Search

Cilj ovog rada bio je opisati modele za veličinu šteta u osiguranju i odgovarajuće vjerojatnosne distribucije, pri čemu najveću ulogu igraju distribucije teškog repa. U prvom dijelu govori se o konceptu reosiguranja, što je to i koje su situacije u kojima dolazi do potrebe za istim. Također, navode se osnovni oblici proporcionalnog i neproporcionalnog reosiguranja, kao i njihove prednosti i mane. Nastavak rada govori o različitim interpretacijama veličine štete pa u tom kontekstu definiramo neke klase distribucija kao što su regularno varirajuće, subeksponencijalne i distribucije dugog repa te njihova osnovna svojstva i primjere. Iskazan je i osnovni teorem teorije ekstremnih vrijednosti, takozvani Fisher-Tippett-Gnedenko teorem, koji karakterizira oblik granične distribucije za maksimume slučajnih varijabli i definira distribucije ekstremnih vrijednosti. Za sva tri slučaja izvedene su maksimalne domene privlačnosti te je definirana generalizirana Paretova distribucija koja igra veliku ulogu u teoriji ekstremnih vrijednosti. Za kraj, navedeni su primjeri najbitnijih distribucija koje se koriste u modeliranju šteta u reosiguranju s naglaskom na one teškog repa (Pareto, lognormalna, Weibull(α < 1)...) te vizualno prikazane njihove funkcije distribucija i gustoće u usporedbi s ostalima. The aim of this thesis was to describe models for claim sizes in insurance and appropriate probability distributions, with heavy tail distributions playing the largest role. The first chapter talks about the concept of reinsurance, what it is and what are the situations where it is necessary. Also, the basic forms of proportional and disproportionate reinsurance are listed, as well as their advantages and disadvantages. The sequel of the thesis discusses different approaches on what we might righteously call a large claim and how one can perhaps distinguish it from others, so in this context we define distribution classes such as regularly varying, subexponential and long tail distributions with their basic properties and examples. The so-called Fisher-Tippett-Gnedenko theorem, the basic result of the extreme-value theory is introduced, which characterizes the limit distribution for maximum of random variables. For all three cases the maximum domains of attraction are derived and the generalized Pareto distribution that plays a major role in the theory of extreme values is defined. Finally, examples of the most important distributions used in modelling reinsurance claims with an emphasis on one heavy tail are given (Pareto, lognormal, Weibull(α < 1)...), and their distribution and density functions are visually shown compared to other distributions

Cilj ovog diplomskog rada bio je dati motivaciju za uvođenje pojma zatvorenog slučajnog skupa. Budući da je zatvoreni slučajni skup prirodno poopćenje pojma slučajnog vektora, na početku smo dali pregled već poznatih rezultata. Nakon definicije pojma zatvorenog slučajnog skupa pokazali smo neke jednostavne primjere. Uveli smo funkcije distribucije i kapaciteta i pokazali njihova osnovna svojstva. Iskazali smo Choquetov teorem koji daje nužne i dovoljne uvjete da bi funkcija bila funkcija kapaciteta nekog zatvorenog slučajnog skupa. Definirali smo Choquetov integral koji omogućuje integriranje neaditivnih funkcija. Funkcije kapaciteta zatvorenih slučajnih skupova su neaditivne pa Choquetov integral koristimo pri definiranju tri tipa konvergencije zatvorenih slučajnih skupova. Naposljetku, promotrili smo što se dogada s konvergencijom ME plotova, odnosno grafova funkcije očekivanog viška. ME plotovi se koriste u analizi i modeliranju opaženih ekstremnih vrijednosti. Na simuliranim podacima iz generalizirane Pareto razdiobe i F razdiobe te na stvarnim podacima potvrdili smo teorijski rezultat o konvergenciji ME plotova prema linearnoj funkciji. The aim of this master thesis was to provide the motivation for the introduction of a random closed set. Since a random closed set is a natural generalization of the concept of a random vector, at the beginning we provided an overview of some well known results. After defining the concept of a random closed set, we presented some simple examples. We have introduced the distribution and capacity functions and demonstrated their basic properties. We have presented the Choquet’s theorem which gives the necessary and sufficient conditions for a function to be a capacity function of a random closed set. We have defined the Choquet integral which allows the integration of the nonadditive functions. Capacity functionals are nonadditive so we use Choquet integral to define the three modes of convergence of a series of random closed sets. Lastly, we observed what happens with the convergence of the ME plots, that is, the mean excess function plots. ME plots are used in the analysis and modeling of extreme value observations. On the simulated data from the generalized Pareto distribution and the F distribution and on the real–world data, we illustrated the theorem of the convergence of ME plots to a linear function.

Različitost Jadranskog mora u odnosu na otvoreno more, ocean, najviše se reflektira u specifi-čnoj gustoći valne energije, specifičnom odnosu brzine vjetra prema efektivnoj visini valova, malom privjetrištu, velikom broju otoka. U dostupnoj literaturi ne postoje zapisi o elektromag-netskom raspršenju od morske površine za specifične uvjete Jadrana, pa nije poznata razina točnosti klasičnih parametarskih modela, razvijenih na temelju mjerenja na otvorenom moru, oceanu. Alternativno se statistika odjeka smetnje (i cilja) može ekstrahirati iz estimirane razdi-obe, isključivo na temelju uzoraka (otisaka) u okolici praćenog cilja. Tretiranje mjerenja otisaka kao bešumnih, otvara prostor estimaciji razdiobe primjenom neuronskih mreža, pri čemu se iskorištava svojstvo njihove univerzalne aproksimativnosti. U estimaciji amplitudne razdiobe, radijalne mreže pokazuju najpovoljniji omjer točnosti i računalnog opterećenja, važnog za stvarnovremensku aplikaciju. U scenariju praćenja male gumene brodice maskirane valovima, tradicionalni parametarski Swerlingov model ne opisuje dovoljno točno odjek cilja kontamini-ran odjecima valova. Djelovanje neuronske mreže kao estimatora razdiobe u scenariju smetnje izrazito teškog repa, rezultira vjerojatnošću zadržavanja staze od 0,3, u odnosu na vjerojatnost 0,02 ostvarene primjenom parametarskog Swerlingovog modela. Minimalno 64 kvantizacijskih razina potrebno je za prijenos amplitudne informacije iz udaljenog radarskog senzora bez zna-čajnih gubitaka. In comparison with open seas, properties of Adriatic Sea are distinct wave spectrum, specific ratio of wind velocity to effective wave height, limited fetch, large number of islands. Data of electromagnetic scattering from sea surface in Adriatic basin does not exist in open literature, so accuracy of employing traditional parametric models developed on the basis of measure-ments under condition of open and fully developed seas, is not known. Alternatively, statis-tics of clutter (and target) returns can be extracted from estimated probability density, exclu-sively on the basis of radar return samples (signatures), taken in the vicinity of tracked target. Treating measurements as noiseless opens up possibility of their probability density estimation by means of a neural network, employing property of universal approximation. Radial basis function network exhibits favorable ratio of estimation accuracy to computing time which is important for real-time application. In scenario of tracking a small rubber boat masked with waves, traditional Swerling model does not describe target echo, contaminated with echoes from waves, well. Neural network as density estimator employed in scenario of heavy-tailed clutter results in probability of tracking true target of 0.3, in comparison with 0.01 which re-sults from employment of parametric Swerling model. Minimum of 64 quantization levels are needed for amplitude information transfer from remote radar sensor without significant losses.

Osiguravajuća društva moraju planirati svoje poslovanje tako da u svakom trenutku imaju dovoljno sredstava za isplatu dospjelih šteta. Kako je iznose šteta i vrijeme njihovog nastanka nemoguće predvidjeti sa sigurnošću, prirodno je modelirati rizik osiguravatelja stohastičkim modelima. U ovom radu predstavljene su osnovne činjenice vezane uz jedan od takvih modela – Cramér-Lundbergov model. Uporaba modela ilustrirana je na stvarnim podacima o dospjelim štetama jednog osiguravajućeg društva. Posebna pozornost posvećena je prilagodbi modela podacima, procjeni parametara i opisu distribucije iznosa šteta. Pokazuje se da se iznosi šteta mogu dobro modelirati Paretovom distribucijom što direktno utječe na procjenu rizika osiguravatelja., Insurance companies have to plan their business so that at any time they have enough capital to pay off the arriving claims. As the claim amounts and the time of their occurrence are impossible to predict with certainty, it is natural to model the insurer’s risk by means of stochastic models. In this paper, the basic facts are presented referring to one such model – the Cramér-Lundberg model. The usage of the model is illustrated on real claims data of one insurance company. Special attention is given to fitting the model to the data, estimating the parameters and describing the distribution of the claim amounts. It is shown that the claims can be modelled on the Pareto distribution which directly affects the estimation of the insurer’s risk.