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Vengono descritte le gare a squadre delle Olimpiadi della Matematica, una competizione annuale molto seguita dagli studenti delle scuole superiori in Italia. Le squadre, composte da sette membri, si allenano durante tutto l'anno e si sfidano con spirito agonistico. Le gare a squadre stimolano la collaborazione alla risoluzione dei problemi e l'aspetto ludico aiuta a rendere la matematica meno temuta., The paper describes the team competitions of the Mathematical Olympiad, an annual competition much awaited by students in Italy. The teams are composed of seven members and they train throughout the year and challenge each other with a competitive spirit. Mathematical team competitions stimulate collaboration in problemsolving and the playful aspect helps to fight the fear of mathematics.

Questo testo offre riflessioni di didattica della matematica che prendono le mosse dagli articoli di ricerca, dalle prassi di insegnamento, dall’impostazione dei libri di testo, dagli incontri con gli insegnanti durante i corsi di formazione e dall’analisi dei risultati forniti da INVALSI. Queste osservazioni sono offerte a partire dall’esercizio del pensiero computazionale, cioè di ricerca di soluzioni di tipo algoritmico, dato che questa logica offre un ponte tra matematica e algoritmi: individuare procedure risolutive è il cuore dell'insegnamento/apprendimento della matematica, che pone l’allievo nella posizione privilegiata di poter scoprire e reinventare aspetti matematici della realtà o della teoria in prima persona. Esercitare il pensiero computazionale significa mettersi in gioco in modo personale e con il supporto dei pari e del docente per trovare ed esprimere soluzioni di tipo algoritmico. Il riferimento all’algoritmo non deve essere interpretato come Introduzione qualcosa di asciutto, che si addice più alle macchine che all’uomo. Tutt’altro: richiede la creatività, la capacità di scovare errori, di provare a ripararli, la visione di diverse strategie e il loro confronto, la propensione a generalizzare, a porsi domande ulteriori e, eventualmente, a perseverare nella ricerca di risposte.

In this work, our goal is to show how a properly constructed first return map can help to describe the dynamics of a two-dimensional piecewise smooth map. In particular, to understand some formation principles of the bifurcation structure of its parameter space. The considered map is important from the applied point of view: it models the effects of fraud in a public procurement procedure and allows one to investigate whether honest or dishonest behavior prevails in society. We present the bifurcation structure of the map formed by the periodicity regions associated with attracting cycles of different periods. By means of the first return map, we show that the boundaries of these regions are related to border collision bifurcations typical for nonsmooth maps, as well as standard fold and flip bifurcations. The main economic result is related to the emergence of unexpected changes in qualitative non-compliant behavior over time.

In this paper we analyze the role of pollution for industry location and residence choice. We present a new economic geography (NEG) model in which manufacturing generates local pollution (that does not accumulate) and uses two types of labour input: unskilled workers that cannot migrate and work where they live; and high-skilled entrepreneurs that choose where to produce and where to live. Taking on board costless commuting or, in alternative, distance working, entrepreneurs can live in a different location from production. Both types of households enjoy utility from consuming all commodities (locally and imported variants) and suffer from local pollution. The resulting model is of the footloose entrepreneur variant, but involves two dynamic equations: the standard one governing the residential choice of entrepreneurs, and another one governing where production is located. The current paper analyses the discrete time dynamic process defined by a two-dimensional piecewise smooth map. Depending on parameters this map can have possibly coexisting attractors of various types (fixed points, cycles, closed curves as well as chaotic attractors). We analytically obtain stability conditions for the fixed points. Using numerical methods we describe also some global dynamic properties of the considered map. Finally, we propose an economic interpretation of the results concerning local stability analysis and global dynamics.

Il presente contributo espone le ricadute positive che possono apprezzarsi se si lavora, nella scuola secondaria, sul cambiamento di registro rappresentativo degli enti matematici. Le osservazioni esposte emergono da concrete attività vissute con gli studenti della secondaria di primo grado. L’idea di fondo è il recupero di aspetti della “narrazione digitale” da applicare in attività di matematica da svolgersi in aula, che vertono sul linguaggio (e sui linguaggi).

Nonostante la teoria dei codici coniughi geniali intuizioni matematiche con utilissime applicazioni pratiche, essa rimane praticamente sconosciuta al grande pubblico. Per tale ragione in questo articolo proponiamo una serie di attività che permettono di avvicinare gli studenti delle scuole secondarie ad alcuni temi di questa affascinante disciplina. In particolare, le idee di codice rilevatore e di codice correttore proposte da Hamming vengono presentate mescolando elementi di gamification ad un apprendimento di tipo esperienziale.

Assente

Per chi si occupa di divulgazione della matematica, la figura di John Horton Conway è imprescindibile: da un lato si è affascinati dall’accademico che ha dato contributi importanti in svariate aree, dall’altro si apprezza la spensieratezza dell’inventore di giochi matematici, che possono costituire un possibile approccio ad una materia che da sempre spaventa il grande pubblico. La rete offre elenchi dettagliati dei contributi di Conway; in questo articolo si è deciso di presentarne due, uno più prettamente legato alla matematica pura (ma con possibili applicazioni ancora da esplorare) e uno invece sul versante della matematica ricreativa. Si tratta, rispettivamente, del gruppo Mostro e del Game of Life, sui quali è stato modellato anche il titolo dell’articolo.

We present a new economic geography (NEG) model with a linear demand function where firms may change the perception of their relative dimension with respect to the local market. If they perceive themselves as big, they behave as Cournot oligopolists, otherwise they behave as monopolistic competitors. We first compare the pure cases in which only one market form prevails in the two-region economy. Comparing these pure cases of monopolistic and oligopolistic competition only a quantitative difference emerges. Subsequently, we assume that firms switch behavior and start to interact strategically when the number of local firms is below a threshold; in that case, the market form evolves endogenously. Results change substantially. ‘Break’ and ‘sustain’ points are separated as in standard NEG models with an isoelastic demand function leading to a co-existence of equilibria. Stable partial agglomeration and oscillations with small amplitude are possible. The dynamics are described by a 1D piecewise smooth map, which can be continuous (in the pure monopolistic or oligopolistic cases) or discontinuous (when the market structure evolves endogenously). We analyze the bifurcation structure of the parameter space of the map comparing these cases. We show that the continuous maps have rather standard dynamics, while the discontinuous map is characterised by border collision bifurcations of fixed points and cycles, which lead to rich and complex bifurcation structures.

Assente

Lo scopo del capitolo è offrire riflessioni didattiche per la scuola primaria nel contesto della risoluzione dei problemi, con riferimento specifico al testo e alle strategie risolutive dei problemi con doppia richiesta. In particolare si è indagato il comportamento degli alunni di fronte a un problema “a doppia lettura”. Con tale espressione indichiamo le situazioni problematiche a doppia richiesta tali per cui la pianificazione della strategia risolutiva necessita di una profonda comprensione dello stimolo e delle domande, per non cade- re nella tentazione di replicare acriticamente la risoluzione del primo item nel momento in cui si cerchi la risposta del secondo. Poiché molti quesiti INVALSI di grado 2 e 5 prevedono la doppia richiesta, il lavoro ha preso le mosse da un’analisi degli stessi. Ne è seguita una classificazione dei quesiti della primaria somministrati tra il 2009 e il 2018 sulla base delle relazioni tra il primo e il secondo item (richieste “a cascata”, cioè strutturate in modo che la prima risposta fornisca elementi di riflessione per ottenere la seconda, problemi “a doppia lettura” oppure problemi in cui la risoluzione del secondo item rappresenta un modo per verificare la correttezza della risoluzione del primo). Ciò ha consentito di apprezzare le diverse formulazioni dei quesiti, anche con lo scopo di fornire spunti al docente di scuola primaria e di sollecitarlo a compiere una scelta più mirata dei problemi da sottoporre agli studenti, in relazioni agli scopi specifici che si prefigge. A seguito di tale analisi è stata progettata un’indagine a cui hanno preso parte 44 alunni di quarta primaria. Sono stati a essi somministrati due problemi, uno “a doppia lettura” (sulla “falsa additività” del perimetro) e uno “a cascata”, entrambi collocati nel contesto della realtà. Attraverso questi due stimoli, curati nella formulazione, si vuole anche perseguire l’intento di diversificare la proposta standard, lasciando liberi gli studenti nella sc, The aim of this chapter is to offer didactic reflections on problem solving at a primary school level, with reference to the reading of texts and the useful strategies for a two-questions problem. We’ve particularly focused on the students’ behaviour towards “double reading” problems. With this expression we refer to the problems in which a deeper understanding of both the text and the questions is required in order to avoid the complimentary appliance of the first solution for the purposes of finding a response to the second question. This work took shape from an analysis of many INVALSI questions of the second and fifth grade, which consist of two items. Then we classified the questions proposed by INVALSI from 2009 to 2018 regarding the relations between the first and the second item of each question (“drop-down” questions when the answer to the first item gives a line of thinking to obtain the answer to the second, “double reading” problems or with the second item resolution is a way to check the validity of the first). In this way we noticed the different formulations, providing points of reflection for the teachers in order to make them more aware of the choice of the problematic situations to submit to their students. Following this analysis and the results revealed, we designed and carried out a survey involving 44 fourth grade students. We gave them a “double reading” problem and a “drop-down” problem, both from a real-life context. With these two well formulated texts, we aimed to deviate from the standard proposal in order to appreciate each student’s distinctive traits as well as the personal choice behind their strategy. The attention is placed on the qualitative data rather than the quantitative, thanks to the interviews taken after the problem solving done by the students, concerning the step between the first and the second items. The survey reveals that the good problem solvers correctly understood the specific situations and used their response to

L'articolo dà spunti per la stesura del curricolo relativamente al Campo di esperienza "La conoscenza del mondo" (infanzia). È incentrato sul valore delle esperienze come situazioni in cui il bambino risolve problemi.

Si descrive l'esperienza dell'organizzazione di SMARTEMATICA, una gara a squadre di matematica per la scuola secondaria di primo grado

Il testo, rivolto agli insegnanti della scuola del primo ciclo, raccoglie un numero considerevole di proposte didattiche riguardanti i poligoni, di livelli e complessità differenti, adatte o adattabili sia alla primaria sia alla secondaria di primo grado ed esposte in modo dettagliato. Come tema centrale nell’apprendimento della geometria, i poligoni spesso sono affrontati in modo stereotipato e semplificato, con l’analisi dei soli “casi particolari” dei triangoli e dei quadrilateri e con la principale attenzione alle questioni metriche (perimetri e aree, principalmente). Questo lavoro intende invece puntare sulle proprietà generali che possono essere sperimentate in forma attiva dagli alunni anche a partire dall’osservazione della realtà, per poi dettagliare le proprietà specifiche di alcune classi di poligoni. Per rafforzare il legame tra esperienza e apprendimento, il testo propone numerose attività, anche di movimento, e l’utilizzo di particolari carte da gioco di forma circolare che presentano la raffigurazione dell’ente geometrico. Attraverso una serie di giochi più o meno dinamici, attuabili attraverso queste carte, l’alunno rafforza la comprensione degli enti geometrici e la capacità di riconoscere e descrivere raffigurazioni non standard. Il testo è corredato di un glossario commentato, che sintetizza e spiega i concetti geometrici legati ai poligoni, ad uso dell’insegnante che voglia chiarire anzitutto a se stesso i concetti fondamentali. Un’ampia sezione di materiali online (stampabili o proiettabili, comprensiva anche delle carte da gioco) sostiene l’insegnante che voglia fruire delle proposte per come sono espresse o che intenda utilizzarle come spunto. Il capitolo teorico iniziale inquadra la proposta in termini di didattica della geometria, soffermandosi sul legame tra ente geometrico, definizione e rappresentazione e propone una breve riflessione sul ruolo del gioco nell’apprendimento della geometria.

L'articolo esplora il legame tra Episodi di Apprendimento Situato e Matematica nella didattica del primo ciclo.

We study a four-parameter family of 2D piecewise linear maps with two discontinuity lines. This family is a generalization of the discrete-time version of the fashion cycle model by Matsuyama, which was originally formulated in continuous time. The parameter space of the considered map is characterised by quite a complicated bifurcation structure formed by the periodicity regions of various attracting cycles. Besides the standard period adding and period incrementing structures, there exist incrementing structures with some distinctive properties, as well as novel mixed structures, which we study in detail. The boundaries of many periodicity regions associated with border collision bifurcations of the related cycles are obtained analytically. Several mixed structures are qualitatively described.

Proposta didattica per potenziare la competenza di problem solving alla scuola secondaria di primo grado

Troppo spesso la matematica è vista solo come una serie di procedure da applicare: in questo testo è presentata invece come un linguaggio per descri­vere gli aspetti della complessità del reale e come uno strumento per risolvere situazioni problematiche, pratiche o astratte che siano. La competenza matematica, quindi, si rafforza se crescono le capacità di negoziare cono­scenze, di saper discutere ipotesi, di esprimere ragionamenti e deduzioni, utilizzando un linguaggio adeguato e corretto: tutte azioni che la metodologia EAS mette in gioco nelle sue tre fasi, consentendo inoltre di sviluppare un pensiero strategico che porti a “vedere” le soluzioni di un problema. Nel volume sono presenti alcune considerazioni sul rapporto tra la didattica della matematica e gli episodi di apprendimento situato. Successivamente vengono descritti e commentati sei EAS riferiti all’ambito dell’aritmetica, dell’indagine statistica e della geometria, per poi concludere con delle riflessioni sulla valutazione. Il tutto è stato costruito come stimolo e supporto al docente che vuole sostenere con efficacia l’insegnamento della matematica.

Il volume fornisce uno strumento di approfondimento teorico per gli educatori e gli insegnanti in servizio nella scuola dell’infanzia e nella scuola primaria e per gli studenti di Scienze della Formazione Primaria che siano alla ricerca di una panoramica dettagliata dei contenuti matematici da trasmettere ai loro studenti e della ragione per la quale questi argomenti siano fondamentali nella formazione culturale della persona. Accanto agli aspetti più prettamente disciplinari, presenta una serie di commenti di natura didattica e una vasta gamma di proposte attuabili nella quotidiana pratica di insegnamento. Attraverso questi spunti, le autrici intendono proporre una didattica incentrata sull’esperienza e sul coinvolgimento personale degli alunni, come approccio più adatto a consentire loro una più efficace appropriazione delle competenze matematiche anche in termini di capacità di esprimere ipotesi e congetture con un linguaggio appropriato. Gli argomenti trattatati riguardano le basi della logica, dell’insiemistica, dell’aritmetica, della statistica, della probabilità, della geometria piana e tridimensionale.

We consider a discrete-time version of the continuous-time fashion cycle model introduced in Matsuyama, 1992. Its dynamics are defined by a 2D discontinuous piecewise linear map depending on three parameters. In the parameter space of the map periodicity, regions associated with attracting cycles of different periods are organized in the period adding and period incrementing bifurcation structures. The boundaries of all the periodicity regions related to border collision bifurcations are obtained analytically in explicit form. We show the existence of several partially overlapping period incrementing structures, that is, a novelty for the considered class of maps. Moreover, we show that if the time-delay in the discrete time formulation of the model shrinks to zero, the number of period incrementing structures tends to infinity and the dynamics of the discrete time fashion cycle model converges to those of continuous-time fashion cycle model.

Per mantenere vivo il ricordo di Martin Gardner il gruppo G4G (Gathering for Gardner) si riunisce periodicamente contribuendo con nuovi rompicapo, puzzle, oggetti ingegnosi.

In questo contributo vengono presentati agli studenti alcuni suggerimenti per far fruttare al meglio il tempo estivo.

In questo contributo viene presentato un percorso di apprendimento sul concetto di funzione e sulla rappresentazione delle funzioni in grafici.

In questo contributo viene presentato un percorso didattico in cui viene proposta alla classe la reinvenzione guidata del teorema di Pitagora.

Questo contributo presenta un percorso interdisciplinare, che collega le discipline matematica e scienze, ideato per studenti di una classe terza della scuola Secondaria di I grado, che si pone come obiettivo l’esplorazione della rappresentazione di una funzione lineare nel piano cartesiano a partire dallo studio del moto rettilineo uniforme e con l’utilizzo della simulazione Grafici lineari del laboratorio virtuale PhET dell'Università del Colorado.

Il contributo presenta un percorso interdisciplinare, ideato per studenti di una classe seconda della scuola secondaria di primo grado, che si pone come obiettivo l’esplorazione, partendo dall’analisi del rettangolo aureo, delle molteplici possibilità del cosiddetto “numero d’oro” in matematica, in arte e nella natura attraverso la flipped lesson.

Questo contributo presenta un percorso di apprendimento che si pone come obiettivo il riuscire a motivare gli studenti allo studio dell’algebra facendo leva sull’aspetto storico della stessa.

In questo contributo viene presentata la proposta di alcuni quesiti per la prova d'esame di matematica della scuola secondaria di I grado.

In questo contributo viene presentato un percorso di apprendimento in cui viene proposto un lavoro su cubi e poliedri composti da cubi, con l'obiettivo di far sì che gli studenti visualizzino i vari solidi e imparino a rappresentarli e a immaginarli da punti di vista diversi.

Proposta didattica per la secondaria di I grado sui pentamini, che verte sul ricercarli e distinguerli a meno di isometrie

Una presentazione divulgativa del gioco "Life" di John Conway, in occasione della celebrazione di Martin Gardner

Si tratta di una illusione descritta da Martin Gardner in uno dei suoi libri. Nella presente nota si descrive un metodo semplice ed intuitivo per costruire questa catena di anelli

In questo contributo viene presentato un percorso di apprendimento per introdurre l'insieme dei numeri interi attraverso una serie di attività che coinvolgono attivamente lo studente in attività di tipo motorio e giochi.

Il seguente contributo descrive un percorso didattico finalizzato a proporre ad una classe seconda della scuola Secondaria di I grado lo studio dell’equiscomponibilità delle figure piane, attraverso un Episodio di Apprendimento Situato (EAS).

In questo contributo viene affermato il ruolo fondamentale della matematica sia come strumento essenziale per comprendere il mondo, che come mezzo attraverso il quale poter formare la capacità degli studenti di un pensiero autonomo e critico sulla realtà. Viene inoltre presentata la programmazione delle proposte didattiche relative alla matematica dell'annata 2016-2017 della rivista.

Il seguente contributo presenta un percorso didattico, articolato in due lezioni, che si propone di esplorare il mondo delle frazioni attraverso l’utilizzo di alcune simulazioni messe a disposizione dal laboratorio virtuale online PhET dell'Università del Colorado.

In questo contributo viene presentata l’irrazionalità di pi greco e le formule per il calcolo della lunghezza della circonferenza e dell’area del cerchio, alternando attività al computer, misurazioni all’aria aperta e ragionamenti utilizzando oggetti concreti come le rotelle di liquirizia.

Il seguente contributo presenta un percorso didattico, articolato in tre lezioni, che si propone di incentivare il pensiero laterale degli studenti attraverso l’utilizzo di alcune simulazioni messe a disposizione dal laboratorio virtuale online PhET dell'Università del Colorado e mediante l’analisi dei problemi di Fermi.

Proposta didattica per la secondaria di I grado che verte su situazioni (quasi) paradossali in ambito aritmetico, geometrico e probabilistico.

Percorso didattico realizzato in una classe prima, istituto professionale, sull'introduzione dei numeri naturali. Ruolo fondamentale giocato dalla motivazione in tale percorso. Presente espansione online con materiale utilizzato in classe

Presentiamo una breve analisi degli item dell’ambito Spazio e Figure delle Prove Nazionali (III secondaria di primo grado). Ci soffermiamo sia sui contenuti che vengono valutati sia sui processi cognitivi che sono richiesti. Questi spunti possono essere presi in considerazione per ripensare alle competenze degli alunni in entrata nella scuola del secondo ciclo.

Gli studenti italiani, da circa vent’anni, sono periodicamente sottoposti ad alcune rilevazioni campionarie internazionali, che ne giudicano il livello di competenza in alcuni ambiti (per quanto riguarda la matematica, le principali sono: PISA e TIMSS). Gli esiti di queste prove internazionali descrivono una situazione, per l’Italia, tutt’altro che positiva, ma lo scopo di questo articolo non è tanto ragionare sui punteggi conseguiti, quanto presentare un confronto tra le diverse prove, tramite una sinossi sintetica dei quadri di riferimento, e presentare alcune osservazioni in merito ai quesiti somministrati agli studenti.

Correzione prova di matematica per il liceo scientifico con relativo commento

Il libro contiene dei test per l'accesso al Tirocinio Formativo Attivo per le classi di concorso A047 (matematica), A048 (matematica applicata), A049 (matematica e fisica), A059 (scienze matematiche, chimiche, fisiche)

Francesco Faà di Bruno (1825-1888) fu, oltre che uomo di fede e patriota, matematico, ingegnere e inventore. Nel 1859 pubblicò a Parigi, in francese, la Théorie générale de l'élimination, in cui viene fornita la formula, che da lui prende il nome, della derivata n-esima di una funzione composta. Il suo nome in matematica è però legato soprattutto al trattato sulla teoria delle forme binarie.

Una panoramica completa sulla vita e le opere di Niccolò Tartaglia, matematico bresciano del '500

Insegnare a risolvere problemi usando l'apprendimento cooperativo, How to teach problem solving using cooperative learning

Come insegnare alcuni concetti geometrici - come il concetto di angolo, di rapporto e di proporzione - partendo dall'osservazione del proprio corpo, fermo o in movimento., How to teach some geometrical concepts - like the concept of angle, ratio and proportions - starting from the observation of one's body, still or in motion.

La pubblicazione on-line sintetizza un intervento per un laboratorio nell'ambito del convegno UMI-CIIM del 25 ottobre 2012. La tematica del laboratorio in questione era la comprensione profonda di alcuni concetti fondamentali della matematica nell'ottica dell'insegnante-ricercatore. L'intervento verte sull'analisi epistemologica della geometria per come essa viene proposte dalla prove INVALSI e da alcune rilevazioni internazionali (studi PISA, TIMSS).