Search

Проведено исследование однопараметрического класса функций, введенного А.А. Капланом, для решения задачи условной минимизации нелинейной выпуклой функции на множестве, заданном с помощью ограничений-неравенств. Предполагается при этом, что множество, задаваемое ограничениями, не пусто и имеет внутренние точки. В монографиях А. Фиакко, Г. МакКормика, Э. Полака, А.А. Каплана представлено систематическое изложение теории методов штрафов и классификации штрафных функций. Опираясь на приемы и методы, изложенные в них, в данной работе устанавливается принадлежность исследуемого класса функций к внешним штрафам для задач выпуклого программирования. Применение методов штрафных функций при решении нелинейных экстремальных задач с ограничениями позволяет использовать методы безусловной нелинейной оптимизации, в том числе градиентные методы. Штрафные функции А.А. Каплана обладают хорошими дифференциальными свойствами и тем самым удобны при использовании итерационных градиентных методов приближенного решения задач на безусловный экстремум. Далее в работе доказывается теорема сходимости последовательности получающихся приближенных решений задач на безусловный экстремум к точному решению исходной задачи. Получена оценка скорости сходимости метода штрафов с использованием рассматриваемого однопараметрического класса функций в качестве штрафных функций. Представляемая оценка скорости сходимости метода получена в предположении, что осуществляется точное решение последовательности задач безусловной оптимизации. Полученные результаты могут быть применены при численном исследовании задач рассматриваемого вида., Kaplan’s one-parametric class of functions for solving nonlinear convex minimization problems with one-sided constraints is studied. The set defined by constraints is assumed to have a nonempty interior. In the monographs written by A. Fiacco, G. McCormick, E. Polak, and A. Kaplan, the penalty methods theory and classification of penalty functions are presented quite systematically. With these methods and approaches as backbones, in the present article, we establish that the class of functions under study belongs to the class of exterior penalty functions for problems of convex programming. Application of penalty methods to the solution of nonlinear extremal problems with constraints allows using the toolbox of unconstrained nonlinear optimization, including gradient methods. Kaplan’s penalty functions have fine differential properties. Therefore, they are suitable for use in iterative gradient methods of approximate solution of unconstrained extremal problems. After this, we prove the theorem on convergence of the sequence of approximate solutions of penalized unconstrained extremal problems to the exact solution of the original problem with constraints. As well, we establish a bound on the convergence rate for the penalty method with the one-parametric class of functions serving as penalty functions. This bound is derived provided that the exact resolving of the sequence of unconstrained extremal problems is fulfilled. With the help of these results, one may proceed further with a numerical analysis of the class of problems that are under discussion in the article.