Search

Siden høsten 2013 har det vært gjort betydelige endringer i strukturen på grunnemnene i matematikk og statistikk ved NTNU, fra januar 2014 innenfor rammene av prosjektet KTDiM (Kvalitet, tilgjengelighet og differensiering i grunnundervisningen i matematikk), ett av de innovative utdanningsprosjektene ved NTNU. Ett av elementene i KTDiM har vært å innføre ukentlige datamaskinbaserte øvinger (basert på systemet Maple T.A.), delvis til erstatning for klassiske skriftlige innleveringer. Et visst antall slike øvinger må være godkjent for å få gå opp til eksamen, og i noen av emnene vil godkjente øvinger også telle på den endelige karakteren i emnet. I starten kom det betydelig kritikk fra studentene på at Maple T.A.-oppgavene var for vanskelige, og man forsøkte å etterkomme denne kritikken ved å tilstrebe å lage lettere oppgaver. Som konsekvens kunne man gjennom spørreundersøkelser observere mindre kritikk mot vanskelighetsgraden, og det ble rapportert større opplevd læringsutbytte. Gjennom en analyse av utvalgte oppgaver gitt i Matematikk 1 i en fireårsperiode vil vi i denne artikkelen karakterisere den utviklingen som har skjedd med Maple T.A.- oppgavene i denne perioden, og koble det til studentenes tilbakemeldinger gjennom spørreundersøkelsene. Dette kan også bidra til å si noe om for hvilke formål et elektronisk øvingssystem kan være tjenlig, og om det kan være formål der mer manuelle vurderingssystemer kan være bedre. © 2017 The Authors. Published by NTNU. This is an open access article under the CC-BY-NC-ND 4.0 license http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/

For studenter ved sivilingeniørutdanningen ved NTNU inngår fem grunnemner i matematikk i studieplanen. Tre av disse emnene, Matematikk 1 (første semester, 1700 studenter), Matematikk 2 (andre semester, 1400 studenter) og Statistikk (800 studenter i tredje og fjerde semester), har i 2014-2016 gått gjennom store endringer av pedagogisk art i NTNU-prosjektet KTDiM (Kvalitet, tilgjengelighet og differensiering i grunnundervisningen i matematikk). Hovedmålet i prosjektet har vært å øke læringsutbyttet for studentene, sammenlignet med klassiske undervisningsopplegg. Tanken er at det økte læringsutbyttet kommer fordi studentene utvikler dypere forståelse for matematiske begreper og prosesser, noe som igjen gjør dem bedre skikket enn tidligere til å bruke matematikk og statistikk i anvendelser. Studentenes egenrapporterte aktivitet og preferanser, og tall for bruk av de elektroniske ressursene, danner grunnlaget for konklusjonene vi trekker om studentenes holdning til og bruk av læringsressursene i grunnutdanningen i matematikk. © 2017 The Authors. Published by NTNU. This is an open access article under the CC-BY-NC-ND 4.0 license http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/

The morphism axiom for n-angulated categories states that a morphism between the bases of two n-angles can be extended to a morphism of n-angles. We show that this axiom is redundant. For triangulated categories, this was proved by J.P. May., Comment: 5 pages

We define the Grothendieck group of an n-angulated category and show that for odd n its properties are as in the special case of n=3, i.e. the triangulated case. In particular, its subgroups classify the dense and complete n-angulated subcategories via a bijective correspondence. For a tensor n-angulated category, the Grothendieck group becomes a ring, whose ideals classify the dense and complete n-angulated tensor ideals of the category., 13 pages

Vi presenterer en introduksjon til diskret Morse teori, hvor vi starter med å definere simplisialkomplekser og fortsetter med diskrete Morse-funksjoner og induserte gradientvektorfelt. Vi lærer hvordan vi lager den ene fra den andre og hvordan de hjelper oss å lære om simplisiell homologi og å sammenligne forskjellige simplisialkomplekser. Akkurat som diskret Morse-teori er sammenlignbart med et topografisk kart, håper vi at denne introduksjonen kan sammenlignes med et veikart for leseren på sin vei mot forståelse av emnet. We present an introduction to discrete Morse theory, starting with defining simplicial complexes and moving on to discrete Morse functions and induced gradient vector fields. We learn how to construct one from the other and how they help us learn about the simplicial homology of a simplicial complex as well as being able to compare different simplicial complexes. Just as discrete Morse theory is comparable to a topographic map, we hope this introduction can be comparable to a road map on the reader's way to understanding the subject.

Topologisk dataanalyse er eit fagfelt der ein brukar abstrakte topologiske verktøy til å rekna seg fram til «forma» til data, og i denne teksten så viser eg eit sentralt teorem i topologisk dataanalyse, kalla for «nerveteoremet». I teksten går eg gjennom ei forklaring av nerveteoremet og motivasjonen bak det. Til slutt tek eg for meg eit bevis av nerveteoremet for endelege, reelle, kompakte og konvekse overdekke. Topological data analysis is a field of mathematics where you use abstract topological tools to find the "shape" of data, and in this thesis I show an important theorem in topological data analysis, namely the "nerve theorem". In the thesis I walk through an explanation of the nerve theorem and the motivation behind it, and in the end I show a proof for the nerve theorem for finite, real, compact, and convex covers.

Vi går gjennom konstruksjonen av Spanier-Whitehead kategorien, og viser at den er triangulert. We go through the construction of the Spanier-Whitehead category, and show that it is triangulated.

We define geometric Hodge filtered complex cobordism groups MUn(p)(X) for complex manifolds X. Refining the Pontryagin–Thom construction, we give a natural isomorphism MUn(p)(X) ƒ MUnD (p)(X), where MUnD(p)(X) are the Hodge filtered complex cobordism groups defined in [30]. We establish a pushforward map gú : MUn(p)(X) æ MUn+2d(p + d)(Y ) for each proper holomorphic map g : X æ Y . Using gú, we get for algebraic manifolds X a map !n alg(X) æ MU2n(n)(X), where !n alg(X) denotes the algebraic cobordism group of X. This induces an Abel–Jacobi map. Using a cycle model for Deligne-cohomology similar to that of [21], we describe the Thom-morphism MUn(p)(X) æ HnD (X; Z(p)), and verify that our Abel–Jacobi map refines that of Gri!ths. Digital fulltext is not available

Topologisk dataanalyse (TDA) omhandler studiet av datas form. TDA kan finne verdifull kvalitativ og kvantitativ informasjon fra kompliserte dataset. Convolutional Neural Networks (CNNs) løser et mangfold av oppgaver bedre enn noen annen teknologi, men er ikke fullstendig forstått. Gjennom å studere aktiveringer av nevroner i et mellomliggende lag i en CNN, kan vi oppnå en bedre forståelse, både av den spesifikke CNN, og av CNNs generelt. Et set av aktiveringer utgjør et interessant, men komplekst datasett. I denne oppgaven gjennomgår jeg et antall TDA-metoder, som senere blir anvendt på datasettet av aktiveringer. Dette leder til det jeg kaller the Mapper Activation Atlas. Jeg undersøker også klustere av aktiveringer med persistent homologi og UMAP, og identifiserer og parametriserer sirkelstruktur. Topological Data Analysis (TDA) is concerned with studying the shape of data. TDA can extract valuable qualitative and quantitative information from complicated datasets. Convolutional Neural Networks (CNNs) have state-of-the-art performance on a variety of tasks, but are not fully understood. Through studying the activations of neurons at an intermediate layer in a CNN, we can gain a better understanding, both of a particular CNN, and of CNNs in general. A set of activations constitute an interesting, but complex dataset. In this thesis, I review a number of TDA methods which is then applied to the dataset of activations. This leads to what I call the Mapper Activation Atlas. I also investigate clusters of activations with persistent homology and UMAP, identifying and parametrising circular structure.

I denne bacheloroppgåva utforskar me frobeniusalgebraar og finn ulike måtar å karakterisera dei på. Det blir gjeven ei innføring i orientert kobordismeteori, og kategoriane av frobeniusalgebraar og kobordismar definerast. Vidare blir topologiske kvantefeltteoriar drøfta, og det blir vist ein ekvivalens av kategoriar mellom todimensjonale topologiske kvantefeltteoriar og kommutative frobeniusalgebraar. Det blir presentert bruksområde for dette resultatet gjennom invariantar for lukka, orienterte todimensjonale mangfaldigheiter. In this bachelor's thesis we explore Frobenius algebras and find different ways of characterizing them. An introduction to oriented cobordism theory is given, and the categories of Frobenius algebras and cobordisms are defined. Topological quantum field theories are then discussed, and an equivalence of categories between two-dimensional topological quantum field theories and commutative Frobenius algebras is presented. Applications of this result is given by invariants for closed, oriented two-dimensional manifolds.

I denne oppgaven presenteres et forsøk på å gjenskape den såkalte primærsirkelen av pikselmatriser i vektorrommet av vekter i et konvolusjonelt nevralt nettverk (CNN) trent på et bildedatasett, ved hjelp av åpen kildekode programvare. Totalt 100 CNN ble trent til omtrent 98 prosent nøyaktighet på et datasett av håndskrevne siffer (MNIST), og en punktsky av 6400 nidimensjonale vektmatriser ble tetthetsfiltrert til 1920 vektmatriser og Mapper-algoritmen ble brukt til å generere nerven av punktskyen. Her er det gjort funn som støtter opp om hypotesen om at et CNN observerer bilder på samme måte som det primære synssenteret hos pattedyr. Sensitivitetsanalyser ble utført for å teste styrken i det foregående eksperimentet. Enkle parameterjusteringer i tettsfiltrering og Mapper-algoritmen medførte at sirkeltopologien ble brutt. En idealisert primærsirkel ble diskretisert og påført vektene til et CNN som et utrenbart nettverkslag. Dette nettverket ble trent på MNIST-datasettet og testet på et hittil usett datasett av naturlige bilder av av reelle husnummerskilt (SVHN). Hypotesen om en dramatisk økning i testnøyaktighet gitt et påført topologisk rom har ikke blitt bekreftet. Til sist ble sammenhengen mellom en sirkulær topologi i treningsdata og testnøyaktighet testet for 100 trente CNN. Det er grunn til å stille spørsmål om tidligere observerte gunstige topologiske effekter på CNN har hatt en tidsbegrenset gyldighet, gitt den raske utviklingen innen maskinlæringsmodeller og infrastruktur generelt. In this thesis we present an attempt to reproduce the so-called primary circle of pixel patches in the vector space of weights in a Convolutional Neural Network (CNN). In total 100 CNNs were trained to about 98 per cent test accuracy on a dataset of hand written digits (MNIST). A point cloud of 6,400 nine-dimensional weight vectors were density filtered to 1,920 points, and the Mapper algorithm was applied to generate the nerve of the point cloud. We have findings supporting the hypothesis that a CNN observes images in the same manner as the mammalian primary cortex. Sensitivity analysis were performed on that experiment. Simple parameter adjustments made the circle topology in the data vanish. An idealized discretized primary circle was enforced on a layer of the CNN and frozen from training adjustment. This network was trained on the MNIST set and tested on unseen house number sign photos (SVHN). The hypothesis of a large increase in test accuracy on the unseen data was not confirmed. Ultimately the connection between a circular topology in the CNN weights and train-test accuracy during training was tested. There was no sign of any correlation between them. There seem to be good reason to ask whether previously reported benefits on applying topological information on CNN structures has been of limited duration, given the development of the machine learning field and infrastructure in general.

The homotopy category of a stable (∞,1)-category can be endowed with a triangulated structure. The main objective of this thesis is to give a proof of this fact. First it will be discussed some ideas of higher category theory, before (∞,1)-categories and models of (∞,1)-categories will be studied. In particular, topological categories and simplicial categories will be mentioned, but the main focus will be on quasi-categories, which all are models for (∞,1)-categories. The theory of (∞,1)-categories, which is required in order to define stable (∞,1)-categories, is then discussed, in particular functors, subcategories, join constructions, undercategories, overcategories, initial objects, terminal objects, limits and colimits are formally discussed for quasi-categories. Finally, the definition of a stable (∞,1)-category will be discussed. Then the main theorem will be proved, after the required properties of stable (∞,1)-categories are discussed. Background theory from ordinary categories and simplicial sets are collected in the appendices.