Search

В работе рассматривается движение сыпучей среды при вертикальном встряхивании для неглубокого слоя. Сыпучий материал является одним из самых распространенных в природе, и его исследованию в последние десятилетия уделяется большое внимание. Данный материал, с одной стороны, ведет себя как жидкость, так как способен вытекать из емкости и принимать до некоторой степени еу форму. С другой стороны, такой материал может вести себя как твердое тело. В данной статье начальной точкой считается состояние Leidenfrost, а сыпучая среда напоминает жидкость, нагретую снизу. Целью работы является доказательство теоремы о локальной разрешимости начально-краевой задачи для одномерного движения сыпучей среды с учетом вибраций с использованием гидродинамического подхода к описанию данного материала. Во введении дано краткое описание рассматриваемой проблемы, а также проведен обзор близких по теме работ. В пункте 1 рассмотрена одномерная изотермическая задача движения сыпучей среды, которая описывается гидродинамической моделью, а сыпучий материал рассматривается как сплошная среда. Проведено преобразование исходной системы уравнений, сформулирована теорема существования обобщенного решения. В пункте 2 доказана локальная по времени разрешимость начально-краевой задачи в пространствах С.Л. Соболева и Гельдера.

В работе рассматривается математическая модель совместного движения двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей в пороупругой среде. Данная модель является обобщением классической модели Маскета-Леверетта, в которой пористость считается заданной функцией пространственной координаты. В основе изучаемой модели лежат уравнения сохранения массы жидкостей и пористого скелета, закон Дарси для жидкостей, учитывающий движение пористого скелета, формула Лапласа для капиллярного давления, реологическое уравнение для пористости типа Максвелла и условие равновесия «системы в целом». В приближении тонкого слоя исходная задача сводится к последовательному определению пористости твердого скелета и его скорости, а затем выводится эллиптико-параболическая система для «приведенного давления» и насыщенности смачивающей фазы. В связи с вырождением на решении уравнений системы ее решение понимается в обобщенном смысле. Доказательство теоремы существования осуществляется в четыре этапа: регуляризация задачи, доказательство физического принципа максимума для насыщенности, построение галеркинских приближений, предельный переход по параметрам регуляризации на основе метода компенсированной компактности.

В работе рассматривается модель фильтрации вязкой сжимаемой жидкости в деформируемой среде, обладающей преимущественно вязкими свойствами относительно упругих. В отличие от ранних работ, посвященных обоснованию данной модели, в настоящей статье дано обоснование модели, учитывающей влияние силы тяжести. Доказана теорема о локальной разрешимости задачи в поле силы тяжести. В пункте 1 дана краткая постановка задачи и сформулирован основной результат статьи. Исходная система уравнений, описывающая процесс, состоит из уравнений сохранения масс для твердой и жидкой фазы, закона сохранения импульса для жидкости, который берется в форме закона Дарси и учитывает движение твердого скелета, закона сохранения импульса системы в целом, а также уравнения, связывающего эффективное давление и пористость, которое определяет реологию. После перехода к переменным Лагранжа эта система сводится к двум уравнениям для отыскания функций пористости и плотности жидкой фазы. В пункте 2 приведено доказательство теоремы для полученной системы, а также установлен физический принцип максимума для функций пористости и плотности жидкой фазы. Доказательство теоремы проводится на основе теоремы Тихонова-Шаудера о неподвижной точке. В пункте 3 приведено обобщение на случай полного уравнения баланса сил. DOI 10.14258/izvasu(2018)4-20