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This paper describes an emerging approach to the design of task sequences and the theory that undergirds it. The approach aims at promoting particular mathematical concepts, understood as the result of reflective abstraction. Central to this approach is the identification of available student activities from which students can abstract the intended ideas. The approach differs from approaches in which learning to solve the problem posed is the intended learning. The paper illustrates the approach through data from a teaching experiment on division of fractions.

This paper is part of a wider study focused on divisibility. Participants were prospective elementary teachers. One of the aims of the research is to characterize the meanings of multiple shown by prospective teachers. In this paper, we present the results concerning this aim. We analyse the productions of 37 prospective elementary teachers collected in a practice session, designed and developed in the context of a teaching experiment. We characterize the meanings through the following elements of the didactic analysis: conceptual structure, representation systems and phenomenology. Prospective teachers showed mostly three meanings of multiple: product, relationship and dividend in an exact division.

En este artículo se exponen los resultados parciales de un estudio centrado en el análisis del papel que juega el convencimiento en la construcción del conocimiento matemático que se da en el aula. Se describen los resultados de una investigación empírica, centrada en el análisis de un estudio de caso longitudinal, en el que se examinan las prácticas de justificación y promoción de convencimiento a las que sistemáticamente recurre una profesora de sexto grado de primaria. Además de describir los patrones de racionalidad identificados en las clases observadas, se muestra que en el aula pueden converger, en un mismo recorrido discursivo, argumentos por razones y argumentaciones por motivos y que estas justificaciones son acumulativas, suelen ser implícitas, tienen límites borrosos y carecen de una estructura lineal. The paper contains the partial outcomes of a study focused on analyzing the role played by convincingness in building mathematical knowledge in the classroom setting. The paper describes the findings of an empirical study that is centered on the analysis of a longitudinal case study, in which we analyze the justification practices and convincingness promotion systematically resorted to by a sixth-grade elementary school teacher. In addition to describing the patterns of rationality identified in the classes observed, this paper serves to show that in the classroom setting, reasons-based arguments and motive-based lines of argument can converge within one discursive path. Consequently the justifications are cumulative, apt to be implicit, with blurred outer borders and lack a linear structure.

The importance of good mastery of specialised mathematics knowledge for mathematics teachers and prospective teachers is now recognised internationally. This paper presents an exploratory study aimed at investigating how mathematics education courses affect the Mathematics Teachers’ Specialised Knowledge (MTSK) of prospective primary teachers. A questionnaire was administered to a sample of 118 future teachers, and an analysis of their answers was carried out with the MTSK model. The research highlights positive feedback on the effectiveness of the mathematics education laboratory that was staged, and provides an outline of the beliefs and the knowledge of the prospective teachers.

This paper describes a study of mathematical argumentation in primary school. The principal aim is to explore the nature of complex argumentation at a structural level. The context of the study was a teaching experiment involving nine tasks that promoted argumentation among fifth graders. We use the framework and method of reconstructing complex argumentation in the classroom proposed by Knipping (2008). The findings show that complex argumentation at a structural level in the context of refuting conclusions is characterized by a source-like structure with the addition of a new refutation argument element.

In this paper, the effect of holding a math training workshop using GeoGebra software has been studied on the changes on teachers' knowledge and beliefs . The selected sample is 40 male and female teachers in Iran. Before and after the intervention were administered a pre and post questionnaire with two components: TPACK knowledge and teachers’ beliefs. Fuzzy logic and Fuzzy TOPSIS methods were used to analyze the data. The results of this method showed a significant difference between the results before and after the workshop.

The paper situates mathematics teaching-learning processes within a multimodal perspective and discusses a semiotic approach apt to seize this dimension, namely the Semiotic Bundle lens. This analytical tool considers the great variety of semiotic resources through which mathematical meanings emerge and evolve in the classroom, ranging from embodied ones such as gestures, to symbolic systems. In particular, the analysis considers them in a systemic and dynamic way. The theoretical account is illustrated by means of an example on children spatial conceptualization, carried out in kindergarten. The data analysis will constitute a background against which the connections with the Theory of Objectification will be highlighted, showing a constructive resonance between the two theories.

This paper presents a study of networking of theories between the theory of registers of semiotic representation (TRSR) and the onto-semiotic approach of mathematical cognition and instruction (OSA). The results obtained show complementarities between these two theoretical perspectives, which might allow more detailed analysis of the students’ performance.

This paper describes the ideas that mathematics teachers (grades 5-9) have regarding mathematical models of real-world phenomena, and explores how teachers’ ideas differ depending on their educational background. Participants were 56 United States in-service mathematics teachers. We analyzed teachers’ written responses to three open-ended questions through content analysis. A varied landscape of ideas was identified. Teachers referred to different entities as constituting models, expressed different ideas about whether data points can be part of models, and whether models convey more information than data. Interesting differences according to educational background were identified, especially between teachers with and without mathematics backgrounds.

This paper’s aim is to discuss the concept of width of a proof put forward by Timothy Gowers. It explains what this concept means and attempts to show how it relates to other concepts discussed in the existing literature on proof and proving. It also explores how the concept of width of a proof might be used productively in the mathematics curriculum and how it might fit with the various perspectives on learning to prove.

In this paper, we focus on topological approaches to space and we argue that experiences with topology allow middle school students to develop a more robust understanding of orientation and dimension. We frame our argument in terms of the phenomenological literature on perception and corporeal space. We discuss findings from a quasi-experimental study engaging 9 grades 5-8 students (10-13 years old) in a 6-week series of school-based workshops focused on knot theory. We discuss video data that shows how students engage with the intrinsic disorientation of mathematical knots through the use of gesture and movement.

In this paper we focus on variation of the design and the implementation of a specific task during three mathematics lessons in the 8th grade in a learning study (Marton & Tsui, 2004; Runesson, 2008). The theme of the lesson was division, with a denominator between 0 and 1. The teachers wanted their students to understand that when dividing with a denominator less than 1, the quotient is larger than the numerator. Four teachers collaboratively planned, analyzed and revised three lessons in a cyclic process. The study shows that the implementation of the task changed between the lessons. Although the same task was used in the lessons, the way it was enacted provided different possibilities to learn. RESUMEN En este artículo nos centramos en la variación del diseño y la implementación de una tarea específica durante tres sesiones de clase de matemáticas en octavo grado en un estudio de aprendizaje (Marton y Tsui, 2004; Runesson, 2008). El tema de las clases fue la división con un divisor entre 0 y 1. Los profesores querían que sus estudiantes entendieran que, cuando se divide por un divisor menor que 1, el cociente es mayor que el numerador. Cuatro profesores colaboraron, en un proceso cíclico, en la planificación, análisis y revisión de las tres sesiones de clase. El estudio muestra que la implementación de la tarea cambió entre las sesiones. A pesar de utilizarse la misma tarea en las sesiones, la manera en que se implementó proporcionó diferentes posibilidades para aprender.

A recent discussion involves the elaboration on possible design principles for sequences of tasks. This paper builds on three principles, as described by Bokhove and Drijvers (2012a). A model with ingredients of crises, feedback and fading of sequences with near-similar tasks can be used to address both procedural fluency and conceptual understanding in an online environment. Apart from theoretical underpinnings, this is demonstrated by analyzing a case example from a study conducted in nine schools in the Netherlands. Together with quantitative results of the underlying study, it is showed that the model described could be a fruitful addition to the task design repertoire. RESUMEN Una discusión reciente implica la elaboración de posibles principios para el diseño de secuencias de tareas. Este documento se basa en tres principios, descritos en Bokhove y Drijvers (2012a). Un modelo que comprende las componentes de crisis, realimentación y desvanecimiento de secuencias con tareas muy similares puede ser utilizado para abordar tanto la fluidez procedimental como la comprensión conceptual en un entorno en línea. Además de estar fundamentado teóricamente, esto se demuestra mediante el análisis de un ejemplo de caso de un estudio realizado en nueve centros educativos de los Países Bajos. Junto con los resultados cuantitativos del estudio subyacente, se muestra que el modelo descrito podría ser una incorporación útil en el repertorio del diseño de tareas.

En este trabajo se exponen los resultados parciales de una investigación sobre el conocimiento profesional de los profesores evaluadores de olimpiadas matemáticas puesto en acción al analizar errores relativos al álgebra. A través de dos pruebas de interpretación de errores, y a partir de un análisis inspirado en la teoría emergente de los datos, obtuvimos dimensiones para la caracterización de saberes en la comprensión de los errores. En los resultados describimos los saberes de un profesor estrechamente relacionados con la práctica y con el conocimiento sobre el aprendizaje de los alumnos. ABSTRACT This paper presents the partial results of a research on the professional knowledge of mathematics olympiad evaluators teachers put into action when analyzing errors relating to algebra. By means of two tests on errors interpretation and by using analysis inspired by the grounded theory, we obtained dimensions for the characterization of knowledge in understanding about errors. In the results section, we describe a teacher's knowledge related to practice and knowledge about students’ learning.

Even though statistical thinking and critical thinking appear to have strong links from a theoretical point of view, empirical research into the intersections and potential interrelatedness of these aspects of competence is scarce. Our research suggests that thinking skills in both areas may be interdependent. Given this interconnection, it should be possible to stimulate both forms of thinking through the one task. This paper explores the implications of an exploratory qualitative study into processes when working on tasks encompassing both these areas for the design of tasks that simultaneously stimulate critical thinking and domain-specific thinking. Resumen Aunque desde un punto de vista teórico, el pensamiento estadístico y el pensamiento crítico parecen tener fuertes conexiones, la investigación empírica sobre la intersección y la potencial interrelación entre estos aspectos de competencia es escasa. Nuestra investigación sugiere que las habilidades de pensamiento en ambas áreas pueden ser interdependientes. Dada esta interconexión, debería ser posible estimular ambas formas de pensamiento mediante una tarea. Este artículo explora las implicaciones de un estudio cualitativo exploratorio sobre los procesos de pensamiento en tareas que abordan ambas áreas para el diseño de tareas que simultáneamente estimulan el pensamiento crítico y pensamiento específico de un dominio.

The aim of this paper is to show how engaging students in real-life mathematical situations can stimulate their mathematical creative thinking. We analyzed the mathematical modeling of two girls, aged 10 and 13 years, as they worked on an authentic task involving the selection of a track team. The girls displayed several modeling cycles that revealed their thinking processes, as well as cognitive and affective features that may serve as the foundation for a methodology that uses model-eliciting activities to promote the mathematical creative process. RESUMEN El objetivo de este artículo es mostrar cómo involucrar a los estudiantes en situaciones matemáticas de la vida real puede estimular su pensamiento matemático creativo. Analizamos la modelización matemática de dos chicas, de 10 y 13 años, cuando trabajaban en una tarea auténtica que involucraba la selección de un equipo de atletismo. Las chicas mostraron varios ciclos de modelización que revelaron sus procesos de pensamiento, así como las características cognitivas y afectivas que pueden servir como fundamento para una metodología que usa actividades que suscitan modelos para promover los procesos matemáticos creativos.

Este trabajo trata sobre el concepto de función, básico en el Análisis Matemático, y, en particular, su representación gráfica. Nos centramos en aspectos relacionados con la forma; es decir, el trazado de dicha representación. Analizamos las representaciones gráficas de funciones existentes en los cuadernos de matemáticas de estudiantes de varias aulas de 1º de Bachillerato. Encontramos deficiencias en el trazado de gráficas que se repiten en un alto número de estudiantes, relacionadas con los conceptos de función y asíntota, con el uso de las escalas en los ejes del diagrama cartesiano y con las características de algunas funciones. Además, discutimos sobre las limitaciones técnicas y las dificultades didácticas y cognitivas que pueden dar lugar a su aparición y hacemos algunas recomendaciones didácticas al respecto. ABSTRACT This paper deals with the concept of function, basic in mathematical analysis, and, in particular, with its graphical representation. We focus our attention on plotting graphs of functions. We analyzed the graphical representations of functions found in mathematical notebooks of high school students. We encountered several deficiencies related to the concepts of function and asymptote, the use of scales in diagram axes and the characteristics of some functions. Besides, we discuss the technical limitations and the didactic and cognitive difficulties that may promote their emergence, and, make some didactic recommendations for teachers.

Este trabajo describe tendencias detectadas en las actitudes de estudiantes de ingeniería de nuevo ingreso hacia el uso de la tecnología en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, mediante opiniones emitidas en un cuestionario sobre actitudes diseñado para tal efecto. Se describe el proceso seguido para establecer categorías para las actitudes hacia el uso de tecnología puestas de manifiesto por los estudiantes en sus respuestas. Los resultados indican una tendencia de actitudes positivas.This paper describes trends detected in first year engineering students’ attitudes towards the use of technology in teaching and learning mathematics through opinions gathered in a survey about attitudes designed for this purpose. We describe the process followed to establish categories for the attitudes towards the use of technology evidenced by the students in their answers. The results indicate a trend of positive attitudes.

In this paper, we report some findings from an investigation of a topic related to affect and mathematics which is not well-represented in the literature. For some mathematicians, mathematics itself is a source of security in an uncertain world, and we investigated this feeling and experience in the case of 19 adult mathematicians working in universities and schools in Greece. The focus reported here is on ways that a relationship with mathematics offers a sense of permanence and stability on the one hand, and an assurance of novelty and progress on the other. En este trabajo presentamos algunos resultados de una investigación sobre un tema relacionado con el afecto y las matemáticas que no está bien representado en la literatura. Para algunos matemáticos, las matemáticas en sí mismas son una fuente de seguridad en un mundo incierto; nosotros investigamos este sentimiento y experiencia en el caso de 19 matemáticos adultos que trabajan en universidades y escuelas de Grecia. El foco de este artículo es en las maneras en que una relación con las matemáticas ofrece un sentido de permanencia y estabilidad por una parte, y garantía de novedad y progreso, por otra.

In this paper, we present an emerging set of learning conjectures and design principles to be used in the development of professional learning tasks that support elementary teachers’ learning of mathematics learning trajectories. We outline our theoretical perspective on teacher knowledge of learning trajectories, review the literature concerning mathematics professional learning tasks, offer a set of initial conjectures about teacher learning of learning trajectories, and articulate a set of principles to guide the design of tasks. We conclude with an example of one learning trajectory professional learning task taken from our current research project. En este artículo, presentamos un conjunto emergente de conjeturas de aprendizaje y de principios de diseño para ser empleados en el desarrollo de tareas de aprendizaje profesional que apoyan el aprendizaje de trayectorias de aprendizaje de matemáticas de maestros de primaria. Describimos brevemente nuestra perspectiva teórica sobre el conocimiento del profesor acerca de trayectorias de aprendizaje; revisamos la literatura sobre tareas de aprendizaje profesional, presentamos un conjunto de conjeturas iniciales acerca del aprendizaje del profesor sobre trayectorias de aprendizaje; y articulamos un conjunto de principios para guiar el diseño de tareas. Concluimos con un ejemplo de una tarea de aprendizaje profesional que ha sido tomada de nuestro proyecto de investigación actual.

This paper addresses contributions that dynamic geometry systems (DGSs) may give in reasoning by contradiction in geometry. We present analyses of three excerpts of students’ work and use the notion of pseudo object, elaborated from previous research, to show some specificities of DGS in constructing proof by contradiction. In particular, we support the claim that a DGS can offer “guidance” in the solver’s development of an indirect argument thanks to the potential it offers of both constructing certain properties robustly, and of helping the solver perceive pseudo objects.Este artículo aborda las contribuciones que los sistemas de geometría dinámica (DGSs) pueden dar al razonamiento por contradicción en geometría. Presentamos un análisis de tres extractos del trabajo de estudiantes y el uso de la noción de pseudo-objeto, elaborado a partir de investigaciones anteriores, para mostrar algunas especificidades del DGS en la construcción de pruebas por contradicción. En particular, afirmamos que un DGS puede orientar en el desarrollo de un argumento indirecto gracias a las posibilidades que ofrece tanto para construir sólidamente algunas propiedades como para ayudar a percibir los pseudo-objetos.

The Early Years Generalising Project (EYGP) involves Australian Years 1-4 (age 5-9) students and investigates how they grasp and express generalisations. This paper focuses on data collected from six Year 1 students in an exploratory study within a clinical interview setting that required students to identify function rules. Preliminary findings suggest that the use of gestures (both by students and interviewers), self-talk (by students), and concrete acting out, assisted students to reach generalisations and to begin to express these generalities. It also appears that as students become aware of the structure, their use of gestures and self- talk tended to decrease.El Early Years Generalizing Project (EYGP) implica a estudiantes de primer a cuarto curso de la educación primaria australiana (de 5 a 9 años) e investiga cómo comprenden y expresan las generalizaciones. Este artículo se centra en los datos recogidos de 6 estudiantes de primer curso en un estudio exploratorio con entrevista clínica que requería que los estudiantes identificaran patrones funcionales. Los resultados preliminares sugieren que el uso de los gestos (de estudiantes y entrevistadores), las conversaciones con ellos mismos (de estudiantes), y las actuaciones concretas, ayudaron a los estudiantes a buscar generalizaciones y a comenzar a expresar estas generalidades. También parece que cuando los estudiantes tomaron conciencia de la estructura, el uso de gestos y de las conversaciones con ellos mismos tendió a disminuir.

This paper extends existing research regarding content knowledge for teaching (CKT) and role it plays in advancing student learning. Two teachers (with high and low measured CKT) are observed on the same day teaching similar content. Many studies have recently been published linking student achievement to teacher’s CKT and many U.S. schools have begun including CKT measures in teacher hiring and retention decisions. Teaching observed for this study illustrates that content can be taught effectively by teachers across the spectrum of CKT levels, but observable and significant differences in teaching leads to important questions for inservice and preservice teacher educators.Este artículo amplía la investigación existente sobre el conocimiento del contenido para la enseñanza (CKT) y su papel en el progreso del aprendizaje del alumno. Dos profesores, con medidas altas y bajas de CKT respectivamente, fueron observados el mismo día enseñando contenidos similares. Numerosos estudios publicados recientemente relacionan el logro de los estudiantes con el CKT del profesor y muchos colegios estadounidenses han empezado a considerar medidas de CKT en la toma de decisiones para la contratación y permanencia de profesores. La enseñanza observada en este estudio muestra que el contenido puede ser enseñado efectivamente por profesores con niveles distintos de CKT. No obstante, se observan diferencias significativas en la enseñanza que conducen a cuestiones importantes para formadores de profesores en formación y en ejercicio.

The study of linear relationships is foundational for mathematics teaching and learning. However, students’ abilities connect different representations of linear relationships have proven to be challenging. In response, a computer-based instructional sequence was designed to support students’ understanding of the connections among representations. In this paper we report on the affordances of this dynamic mode of representation specifically for students with learning disabilities. We outline four results identified by teachers as they implemented the online lessons. El estudio de las relaciones lineales es fundamental en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Sin embargo, las habilidades de los estudiantes para conectar distintas representaciones de las relaciones lineales han demostrado ser un reto. Ante esto, hemos diseñado una secuencia de enseñanza en línea para fomentar en los estudiantes la comprensión de las conexiones entre estas representaciones. Presentamos las potencialidades de este tipo de representación dinámica para estudiantes con dificultades de aprendizaje, destacando cuatro resultados identificados por maestros al implementar las lecciones en línea.

This paper analyses grade 6 pupils’ mathematical processes and difficulties in solving proportion problems before the formal teaching of this topic. Using a qualitative methodology, we examine pupils’ thinking processes at four levels of performance in missing value and comparison problems. The results show that pupils tend to use scalar composition and decomposition strategies in missing value problems and functional strategies in comparison problems. Pupils’ difficulties are related to a lack of recognition of the multiplicative nature of proportion relationships.En este trabajo se analizan los procesos matemáticos y las dificultades en la resolución de problemas de proporción de alumnos de sexto grado antes de la enseñanza formal de este tema. Usando métodos cualitativos, se examinan los procesos de pensamiento de los alumnos, en cuatro niveles de desempeño, en problemas de valor ausente y comparación. Los resultados muestran la tendencia de los alumnos a usar una composición escalar y estrategias de descomposición en los problemas de valor ausente, y estrategias funcionales en los problemas de comparación. Las dificultades de los alumnos se relacionan con la falta de reconocimiento de la naturaleza multiplicativa de las relaciones proporcionales.

In this paper I explore aspects of the ways in which school mathematics relates to the "real" world, and argue that this relationship is an uneasy one. Through exploring the causes of this unease, I aim to expose some problems in the ways in which context is used within mathematics education, and argue that the use of context does not ensure that the purposes of mathematics are made transparent. I present and discuss a framework for task design that adopts a different perspective on mathematical understanding, and on purposeful mathematical thinking.En este artículo exploro aspectos de las maneras en que las matemáticas escolares se relacionan con el mundo "real" y argumento que esta relación es preocupante. Al explorar las causas de esta preocupación, me propongo exponer algunos problemas que surgen de las formas en que se usa el contexto en Educación Matemática y argumento que el uso del contexto no asegura la transparencia de los propósitos de las matemáticas. Presento y discuto un esquema para el diseño de tareas que adopta una perspectiva diferente sobre la comprensión de las matemáticas y el pensamiento matemático intencionado.

Taking as a point of departure the vision of school algebra as a formalized meta-discourse of arithmetic, we have been following six pairs of 7th-grade students (12-13 years old) as they gradually modify their spontaneous meta-arithmetic toward the “official” algebraic form of talk. In this paper we take a look at the very beginning of this process. Preliminary analyses of data have shown, unsurprisingly, that while reflecting on arithmetic processes and relations, the uninitiated 7th graders were employing colloquial means, which could not protect them against occasional ambiguities. More unexpectedly, this spontaneous meta-arithmetic, although not supported by any previous algebraic schooling, displayed some algebra-like features, not to be normally found in everyday discourses.Tomando como punto de partida la visión del álgebra escolar como un meta-discurso formalizado de la aritmética, hemos estado siguiendo a seis pares de estudiantes de 7º curso (12-13 años) cuando modifican gradualmente su meta-aritmética espontánea hacia la forma algebraica “oficial” de hablar. En este artículo miramos el principio de este proceso. Los análisis preliminares de los datos han mostrado, como era de esperar, que mientras reflexionaban sobre los procesos y relaciones aritméticas, los alumnos no iniciados emplearon medios coloquiales que no evitaban las ambigüedades ocasionales. Más inesperadamente, esta meta-aritmética espontánea, a pesar de no apoyarse en ninguna enseñanza algebraica previa, desplegó algunas características similares al álgebra que no se encuentran normalmente en los discursos diarios.

Researchers who have carried out studies pertaining to mental computation and everyday mathematics point out that adults and children reason intuitively based upon experiences within specific contexts; they use invented strategies of their own to solve real-life problems. We draw upon research areas of mental computation and everyday mathematics to report on a study that investigated adults’ use of mental mathematics in everyday settings. In this paper, we report on one adult’s use of mental computation at work and highlight the role of context and context related parameters in his mental mathematical activities.Los investigadores que han realizado estudios relacionados con el cálculo mental y las matemáticas cotidianas señalan que los adultos y los niños razonan intuitivamente basándose en las experiencias de contextos específicos; usan estrategias inventadas por sí mismos para resolver problemas de la vida real. Nos basamos en las áreas de investigación del cálculo mental y las matemáticas cotidianas para informar sobre un estudio que investigó el uso que hacen los adultos de la matemática mental en el entorno cotidiano. En este artículo, informamos sobre el uso que hace un adulto del cálculo mental en su trabajo y destacamos el papel del contexto y de los parámetros relacionados con el contexto en sus actividades matemáticas mentales.

In Australia, national tests of mathematics achievement continue showing small but consistent gender differences in favor of boys. Societal views and pressures are among the factors invoked to explain such subtle but persistent differences. In this paper we focus directly on the beliefs of the general public about students’ learning of mathematics and the role played by computers, and then we compare the findings with data previously gathered from students. Although many considered it inappropriate to differentiate between boys and girls, gender based stereotyping was still evident. En Australia, los test nacionales del logro matemático continúan mostrando pequeñas pero consistentes diferencias de género en favor de los chicos. Las presiones y visiones sociales están entre los factores invocados para explicar tales diferencias sutiles pero persistentes. En este trabajo nos centramos directamente en las creencias del público en general acerca del aprendizaje matemático de los estudiantes y del papel desempeñado por los ordenadores, y después comparamos las conclusiones con datos previamente obtenidos de los estudiantes. Aunque muchos consideran inapropiado diferenciar entre niños y niñas, todavía son evidentes estereotipos basados en el género.

En este artículo presentamos algunas reflexiones sobre la aplicación de la técnica de análisis de contenido en el estudio de textos históricos de matemáticas. Este trabajo se apoya en una investigación realizada en el año 2009 sobre el tratamiento dado al sistema métrico decimal en textos de matemáticas en España, en la que se analizó una selección de textos editados en la segunda mitad del siglo XIX. El estudio ha permitido la identificación de tres etapas que caracterizan los textos utilizados para la difusión de las nuevas pesas y medidas españolas en la época seleccionada. In this paper we present some reflections on the application of the technique of content analysis in the study of historical texts in mathematics. This work is based on a study conducted in 2009 on the treatment of the metric system in mathematics texts in Spain in which a selection of texts published in the second half of the nineteen century was analyzed. The study provided the identification of three stages that characterize the texts used for the dissemination of new Spanish weights and measures in the selected period.

En España se realizan un gran número de investigaciones en Educación Matemática y se presentan avances de sus resultados en los simposios de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM). En este trabajo se presenta un estudio de las actas de dichos simposios. El objetivo de este trabajo es identificar algunos indicadores bibliométricos así como las redes de colaboración institucional y de coautoría. El análisis se realizó con 268 documentos de las actas SEIEM, observándose un bajo porcentaje de colaboración científica entre los investigadores del área. También se obtienen similares resultados en la cooperación internacional. Spain produces a large amount of research in mathematics education and its results are presented in the symposia of the Spanish Society for Research in Mathematics Education (SEIEM). This paper presents a study of the proceedings of these symposia. Its aim is to identify some bibliometric indicators and networks of institutional collaboration and co-authorship. The analysis was performed with 268 SEIEM documents. We found a low level of scientific collaboration between researchers in the field. Similar results are obtained for international cooperation.

This theoretical paper discusses the concept of models for mathematics professional development. After examining the related literature, we propose a definition of this concept that includes four elements: goals, theories, contexts, and structure. We present aspects of professional development that comprise each element.En este artículo teórico discutimos sobre el concepto de modelos para el desarrollo profesional en matemáticas. Después de examinar la literatura relacionada, proponemos una definición de este concepto que incluye cuatro elementos: metas, teorías, contextos y estructura. Presentamos los aspectos del desarrollo profesional que abarca cada elemento.

This paper proposes a conceptual framework to classify ontological beliefs on elementary geometry. As a first application, this framework is used to interpret nine interviews taken from secondary school teachers. The interpretation leads to the following results: (a) the ontological beliefs vary in a broad range, denying the assumption that a similar education provokes analogue opinions; and (b) ontological beliefs have a remarkable influence on the standards of proofs and on the epistemological status of theorems, and also on the role of drawing, constructions and their descriptions, media, and model building processes. Este artículo propone un marco conceptual para clasificar las creencias ontológicas sobre la geometría elemental. Como primera aplicación, este marco se utiliza para interpretar nueve entrevistas realizadas a profesores de secundaria. La interpretación conduce a los siguientes resultados: (a) las creencias ontológicas varían en un amplio rango, negando la suposición de que una educación similar provoca opiniones análogas; y (b) las creencias ontológicas tienen una influencia notable en los estándares de las pruebas y en el estatus epistemológico de los teoremas, así como en la función del dibujo, las construcciones y sus descripciones, los medios y los procesos de construcción de modelos.

This paper proposes a theoretical framework for analyzing relationships between factors influencing teachers’ use of digital technologies in secondary mathematics classrooms. The framework adapts Valsiner’s zone theory of child development to study teacher learning in terms of the interaction between teacher knowledge and beliefs, professional contexts and professional learning experiences. Use of the framework is illustrated by case studies of an early career teacher and an experienced teacher. Este artículo propone un marco conceptual para analizar las relaciones entre los factores que afectan al uso que el profesor hace de las tecnologías digitales en el aula de matemáticas de secundaria. Este marco adapta la teoría de Valsiner sobre el desarrollo del niño para estudiar el aprendizaje del profesor en términos de la interacción entre el conocimiento y las creencias del profesor, los contextos y las experiencias profesionales de aprendizaje. La puesta en práctica de este marco conceptual se ilustra con estudios de caso de un profesor novel y un profesor experimentado.

En este trabajo analizamos el conocimiento geométrico sobre polígonos de estudiantes para profesor peruano. Este conocimiento se describe en función de las capacidades que evidencian. Hemos determinado dichas capacidades con base en el modelo de razonamiento de Van Hiele y en consideraciones sobre el aprendizaje geométrico. Mostramos los resultados generales del grupo de alumnos, así como el estudio de dos casos. In this paper we analyze the geometrical content knowledge related to polygons of a group of Peruvian prospective teachers. This knowledge is described in terms of capacities that theses teachers demonstrate. We had access to these capacities considering the Van Hiele model of reasoning together with other considerations on geometric learning. The general results of the group of students are presented as well as the analysis of two cases.

We are examining actions that teachers take to convert tasks into learning opportunities. In this paper, we contrast ways that three teachers convert the same task into lessons, and the way that their lessons reflect their intent. We found that the teachers did what they intended to do, that this was connected to their appreciation of the mathematics involved, and directly influenced the learning opportunities of the students. To the extent that the potential of the task was reduced, this seemed due to the lack of mathematical confidence in the case of two of the teachers. Examinamos las acciones que los profesores llevan a cabo para convertir tareas en oportunidades de aprendizaje. En este artículo comparamos las maneras en las que tres profesores convirtieron la misma tarea en actividades para la clase y la manera en que sus actividades de clase reflejan sus intenciones. Encontramos que los profesores hicieron lo que pretendían hacer, que esto estaba relacionado con su percepción de las matemáticas que estaban implicadas y que esta relación influyó directamente en las oportunidades de aprendizaje de los estudiantes. En el caso de dos profesores, la reducción en el potencial de la tarea parece deberse a su falta de confianza matemática.

Presentamos resultados de un estudio exploratorio cuyo propósito es indagar sobre el uso del Cabri-Géomètre II y de un juego matemático virtual de estrategia cuando se incluyen en clases ordinarias de matemáticas de estudiantes de 12-13 años en una escuela secundaria pública de México. Para este trabajo, el tema abordado fue la simetría. El análisis de datos permitió ver la funcionalidad de estos ambientes para transformar las nociones del alumno sobre el tema y para reconocer que se puede avanzar en el desarrollo de un pensamiento matemático distinto a través de ambientes de aprendizaje computacionales. We present the results of an exploratory study whose purpose was to explore the use by 12-13 years old students of Cabri-Géomètre II and a mathematical strategic virtual game in a Mexican state school. For this paper, the mathematical focus was on symmetry. The data analysis allowed us to observe the functionality of this learning environment to transform the students’ conceptions and to recognize that a different type of mathematical thinking can be developed with these computational learning environments.

This paper proposes a model of professional development based on Sfard’s stages of interiorisation, condensation and reification, which highlights the teacher’s cognitive processes. The model is applied to the case study of a primary teacher participating in a collaborative project for professional development. This adaptation of Sfard’s stages proves to be of special value when interpreting the process of the teacher’s professional development from a cognitive perspective. Este artículo propone un modelo de desarrollo profesional que pone de relieve los procesos cognitivos del profesor, en relación con las fases de interiorización, condensación y cosificación del trabajo de Sfard. El modelo se aplica al caso de una maestra que participa en un proyecto colaborativo de desarrollo profesional. La adaptación de las fases de Sfard se muestra valiosa para interpretar el proceso de desarrollo profesional de la maestra desde una perspectiva cognitiva.

En este artículo se presentan los resultados de un proyecto de investigación sobre la comunicación entre familias y escuelas. El objetivo es conocer tanto los contenidos de matemáticas enseñados en la escuela, como establecer puentes de diálogo entre escuelas y familias, a fin de que los estudiantes acaben mejorando su rendimiento en matemáticas. Comenzamos con una contextualización. Luego, se presenta el estudio y la metodología utilizada. A continuación se discuten parte de los resultados obtenidos, que destacan el interés de la conexión entre las familias y los centros, especialmente en los institutos. Se concluye con aportaciones a la formación del profesorado de matemáticas.This paper presents the results of a research project about the communication between families and schools. The objective is to identify the mathematical contents taught in current schools as well as to build dialogue bridges between schools and families, in order to improve children’s performance in mathematics. First we introduce the context of the study. Then, we present the study and the methodology. After that, we discuss part of the results obtained, which highlight the interest of the connection between families and schools, particularly at High School. We end with some contributions to teacher training in mathematics.

En este artículo se presenta un modelo evolutivo de competencias ordinales que consta de 6 estados de conocimiento empíricamente validados. Se describe un estudio empírico exploratorio que constó de entrevistas clínicas individuales y cuyo objetivo era analizar el conocimiento de los niños sobre la relación lógica ordinal de siguiente inmediato. Los resultados obtenidos sirvieron para determinar los estados evolutivos de los que consta el modelo. Dicho modelo se validó mediante una prueba de 6 tareas, cada una de las cuales presentaba las características lógicas matemáticas propias de uno de los estados del modelo. In this paper we present a developmental model of ordinal competence which consists of 6 empirically validated states of knowledge. An exploratory empirical study was carried out with individual clinical interviews. The aim was to analyze children’s knowledge about the logical-ordinal relationship of the immediately next term. The results obtained served to determine the developmental stages of the model. The model was validated through a test comprising 6 tasks, each of which presented the mathematical and logical characteristics of a given state of the model.

This paper describes a methodological procedure for characterizing mathematics preservice teachers’ learning from a sociocultural perspective. The procedure involves interpreting some aspects of Wenger’s theory of social learning, adapting them to preservice teacher training, and making this adaptation operational for coding and analyzing audio recordings of a group of preservice teachers working at home. An example of a research result obtained using this procedure is presented. En este artículo describo un procedimiento metodológico para caracterizar el aprendizaje de futuros profesores de matemáticas desde una perspectiva sociocultural. En este procedimiento interpreto algunos aspectos de la teoría social del aprendizaje de Wenger, los adapto a la formación inicial de profesores y los utilizo para diseñar instrumentos de codificación y análisis de grabaciones de audio de un grupo de futuros profesores trabajando fuera del aula. Presento un ejemplo de un resultado de investigación obtenido utilizando este procedimiento.

This paper contributes to the research strand concerning early algebra and focuses on the distributive law. It reports on a study involving pupils aged 8 to 10, engaging in the solution of purposefully designed problem situations. These situations are organized to favor specifying the students’ solutions and to motivate a collective comparison of the arithmetic expressions that codify the solution processes. The study focuses on ways in which perception leads to different mental images that influence the choice of either the (a + b) x c or (a x c) + (b x c) the representation. It highlights that understanding these dynamics is a fundamental step for a meaningful learning of the property. Este artículo contribuye a la rama de investigación relativa al early algebra y se centra en la propiedad distributiva. Describimos un estudio que involucra estudiantes de 8 a 10 años, implicados en la resolución de problemas. Estos problemas se han organizado para favorecer un enunciado explícito de las soluciones propuestas por los alumnos y motivar una comparación colectiva de expresiones aritméticas que codifican los procesos de resolución. El estudio se centra en las formas en las que la percepción da lugar a diferentes imágenes mentales que llevan a elegir la representación (a + b) x c o (a x c) + (b x c). La comprensión de esta dinámica es un paso fundamental para un aprendizaje significativo de la propiedad.

En este trabajo precisamos el significado de los términos capacidad y competencia en el marco de un programa de formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria. Describimos brevemente las bases de ese programa y, a continuación, presentamos y ejemplificamos un procedimiento mediante el cual los futuros profesores reflexionan en torno al aprendizaje de los escolares y usan esas nociones cuando abordan la planificación de una unidad didáctica. In this paper we propose specific meanings for the notions of capacity and competence in the context of a Secondary mathematics teacher training program. We briefly describe this program, and present a procedure with which prospective teachers can reflect on students’ learning in the classroom and use these notions for planning didactical units.

In this paper, I discuss the role of diagrammatic thinking within the larger context of cognitive activity as framed by Peirce’s semiotic theory of and its underpinning realistic ontology. After a short overview of Kant’s scepticism in its historical context, I examine Peirce’s attempt to rescue perception as a way to reconceptualize the Kantian “manifold of senses”. I argue that Peirce’s redemption of perception led him to a series of problems that are as fundamental as those that Kant encountered. I contend that the understanding of the difficulties of Peirce’s epistemology allows us to better grasp the limits and possibilities of diagrammatic thinking. En este artículo se discute el papel que desempeña el concepto de pensamiento diagramático en el contexto de la actividad cognitiva, tal y como es concebida dentro del marco de la teoría semiótica de Peirce y su subyacente ontología realista. Luego de presentar una visión general del escepticismo kantiano en su contexto histórico, se examina el esfuerzo de Peirce por rescatar la percepción, esfuerzo que lo lleva a indagar de manera innovadora el “multiespacio de los sentidos” del que hablaba Kant. Se mantiene que este esfuerzo lleva a Peirce a una serie de problemas que son tan fundamentales como los que Kant encontró en su propio itinerario epistemológico. Se sostiene que la comprensión de las dificultades intrínsecas a la epistemología de Peirce nos permite cernir mejor los límites y posibilidades de su pensamiento diagramático.

Os profissionais da educação defrontamse na sua prática com inúmeros problemas. Em vez de aguardar por soluções vindas do exterior, muitos deles procuram investigálos directamente. Este artigo discute o significado desta investigação para a formação e a construção do conhecimento profissional. Como exemplos, analiso o percurso do Grupo de Trabalho de Investigação (GTI) da Associação de Professores de Matemática (APM) e apresento duas investigações de professores sobre a sua própria prática. Abordo ainda questões problemáticas desta investigação, nomeadamente a sua filiação paradigmática, metodologia, papel e dificuldades da colaboração e as condições institucionais e cultura profissional essenciais para a sua realização. Education professionals face countless problems in their practice. Instead of waiting for external solutions, many of them investigate directly those problems. This paper discusses the meaning of such investigation for teacher education and constructing professional knowledge. To illustrate such perspective, I analyse the journey of Grupo de Trabalho de Investigação (GTI) of the Associação de Professores de Matemática (APM), presenting two cases of teachers’ investigations about their own practice. I also discuss problematic issues in this kind of investigation, notably paradigmatic kinship, methodology, role and characteristic difficulties of collaboration and the institutional conditions and professional culture necessary to undertake it.

El marco teórico y metodológico para la investigación en Matemática Educativa que Filloy denominó hace años “de los Modelos Teóricos Locales” tiene como uno de sus componentes la descripción de la competencia en el dominio cuya enseñanza y aprendizaje va a ser investigado. En este trabajo exponemos en qué sentido se usa el término competencia, con ejemplos de la elaboración de modelos de competencia en algunas investigaciones. Esto nos conduce al examen de la relación entre la competencia en un dominio matemático y el análisis fenomenológico de dicho dominio. Incidentalmente examinamos el uso del término competencia en varios documentos del estudio PISA. One of the components of the methodological and theoretical framework that Filloy named “Local Theoretical Models” is the description of the competence in the domain of which teaching and learning are going to be researched. In this paper we show in which sense the term competence is used in this framework and provide examples of the construction of competence models in some investigations. This leads us to examine the relationship between the competence in a mathematical domain and the phenomenological analysis of this domain. Incidentally, we study the use of the term competence in several PISA documents.

This paper focuses on eight-year old students’ ways of approaching true/false number sentences. The data presented here belongs to a teaching experiment in which the use of relational thinking when solving number sentences was explicitly promoted. The study of the way of using this type of thinking and of students’ structure of attention, allow us to make distinctions and to provide a description of students’ different behaviours. Este artículo se centra en las formas en que alumnos de ocho años abordan la resolución de sentencias numéricas verdaderas y falsas. Los datos que se presentan pertenecen a un experimento de enseñanza en el cual se promovió explícitamente el uso del pensamiento relacional en la resolución de sentencias numéricas. El estudio del modo en que es usado este tipo de pensamiento y de la estructura de la atención de los alumnos, nos permite distinguir y aportar una descripción de los diferentes comportamientos de los alumnos.

En este trabajo describimos los patrones y la generalización que llevan a cabo 359 estudiantes de 3º y 4º de Educación Secundaria Obligatoria en la resolución del problema de las baldosas. Prestamos especial atención a los tipos de patrones identificados, a la forma en que los estudiantes expresan la generalización y, mediante la descripción de las estrategias inductivas, presentamos algunas características de la generalización referentes a los elementos y a los sistemas de representación utilizados. In this paper we explore the patterns and the generalization developed by 359 students in years 9 and 10 in the resolution of the tiles problem. We pay special attention to the kinds of patterns identified, to the written ways in which students express generalization and, using inductive strategies, we present some characteristics of the generalization relating to the elements and the representations used.

Mathematics education is powerful. This is an assertion that appears often in mathematics education research papers. However, the meaning of the assertion is far from being clear. An analysis of different ways of talking about power in relation to mathematics education, in research literature, is put forward. Three main discourses are identified: Power as an intrinsic capacity, power as structural imbalance, and power as distributed positioning. Identifying these discourses allows clarifying the values associated to mathematics education and the pedagogical imaginaries that are possible to envision for mathematics teaching and learning. La educación matemática es poderosa. Esta afirmación aparece con frecuencia en artículos de investigación; no obstante su significado no es siempre claro. Un análisis de las distintas maneras de hablar sobre el poder en relación con la educación matemática se ponen al descubierto en tres tipos de discursos: el poder como capacidad intrínseca, el poder como desequilibrio estructural y el poder como posicionamiento distribuido. La identificación de estos tres discursos permite elucidar los valores que se le atribuyen a la educación matemática, y hacer evidente los imaginarios pedagógicos posibles para pensar la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.

Este artículo muestra los resultados parciales de un estudio empírico sobre el desarrollo de pensamiento multiplicativo en los primeros niveles escolares. Concretamente, se han realizado entrevistas a niños de tercer curso de segundo ciclo de Educación Infantil (cinco años) en las que se han planteado, mediante situaciones manipulables, varios problemas de división que no podían ser resueltos mediante reparto, así como algunas preguntas sobre pensamiento relacional (de tipo proporcional). This paper shows some partial results of an empirical study on the development of multiplicative thinking in early schooling. In particular, we posed manipulative situations to children of third course of second cycle of Kindergarten (five years). These situations are constituted by several division problems that could not be solved by sharing, as well as some questions on (proportional) relational thinking.