Search

Andrew Wiles dokazao je 1995. godine posljednji Fermatov teorem, koristeći vezu između eliptičkih krivulja i modularnih formi. Zapravo, Wiles je dokazao poseban slučaj teorema o modularnosti. Cilj ovog rada bio je pokazati primjene teorema o modularnosti i teorije eliptičkih krivulja i modularnih formi na diofantske jednadžbe. U prvom poglavlju dajemo pregled osnovnih pojmova vezanih uz eliptičke krivulje. Posebno se bavimo sa redukcijom eliptičkih krivulja modulo \(p\): opisujemo slučajeve i podslučajeve dobre i loše redukcije te definiramo konduktor eliptičke krivulje. Na primjeru pokazujemo traženje minimalne jednadžbe i konduktora. Nadalje, definiramo izogenije eliptičkih krivulja i dajemo nekoliko bitnih primjera izogenija. Na kraju poglavlja iskazujemo Mazurov teorem o \(p\)-izogenijama. U drugom poglavlju definiramo modularnu grupu i njene kongruencijske podgrupe, a zatim definiramo i modularne forme obzirom na kongruencijske podgrupe. U nastavku definiramo newforme: posebnu klasu modularnih formi, koje su posebno bitne za teorem o modularnosti i dajemo pregled osnovnih svojstava newformi. Na kraju poglavlja iskazujemo Ribetov teorem i teorem o modularnosti, koji daju osnovu za primjenu ove teorije na rješavanje diofantskih jednadžbi. U posljednjem poglavlju pokazujemo na primjerima kako se teorem o modularnosti i Ribetov teorem mogu primjeniti na rješavanje diofantskih jednadžbi. Prvi primjer je Fermatova jednadžba \(a^p+b^p+c^p=0\), tj. pokazujemo da iz teorema o modularnosti i Ribetovog teorema slijedi posljednji Fermatov teorem. Nakon toga se bavimo jednadžbom \(x^p+L^ry^p+z^p=0\) i na tom primjeru pokazujemo nekoliko metoda koje se mogu primjeniti na takve jednadžbe. Jedan od pristupa je tzv. Krausova metoda, za čiju primjenu dajemo još jedan primjer. Andrew Wiles proved Fermat’s last theorem in 1995, using the connection between elliptic curves and modular forms. Actually, Wiles proved a special case of the modularity theorem. The goal of this thesis was to demonstrate application of the modularity theorem and theories of elliptic curves and modular forms to Diophantine equations. In the first chapter we give an overview of basic terms related to elliptic curves. We especially deal with reduction of elliptic curves modulo \(p\): we describe the cases and subcases of good and bad reduction and define the conductor of an elliptic curve. We show an example of finding the minimal equation and conductor. Furthermore, we define isogenies of elliptic curves and give a few important examples of isogenies. The chapter ends with the statement of Mazur’s theorem on \(p\)-isogenies. In the second chapter we define the modular group and its congruence subgroups and then also define modular forms with respect to congruence subgroups. Subsequently, we define newforms: a special class of modular forms, which are especially important for the modularity theorem, and we give an overview of basic properties of newforms. In the end of this chapter we state Ribet’s theorem and the modularity theorem, which give the basis for application of this theory on solving Diophantine equations. In the final chapter we demonstrate the application of the modularity and Ribet’s theorem to solving Diophantine equations. The first example is Fermat’s eqautions \(a^p+b^p+c^p=0\), i.e. we show that Fermat’s last theorem follows from modularity theorem and Ribet’s theorem. After that we look at the equation \(x^p+L^ry^p+z^p=0\) and in that example we show a few methods that can be applied to such equations. One approach is the so called method of Kraus, and for this method we give one more example.

Centralni objekti koje proučavamo u ovom radu su modularne krivulje. Modularnu krivulju definiramo kao kvocijent gornje poluravnine s obzirom na djelovanje neke kongruencijske grupe, odnosno podgrupe modularne grupe \(SL_2(\mathbb{Z})\). U teoriji brojeva važnu ulogu igra činjenica da su modularne krivulje takoder prostori parametara, tj. svaka točka na modularnoj krivulji parametrizira eliptičku krivulju s nekim dodatnim svojstvom. Objasniti ovu činjenicu bio je glavni cilj ovoga rada, a to smo učinili u teoremu 3.2.2. Kako bismo došli do definicije modularne krivulje, prvo smo definirali modularne forme, slabo modularne funkcije koje zadovoljavaju neke uvjete holomorfnosti, koje i same mogu biti zanimljiv predmet proučavanja, te smo naveli neke osnovne primjere kao što su Eisensteinovi redovi i diskriminanta, koji su se pojavljivali kroz cijeli rad. Zatim smo definirali kompleksne toruse i eliptičke krivulje te pokazali na koji način možemo uspostaviti bijekciju između ta dva objekta. Pokazali smo i da postoji korespondencija između kompleksnih torusa i eliptičkih krivulja do na izomorfizam. Nadalje, definirali smo kongruencijske podgrupe od \(SL_2(\mathbb{Z}),\) a s time smo došli i do definicije modularne krivulje, skupa svih orbita pri djelovanju neke kongruencijske podgrupe na gornju poluravninu. Zatim smo u glavnom teoremu ovoga rada pokazali da postoji bijekcija između nekih modularnih krivulja i skupa eliptičkih krivulja sa određenim torzijskim svojstvom. Naposlijetku smo definirali dobru i lošu redukciju eliptičke krivulje te \(L-\) funkciju pridruženu eliptičkoj krivulji. Naveli smo i dvije različite verzije iskaza Teorema o modularnosti. The central objects of this thesis are modular curves. We define a modular curve as the quotient of the complex upper half plane with respect to a congruence subgroup, i.e. a subgroup of the modular group \(SL_2(\mathbb{Z})\). In number theory, the fact that modular curves are also moduli spaces, i.e. every point on a modular curve parameterizes an elliptic curve with the associated torsion data, is very important. The main goal of this thesis was to prove this fact, which we did in the theorem 3.2.2. Before the definition of a modular curve, we first defined modular forms, weakly modular functions that satisfy some holomorphy conditions, that are also interesting subjects of study in themselves, and we gave some basic examples, as Eisenstein series and the discriminant function, which we encounter throughout the entire thesis. Furthermore, we defined complex tori and elliptic curves and showed that there exists a bijection between these two objects. Also, we proved that there exists a correspondence between complex tori and elliptic curves up to isomorphism. After the definition of a congruence subgroup of \(SL_2(\mathbb{Z}),\)we defined a modular curve, a set of all orbits under the action of some congruence subgroup on the complex upper half plane. In the main theorem of this thesis we proved that there exists a bijection between modular curves and the set of elliptic curves with the associated torsion data. In the end, we defined good and bad reductions of elliptic curves and the \(L-\) function associated to an elliptic curve. We also state two different versions of The Modularity Theorem.