Search

La dinàmica d'un fluid ideal en un espai 2-dimensional pot ser aproximat mitjançant la evolució de N vortexs singulars a mesura que fem tendir N cap a infinit. Al llarg d'aquest treball estudiem la dinàmica de vortexs singulars, normalment denominats com "point vortices", en una superficie no orientable com és l'espai projectiu real, $\RP^2$. Primer estudiem les equacions de Euler per fluids incompressibles així com la seva generalització a varietats no orientables. L'objectiu es obtenir un nou model de vortexs singulars que sigui compatible amb varietats no orientables. Veurem que la dinamica de N vòretxs en un espai projectiu pot ser visualitzat com la dinàmica de N dipols antipodals en l'esfera $S^2$, la qual és un espai recobridor de dos fulls de l'espai projectiu. En la segona part del treball presentem un estudi dels casos integrables, en el sentit de Liouville, a $\RP^2$ entre els quals trobem tant fenòmens nous com fenòmens similars als que es tenen en el problema estandar a l'esfera. Dins de l'estudi incluim l'estudi de fenòmens de equilibri estàtic, equilibri dinàmic, estabilitat i del fenòmen de col·lapse singular. La dinámica de un fluido ideal en un espacio de dimensión 2 puede ser aproximado mediante la evolución de N vortices singulares a medida que N tiende a infinito. A lo largo de este trabajo estudiamos la dinámica de vortices singulares (point vortices) en una superficie no orientable, el plano proyectivo. Primero estudiamos las equaciones de Euler para fluidos incompressibles asi como su generalización para variedades no orientables. La intencion es obtener un nuevo modelo de vortices singulares que sea compatible con la no-orientabilidad de la variedad. Veremos que la dinámica de N vortices en el espacio proyectivo es equivalente a la dinámica de N dipolos antipodales en la esfera, la cual es un recubrimiento de 2 hojas del espacio proyectivo. En la siguiente parte presentamos una comparación de los casos integrables, en el sentido de Liouville, en RP^2 con dinámicas analogas en S^2. Veremos que la dinámica de N vortices en el espacio proyectivo presenta algunas similitudes con el problema estándar así como algunas diferencias. Dentro del trabajo incluimos el estudio de equilibrios estáticos, relativos, estabilidad y colapso singular. The motion of an ideal two-dimensional fluid can be approximated by the evolution of N point vortices, as N → ∞. Throughout this work, we study the motion of point vortices on a non- orientable surface, the projective plane RP2. First, we study the incompressible Euler equations, as well as their generalization to non-orientable manifolds. The aim is to derive a new model for point vortices that is compatible with non-orientability. We will see that the motion of N vortices on the projective space can be regarded as the motion of N antipodal dipoles on the sphere S2, the orientation cover of RP2. In the next part, we will present a comparison of the integrable cases of the vortex motions on RP2 with analogous motions on S2 describing new phenomena, as well as similarities. Among the cases we study, we include the study of equilibria, relative equilibria, their stability, and collapse. Outgoing

Preprint We give an exhaustive characterization of singular weak solutions for ordinary differential equations of the form $\ddot{u}\,u + \frac{1}{2}\dot{u}^2 + F'(u) =0$, where $F$ is an analytic function. Our motivation stems from the fact that in the context of hydrodynamics several prominent equations are reducible to an equation of this form upon passing to a moving frame. We construct peaked and cusped waves, fronts with finite-time decay and compact solitary waves. We prove that one cannot obtain peaked and compactly supported traveling waves for the same equation. In particular, a peaked traveling wave cannot have compact support and vice versa. To exemplify the approach we apply our results to the Camassa-Holm equation and the equation for surface waves of moderate amplitude, and show how the different types of singular solutions can be obtained varying the energy level of the corresponding planar Hamiltonian systems.