Search

The ordinary ellipticity status of some compressible isotropic nonlinearly elastic solids is examined under plane deformations.

El trabajo propuesto consiste en analizar elementos de geometría cilíndrica con sección transversal tubular bajo la acción de solicitaciones de carga, desplazamiento y restricciones impuestas, variando determinados parámetros de entrada (características del elemento) y examinando la respuesta mecánica debida a esta variación. En términos generales se estudia el tubo circular sometido (en un estado inicial) a tensiones residuales radiales, azimutales y longitudinales que a la postre se ve afectado por un estiramiento axial y presión interna. El análisis se plantea basado en la teoría de la mecánica del medio continuo. Se realiza un estudio del comportamiento del elemento omitiendo la hipótesis de las pequeñas deformaciones. El modelo material es gobernado por una ley constitutiva elástica no lineal dependiente de las tensiones residuales en términos de los invariantes que se comporta como hiperelástico e incompresible, considerando la isotropía como propiedad intrínseca de este. Se aplica el método de Riks modificado (longitud de arco) para capturar la bifurcación y post-bifurcación del problema de valor de frontera en deformación finita. Los tipos de bifurcación involucrados son: inestabilidad tipo abombamiento (bulging) e inestabilidad por flexión (bending). En la post-bifurcación se toma en consideración la aparición del abombamiento después de generada la inestabilidad por flexión. Para la definición del modelo cilíndrico se aplica el método de los elementos finitos utilizando el software Abaqus representándolo como sólido en tres dimensiones de tal manera que, para un mejor ordenamiento y entendimiento de los resultados, se pretende utilizar un sistema de coordenadas cilíndrico. Las cualidades del objeto de estudio mencionadas (geometría, modelo material, condiciones de carga, desplazamiento y restricciones) previamente son consideradas y aptas a ser modificadas por el programa ii Abaqus de manera que es una herramienta competente para la realización del presente estudio. Se realiza una comparativa entre elemento donde actúan tensiones residuales en contraste con el elemento sin la aplicación de estas. Se describe el problema de valor de frontera de deformación finita principalmente en términos de la presión de inflado y estiramiento axial. La importancia del estudio radica en la aplicación dentro de la biomecánica que puede tener, es decir, el funcionamiento de un elemento tubular sometido a presión interna y carga axial es similar al comportamiento de las arterias dentro del cuerpo humano, de ahí la necesidad de hacer un análisis no lineal, pues es de conocimiento que las arterias sufren deformaciones no despreciables que potencialmente bajo determinadas circunstancias podrían traducirse en la formación de inestabilidades tipo abombamiento (bulging), por ejemplo, la formación de las denominadas aneurismas en el tejido arterial son consecuencia de este tipo de inestabilidad. Replicar este comportamiento en un software de elemento finitos, permite conocer a mayor detalle algunos aspectos de interés para la prevención y mejor tratamiento de estas patologías de carácter cardiovascular. ABSTRACT The proposed work consists of analyzing cylindrical geometry elements with a tubular cross-section under the action of load, displacement, and imposed constraints, varying certain input parameters (characteristics of the element) and examining the mechanical response due to this variation. In general terms, the circular tube subjected (in an initial state) to radial, azimuthal and longitudinal residual stresses is studied, which is ultimately affected by axial stretching and internal pressure. The analysis is based on the theory of the mechanics of the continuous medium. A study of the behavior of the element is carried out omitting the hypothesis of small deformations. The material model is governed by a nonlinear elastic constitutive law dependent on residual stresses in terms of invariants that behaves as hyperelastic and incompressible, considering isotropy as an intrinsic property of it. The modified Riks method (arc length) is applied to capture the bifurcation and post bifurcation of the boundary value problem in finite deformation. The types of bifurcation involved are bulging instability and bending instability. In the post-bifurcation, the appearance of the bulge after the instability due to bending has been generated is taken into consideration. For the definition of the cylindrical model, the finite element method is applied using the Abaqus software, representing it as a solid in three dimensions in such a way that, for a better ordering and understanding of the results, it is intended to use a cylindrical coordinate system. The qualities of the object of study mentioned (geometry, material model, load conditions, displacement, and restrictions) are previously considered and suitable to be modified by the Abaqus program so that it is a substantially competent tool for carrying out the present study. iv A comparison is made between elements where residual stresses act in contrast to the element without the application of these. The finite strain boundary value problem is described primarily in terms of inflation pressure and axial stretch. The importance of the study lies in the application within biomechanics that it can have, that is, the operation of a tubular element subjected to internal pressure and axial load is similar to the behavior of arteries within the human body, hence the need to do a non linear analysis, since it is known that arteries suffer non-negligible deformations that potentially under certain circumstances could result in the formation of bulging-type instabilities, for example, the formation of so-called aneurysms in the arterial tissue are a consequence of this kind of instability. Replicating this behavior in a finite element software, allows to know in greater detail some aspects of interest for the prevention and better treatment of these cardiovascular pathologies.

El trabajo de investigación que se presenta a continuación analiza, mediante elementos finitos, el estado tensional y los movimientos que sufre un tubo cilíndrico de sección circular, de longitud y espesor dados, y con definidas condiciones de contorno, al presentarse en él una bifurcación del equilibrio reflejada en un abombamiento en su sección, con la finalidad de reproducir el comportamiento de un vaso sanguíneo afectado por aneurismas dentro del cuerpo humano. Para ello se trabajará con un modelo compuesto por un material isótropo, hiperelástico y con comportamiento no lineal, que tiene en su configuración inicial tensiones residuales y que está sometido a un alargamiento axial dado y a una presión interna de inflado. La inestabilidad esperada para este estudio concreto es el de abombamiento o bulging, teniendo claro que este tipo de bifurcación del equilibrio refleja la aparición de enfermedades cardiovasculares como la aparición de aneurismas y similares afecciones al tejido arterial que son de gran interés en la comunidad científica. Por ello, es de vital importancia trabajar con tensiones residuales, cuya influencia se verá reflejada en los resultados que se presentan en este documento y nos ayudará a entender de mejor manera el comportamiento de la pared del tejido arterial. Este Trabajo Fin de Máster se realizará con ayuda del software comercial Abaqus, dentro del cual se tiene implementado el método modificado de Riks, que desarrolla un procedimiento numérico para identificar las inestabilidades dentro de un modelo de elementos finitos basándose en relaciones entre cargas y desplazamientos.

En el presente trabajo se analiza el estado tensional y los desplazamientos en las direcciones principales al inicio de la bifurcación y la postbifurcación de un tubo de sección circular de un material isótropo, con comportamiento no lineal, hiperelástico e incompresible, que presenta tensiones residuales iniciales y que ha sido sometido a una carga axial (estiramiento) y presión interna de inflado uniforme. El análisis se realizará mediante el uso de una simulación por elementos finitos, para un modelo del material con tensiones residuales con un comportamiento no lineal que depende de la ley elástica constitutiva en términos de invariantes. Mediante el método modificado de Risk que se encuentra implementado en el software Abaqus, se desarrolla un procedimiento numérico para identificar la inestabilidad y las deformaciones finitas del cilindro con tensiones residuales, y mediante una representación gráfica se realiza una comparación y análisis de estos resultados con un material que no presenta tensiones residuales. El tipo de inestabilidad esperada para este modelo de material planteado y bajo las condiciones dadas será el abombamiento (bulging), y se establece la conexión de este tipo de bifurcación con la formación y propagación de aneurismas en la pared del tejido arterial que presenta ciertas patologías relacionadas con las tensiones residuales, es acuciante para la comunidad médica que podamos entender cómo se produce el crecimiento, la remodelación y las tensiones residuales, así como también entender el comportamiento mecánico de la pared de este tejido arterial.

La tesis presentada trata sobre el modelado de materiales hiperelásticos con tensión residual y el modelado de materiales poroelásticos con aplicación en tejidos biológicos. Este documento trata dos teorías diferentes de los materiales, a saber, la poroelasticidad y la hiperelasticidad. En particular, se proporcionan marcos numéricos capaces de predecir su respuesta mecánica, así como la bifurcación y la post-bifurcación. En el área de investigación de la poroelasticidad, en el contexto de la mecánica del cáncer, en primer lugar, se proporciona el estado de la técnica del proceso de ampliación de escala (homogeneización asintótica) para obtener el sistema de EDP’s de la macroescala a partir de la configuración en la microescala. La respuesta mecánica en la macroescala se puede caracterizar mediante algunos coeficientes que contienen la información de la microescala. En segundo lugar, se explica el sistema de EDP a resolver en subdominios de una celda a nivel de la microescala (fases fluida y sólida) y se proporcionan los marcos numéricos apropiados para resolverlo. Los coeficientes para la macroescala son entonces derivados a partir de la solución de los problemas anteriores y se estudia en detalle la dependencia de las propiedades mecánicas e hidráulicas de los medios poroelásticos en ambos la porosidad y la compresibilidad de la matriz sólida. Los hallazgos se presentan mediante un análisis paramétrico que se realiza variando la porosidad y la relación de Poisson de la matriz que, por ejemplo, revela una dependencia no trivial del módulo de Biot en la porosidad y la compresibilidad de la matriz. Los resultados numéricos tridimensionales, que se presentan en el contexto del modelado de tumores, sirven como un primer paso para cuantificar la respuesta en la macroescala de los materiales poroelásticos sobre la base de su microestructura subyacente. Esto se hace implementando el sistema de ecuaciones de la macroescala en un código de elementos finitos. Los resultados pueden usarse para relacionar la respuesta mecánica e hidráulica del tejido con sus propiedades microestructurales, que, a su vez, pueden ser útiles para distinguir entre un tumor benigno y un tumor maligno. Además, la visualización de los desplazamientos en la macroescala sirve como una herramienta robusta para cuantificar las propiedades poroelásticas de los tejidos presentes en los tumores y en el cerebro mediante el uso de técnicas como la poroelastografía. En el área de investigación de la hiperelasticidad, en el contexto de la formación y propagación de aneurismas, en primer lugar, se proporciona el estado del arte del estudio analítico de diferentes modos de bifurcación en membranas cilindricas circulares elongadas formadas por material hiperelástico sometidas a una presión de inflamiento. El objetivo es lograr una comprensión de los posibles modos de bifurcación con el fin de guiar y acotar los resultados numéricos presentados. En segundo lugar, se presenta un cilindro con sección circular de pared gruesa pre-elongado de material hiperelástico con tensiones residuales sometido a una presión de inflamiento y se analizan sus diferentes modos de bifurcación, así como su post-bifurcación. La dependencia de las inestabilidades de los modelos de las tensiones residuales y el estiramiento previo axial es mostrada y se compara con los resultados obtenidos cuando no hay tensión residual. Los resultados numéricos resaltan que se espera una bifurcación por abultamiento para valores grandes del estiramiento axial, mientras que el modo de flexión ocurre en los casos con valores pequeños del estiramiento axial (cerca de la configuración no extendida). Se obtiene que en la anterior bifurcación la estructura puede soportar más presión durante la postbifurcación hasta que se alcanza una protuberancia unilateral con forma irregular que es consistente con la formación y propagación de los aneurismas aórticos abdominales (AAA). ----------ABSTRACT---------- The thesis deals with the modeling of residually stressed hyperelastic as well as poroelastic materials with application in biological tissues. It deals with two different materials, namely, poroelastic and hyperelastic ones. In particular, numerical frameworks able to predict their mechanical response as well as bifurcation and post-bifurcation are provided. In the research area of poroelasticity, in the context of cancer mechanics, firstly, state of the art of the upscaling process (asymptotic homogenization) to reach the macroscale system of PDEs from microscale setting is given. The macroscale mechanical response can be characterized by means of some coefficients that hold the microscale information. Secondly, the system of PDEs to be solved in microscale cell sub-domains (fluid and solid phases) are explained and appropriate numerical frameworks able to solve them are provided. The macroscale coefficients then are derived from the solution of the latter problems and the dependence of mechanical and hydraulic properties of poroelastic media on the porosity and solid matrix compressibility is studied in detail. The findings are presented by means of a parametric analysis conducted by varying the porosity as well as the Poisson’s ratio of the matrix that, for instance, reveal a nontrivial dependency of Biot’s modulus on both porosity and compressibility of the matrix. The numerical three-dimensional results, which are presented in the context of tumor modeling, serve as a robust first step to quantify the macroscale response of poroelastic materials on the basis of their underlying microstructure. This is done by implementing the macroscale system of equations in a finite element code. The results can be used to relate the mechanical and hydraulic response of the tissue to its microstructural properties, which, in turn, can be useful to distinguish between benign tumor and cancer. Moreover, the macroscale visualization of the displacements serves as a robust tool to quantify the poroelastic properties of tissues such as tumors and brain by exploiting techniques such as poroelastography. In the research area of hyperelasticity, in the context of aneurysm formation and propagation, first, state of the art of analytical analysis of different bifurcation modes of extended circular cylindrical membranes made of hyperelastic material under inflation is given. The goal is to gain a better understanding of possible bifurcation modes of the model which can guide and benchmark the presented numerical results. Then, different bifurcation modes as well as post-bifurcation of pre-extended thick-walled circular cylinders made of residually stressed hyperelastic material under inflation are provided. The dependence of the instabilities of the models on residual stresses and axial pre-stretch is shown and compared with results when there is no residual stress. The numerical results highlight that bulging bifurcation is expected for large values of the axial stretch while the bending mode happens in the cases with small values of the axial stretch (close to the non-extended configuration). For the latter bifurcation, the structure can support more pressure during post-bifurcation until a one-sided bulge with irregular shape is reached, which is consistent with the formation and propagation of abdominal aortic aneurysms (AAA).

An evaluation of the parameters that define a proposed boundary value problem solved with the finite element method as an approach to emulate the bio-mechanical response of arteries at an instability point. Blood vessels are idealized as cylinder tubes with different geometries and boundary conditions that incorporate an invariant based, hyper-elastic and residually stressed material model as a subroutine in a finite element software. A sequential, three-step, mechanical analysis that simultes the in vivo conditioning and physiological actions is applied; the analysis consists on the application of residual stresses, an imposed axial stretch and the application of uniform internal pressure. The models are restricted to obtain instabilities of bending and bulging bifurcation modes, the first is related to mechanical buckling for the mode m=1, while the second one to the propagation of a bulge in the middle section. The average azimuthal and axial stresses are evaluated along the axial direction; uniform distributions are found at the bifurcation point for models in the bending mode, while peaks in the middle section are found for bulging which indicate radial displacements. Stresses in the axial direction tend to increase due to the stretch in that direction, eventually surpassing the ones in the hoop direction. The critical uniform pressure reached at a bifurcation point defines the corresponding onset of bifurcation in terms of the axial stretch. The bending mode is related to low values of axial stretch, but bulging becomes the onset of bifurcation at values above a defined transition value. The transition value increases for more slender cylinder tubes and for lower values of the magnitude of residual stresses. The critical pressure values at their corresponding transition values also tend to decrease for higher magnitudes of residual stresses. A description of the stages of the mechanical analyses are included in terms of the history of configurations for both bifurcation modes. The bulging mode is characterized for having both maximum critical uniform pressure and stresses at the bifurcation point. For certain axial stretches, the bending mode presents the propagation of a secondary lateral bulge at a post-bifurcation stage at a higher critical pressure applied which is related to abdominal aortic aneurysms.

Many biological materials show a phenomenon known as strain stiffening. This is often associated with the limited extensibility of the molecules that compose the material, in particular the collagen proteins. These materials act very differently from typical rubberlike materials. For instance, healthy arterial wall tissue is modelled with significant stiffening behavior. There is another group of biologically interesting materials that show a limited amount of strain stiffening followed by strain softening and then by further stiffening. We shall refer to such materials as localized strain softening materials, with the abbreviation LSS. One of the most impressing features exhibited by such materials, as compared with strain stiffening materials, is that a typical stress strain curve has a characteristic sigmoidal shape, rather similar to that for some rubberlike materials. This behavior has been seen in the arterial tissue of patients suffering from Marfan’s syndrome. But there are also other features such as residual stress that we study here. We are going to investigate the behavior characteristics of a material model, a neo-Hookean strain–energy function that includes residual stress with respect to buckling. Instabilities that cause important changes in the diameter and/or thickness of a tube may be related to changes in soft tissue behavior associated with Marfan’s syndrome and cardiac valve problems. A dilatation of the aorta may cause blood to leak backwards through a valve, in particular the mitral valve, thereby increasing the workload on the heart. As a result, the heart may enlarge in time. People with Marfan’s syndrome often have an oversized mitral valve. This paper consists in, first, studying the strain produced in the cylindrical membrane tube subjected to a uniform axial loading combined with a uniform internal pressure is described, along with the elastic material model (constitutive law) for the tube. This procedure will be done for two different thicknesses, the first thickness analyzed is 5% of the diameter, and, the second thickness simulated is 10% of the diameter. Afterwards, bifurcation from the deformed circular cylindrical geometry of the membrane tube is analyzed.

This thesis studies Rayleigh waves in a nonlinear elastic continuum. Firstly, an explicit expression of the secular equation for non-principal Rayleigh waves in incompressible, transversely isotropic, pre-stressed elastic half-spaces is obtained. The free surface coincides with one of the principal planes of the primary pure homogeneous strain, but the surface wave is not restricted to propagate in a principal direction. Results are given, for illustration, in respect of the so-called reinforcing models. Furthermore, exact formulas for the Rayleigh wave speed are given for two cases in which the propagation direction of the wave and the fiber reinforcement direction are restricted to coincide with a principal direction of the primary strain. Secondly, the explicit and implicit secular equations for the speed of a (surface) Rayleigh wave propagating in a pre-stressed, doubly fiber-reinforced incompressible nonlinearly elastic half-space are obtained. One of the principal planes of the primary pure homogeneous strain coincides with the free surface while the surface wave is not restricted to propagate in a principal direction. Results are illustrated with numerical examples. In particular, an isotropic material reinforced with two families of fibers is considered. Each family of fibers is characterized by defining a privileged direction. Furthermore, the fibers of each family are located throughout the half space and run parallel to each other and perpendicular to the depth direction. Finally, the propagation of small amplitude surface waves guided by a layer with a finite thickness on an incompressible half-space is studied. The layer and half-space are both assumed to be initially stressed. The combined effect of initial stress and finite deformation on the speed of Rayleigh waves is analyzed and illustrated graphically. With a suitable simple choice of constitutive law that includes initial stress, it is shown that in many cases, as is to be expected, the effect of a finite deformation (with an associated pre-stress) is very similar to that of an initial stress (without an accompanying finite deformation). However, by contrast, when the finite deformation and initial stress are considered together independently with a judicious choice of material parameters different features are found that do not appear in the separate finite deformation or initial stress situations on their own. Esta tesis estudia la propagación de ondas Rayleigh en sólidos elásticos no lineales. En primer lugar, se obtiene la expresión explícita de la ecuación secular para ondas de Rayleigh no principales en semiespacios elásticos incompresibles, transversalmente isotrópicos y con una tensión inicial. La superficie libre coincide con uno de los planos principales de la puramente homogénea deformación principal, pero la onda de superficie puede propagarse en direcciones diferentes a la de la dirección principal. Se proporcionan resultados para los denominados modelos de refuerzo. Asimismo, se proporcionan las formulas exactas de la velocidad de las ondas de Rayleigh para dos casos en los cuales la dirección de la propagación de la onda y la dirección de las fibras de refuerzo están coaccionadas a coincidir con la dirección principal de la deformación primaria. Seguidamente, se obtienen las ecuaciones explícitas e implícitas para determinar la velocidad de ondas de Rayleigh (de superficie) que se propagan en semiespacios incompresibles no elásticos con doble fibra de refuerzo, con tensiones iniciales. Uno de los planos principales de la deformación primaria puramente homogénea coincide con la superficie libre mientras que la onda de superficie puede propagarse en direcciones diferentes a la de la dirección principal. Los resultados se ilustran con ejemplos numéricos. En particular, se considera un material isotrópico reforzado con dos familias de fibras. Cada familia de fibras se define mediante una dirección particular. De igual manera, las fibras de cada familia se consideran esparcidas a lo largo del semiespacio y son paralelas entre sí y perpendiculares con la vertical del semiespacio. Finalmente, se estudia la propagación de ondas de superficie de pequeñas amplitudes guiadas por una capa con un espesor finito en un semiespacio incompresible. Se supone que tanto la capa como el semiespacio tienen una tensión inicial. Se analiza el efecto combinado de la tensión inicial y las deformaciones finitas en la velocidad de las ondas de Rayleigh y luego se representa este efecto gráficamente. Con una adecuada y simple elección de leyes constitutivas, que tienen en cuenta la tensión inicial, se muestra que en muchos casos el efecto de una deformación finita (con una tensión inicial asociada) es muy similar al de una tensión inicial (sin una deformación finita asociada). Sin embargo, en contraste, cuando la deformación finita y la tensión inicial se consideran al mismo tiempo con una elección juiciosa de los parámetros materiales, se observan características que no pueden ser apreciadas mediante un análisis separado de las deformaciones finitas o de las tensiones iniciales.

Este trabajo analiza la influencia de parámetros mecánicos, desde la geometría y el modelo constitutivo (material de Holzapfel, que es una matriz neo-hookena reforzada bidireccionalmente con fibras de colágeno y elastina dispuestas de forma simétrica), en la bifurcación tipo abultamiento de cilindros huecos sometidos a presión interna y carga axial, relacionado con la formación de aneurismas en enfermedades cardiovasculares. Se valida una formulación analítica de las condiciones de bifurcación para cilindros de pared delgada sometidos al tipo de carga mencionado. Se analiza la influencia de los siguientes parámetros: dispersión de las fibras en cilindros de pared delgada, dispersión de las fibras en cilindros de pared gruesa, espesor de la pared del cilindro, orientación de las fibras, longitud del cilindro, imperfección geométrica y capas en el espesor. Los resultados muestran un acoplamiento entre los alargamientos circunferenciales y axiales para los que se produce la bifurcación. Se observa como este acoplamiento modifica cualitativamente y de forma relevante los resultados, existiendo una dependencia de estos a ambos valores.

Este trabajo analiza la posible existencia de soluciones discontinuas en materiales reforzados unidireccionalmente con fibra larga en el regimen de grandes deformaciones. Dichos materiales se puede caracterizar como materiales transversalmente isotropicos. En el contexto de las grandes deformaciones elasticas la expresión constitutiva mas general viene dada por una función de energía que depende de 5 invariantes. Dichos invariantes varían con la deformación. En el rango de las pequeñas deformaciones la ecuación constitutiva de materiales transversalmente isotrópicos depende de 5 constantes que relacionan la tension y la deformacion. Las soluciones discontinuas que se analizan aquí se caracterizan por un campo de desplazamiento continuo y una derivada del mismo discontinuo. Dichas soluciones tienen interpretation física para los materiales que se estudian. En particular, los materiales reforzados con fibra sufren diversos mecanismos de deformación que se pueden asociar con las soluciones discontinuas anteriormente descritas. En materiales reforzados con fibra son bien conocidos los fenomenos de fiber Kinking, fiber Splitting, fiber debonding y matrix failure. En este trabajo se intento capturar algunos de estos mecanismos para un tipo de material reforzado unidireccionalmente: el material Neo — Hookean reforzado unidirec cionalmente. El estudio de dichas soluciones discontinuas esta relacionado con la perdida de elipticidad de las ecuaciones diferenciales que gobiernan el problema. Dicha perdida de elipticidad es una condición necesaria ( pero no suficiente ) para la obtención de dichas soluciones discontinuas.

Este trabajo analiza distintas inestabilidades en estructuras formadas por distintos materiales. En particular, se capturan y se modelan las inestabilidades usando el método de Riks. Inicialmente, se analiza la bifurcación en depósitos cilíndricos formados por material anisótropo sometidos a carga axial y presión interna. El análisis de bifurcación y post-bifurcación asociados con cilindros de pared gruesa se formula para un material incompresible reforzado con dos fibras que son mecánicamente equivalentes y están dispuestas simétricamente. Consideramos dos casos en la naturaleza de la anisotropía: (i) Fibras refuerzo que tienen una influencia particular sobre la respuesta a cortante del material y (ii) Fibras refuerzo que influyen sólo si la fibra cambia de longitud con la deformación. Se analiza la propagación de las inestabilidades. En concreto, se diferencia en el abultamiento (bulging) entre la propagación axial y la propagación radial de la inestabilidad. Distintos modelos sufren una u otra propagación. Por último, distintas inestabilidades asociadas al mecanismo de ablandamiento del material (material softening) en contraposición al de endurecimiento (hardening) en una estructura (viga) de a: hormigón y b: hormigón reforzado son modeladas utilizando una metodología paralela a la desarrollada en el análisis de inestabilidades en tubos sometidos a presión interna. This present work deals with the instability of structures made of various materials. It captures and models different types of instabilities using numerical analysis. Firstly, we consider bifurcation for anisotropic cylindrical shells subject to axial loading and internal pressure. Analysis of bifurcation and post bifurcation of inflated hyperelastic thick-walled cylinder is formulated using a numerical procedure based on the modified Riks method for an incompressible material with two preferred directions which are mechanically equivalent and are symmetrically disposed. Secondly, bulging/necking motion in doubly fiber-reinforced incompressible nonlinearly elastic cylindrical shells is captured and we consider two cases for the nature of the anisotropy: (i) reinforcing models that have a particular influence on the shear response of the material and (ii) reinforcing models that depend only on the stretch in the fiber direction. The different instability motions are considered. Axial propagation of the bulging instability mode in thin-walled cylinders under inflation is analyzed. We present the analytical solution for this particular motion as well as for radial expansion during bulging evolution. For illustration, cylinders that are made of either isotropic incompressible non-linearly elastic materials or doubly fiber reinforced incompressible non-linearly elastic materials are considered. Finally, strain-softening constitutive models are considered to analyze two concrete structures: a reinforced concrete beam and an unreinforced notch beam. The bifurcation point is captured using the Riks method used previously to analyze bifurcation of a pressurized cylinder.

En este trabajo se han analizado varios problemas en el contexto de la elasticidad no lineal basándose en modelos constitutivos representativos. En particular, se han analizado problemas relacionados con el fenómeno de perdida de estabilidad asociada con condiciones de contorno en el caso de material reforzados con fibras. Cada problema se ha formulado y se ha analizado por separado en diferentes capítulos. En primer lugar se ha mostrado el análisis del gradiente de deformación discontinuo para un material transversalmente isótropo, en particular, el modelo del material considerado consiste de una base neo-Hookeana isótropa incrustada con fibras de refuerzo direccional caracterizadas con un solo parámetro. La solución de este problema se vincula con instabilidades que dan lugar al mecanismo de fallo conocido como banda de cortante. La perdida de elipticidad de las ecuaciones diferenciales de equilibrio es una condición necesaria para que aparezca este tipo de soluciones y por tanto las inestabilidades asociadas. En segundo lugar se ha analizado una deformación combinada de extensión, inación y torsión de un tubo cilíndrico grueso donde se ha encontrado que la deformación citada anteriormente puede ser controlada solo para determinadas direcciones de las fibras refuerzo. Para entender el comportamiento elástico del tubo considerado se ha ilustrado numéricamente los resultados obtenidos para las direcciones admisibles de las fibras de refuerzo bajo la deformación considerada. En tercer lugar se ha estudiado el caso de un tubo cilíndrico grueso reforzado con dos familias de fibras sometido a cortante en la dirección azimutal para un modelo de refuerzo especial. En este problema se ha encontrado que las inestabilidades que aparecen en el material considerado están asociadas con lo que se llama soluciones múltiples de la ecuación diferencial de equilibrio. Se ha encontrado que el fenómeno de instabilidad ocurre en un estado de deformación previo al estado de deformación donde se pierde la elipticidad de la ecuación diferencial de equilibrio. También se ha demostrado que la condición de perdida de elipticidad y ^W=2 = 0 (la segunda derivada de la función de energía con respecto a la deformación) son dos condiciones necesarias para la existencia de soluciones múltiples. Finalmente, se ha analizado detalladamente en el contexto de elipticidad un problema de un tubo cilíndrico grueso sometido a una deformación combinada en las direcciones helicoidal, axial y radial para distintas geotermias de las fibras de refuerzo . In the present work four main problems have been addressed within the framework of non-linear elasticity based on representative constitutive models. Namely, problems related to the loss of stability phenomena associated with boundary value problems for fibre-reinforced materials. Each of the considered problems is formulated and analysed separately in different chapters. We first start with the analysis of discontinuous deformation gradients for a transversely isotropic material under plane deformation. In particular, the material model is an augmented neo-Hookean base with a simple unidirectional reinforcement characterised by a single parameter. The solution of this problem is related to material instabilities and it is associated with a shear band-type failure mode. The loss of ellipticity of the governing differential equations is a necessary condition for the existence of these material instabilities. The second problem involves a detailed analysis of the combined non-linear extension, inflation and torsion of a thick-walled circular cylindrical tube where it has been found that the aforementioned deformation is controllable only for certain preferred directions of transverse isotropy. Numerical results have been illustrated to understand the elastic behaviour of the tube for the admissible preferred directions under the considered deformation. The third problem deals with the analysis of a doubly fibre-reinforced thickwalled circular cylindrical tube undergoing pure azimuthal shear for a special class of the reinforcing model where multiple non-smooth solutions emerge. The associated instability phenomena are found to occur prior to the point where the nominal stress tensor changes monotonicity in a particular direction. It has been also shown that the loss of ellipticity condition that arises from the equilibrium equation and ^W=2 = 0 (the second derivative of the strain-energy function with respect to the deformation) are equivalent necessary conditions for the emergence of multiple solutions for the considered material. Finally, a detailed analysis in the basis of the loss of ellipticity of the governing differential equations for a combined helical, axial and radial elastic deformations of a fibre-reinforced circular cylindrical tube is carried out.