results. My results first concern the setting of explicit formulas for the above heat kernels. Then I focus on the generalisation in subelliptic geometry of the notion of Ricci curvature bounded below by a constant. In this way, I give a generalized Bakry-Emery curvature-dimension criterion which under some antisymetrical conditions satisfied by our model spaces, implies some Li-Yau type estimates. I also study the setting and the consequences of subcommutation inequalities between the gradient and the semigroup. In particular, I give two new proofs of the H.Q.Li inequality on the Heisenberg group.; Dans cette thèse, j'ai étudié le noyau et le semi-groupe de la chaleur ainsi que les inégalités fonctionnelles associées sur trois espaces modèles de la géométrie sous-elliptique. Cette étude a en fait pour principal objectif de développer et tester de nouvelles techniques et méthodes que l'on espère ensuite pouvoir étendre en géométrie sous-elliptique. Le but avoué est de comprendre en géométrie sous-elliptique une notion de courbure de Ricci minorée par une constante. Ici, les trois espaces modèles sont des groupes de Lie de dimension 3: le groupe de Heisenberg, le groupe SU(2) et le groupe SL(2,R), que l'on munit d'un sous-laplacien: un opérateur différentiel du second ordre invariant à gauche essentiellement auto-adjoint pour la mesure de Haar du groupe qui n'est pas elliptique mais hypoelliptique d'après des résultats de Hörmander. Mes résultats portent tout d'abord sur l'obtention de formules explicites pour les noyaux de la chaleur associés. J'ai ensuite introduit un critère de courbure-dimension de Bakry-Emery généralisé qui, sous certaines conditions d'antisymétrie vérifiées sur nos espaces modèles, permet l'obtention d'estimées du type de Li-Yau. Je me suis enfin intéressé à l'établissement et l'étude d'inégalités de sous-commutation entre le gradient et le semi-groupe de la chaleur. J'ai notamment donné deux nouvelles démonstrations de l'inégalité de H.Q.Li sur le groupe de Heisenberg.

Published
2009

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